第4章 第6节 第1课时 正弦定理、余弦定理(课件 学案 练习)2026届高中数学人教A版(2019)大一轮复习

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名称 第4章 第6节 第1课时 正弦定理、余弦定理(课件 学案 练习)2026届高中数学人教A版(2019)大一轮复习
格式 zip
文件大小 22.9MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-06-19 21:27:04

文档简介

第六节 正弦定理和余弦定理
【课程标准】 1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题;2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
教|材|回|顾
1.余弦定理
(1)定理:在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A,b2=c2+a2-2accos B,c2=________________.
(2)运用方法
适用情形:三边a,b,c,任一内角A(知三求一).
列方程:a2=b2+c2-2bccos A或cos A=________.
(3)变形:cos A=,b2+c2-a2=2bccos A等.
2.正弦定理
(1)定理:在△ABC中,===2R,其中R为△ABC的外接圆半径.
(2)运用方法
适用情形:两角A,B及其对边a,b(知三求一).
列方程:=.
(3)变形:a=________,sin A=________,a∶b∶c=______________等.
3.三角形面积公式
(1)正弦定理推论
S△ABC=absin C=bcsin A=________.
(2)其他常用公式方法
S=底×高;S=×C×r(C为周长,r为内切圆半径)等.
微|点|延|伸
1.三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.
2.三角形中,大边对大角,大角的正弦值也较大,即a>b A>B sin A>sin B.
3.在△ABC中,A+B+C=π,sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,sin=cos ,cos=sin .
4.三角形中判断内角范围的方法:①若b2+c2>a2,则角A为锐角;②若b2+c2=a2,则角A为直角;③若b2+c25.在锐角三角形ABC中,必有sin A>cos B,sin B>cos C,sin C>cos A.
小|题|快|练
1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC=(  )
A. B.
C. D.
2.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=,B=,a=1,则b=(  )
A.2 B.1
C. D.
3.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是(  )
A.有一解
B.有两解
C.无解
D.有解但解的个数不确定
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=3,b=5,c=7,则△ABC的面积为________.
5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=,B=60°,则C=________.第1课时 正弦定理、余弦定理
类型一 正弦定理、余弦定理解三角形
【例1】 (1)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a=1,c=,A=45°,则C=(  )
A.30° B.60°
C.120° D.60°或120°
(2)(2024·全国甲卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=,b2=ac,则sin A+sin C=(  )
A.   B.  
C.   D.
解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,则考虑用正弦定理,以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.
【训练1】 (1)(多选题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,下列说法正确的有(  )
A.a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C
B.若sin 2A=sin 2B,则a=b
C.若sin A>sin B,则A>B
D.=
(2)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,c=2,cos A=,则b=________.
类型二 判断三角形的形状
【例2】 在△ABC中,=sin2(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为________.
判断三角形形状的两种思路
1.化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.
2.化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=π这个结论.
【训练2】 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a-b=ccos B-ccos A,则△ABC的形状一定是(  )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
类型三 三角形面积问题
【例3】 (2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab.
(1)求B;
(2)若△ABC的面积为3+,求c.
【规范解答】 (1)由余弦定理,得cos C==,又0思维点1:由余弦定理得C=,从而可求B.
所以cos B=sin C=,所以cos B=,
又0(2)由(1),得A=π-B-C=,
由正弦定理=,得=,所以a=c.
思维点2:由正弦定理得到a与c的关系.
所以△ABC的面积S=acsin B=c2×=3+,得c=2.
思维点3:由面积公式可列关于c的方程,从而求c.
本题源自人教A版必修第二册P54习题6.4第22题.主要考查正、余弦定理在解三角形问题中的应用.第(1)问直接采用余弦定理求出C.第(2)问利用正弦定理求出a,c之间的关系.考查学生的逻辑推理、数学运算等核心素养.
【训练3】 (2023·全国乙卷)在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1.
(1)求sin∠ABC;
(2)若D为BC上一点,且∠BAD=90°,求△ADC的面积.
第六节 正弦定理和余弦定理
必备知识·梳理
教材回顾
1.(1)a2+b2-2abcos C (2)
2.(3)2Rsin A  sin A∶sin B∶sin C
3.(1)acsin B
小题快练
1.C 解析 在△ABC中,设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,由余弦定理,得cos∠BAC===-,因为∠BAC为△ABC的内角,所以∠BAC=.故选C.
2.D 解析 由=,得b===×2=.故选D.
3.C 解析 由正弦定理得=,所以sin B===>1.所以角B不存在,即此三角形无解.故选C.
4. 解析 因为a=3,b=5,c=7,所以cos C===-,因此sin C=,所以△ABC的面积S=×3×5×=.
5.75° 解析 由正弦定理得sin A===.因为a第1课时 正弦定理、余弦定理
关键能力·落实
【例1】 (1)D 解析 因为a=1,c=,A=45°,所以由正弦定理可得sin C===,又因为0°a,A=45°,所以C=60°或120°.故选D.
(2)C 解析 由正弦定理得sin Asin C=sin2B,因为B=,所以sin Asin C=sin2B=.由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cos B=a2+c2-ac=ac,所以a2+c2=ac,所以sin2A+sin2C=sin Asin C,所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin Asin C=sin Asin C=,又sin A>0,sin C>0,所以sin A+sin C=.故选C.
【训练1】 (1)ACD 解析 对于A,由正弦定理===2R,得a∶b∶c=2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C=sin A∶sin B∶sin C,故A正确;对于B,由sin 2A=sin 2B,可得A=B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,所以a=b或a2+b2=c2,故B错误;对于C,在△ABC中,由正弦定理可得sin A>sin B a>b A>B,因此A>B是sin A>sin B的充要条件,故C正确;对于D,由正弦定理===2R,可得右边===2R=左边,故D正确.故选ACD.
(2)3 解析 由余弦定理,得a2=c2+b2-2bccos A=4+b2-2×2b×=5,整理得3b2-8b-3=0,解得b=3或b=-(舍去),故b=3.
【例2】 直角三角形 解析 由cos B=1-2sin2,得sin2=,所以=,即cos B=.
解法一:由余弦定理得=,即a2+c2-b2=2a2,所以a2+b2=c2.所以△ABC为直角三角形,但无法判断两直角边是否相等.
解法二:由正弦定理得cos B=,又sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,所以cos Bsin C=sin Bcos C+cos Bsin C,即sin Bcos C=0,又sin B≠0,所以cos C=0,所以C=,所以△ABC为直角三角形,但无法判断两直角边是否相等.
【训练2】 D 解析 因为a-b=ccos B-ccos A,所以由正弦定理得sin A-sin B=sin Ccos B-sin Ccos A,因为sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以sin Bcos C+cos Bsin C-sin Acos C-cos Asin C=sin Ccos B-sin Ccos A,整理得sin Bcos C-sin Acos C=0,所以(sin B-sin A)cos C=0,所以sin B=sin A或cos C=0,因为A,B,C∈(0,π),所以A=B或C=,即△ABC的形状一定是等腰或直角三角形.故选D.
【训练3】 解 (1)由余弦定理,可得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos A=1+4-2×1×2×cos 120°=7,则BC=,cos B===,sin B===.
(2)解法一:由sin∠ABC=,得tan∠ABC=,又tan∠ABC==,所以DA=,故△ADC的面积为DA·AC·sin(120°-90°)=××1×=.
解法二:由三角形面积公式可得==4,则S△ACD=S△ABC=×=.(共32张PPT)
第六节
第四章 三角函数与解三角形
正弦定理和余弦定理




必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
第1课时
第四章 三角函数与解三角形
正弦定理、余弦定理
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
正弦定理、余弦定理解三角形
解析
解析
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解析
类型二
判断三角形的形状
解析
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解析
类型三
三角形面积问题
规范解答
规范解答



R
赢在欲点微练(三十七) 正弦定理、余弦定理
 基础过关
一、单项选择题
1.已知在△ABC中,A=,B=,a=1,则b=(  )
A.2 B.1
C. D.
2.在△ABC中,a=2,b=1,cos A=,则c=(  )
A.1 B.2
C. D.
3.在△ABC中,C=60°,a+2b=8,sin A=6sin B,则c=(  )
A. B.
C.6 D.5
4.(2025·长沙质检)在△ABC中,AC=,BC=,cos A=,则△ABC的面积为(  )
A. B.5
C. D.
5.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且满足b-a=2bsin2,则△ABC为(  )
A.直角三角形
B.等边三角形
C.直角三角形或等腰三角形
D.等腰直角三角形
6.(2025·安徽合肥质检)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos C=a(2-c),且B=,则a=(  )
A.1 B.
C. D.2
二、多项选择题
7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,C.若asin A=4bsin B,ac=(a2-b2-c2),则下列选项正确的是(  )
A.a=2b
B.cos A=
C.sin B=
D.△ABC为钝角三角形
8.(2025·山东青岛检测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,由以下各条件分别能得出△ABC为等边三角形的有(  )
A.已知a+b=2c且A+B=2C
B.已知sin A=且b=c
C.已知a+b=2c且a2+b2=2c2
D.已知=且A=
三、填空题
9.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,C.若a=8,c=7,cos A=,则b=________,C=________.
10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=3,a-c=2,A=,则△ABC的面积为________.
11.在△ABC中,若cos B=,b=4,S△ABC=4,则△ABC的周长为________.
四、解答题
12.(2024·天津高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,C.已知cos B=,b=5,=.
(1)求a的值;
(2)求sin A的值;
(3)求cos (B-2A)的值.
13.(2025·广州综合测试)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S.已知S=-(a2+c2-b2).
(1)求B;
(2)若点D在边AC上,且∠ABD=,AD=2DC=2,求△ABC的周长.
素养提升
14.(多选题)黑板上有一道解三角形的习题,求解过程是正确的,但一位同学不小心把其中一部分擦去了,现在只能看到:在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2……解得B=60°.根据以上信息,你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件?(  )
A.b=2,C=90° B.A=30°,c=4
C.b=2,A=30° D.b=2,c=4
15.(2024·北京高考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,∠A为钝角,a=7,sin 2B=bcos B.
(1)求∠A;
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求△ABC的面积.
条件①:b=7;
条件②:cos B=;
条件③:csin A=.
微练(三十七) 正弦定理、余弦定理
1.D 解析 由正弦定理=,得=,所以=,所以b=.故选D.
2.B 解析 因为a=2,b=1,cos A=,所以a2=b2+c2-2bccos A,即22=12+c2-2×1×c×,解得c=2或c=-(舍去).故选B.
3.B 解析 因为sin A=6sin B,则由正弦定理得a=6b,又a+2b=8,所以a=6,b=1,因为C=60°,所以由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,即c2=62+12-2×6×1×,解得c=.故选B.
4.A 解析 在△ABC中,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos A,则10=5+AB2-2×AB×,整理得AB2-4AB-5=0,解得AB=5,AB=-1(舍).由cos A=,可得sin A==,所以S△ABC=AB·AC·sin A=×5××=.故选A.
5.A 解析 由题知b-a=2bsin2,则=sin2=,即b-a=b-bcos C,故a=bcos C,所以a=b·,整理得a2+c2=b2,所以△ABC为直角三角形.故选A.
6.A 解析 因为2bcos C=a(2-c),所以由正弦定理得2sin Bcos C=sin A(2-c),因为sin A=sin(B+C),所以2sin Bcos C=2sin A-c·sin A=2sin(B+C)-c·sin A,即2cos Bsin C=c·sin A,又因为B=,所以sin C=c·sin A,由正弦定理得=,则a·sin C=c·sin A,所以a·sin C=sin C,因为sin C>0,所以a=1,故选A.
7.ACD 解析 因为asin A=4bsin B,所以a2=4b2,所以a=2b,故A正确;因为ac=(a2-b2-c2)=·(-2bccos A),且a=2b,所以2bc=-2bccos A,所以cos A=-,故B错误;因为A∈(0,π),所以sin A>0,所以sin A==,又因为a=2b,所以sin A=2sin B,所以sin B=,故C正确;由cos A=-<0,可知A∈,所以△ABC为钝角三角形,故D正确.故选ACD.
8.AC 解析 对于A,因为A+B=2C,所以C=,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab,又a+b=2c,所以2=a2+b2-ab,所以3(a-b)2=0,所以a=b,所以A=B=C=,所以△ABC为等边三角形,A正确.对于B,因为sin A=,09.5  解析 由余弦定理可得64=b2+49-2×b×7×=b2-2b+49,故b2-2b-15=0,解得b=-3(舍去)或b=5.故cos C==,又C∈(0,π),故C=.
10. 解析 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,因为b=3,a-c=2,A=,所以(c+2)2=32+c2-2×3c×,解得c=5,则△ABC的面积为S=bcsin A=×3×5×=.
11.4+4 解析 由cos B=,得sin B=,由三角形面积公式可得acsin B=ac·=4,则ac=12 ①,由b2=a2+c2-2accos B,可得16=a2+c2-2×12×,则a2+c2=24 ②,联立①②可得a=c=2,所以△ABC的周长为4+4.
12.解 (1)由=得a=c.由余弦定理得a2+c2-b2=2accos B,即c2+c2-25=2·c·c·,得c2-25=c2,得c=6,故a=c=4.
(2)因为cos B=,所以sin B==,由正弦定理得=,即=,得sin A=.
(3)因为a0,由sin A=,得cos A=,则cos 2A=2cos2A-1=,sin 2A=2sin Acos A=.故cos(B-2A)=cos Bcos 2A+sin Bsin 2A=×+×=.
13.解 (1)因为cos∠ABC=,所以S=-(a2+c2-b2)=-×2accos∠ABC=-accos∠ABC,又S=acsin∠ABC,所以-accos∠ABC=acsin∠ABC,解得tan∠ABC=-.又∠ABC是△ABC的内角,所以∠ABC=.
(2)依题意得∠CBD=-=,如图,在△ABD中,由正弦定理得,=,即=AD=2,同理,在△CBD中,有==2CD=2,又∠ADB+∠CDB=π,所以sin∠ADB=sin∠CDB,所以AB=CB,即a=c.在△ABC中,b2=c2+a2-2ca·cos∠ABC,即32=c2+a2+ac=3a2,解得a=,所以c=a=,所以△ABC的周长为3+2.
14.ABD 解析 对于A,因为a=2,b=2,C=90°,所以tan B===,又0°a,所以B=60°或120°,故C选项不可以作为已知条件.对于D,因为a=2,b=2,c=4,所以根据余弦定理得cos B===,又0°15.解 (1)由题知,2sin B·cos B=bcos B.又A为钝角,所以B为锐角,故cos B≠0,所以2sin B=b.又===,所以sin A=.又A为钝角,所以A=.
(2)若选①,结合(1)得2sin B=×7,所以sin B=,B=,A+B=π,则△ABC不存在,所以条件①不符合要求,故不选择条件①.
若选②,由题知sin B==,又=,即=,所以b=3.又C=π-(A+B),所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×-×=.所以S△ABC=absin C=×7×3×=.
若选③,由题知c·=,所以c=5.由a2=b2+c2-2bccos A得,49=b2+25+5b,即(b+8)(b-3)=0,解得b=3(负值舍去).所以S△ABC=bcsin A=×3×5×=.(共32张PPT)
正弦定理、余弦定理
微练(三十七)
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素养提升
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