第六节 正弦定理和余弦定理
【课程标准】 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
教|材|回|顾
1．余弦定理
(1)定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2accos B，c2＝________________.
(2)运用方法
适用情形：三边a，b，c，任一内角A(知三求一)．
列方程：a2＝b2＋c2－2bccos A或cos A＝________.
(3)变形：cos A＝，b2＋c2－a2＝2bccos A等．
2．正弦定理
(1)定理：在△ABC中，＝＝＝2R，其中R为△ABC的外接圆半径．
(2)运用方法
适用情形：两角A，B及其对边a，b(知三求一)．
列方程：＝.
(3)变形：a＝________，sin A＝________，a∶b∶c＝______________等．
3．三角形面积公式
(1)正弦定理推论
S△ABC＝absin C＝bcsin A＝________.
(2)其他常用公式方法
S＝底×高；S＝×C×r(C为周长，r为内切圆半径)等．
微|点|延|伸
1．三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
2．三角形中，大边对大角，大角的正弦值也较大，即a>b A>B sin A>sin B．
3．在△ABC中，A＋B＋C＝π，sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，sin＝cos ，cos＝sin .
4．三角形中判断内角范围的方法：①若b2＋c2>a2，则角A为锐角；②若b2＋c2＝a2，则角A为直角；③若b2＋c2
5．在锐角三角形ABC中，必有sin A>cos B，sin B>cos C，sin C>cos A．
小|题|快|练
1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝( )
A． B．
C． D．
2．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝( )
A．2 B．1
C． D．
3．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝7，则△ABC的面积为________．
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，b＝，B＝60°，则C＝________.第1课时 正弦定理、余弦定理
类型一 正弦定理、余弦定理解三角形
【例1】 (1)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，c＝，A＝45°，则C＝( )
A．30° B．60°
C．120° D．60°或120°
(2)(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝( )
A． B．
C． D．
解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
【训练1】 (1)(多选题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的有( )
A．a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．若sin 2A＝sin 2B，则a＝b
C．若sin A>sin B，则A>B
D．＝
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝________.
类型二 判断三角形的形状
【例2】 在△ABC中，＝sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为________．
判断三角形形状的两种思路
1．化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
2．化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
【训练2】 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a－b＝ccos B－ccos A，则△ABC的形状一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
类型三 三角形面积问题
【例3】 (2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3＋，求c.
【规范解答】 (1)由余弦定理，得cos C＝＝，又0思维点1：由余弦定理得C＝，从而可求B．
所以cos B＝sin C＝，所以cos B＝，
又0(2)由(1)，得A＝π－B－C＝，
由正弦定理＝，得＝，所以a＝c.
思维点2：由正弦定理得到a与c的关系．
所以△ABC的面积S＝acsin B＝c2×＝3＋，得c＝2.
思维点3：由面积公式可列关于c的方程，从而求c.
本题源自人教A版必修第二册P54习题6.4第22题．主要考查正、余弦定理在解三角形问题中的应用．第(1)问直接采用余弦定理求出C．第(2)问利用正弦定理求出a，c之间的关系．考查学生的逻辑推理、数学运算等核心素养．
【训练3】 (2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.
(1)求sin∠ABC；
(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．
第六节 正弦定理和余弦定理
必备知识·梳理
教材回顾
1．(1)a2＋b2－2abcos C (2)
2．(3)2Rsin A sin A∶sin B∶sin C
3．(1)acsin B
小题快练
1．C 解析 在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理，得cos∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝.故选C.
2．D 解析 由＝，得b＝＝＝×2＝.故选D.
3．C 解析 由正弦定理得＝，所以sin B＝＝＝>1.所以角B不存在，即此三角形无解．故选C.
4. 解析 因为a＝3，b＝5，c＝7，所以cos C＝＝＝－，因此sin C＝，所以△ABC的面积S＝×3×5×＝.
5．75° 解析 由正弦定理得sin A＝＝＝.因为a第1课时 正弦定理、余弦定理
关键能力·落实
【例1】 (1)D 解析 因为a＝1，c＝，A＝45°，所以由正弦定理可得sin C＝＝＝，又因为0°a，A＝45°，所以C＝60°或120°.故选D.
(2)C 解析 由正弦定理得sin Asin C＝sin2B，因为B＝，所以sin Asin C＝sin2B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac＝ac，所以a2＋c2＝ac，所以sin2A＋sin2C＝sin Asin C，所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝sin Asin C＝，又sin A>0，sin C>0，所以sin A＋sin C＝.故选C.
【训练1】 (1)ACD 解析 对于A，由正弦定理＝＝＝2R，得a∶b∶c＝2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确；对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以a＝b或a2＋b2＝c2，故B错误；对于C，在△ABC中，由正弦定理可得sin A>sin B a>b A>B，因此A>B是sin A>sin B的充要条件，故C正确；对于D，由正弦定理＝＝＝2R，可得右边＝＝＝2R＝左边，故D正确．故选ACD.
(2)3 解析 由余弦定理，得a2＝c2＋b2－2bccos A＝4＋b2－2×2b×＝5，整理得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－(舍去)，故b＝3.
【例2】 直角三角形 解析 由cos B＝1－2sin2，得sin2＝，所以＝，即cos B＝.
解法一：由余弦定理得＝，即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等．
解法二：由正弦定理得cos B＝，又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，所以cos Bsin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C，即sin Bcos C＝0，又sin B≠0，所以cos C＝0，所以C＝，所以△ABC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等．
【训练2】 D 解析 因为a－b＝ccos B－ccos A，所以由正弦定理得sin A－sin B＝sin Ccos B－sin Ccos A，因为sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以sin Bcos C＋cos Bsin C－sin Acos C－cos Asin C＝sin Ccos B－sin Ccos A，整理得sin Bcos C－sin Acos C＝0，所以(sin B－sin A)cos C＝0，所以sin B＝sin A或cos C＝0，因为A，B，C∈(0，π)，所以A＝B或C＝，即△ABC的形状一定是等腰或直角三角形．故选D.
【训练3】 解 (1)由余弦定理，可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A＝1＋4－2×1×2×cos 120°＝7，则BC＝，cos B＝＝＝，sin B＝＝＝.
(2)解法一：由sin∠ABC＝，得tan∠ABC＝，又tan∠ABC＝＝，所以DA＝，故△ADC的面积为DA·AC·sin(120°－90°)＝××1×＝.
解法二：由三角形面积公式可得＝＝4，则S△ACD＝S△ABC＝×＝.(共32张PPT)
第六节
第四章 三角函数与解三角形
正弦定理和余弦定理
课
程
标
准
必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
第1课时
第四章 三角函数与解三角形
正弦定理、余弦定理
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
正弦定理、余弦定理解三角形
解析
解析
解析
解析
类型二
判断三角形的形状
解析
解析
解析
类型三
三角形面积问题
规范解答
规范解答
解
解
解
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赢在欲点微练(三十七) 正弦定理、余弦定理
基础过关
一、单项选择题
1．已知在△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b＝( )
A．2 B．1
C． D．
2．在△ABC中，a＝2，b＝1，cos A＝，则c＝( )
A．1 B．2
C． D．
3．在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c＝( )
A． B．
C．6 D．5
4．(2025·长沙质检)在△ABC中，AC＝，BC＝，cos A＝，则△ABC的面积为( )
A． B．5
C． D．
5．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足b－a＝2bsin2，则△ABC为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．直角三角形或等腰三角形
D．等腰直角三角形
6．(2025·安徽合肥质检)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos C＝a(2－c)，且B＝，则a＝( )
A．1 B．
C． D．2
二、多项选择题
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，C．若asin A＝4bsin B，ac＝(a2－b2－c2)，则下列选项正确的是( )
A．a＝2b
B．cos A＝
C．sin B＝
D．△ABC为钝角三角形
8．(2025·山东青岛检测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由以下各条件分别能得出△ABC为等边三角形的有( )
A．已知a＋b＝2c且A＋B＝2C
B．已知sin A＝且b＝c
C．已知a＋b＝2c且a2＋b2＝2c2
D．已知＝且A＝
三、填空题
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，C．若a＝8，c＝7，cos A＝，则b＝________，C＝________.
10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝3，a－c＝2，A＝，则△ABC的面积为________．
11．在△ABC中，若cos B＝，b＝4，S△ABC＝4，则△ABC的周长为________．
四、解答题
12．(2024·天津高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，C．已知cos B＝，b＝5，＝.
(1)求a的值；
(2)求sin A的值；
(3)求cos (B－2A)的值．
13．(2025·广州综合测试)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S.已知S＝－(a2＋c2－b2)．
(1)求B；
(2)若点D在边AC上，且∠ABD＝，AD＝2DC＝2，求△ABC的周长．
素养提升
14．(多选题)黑板上有一道解三角形的习题，求解过程是正确的，但一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2……解得B＝60°.根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件？( )
A．b＝2，C＝90° B．A＝30°，c＝4
C．b＝2，A＝30° D．b＝2，c＝4
15．(2024·北京高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A为钝角，a＝7，sin 2B＝bcos B．
(1)求∠A；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．
条件①：b＝7；
条件②：cos B＝；
条件③：csin A＝.
微练(三十七) 正弦定理、余弦定理
1．D 解析 由正弦定理＝，得＝，所以＝，所以b＝.故选D.
2．B 解析 因为a＝2，b＝1，cos A＝，所以a2＝b2＋c2－2bccos A，即22＝12＋c2－2×1×c×，解得c＝2或c＝－(舍去)．故选B.
3．B 解析 因为sin A＝6sin B，则由正弦定理得a＝6b，又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，因为C＝60°，所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，即c2＝62＋12－2×6×1×，解得c＝.故选B.
4．A 解析 在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos A，则10＝5＋AB2－2×AB×，整理得AB2－4AB－5＝0，解得AB＝5，AB＝－1(舍)．由cos A＝，可得sin A＝＝，所以S△ABC＝AB·AC·sin A＝×5××＝.故选A.
5．A 解析 由题知b－a＝2bsin2，则＝sin2＝，即b－a＝b－bcos C，故a＝bcos C，所以a＝b·，整理得a2＋c2＝b2，所以△ABC为直角三角形．故选A.
6．A 解析 因为2bcos C＝a(2－c)，所以由正弦定理得2sin Bcos C＝sin A(2－c)，因为sin A＝sin(B＋C)，所以2sin Bcos C＝2sin A－c·sin A＝2sin(B＋C)－c·sin A，即2cos Bsin C＝c·sin A，又因为B＝，所以sin C＝c·sin A，由正弦定理得＝，则a·sin C＝c·sin A，所以a·sin C＝sin C，因为sin C>0，所以a＝1，故选A.
7．ACD 解析 因为asin A＝4bsin B，所以a2＝4b2，所以a＝2b，故A正确；因为ac＝(a2－b2－c2)＝·(－2bccos A)，且a＝2b，所以2bc＝－2bccos A，所以cos A＝－，故B错误；因为A∈(0，π)，所以sin A>0，所以sin A＝＝，又因为a＝2b，所以sin A＝2sin B，所以sin B＝，故C正确；由cos A＝－<0，可知A∈，所以△ABC为钝角三角形，故D正确．故选ACD.
8．AC 解析 对于A，因为A＋B＝2C，所以C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab，又a＋b＝2c，所以2＝a2＋b2－ab，所以3(a－b)2＝0，所以a＝b，所以A＝B＝C＝，所以△ABC为等边三角形，A正确．对于B，因为sin A＝，09．5 解析 由余弦定理可得64＝b2＋49－2×b×7×＝b2－2b＋49，故b2－2b－15＝0，解得b＝－3(舍去)或b＝5.故cos C＝＝，又C∈(0，π)，故C＝.
10. 解析 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，因为b＝3，a－c＝2，A＝，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3c×，解得c＝5，则△ABC的面积为S＝bcsin A＝×3×5×＝.
11．4＋4 解析 由cos B＝，得sin B＝，由三角形面积公式可得acsin B＝ac·＝4，则ac＝12 ①，由b2＝a2＋c2－2accos B，可得16＝a2＋c2－2×12×，则a2＋c2＝24 ②，联立①②可得a＝c＝2，所以△ABC的周长为4＋4.
12．解 (1)由＝得a＝c.由余弦定理得a2＋c2－b2＝2accos B，即c2＋c2－25＝2·c·c·，得c2－25＝c2，得c＝6，故a＝c＝4.
(2)因为cos B＝，所以sin B＝＝，由正弦定理得＝，即＝，得sin A＝.
(3)因为a0，由sin A＝，得cos A＝，则cos 2A＝2cos2A－1＝，sin 2A＝2sin Acos A＝.故cos(B－2A)＝cos Bcos 2A＋sin Bsin 2A＝×＋×＝.
13．解 (1)因为cos∠ABC＝，所以S＝－(a2＋c2－b2)＝－×2accos∠ABC＝－accos∠ABC，又S＝acsin∠ABC，所以－accos∠ABC＝acsin∠ABC，解得tan∠ABC＝－.又∠ABC是△ABC的内角，所以∠ABC＝.
(2)依题意得∠CBD＝－＝，如图，在△ABD中，由正弦定理得，＝，即＝AD＝2，同理，在△CBD中，有＝＝2CD＝2，又∠ADB＋∠CDB＝π，所以sin∠ADB＝sin∠CDB，所以AB＝CB，即a＝c.在△ABC中，b2＝c2＋a2－2ca·cos∠ABC，即32＝c2＋a2＋ac＝3a2，解得a＝，所以c＝a＝，所以△ABC的周长为3＋2.
14．ABD 解析 对于A，因为a＝2，b＝2，C＝90°，所以tan B＝＝＝，又0°a，所以B＝60°或120°，故C选项不可以作为已知条件．对于D，因为a＝2，b＝2，c＝4，所以根据余弦定理得cos B＝＝＝，又0°15．解 (1)由题知，2sin B·cos B＝bcos B．又A为钝角，所以B为锐角，故cos B≠0，所以2sin B＝b.又＝＝＝，所以sin A＝.又A为钝角，所以A＝.
(2)若选①，结合(1)得2sin B＝×7，所以sin B＝，B＝，A＋B＝π，则△ABC不存在，所以条件①不符合要求，故不选择条件①.
若选②，由题知sin B＝＝，又＝，即＝，所以b＝3.又C＝π－(A＋B)，所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×－×＝.所以S△ABC＝absin C＝×7×3×＝.
若选③，由题知c·＝，所以c＝5.由a2＝b2＋c2－2bccos A得，49＝b2＋25＋5b，即(b＋8)(b－3)＝0，解得b＝3(负值舍去)．所以S△ABC＝bcsin A＝×3×5×＝.(共32张PPT)
正弦定理、余弦定理
微练(三十七)
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素养提升
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