微专题强化六 三角函数中与ω有关的问题
专|题|梳|理
根据三角函数的相关性质求解参数的值或取值范围是三角函数中比较典型的一类问题，能有效考查学生对三角函数基本性质的掌握程度，难度可控，备受高考命题者的青睐，因此频频出现在高考试题中．这类问题一般涉及值域、单调性及周期性等性质，三角函数因为其函数性质的特殊性，如正弦函数和余弦函数的有界性，往往在确定变量范围，或者最大、最小值有关问题上起着特殊作用．如果试题本身对自变量的取值范围问题有限制，则更应该充分注意．
典|型|例|题
类型一 与单调性有关的问题
【例1】 (2025·贵阳一模)将函数f(x)＝sin x的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标都变为原来的(ω>0)，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)在上单调递增，则ω的取值范围是( )
A． B． C． D．(0,1]
确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系建立不等式，即可求ω的取值范围.
类型二 与值域(最值)有关的问题
【例2】 (2025·郑州质量检测)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)在上的值域为[－1,2]，则ω的取值范围为( )
A． B． C． D．
利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.
类型三 与对称性有关的问题
【例3】 (1)已知函数f(x)＝2cos＋1(ω>0)的图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．
(2)已知函数f(x)＝cos(ω>0)的一条对称轴为直线x＝，一个对称中心为点，则ω有( )
A．最小值2 B．最大值2
C．最小值1 D．最大值1
三角函数图象两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围.
类型四 与零点有关的问题
【例4】 若函数g(x)＝cos在区间[0，π)内有5个零点，则ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．
三角函数两个零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，可以研究“ω”取值．
微专题强化六 三角函数中与ω有关的问题
典型例题
【例1】 B 解析 将f(x)＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到h(x)＝sin的图象，将h(x)图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标都变为原来的得到g(x)的图象．所以g(x)＝sin.x∈时，ωx－∈.g(x)在上单调递增，所以－≤－－<－，得0<ω≤，故选B.
【例2】 B 解析 设t＝ωx－，因为x∈，且ω>0，所以t∈.函数f(x)＝2sin在上的值域为[－1,2]，即y＝2sin t在上的值域为[－1,2]，所以≤ω·－≤，解得≤ω≤，故选B.
【例3】 (1)A 解析 令t＝ωx－，则当x∈(0,2π)时，t∈，所以2πω－≤3π，则0<ω≤.故选A.
(2)A 解析 因为函数图象的对称中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，所以其图象的对称中心到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－≥，又因为T＝，所以≤，所以ω≥2，所以ω有最小值2.故选A.
【例4】 D 解析 g(x)＝cos，当x∈[0，π)时，2ωx－∈，y＝cos x在y轴右方的零点为x＝，，，，，，…，因为函数g(x)的图象在区间[0，π)内有5个零点，所以<2ωπ－≤，解得<ω≤.故选D.(共15张PPT)
三角函数中与ω有关的问题
微专题强化六
专|题|梳|理
类型一
与单调性有关的问题
典|型|例|题
解析
类型二
与值域(最值)有关的问题
解析
类型三
与对称性有关的问题
解析
解析
类型四
与零点有关的问题
解析
R
赢在欲点微练(三十五) 三角函数中与ω有关的问题
基础过关
一、单项选择题
1．若直线x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴，则ω＝( )
A．2 B．
C．1 D．
2．若是函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
3．设函数f(x)＝cos(ω＞0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为( )
A． B．
C． D．2
4．已知函数f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0)的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数ω的最小值是( )
A． B．
C． D．8
5．(2025·长春质检)定义域为[0，π]的函数f(x)＝(sin ωx－cos ωx)cos ωx＋(ω>0)的值域为，则ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．
6．(2025·安徽质量检测)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．
7．已知将函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)在(0，π)上有3个极值点，则ω的取值范围为( )
A． B．
C． D．
二、填空题
8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，则ω＝________，φ＝________.
9．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)，若f＝f，且f(x)在区间内有最大值，无最小值，则ω＝________.
10．(2022·全国乙卷)记函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)＝，x＝为f(x)的零点，则ω的最小值为________．
微练(三十五) 三角函数中与ω有关的问题
1．A 解析 依题意得函数f(x)的最小正周期T＝＝2×＝π，解得ω＝2.故选A.
2．C 解析 因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，由题意，知f＝sin＝0，所以＋＝kπ(k∈Z)，即ω＝8k－2(k∈Z)，当k＝1时，ω＝6.故选C.
3．B 解析 由题意，当x＝时，函数f(x)有最大值，故f＝1，即－＝2kπ(k∈Z)，所以ω＝8k＋(k∈Z)，又ω＞0，所以当k＝0时，ωmin＝.故选B.
4．B 解析 由题可知，是该函数周期的整数倍，即＝×k，k∈Z，解得ω＝，k∈Z，又ω＞0，故当k＝1时，其最小值为.故选B.
5．D 解析 因为f(x)＝sin ωxcos ωx－cos2ωx＋＝sin 2ωx－＋＝sin，由－≤f(x)≤1可得－≤sin≤1.因为0≤x≤π，所以－≤2ωx－≤2πω－，由题意可得≤2πω－≤，解得≤ω≤.故选D.
6．D 解析 因为x∈，ω>0，所以ωx－∈.因为f(x)＝sin在上单调递增，所以所以令k＝0，则－2≤ω≤，又ω>0，所以0<ω≤.
7．C 解析 f(x)＝2sin＝2sincos－2sin2＝sin ωx－(1－cos ωx)＝sin ωx＋cos ωx－＝2sin－，令g(x)＝f＝2sin－＝－2cos－，因为ω>0，所以当x∈(0，π)时，ωx＋∈，又因为g(x)在(0，π)上有3个极值点，则由余弦函数的性质可得3π<ωπ＋≤4π，解得<ω≤.故选C.
8．2 解析 由题意得φ＝kπ＋，k∈Z，又0≤φ≤π，所以φ＝，所以f(x)＝cos ωx，由图象关于点对称，得＝kπ＋，k∈Z，得ω＝4k＋2，k∈Z，又f(x)在上是单调函数，可得≤π，所以ω≤2，所以ω＝2.
9. 解析 由题意知当x＝时，f(x)取得最大值，即ω＋＝2kπ＋(k∈Z)，解得ω＝6k＋(k∈Z)，又－＝＜，即＞，所以0<ω＜3，又ω＞0，所以ω＝.
10．3 解析 因为T＝，f＝，所以cos＝，即cos φ＝.又0<φ<π，所以φ＝，所以f(x)＝cos.因为x＝为f(x)的零点，所以ω＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝9k＋3(k∈Z)．又ω>0，所以当k＝0时，ω取得最小值，且最小值为3.(共13张PPT)
三角函数中与ω有关的问题
微练(三十五)
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赢在欲点
