第十章三角形的有关证明期末单元复习题（含解析）

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第十章三角形的有关证明
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，∠ADE=48°，则下列结论中不正确的是
A．∠B=48° B．∠AED=66° C．∠A=84° D．∠B+∠C=96°
2．如图，△ABO，△A1B1C1，△A2B2C2，…都是正三角形，边长分别为2，22，23，…，且BO，B1C1，B2C2，…都在x轴上，点A，A1，A2，…从左至右依次排列在x轴上方，若点B1是BO中点，点B2是B1C1中点，…，且B为（﹣2，0），则点A6的坐标是（　　）

A．（61，32） B．（64，32） C．（125，64） D．（128，64）
3．如图，学习尺规作角平分线后，学生作业中出现四种正确作法，没有用到判定的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知，则一定能使的条件是（ ）
A． B． C． D．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（　　）
A．8 B．1 C．2 D．4
6．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则图中共有全等三角形（　 　）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
7．如图，中，，平分，，，则的面积为（　　）
A．20 B．10 C．15 D．30
8．下列各命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A．全等三角形的三个角分别对应相等 B．全等三角形的三条边分别对应相等
C．全等三角形的周长相等 D．全等三角形的面积相等
9．如图，是人字型金属屋架的示意图，该屋架由BC、AC、BA、AD四段金属材料焊接而成，其中A、B、C、D四点均为焊接点，且AB=AC，D为BC的中点，假设焊接所需的四段金属材料已截好，并已标出BC段的中点D，那么，如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，而又为了准确快速地焊接，他应该首先选取的两段金属材料及焊接点是( )
A．AD和BC，点D B．AB和AC，点A C．AC和BC，点C D．AB和AD，点A
10．如图：D，E分别是△ABC的边BC、AC上的点，若AB=AC，AD=AE，则（ ）
A．当∠B为定值时，∠CDE为定值
B．当∠α为定值时，∠CDE为定值
C．当∠β为定值时，∠CDE为定值
D．当∠γ为定值时，∠CDE为定值
11．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，BD＝DE，若△ABC的周长为26cm，AF＝5cm，则DC的长为（　　）
A．8cm B．7cm C．10cm D．9cm
12．△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地，已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（ ）
A．50a元 B．600a元 C．1200a元 D．1500a元
二、填空题
13．如图，在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，过点O作OE∥AB，OF∥AC，交边BC于点E、F，如果BC＝10，那么C△OEF等于 ．
14．如图，一个直角三角形，，一条线段，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，问P点运动到 位置时，才能使与全等．
15．如图，AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，则全等的三角形是 .
16．已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝ ．
17．等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，那么这个等腰三角形的腰长是 ．
三、解答题
18．在中，是射线上的一动点（点不与点重合），以为一边在的右侧作，使，连接．
(1)【特例探究】如图（1），当点在线段上，且时，____________；
(2)【一般探索】如图②，点在线段上，设，．探究与之间的数量关系，并说明理由；
(3)【延伸拓展】如图③，当点在线段的延长线上时，设，请根据题意将图③补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系．
19．如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，动点P从点B出发沿射线BC以每秒1个单位的速度移动，设运动的时间为t．
(1)求△ABC为直角三角形；
(2)若△ABP为直角三角形，求出t的值（写出证明过程）；
(3)若△ABP为等腰三角形，直接写出t的值（不必写出证明过程）．
20．有一个小水库，水面的形状如图所示．能不能仿照课本中的“想一想”测出它的最窄的地方A，B两点之间的距离呢 如果能的话，请画图表示出做法．
21．如图，已知点P在内，点D，E分别在边，上．若，且，问：点P是否在的平分线上？试证明你的结论．
22．如图，在中，边的垂直平分线相交于点P．
（1）求证；
（2）点P是否也在边的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？
23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．
(1)试求∠DAE的度数；
(2)如果把原题中“AB＝AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗．为什么．
24．如图，直线：y=-2x+b与坐标轴交于A，B两点，点A的坐标是(0，4)．
(1)求直线的函数表达式和点B的坐标．
(2)若点P的坐标是(4，3)，求△ABP的面积．
(3)如图，点P在第一象限，若△ABP是等腰直角三角形且∠ABP=90°，求点P的坐标．
《第十章三角形的有关证明》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D B A A C B A B
题号 11 12
答案 A B
1．B
【分析】试题分析：根据等腰三角形两底角相等的性质和两直线平行，同位角相等的平行线性质以及三角形内角和定理分别求出各角的度数即可进行选择.
【详解】A、∵DE∥BC，∠ADE=48°，∴∠B=∠ADE=48°，正确，不符合题意；
B、∵AB=AC，∴∠C=∠B=48°．
∵DE∥BC，∴∠AED=∠C=48°，符合题意；
C、∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣48°﹣48°=84°，正确，不符合题意；
D、∠B+∠C=48°+48°=96°正确，不符合题意．
故选B．
【点睛】略
2．C
【分析】由点A是边长为2的等边三角形的顶点且在x轴上方可知点A的坐标.再根据点B1是BO中点，点B2是B1C1中点，等边三角形△A1B1C1，的顶点A1在B1C1中点可求出点A1坐标，……以此类推，可知各点横坐标的规律和纵坐标的规律，进而可求出答案．
【详解】解：根据题意点A在边长为2的等边三角形顶点且在x轴上方，可知点A坐标为（﹣1，），
由于等边三角形△A1B1C1，的顶点A1在BO中点，则点A到A1的水平距离为边长2，则点A1坐标为（1，2），
以此类推，点A2坐标为（5，4），点A3坐标为（13，8），各点横坐标从﹣1基础上依次增加2，22，23，…，纵坐标依次是前一个点纵坐标的2倍，
则点A6的横坐标是：﹣1+2+22+23+24+25+26=125，纵坐标为：26×=64则点A6坐标是（125，64），
故选C．
【点睛】本题考查平面直角坐标系的应用，熟练掌握坐标系内各象限性质是解题关键．
3．D
【分析】本题考查尺规作角平分线，全等三角形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识．
根据尺规作图的方法结合三角形全等的判定方法，进行判断即可．
【详解】解：A，B，C选项可用证明三角形全等，进而得到角平分线，
D选项是利用平行线的性质结合等腰三角形的性质推出角平分线．
故选：D．
4．B
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
利用全等三角形判定定理对各个选项逐一分析即可得出答案．
【详解】解：A、∵，为公共边，若，则不能使，故本选项错误；
B、∵，为公共边，若，则，故本选项正确；
C、∵，为公共边，若，则不能使，故本选项错误；
D、∵，为公共边，若，则不能使，故本选项错误；
故选：B．
5．A
【分析】根据含30度角所对的直角 边等于斜边的一半求解即可．
【详解】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴AB=2AC=2×4=8，
故选：A．
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
6．A
【详解】两个全等三角形的对数是3,分别是：△BDE≌△CDF、△DGE≌△DGF、△AGE≌△AGF；
由两个三角形组合的全等的大三角形的对数是1,是：△AED≌△AFD；由三个小三角形组合的全等的大三角形的对数是1,是：△ADB≌△ADC；所以共5对，故选A.
点睛：本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理．做题时要从已知条件始合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．
7．C
【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点作于，
∵，平分，，，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积．理解和掌握角平分线的性质并求出边上的高是解题的关键．
8．B
【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【详解】解：A．逆命题为三个角对应相等的两个三角形全等，错误，是假命题，不符合题意；
B．逆命题为三条边分别对应相等的两个三角形全等，正确，是真命题，符合题意；
C．逆命题为周长相等的两个三角形全等，错误，是假命题，不符合题意；
D．逆命题为面积相等的两个三角形全等，错误，是假命题，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理的认识，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．
9．A
【详解】根据等腰三角形的三线合一，知：AD⊥BC，根据焊接工身边的工具，显然是AD和BC焊接点D，故选A．
10．B
【详解】试题分析：本题主要考查等腰三角形的性质和外角的性质，掌握等边对等角和三角形的外角等于不相邻两内角的和是解题的关键．根据等边对等角，可找到角之间的关系，再利用外角的性质可找到∠CDE和∠1之间的关系，从而得到答案．
解：
A∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∠ADC=∠α+∠B，
∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=∠α+∠B-∠CDE，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠γ=∠CDE+∠C=∠CDE+∠B，
∴∠1+∠B-∠CDE=∠CDE+∠B，
∴∠1=2∠CDE，
∴当∠α为定值时，∠CDE为定值，
故选B．
考点：等腰三角形的性质．
11．A
【分析】根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB＝AE＝CE，能推出2DE+2EC＝16（cm），即可得出答案．
【详解】解：∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∵△ABC周长26cm，AF＝5cm，
∴AC＝10（cm），
∴AB+BC＝16（cm），
∴AB+BE+EC＝16（cm），
即2DE+2EC＝16（cm），
∴DE+EC＝8（cm），
∴DC＝DE+EC＝8（cm），
故选：A．
【点睛】此题主要考查三角形的线段长度，解题的关键是熟知等腰三角形的性质及垂直平分线的性质．
12．B
【分析】由已知△ABC中，∠C=90°，AC=30米，AB=50米，根据勾股定理求出另一条直角边BC，再求出面积，从而得出答案．
【详解】在△ABC中，∠C=90°，AC=30米，AB=50米，
∴BC==40米，
共需要资金为：×40×30 a=600a元．
故选B．
【点睛】考查的知识点是勾股定理的应用，解题的关键是先由已知结合勾股定理求出另一条直角边，再求出面积即得答案．
13．10
【解析】由OB，OC分别是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线，OE∥AB、OF∥AC，可推出BE=EO，OF=FC，显然△OEF的周长即为BC的长度．
【详解】解：OB，OC分别是∠ABC和∠ACB的平分线
∴∠ABO=∠OBF，∠ACO=∠OCF
∵OE∥AB，OF∥AC
∴∠ABO=∠BOE，∠ACO=∠COF
∴△BOE和△OCF为等腰三角形
∴BE=EO，OF=FC
∴△OEF的周长=OE+EF+OF=BE+EF+FC=BC=10．
故答案为：10
【点评】此题主要考查了平行线性质、角平分线性质以及等腰三角形的性质，难度中等．解题的关键是判定△BOE与△COF是等腰三角形．
14．的中点或与点重合的
【分析】本题考查全等三角形的判定，分两种情况，利用判定与全等，得到点的位置即可。
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴①当时，，
∵，
∴，即：当点运动到的中点时，；
②当，即：点与点重合时，；
综上：当点运动到的中点或与点重合的位置，与全等；
故答案为：的中点或与点重合的
15．△ACB≌△DCE
【详解】试题解析：
即
在和中
≌.
故答案为≌.
16．4．
【分析】过点D作DM⊥OB，垂足为M，则DM=DE=2，在Rt△OEF中，利用三角形内角和定理可求出∠DFM=30°，在Rt△DMF中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF的长，此题得解．
【详解】过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示．
∵OC是∠AOB的平分线，
∴DM＝DE＝2．
在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，∠EOF＝60°，
∴∠OFE＝30°，即∠DFM＝30°．
在Rt△DMF中，∠DMF＝90°，∠DFM＝30°，
∴DF＝2DM＝4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF的长是解题的关键．
17．9cm
【分析】两部分之差可以是底边与腰之差，也可能是腰与底边之差，解答时应注意．设等腰三角形的腰长是xcm，根据其中一部分比另一部分长3cm，即可列方程求解．
【详解】解：如图，等腰三角形的腰长是xcm.
当AD+AC与BC+BD的差是3cm时,即=3，
解得：x=9，
9，9，6能够组成三角形；
当BC+BD与AD+AC的差是3cm时,即=3，
解得：x=3，
3，3，6不能组成三角形．
所以这个等腰三角形的腰长是：9cm.
故答案为9cm.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质.
18．(1)90
(2)，见解析
(3)见解析，
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等是解题的关键．
（1）证明，则，由得到，即可得到答案；
（2）证明则，得到，
即．则即可得到结论；
（3）证明，则，得到，， 则，得到，即可得到结论．
【详解】（1）解：
，
即．
在和中，
，
．
，
，
，
即．
故答案为：
（2）解：．理由如下：
，
，即．
在和中，
．
，
即．
．
（3）解：画图如图③所示，此时．
证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
19．(1)见解析
(2)当为直角三角形时， 或；
(3)当为等腰三角形时，或或．
【分析】（1）根据勾股定理逆定理进行计算，即可解答；
（2）若为直角三角形，由题意知BP=t，①当为直角时，点P与点C重合，即可得t的值，②当为直角时，CP=t-3，在中，根据勾股定理得出，在，根据勾股定理即可得t的值；
（3）若为等腰三角形时，由题意知BP=t，①当时，即可得，②当时，根据可得t的值，③当BP=AP时，，，在中，根据勾股定理即可得．
【详解】（1）在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，
∵，
∴△ABC为直角三角形；
（2）若为直角三角形，由题意知BP=t，
①如图1所示，当为直角时，点P与点C重合，
BP=BC=3，t=3，
②如图2所示，当为直角时，CP=t-3，
在中，根据勾股定理，
，
在，根据勾股定理，
，
即
，
综上，当为直角三角形时， 或；
（3）若为等腰三角形时，由题意知BP=t，
①如图3所示，当时，，
②如图4所示，当时，
∵，
∴，
∴，
③如图5所示，当BP=AP时，，，
在中，根据勾股定理，
，
即
，
综上，当为等腰三角形时，或或．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握勾股定理和等腰三角形的性质．
20．不能，理由见解析.
【详解】不能，构造不出来全等的两个三角形.
21．点P在的平分线上，证明见解析
【分析】过点P作于F，作于G，根据题意及各角的等量代换得出，再由全等三角形的判定和性质得出，利用角平分线的性质即可证明．
【详解】答：点P在的平分线上．
证明：如图，过点P作于F，作于G，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又∵，，
∴点P在的平分线上．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
22．（1）见解析；（2）在，见解析．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质可求得，PA=PB，PB=PC，∴PA=PB=PC；
（2）根据线段的垂直平分线的性质的逆定理，可得点P在边AC的垂直平分线上．
【详解】解：（1）∵点P是的垂直平分线上的点，
∴．
同理．
∴．
（2）∵PA=PC，
∴点P在边AC的垂直平分线上（和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）
还可得出结论：①三角形三边的垂直平分线相交于一点．②这个点与三顶点距离相等．
点P也在边的垂直平分线上，由此可以得出，三角形三条边的垂直平分线相交于一点．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
23．(1) 45°；(2)不变，理由见解析．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，根据等边对等角的性质求出∠BAD=∠BDA，∠E=∠CAE，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出∠DAE的度数；
（2）由BD=BA可得∠BAD=∠BDA=（180°-∠B），由CE=CA可得∠E=∠CAE=∠ACB=（90°-∠B），再根据三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵BD=BA，
∴∠BAD=∠BDA=（180°-45°）=67.5°，
∵CE=CA，
∴∠E=∠CAE=×45°=22.5°，
∴∠DAE=∠BDA-∠E=67.5°-22.5°=45°；
（2）∵BD=BA，
∴∠BAD=∠BDA=（180°-∠B），
∵CE=CA，
∴∠E=∠CAE=∠ACB=（90°-∠B），
∴∠DAE=∠BDA-∠E=（180°-∠B）-（90°-∠B）=90°-∠B-45°+∠B=45°，
即∠DAE的度数不变．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解答本题的关键是熟练掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
24．(1)y＝ 2x＋4，B（2，0）
(2)7
(3)点P的坐标为（6，2）
【分析】（1）将点A的坐标代入直线解析式中可求出b值，从而得出结论；
（2）过点P作PH⊥x轴于H，根据S△ABP＝S梯形AOHP S△ABO S△BPH即可求解；
（3）过点P作PC⊥x轴于C，由△ABP是等腰直角三角形且∠ABP＝90°，可得AB＝BP，由等角的余角相等∠ABO＝∠BPC，可得△ABO≌△BPC，根据全等三角形的性质即可得出PC＝BO＝2，BC＝AO＝4，即可得点P的坐标．
【详解】（1）解：∵点A的坐标是（0，4）．
代入直线l：y＝ 2x＋b得b＝4，
∴直线l：y＝ 2x＋4，
令y＝0，xB＝2
即B（2，0）；
（2）作PH⊥x轴，
∵点A的坐标是（0，4）．B（2，0），点P的坐标是（4，3），
∴AO＝4，OB＝2，PH＝3，OH＝4，BH＝OH OB＝4 2＝2，
∴S梯形AOHP＝×（3＋4）×4＝14，S△AOB＝×4×2＝4，S△BPH＝×2×3＝3，
∴S△ABP＝S梯形AOHP S△ABO S△BPH＝14 4 3＝7；
（3）如图：过点P作PC⊥x轴于C，
∴∠PCB＝90°，
∴∠CBP＋∠BPC＝90°，
∵△ABP是等腰直角三角形且∠ABP＝90°，
∴AB＝BP，∠CBP＋∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠BPC，
在△ABO和△BPC中，
，
∴△ABO≌△BPC（AAS），
∴PC＝BO＝2，BC＝AO＝4，
∴OC＝OB＋BC＝2＋4＝6，
∴点P的坐标为（6，2）．
【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，一次函数的性质、三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是利用三角形的面积和全等三角形的判定和性质进行解答．
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