微专题4 带电粒子在电场中运动的综合问题
探究点一 带电粒子在交变电场中的运动
1．此类问题中，带电粒子进入电场时初速度为零，或初速度方向与电场方向平行，带电粒子在交变静电力的作用下，做加速、减速交替的直线运动．
2．该问题通常用动力学知识分析求解．重点分析各段时间内的加速度、运动性质、每段时间与交变电场的周期T间的关系等．
常用v t图像来处理此类问题，通过画出粒子的v t图像，可将粒子复杂的运动过程形象、直观地反映出来，便于求解．
例1 如图甲所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图乙所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P处．若在t0时刻由静止释放该粒子，关于该粒子的运动正确的是( )
A．一开始向左运动，最后打到A板上
B．一开始向右运动，最后打到A板上
C．一开始向左运动，最后打到B板上
D．一开始向右运动，最后打到B板上
[解题心得]
例2 如图甲所示，在y＝0和y＝2 m之间有沿着x轴方向的匀强电场，MN为电场区域的上边界，在x轴方向范围足够大．电场强度的变化如图乙所示，取x轴正方向为电场正方向．现有一个带负电的粒子，粒子的比荷＝1.0×10－2 C/kg，在t＝0时刻以速度v0＝5×102 m/s从O点沿y轴正方向进入电场区域，不计粒子重力作用．求：
(1)粒子通过电场区域的时间；
(2)粒子离开电场的位置坐标；
(3)粒子通过电场区域后沿x轴方向的速度大小．
[试答]
练1 (多选)匀强电场的电场强度E随时间t变化的图像如图所示．当t＝0时，在此匀强电场中由静止释放一个带电粒子，设带电粒子只受电场力的作用，则下列说法中正确的是( )
A．带电粒子将始终向同一个方向运动
B．2 s末带电粒子回到原出发点
C．3 s末带电粒子的速度为零
D．0～3 s内，电场力做的总功为零
练2 (多选)如图甲所示，平行金属板中央有一个静止的电子(不计重力)，两板间距离足够大．当两板间加上如图乙所示的交变电压后，选项图中反映电子速度v、位移x和加速度a随时间t的变化规律图像，可能正确的是( )
探究点二 带电粒子在电场中的圆周运动
解决电场(复合场)中的圆周运动问题，关键是分析向心力的来源，向心力的来源有可能是重力和电场力的合力，也有可能是单独的电场力．
题型1 仅在电场力作用下的匀速圆周运动
例3 如图所示，真空中固定着两个等量同种点电荷A、B，AB连线的中点为O.在过O点并且垂直于AB连线的平面内，a、b两个相同的带电粒子，仅在电场力的作用下，以O点为圆心做半径不同的匀速圆周运动．已知a的半径小于b的半径，不计两个粒子之间的相互作用，则下列说法正确的是( )
A．a粒子的动能一定比b粒子的动能小
B．a粒子的动能一定比b粒子的动能大
C．a粒子的电势能一定比b粒子的电势能小
D．a粒子的电势能一定比b粒子的电势能大
[解题心得]
题型2 带电物体(计重力)在匀强电场中的圆周运动
例4 如图所示，长为l的绝缘细线一端系在O处，另一端系一个质量为m、带电量为＋q(q>0)的小球(可视为质点)，O处固定一个带电量为－Q(Q>0)的点电荷，同时空间存在水平向右的匀强电场，电场强度大小为，在竖直方向最低点给小球一个水平向右的初速度，小球恰好可以完成圆周运动．静电力常量为k，重力加速度为g，空气阻力不计，则小球获得的初动能至少为( )
A．mgl＋ B．mgl
C．mgl＋ D．mgl
[解题心得]
题型3 利用“等效重力”法处理带电体在复合场中的圆周运动(1)“等效重力”及“等效重力加速度”：在匀强电场中，将重力与电场力合成，如图所示，
则F合为“等效重力场”中的“等效重力”，g′＝为“等效重力场”中的“等效重力加速度”，F合的方向为“等效重力”的方向，也是“等效重力加速度”的方向．
(2)等效最“高”点与最“低”点的确定方法
例5如图所示，空间有一水平向右的匀强电场，半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，O是圆心，AB是竖直方向的直径．一质量为m、电荷量为＋q(q＞0)的小球套在圆环上，并静止在P点，OP与竖直方向的夹角θ＝37°.不计空气阻力，已知重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1)电场强度E的大小；
(2)若要使小球从P点出发能做完整的圆周运动，小球初速度的大小应满足的条件．
[试答]
练3(多选)如图所示，长为L的细线拴一个带电荷量为＋q、质量为m的小球，重力加速度为g，球处在竖直向下的匀强电场中，电场强度为E，小球恰好能够在竖直平面内做圆周运动，则( )
A．小球在最高点的速度大小为
B．当小球运动到最高点时电势能最小
C．小球运动到最低点时，机械能最大
D．小球运动到最低点时，动能为(mg＋qE)L
1．(多选)如图所示，用绝缘细线拴一带负电小球，在竖直平面内做圆周运动，匀强电场方向竖直向下，则( )
A．当小球运动到最高点a时，线的张力一定最小
B．当小球运动到最低点b时，小球的速度一定最大
C．当小球运动到最高点a时，小球的电势能最小
D．小球在运动过程中机械能不守恒
2．如图(a)，一平行板电容器两板间的距离为d，在左板内侧附近有一带电量为q，质量为m的离子，不计重力，为使离子能在两板间往复运动而不碰到两板，在两板间加上如图(b)所示的交变电压，则此交变电压的周期最大为( )
A．d B．2d
C．4d D．d
3.如图所示，一半径为R的绝缘圆形轨道竖直放置，圆轨道最低点B点与一条水平轨道相连，轨道是光滑的，轨道所在空间存在水平向右、场强为E的匀强电场，从水平轨道上的A点由静止释放一质量为m带正电的小球，设A、B间的距离为s.已知小球受到的静电力大小等于小球重力的倍，C点为圆形轨道上与圆心O的等高点．(重力加速度为g)
(1)若s＝2R，求小球运动到C点时对轨道的压力大小；
(2)为使小球刚好在圆轨道内完成圆周运动，求s的值．
温馨提示：请完成分层训练素养提升(十四)
单元素养检测(二)(第十章)
微专题4 带电粒子在电场中运动的综合问题
导学 掌握必备知识 强化关键能力
探究点一
[例1] 解析：粒子带正电，在t0时刻由静止释放该粒子，粒子在t0～向右加速运动，在～向右减速运动，～T向左加速运动，此后重复运动，最终打到B板上．
答案：D
[例2] (1)因粒子初速度方向垂直匀强电场，在电场中做类平抛运动，所以粒子通过电场区域的时间t＝＝4×10－3 s.
(2)粒子沿x轴负方向先加速后减速，加速时的加速度大小为a1＝＝4 m/s2，
减速时的加速度大小为a2＝＝2 m/s2，
由运动学规律得x方向上的位移为
x＝a1＋a1－a2＝2×10－5 m，
因此粒子离开电场时的位置坐标为(－2×10－5 m，2 m)．
(3) 解析：粒子通过电场区域后沿x方向的速度为vx＝a1·－a2·＝4×10－3 m/s.
(1) 4×10－3 s
(2) (－2×10－5 m，2 m)
(3) 答案：4×10－3 m/s
练1 解析：设第1 s内粒子的加速度为a1，第2 s内的加速度为a2，由a＝可知，a2＝2a1，可见粒子第1 s内向负方向运动，1.5 s末粒子的速度为零，然后向正方向运动，至3 s末回到原出发点，粒子的速度为零，v t图像如图所示，由动能定理可知，此过程中电场力做的总功为零，综上所述，可知C、D正确．
答案：CD
练2 解析：在平行金属板之间加上题图乙所示的交变电压时，电子在平行金属板间所受的电场力大小始终不变，F＝，由牛顿第二定律F＝ma可知，电子的加速度大小始终不变，电子在第一个内向B板做匀加速直线运动，在第二个内向B板做匀减速直线运动，在第三个内反向做匀加速直线运动，在第四个内向A板做匀减速直线运动，所以a?t图像应如图D所示，v?t图像应如图A所示，A、D正确，C错误；又因匀变速直线运动位移x＝v0t＋at2，所以x?t图像应是曲线，B错误．
答案：AD
探究点二
[例3] 解析：a、b做匀速圆周运动，向心力为 Fa＝，Fb＝，同时Fa＝2F1cos α，Fb＝2F2cos β，a、b是相同粒子，a离场源电荷近，根据库仑力公式F＝，可知F1>F2，但α>β，可得cos α则a、b为负电荷，因为φ＝，q为负电，则φ与Ep成负相关，由电场线方向可知φa>φb，沿电场线方向电势降低，则Epa答案：C
[例4] 解析：小球在圆周上运动，点电荷Q对小球的库仑力不做功，重力和电场力的合力做功．小球恰好完成圆周运动，表示小球在所受合力最大位置，其合力恰好等于圆周运动的向心力．匀强电场的电场力F＝Eq＝mg，重力与电场力的合力F1＝＝mg，小球所受最大合力Fm＝mg＋，其等于圆周运动的向心力F向＝Fm＝mg＋＝，得mgl＋，位置在过O点45°角圆周顶部，根据动能定理有l，所以得到mgl＋.
答案：A
[例5]解析：(1)当小球静止在P点时，小球的受力情况如图所示，
则有＝tan θ，所以E＝.
(2)小球所受重力与电场力的合力F＝＝mg.
当小球做圆周运动时，可以等效为在一个“重力加速度”为g的“重力场”中运动．
若要使小球能做完整的圆周运动，则小球必须能通过图中的Q点．
设当小球从P点出发的速度为vmin时，小球到达Q点时速度为零，在小球从P运动到Q的过程中，
根据动能定理有
－mg·2r＝，
所以vmin＝，即小球的初速度应不小于.
(1)答案： (2)不小于
练3 解析：小球恰好能够在竖直平面内做圆周运动，则在最高点由重力和静电力的合力提供向心力，则有mg＋Eq＝m，解得v＝ ，故A错误；小球向上运动时，静电力做负功，电势能增加，当小球运动到最高点时电势能最大，故B错误；小球向下运动时，静电力做正功，机械能增大，运动到最低点时，小球的机械能最大，故C正确；从最高点到最低点的过程中，根据动能定理得Ek－mv2＝(mg＋Eq)·2L，解得Ek＝(mg＋Eq)L，故D正确．
答案：CD
导练 落实创新应用 提升学科素养
1．解析：若qE＝mg，小球做匀速圆周运动，球在各处对细线的拉力一样大，若qE＜mg，球在a处速度最小，若qE＞mg，球在a处速度最大，故A、B错误；a点电势最高，负电荷在电势最高处电势能最小，故C正确；小球在运动过程中除重力外，还有静电力做功，机械能不守恒，D正确．
答案：CD
2．解析：假设t＝0时刻左极板的电势高于右极板的电势，根据图(b)可知交变电压的周期为T，根据图像中电压的变化，若一正离子从左极板向右运动，先做的匀加速运动，再做的匀减速运动，到达右极板时速度恰好为零，而加速和减速的加速度大小相同，则位移相同，是完全对称的运动，其加速度大小为a＝，设加速阶段的最大速度为v，则有v＝a·＝·，在速度达到最大或由最大减为零的过程中，由动能定理可得qU＝mv2，解得T＝4d ，因此，为使该离子能在两极间来回振动而不撞在两极板上，则T<4d，故选项 C正确．
答案：C
3．解析：(1)当小球从A点释放，在静电力作用下运动，从A到C点静电力做正功，重力做负功，
应用动能定理得qE·3R－mgR＝
到达C点时，小球受到的支持力和静电力提供向心力，即：FN－qE＝，
由牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小与小球受到的支持力大小相等，则FN′＝FN＝.
(2)为了使小球刚好在圆周轨道内运动，小球到达D点时恰好仅受重力和静电力，如图所示，
此时有F＝＝mg，
F＝m，tan θ＝＝，则θ＝37°
从A点到D点时根据动能定理有
qE(s－R sin θ)－mgR(1＋cos θ)＝mv2，
则可以计算得s＝.
答案：(1) (2)
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微专题4 带电粒子在电场中运动的综合问题
核 心 素 养 学 习 目 标
物理观念 进一步强化对电场这一概念的理解．
科学思维 (1)会分析带电粒子在交变电场中的运动．
(2)会应用运动和力、功和能的关系分析带电粒子在复合场中的运动问题．
(3)会应用运动和力、功和能的关系分析带电粒子在复合场中的圆周运动问题．
科学态度与责任 通过思维方法的应用及学科素养的提升，提升学生主动探索自然的欲望．
探究点一 带电粒子在交变电场中的运动
1．此类问题中，带电粒子进入电场时初速度为零，或初速度方向与电场方向平行，带电粒子在交变静电力的作用下，做加速、减速交替的直线运动．
2．该问题通常用动力学知识分析求解．重点分析各段时间内的加速度、运动性质、每段时间与交变电场的周期T间的关系等．
常用v t图像来处理此类问题，通过画出粒子的v t图像，可将粒子复杂的运动过程形象、直观地反映出来，便于求解．
答案：D
(1)粒子通过电场区域的时间；
答案：4×10－3 s
(2)粒子离开电场的位置坐标；
答案：(－2×10－5 m，2 m)
(3)粒子通过电场区域后沿x轴方向的速度大小．
答案：4×10－3 m/s
练1 (多选)匀强电场的电场强度E随时间t变化的图像如图所示．当t＝0时，在此匀强电场中由静止释放一个带电粒子，设带电粒子只受电场力的作用，则下列说法中正确的是( )
A．带电粒子将始终向同一个方向运动
B．2 s末带电粒子回到原出发点
C．3 s末带电粒子的速度为零
D．0～3 s内，电场力做的总功为零
答案：CD
练2 (多选)如图甲所示，平行金属板中央有一个静止的电子(不计重力)，两板间距离足够大．当两板间加上如图乙所示的交变电压后，选项图中反映电子速度v、位移x和加速度a随时间t的变化规律图像，可能正确的是( )
答案：AD
探究点二 带电粒子在电场中的圆周运动
解决电场(复合场)中的圆周运动问题，关键是分析向心力的来源，向心力的来源有可能是重力和电场力的合力，也有可能是单独的电场力．
题型1 仅在电场力作用下的匀速圆周运动
例3 如图所示，真空中固定着两个等量同种点电荷A、B，AB连线的中点为O.在过O点并且垂直于AB连线的平面内，a、b两个相同的带电粒子，仅在电场力的作用下，以O点为圆心做半径不同的匀速圆周运动．
已知a的半径小于b的半径，不计两个粒子之间的相互作用，则下列说法正确的是( )
A．a粒子的动能一定比b粒子的动能小
B．a粒子的动能一定比b粒子的动能大
C．a粒子的电势能一定比b粒子的电势能小
D．a粒子的电势能一定比b粒子的电势能大
答案：C
答案：A
(2)等效最“高”点与最“低”点的确定方法
例5如图所示，空间有一水平向右的匀强电场，半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，O是圆心，AB是竖直方向的直径．一质量为m、电荷量为＋q(q＞0)的小球套在圆环上，并静止在P点，OP与竖直方向的夹角θ＝37°.不计空气阻力，已知重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1)电场强度E的大小；
(2)若要使小球从P点出发能做完整的圆周运动，小球初速度的大小应满足的条件．
答案：CD
1．(多选)如图所示，用绝缘细线拴一带负电小球，在竖直平面内做圆周运动，匀强电场方向竖直向下，则( )
A．当小球运动到最高点a时，线的张力一定最小
B．当小球运动到最低点b时，小球的速度一定最大
C．当小球运动到最高点a时，小球的电势能最小
D．小球在运动过程中机械能不守恒
答案：CD
解析：若qE＝mg，小球做匀速圆周运动，球在各处对细线的拉力一样大，若qE＜mg，球在a处速度最小，若qE＞mg，球在a处速度最大，故A、B错误；a点电势最高，负电荷在电势最高处电势能最小，故C正确；小球在运动过程中除重力外，还有静电力做功，机械能不守恒，D正确．
答案：C
(1)若s＝2R，求小球运动到C点时对轨道的压力大小；
(2)为使小球刚好在圆轨道内完成圆周运动，求s的值．
答案：B
2.(多选)如图所示，在水平向右的匀强电场中，长为L的绝缘细线一端悬于O点，另一端系一质量为m、电荷量为＋q的小球(可视为点电荷)．将小球拉至与O点等高的A点，保持细线绷紧并静止释放，小球运动到与竖直方向夹角θ＝30°的P点时速度变为0.已知电场范围足够大，重力加速度为g，空气阻力可忽略．
答案：BCD
答案：D
4.(8分)如图所示，半径为R的光滑绝缘圆环竖直置于场强大小为E、方向水平向右的匀强电场中，质量为m、带电荷量为＋q的空心小球穿在环上，当小球从顶点A由静止开始下滑到与圆心O等高的位置B时，求小球对环的压力．(重力加速度为g)
答案：2mg＋3Eq，方向水平向右
(1)判断该粒子的电性；
答案：正电
6.在真空中有水平放置的两个平行、正对金属平板，板长为l，两板间距离为d，在两极板间加一交变电压如图乙，质量为m，电荷量为e的电子以速度v从两极板左端中点沿水平方向连续均匀地射入两平行板之间．
答案：B
7．(10分)如图甲所示，热电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加速电压为U0，电容器板长和板间距离均为L＝10 cm，下极板接地，电容器右端到荧光屏的距离也是L＝10 cm，在电容器两极板间接一交变电压，上极板的电势随时间变化的图像如图乙所示．(每个电子穿过平行板的时间都极短，可以认为电压是不变的)求：
(1)在t＝0.06 s时刻进入电容器的电子打在荧光屏上的何处；
答案：打在屏上的点位于O点上方，距O点13.5 cm
(2)荧光屏上有电子打到的区间有多长．
答案：30 cm
