四川省成都市2025届中考数学试卷
A卷（共100分）
一、单选题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求)
1．（2025·成都）如果某天中午的气温是5℃，傍晚比中午下降了7℃，那么傍晚的气温是（ ）
A．2℃ B．-2℃ C．-5℃ D．-7℃
2．（2025·成都）下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·成都）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·成都）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2025·成都）在第25个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表：
人数
元宇宙 16
脑机接口 a
人形机器人 14
根据图表信息，表中a的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．15
6．（2025·成都）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·成都）下列命题中，假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直
D．平行四边形的对角线相等
8．（2025·成都）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（ ）
A．小明家到体育馆的距离为
B．小明在体育馆锻炼的时间为
C．小明家到书店的距离为
D．小明从书店到家步行的时间为
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（2025·成都）若，则的值为 ．
10．（2025·成都）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为 ．
11．（2025·成都）正六边形的边长为1，则对角线的长为 ．
12．（2025·成都）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）．与电阻R（Ω）之间的函数关系为，则电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而 （填“增大”或“减小”）．
13．（2025·成都）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（2025·成都）
（1）计算：．
（2）解不等式组：
15．（2025·成都）某公司需要经常快递物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表：
物品完好度 服务态度 物流时长
平台A 92 m 90
平台B 95 n 88
（1）七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是 ；
（2）求表格中m，n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好；
（3）如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？
16．（2025·成都）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为，然后沿方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，）
17．（2025·成都）如图，点C在以为直径的半圆O上，连接，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，在上取点E，使，连接，交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求半圆O的半径及的长．
18．（2025·成都）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点为，与x轴的交点为．
（1）求k的值；
（2）直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式；
（3）P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，求点E的坐标．
B卷（共50分）
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（2025·成都）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）．
20．（2025·成都）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ．
21．（2025·成都）如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ．
22．（2025·成都）如图，在中，，点D在边上，，，，则的值为 ；点E在的延长线上，连接，若，则的长为 ．
23．（2025·成都）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为 ；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
24．（2025·成都）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．
（1）求每个A种挂件的价格；
（2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件．
25．（2025·成都）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点．
（1）【特例感知】
如图1，当时，点在延长线上，求证：；
（2）【问题探究】
在（1）的条件下，若，，求的长；
（3）【拓展延伸】
如图2，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示）
26．（2025·成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围；
（3）过点C与垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：5-7=-2℃，
故答案为：B.
【分析】利用有理数的减法解答即可.
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A：主视图是长方形，俯视图为圆，不相同；
B：主视图是长方形，俯视图为三角形，不行同；
C：主视图和俯视图都是圆，相同；
D：主视图是三角形，俯视图是带有对角线的平行四边形；
故答案为：C.
【分析】根据从正面和上面看到的几何图形判断即可.
3．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：不是同类项，不能合并，原计算错误；
B：，原计算错误；
C：，原计算错误；
D： ，计算正确
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式、单项式乘以单项式的运算法则解答即可.
4．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴点P在第二象限，
故答案为：B.
【分析】根据点的横、纵坐标判断点的位置即可解题.
5．【答案】B
【知识点】统计表；扇形统计图
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】先根据元宇宙的人数除以占比计算考查的总人数，然后用总人数减去元宇宙和人形机器人的人数解答即可.
6．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设良田为x亩，劣田为y亩， 列方程组为 ，
故答案为：A.
【分析】设良田为x亩，劣田为y亩，根据题意列方程解答即可.
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A： 矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意；
B： 菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意；；
C： 正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意；
D： 平行四边形的对角线平分，原说法是假命题，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的性质逐项判断解答即可.
8．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A：小明家到体育馆的距离为，原说法错误；
B：小明在体育馆锻炼的时间为，原说法错误；
C：小明家到书店的距离为，说法正确；
D：小明从书店到家步行的时间为，原说法错误；
故答案为：C.
【分析】从图象上提取相关信息，逐项判断解答即可.
9．【答案】4
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：4.
【分析】先得到，然后代入计算解答即可.
10．【答案】3
【知识点】解一元一次方程；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题可得6x-3=15，
解得x=3，
故答案为：3.
【分析】根据程序得到方程6x-3=15，解方程求出x值即可.
11．【答案】2
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：作正六边形ABCDEF的外接圆，圆心为点O，连接OB、OC、OA、OD，
∵OA=OB=OC=OD，
∴△AOB、△BOC、△COD都是等边三角形，
∵正六边形ABCDEF的边长为1，
∴OA=AB=1，
∵∠AOB+∠BOC+∠COD =180°，
∴点O在AD上，
∴AD=2OA=2，
故答案为： 2.
【分析】作正六边形ABCDEF的外接圆⊙O， 连接OB、OC、OA、OD， ， 则OA=OB=OC=OD，， 所以△AOB、△BOC、△COD都是等边三角形， 则OA=AB=1， 由∠AOB+∠BOC+∠COD =180°， 证明点O在AD上， 则AD=2OA=2， 于是得到问题的答案.进而求出即可.
12．【答案】减小
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵36>0，
∴ 电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而减小，
故答案为：减小.
【分析】根据反比例函数的增减性解答即可.
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-直线、射线、线段；面积及等积变换
【解析】【解答】解：如图，连接AD，CD，
则AD=AB，CD=BC，
∴点A、C在BD的垂直平分线上，
即AC垂直平分BD，
∵，，，
∴，
又∵，
即，
故答案为：.
【分析】连接AD，CD，根据作图可得AC垂直平分BD，然后根据勾股定理求出AC长，然后根据四边形的面积求出BD长即可.
14．【答案】（1）解：
；
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以原不等式组的解集为
【知识点】负整数指数幂；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先运算负整数指数次幂、算术平方根、绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后合并解答即可；
（2）分别解不等式求出不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分即可解题.
15．【答案】（1）10分
（2）解：，
，
∵，
∴平台A的服务态度更好；
（3）解：平台A的得分分，
平台B的得分分，
∵，
∴该公司会选择平台B．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；极差
【解析】【解答】解（1）极差为分，
故答案为：10分；
【分析】（1）用 对平台A的服务态度评分最大值减去最小值即可解题；
（2）求出两个平台服务态度的平均数，然后比较解答即可；
（3）利用加权平均数的运算方法求出两平台的最终得分，然后比较解答即可.
16．【答案】解：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米
解：由题意，得：，米，
在中，米；
在中，米；
答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】在和中，利用正切求出AC和AB的值即可解题.
17．【答案】（1）证明：连接，
则：，
∴，
∵过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设半圆O的半径为，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：半圆O的半径为2；
∴，
连接，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
∴到的距离相等，都等于的长，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OC，即可得到，然后根据切线的性质得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，进而得到，可以得到，根据内错角相等，两直线平行即可得到结论；
（2）设半圆O的半径为，则，根据正弦的定义求出r的值，连接，即可求出AE长，再根据勾股定理求出BE长，利用角平分线的性质得到到的距离相等，都等于的长，
然后根据面积比求出即可解题.
18．【答案】（1）解：∵直线与x轴的交点为，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
把代入得：
，解得：，
∴点，
把点代入得：；
（2）解：如图，连接，
由（1）得：反比例函数的解析式为，
∵直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点，
∴点C的坐标为，
∴，
设点D的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴点D的坐标为，
设直线的函数表达式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的函数表达式为
（3）解：设点E的坐标为，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴点P的坐标为，
∴，
∴，
∵的面积为2，
∴，
解得：或，
∴点E的坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式即可；
（2）连接，设点D的坐标为，根据勾股定理求出m值，即可得到点D的坐标，然后利用待定系数法求出直线AD的解析式即可；
（3）设点E的坐标为，求出直线AE的解析式，即可得到点P的坐标，利用△BEP的面积求出t值即可解题.
19．【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：，
故答案为：4x.
【分析】根据完全平方公式的特征解答即可.
20．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；概率公式
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
当a=-1，b=1时，，方程有解；
当a=-1，b=2时，，方程有解；
当a=1，b=-1时，，方程无解；
当a=-1，b=2时，，方程有解；
当a=2，b=-1时，，方程无解；
当a=2，b=1时，，方程无解；
故方程有实数根的概率为
故答案为：.
【分析】列举所有a和b的值的情况，得到方程有实数根的结果数，然后利用概率公式计算解题.
21．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵ABCD是平行四边形，OA=OC，
∴ABCD是菱形，
∴OA=OB=AB，OC∥AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
又∵OC∥AB，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】先判断ABCD是菱形，即可得到△OAB是等边三角形，OC∥AB，进而得到∠AOB=60°，然后得到解答即可.
22．【答案】4；
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作 ，垂足分别为H， G， F， 则四边形DFHG为矩形，
为等腰直角三角形，
∴设DF=3x， CH=5x，
则HG =DF =3x， BH =CH =5x，
∴DG = BG = BH +HG=8x，CG=CH-HG=2x，
，
∴在Rt△CGD中， ，
由勾股定理，得
(负值舍去)，
，
∵∠CED=∠ABD， ∠ACB=∠E+∠CDE，∠ABC=∠ABD+∠CBD， ∠ABC=∠ACB，
∴∠CDE =∠CBD=45°，
又∵∠E=∠E，
∴△DEC∽△BED，
，
，
解得：(舍去)或 CE=，
故答案为：4，.
【分析】作AH⊥BC. DG⊥BC. DF⊥AH， 垂足分别为H. G. F， 易得四边形DFHG为矩形， 得到DG= FH， DF=HG， 证明△BDG为等腰直角三角形，得到BG =DG， 三线合一得到BH=CH， ∠ABC=∠ACB， 证明△ADF∽△ACH， 得到设DF=3x， CH =5x， 求出DG， CG的长， 正切的定义求出tan∠ACB，勾股定理求出x的值，进而求出BD的值， 证明△DEC∽△BED， 列出比例式进行求解即可.
23．【答案】；
【知识点】分式的化简求值-拆项变形法
【解析】【解答】解：解：设，
∴，
∴a>，
当a=4时，b=44，
∴，
设，
∴，
∴，
当m=时，，
∴，
故答案为：，.
【分析】根据新定义运算法则可设，整理得到，即可得到a>，然后令a=4求解即可；类比上面解答过程计算解题.
24．【答案】（1）解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元．
根据题意，得，
解得，经检验是原方程的解，且符合题意，
答：每个A种挂件的价格为25元；
（2）解：设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件，
由（1）得每个B种挂件的价格为（元），
根据题意，得，
解得，
由于y为正整数，
故该游客最多购买11个A种挂件．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个A种挂件的价格为x元，根据“ 每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个 ”列分式方程解答即可；
（2）设该游客购买y个A种挂件，根据题意列不等式求出y的最大整数解即可.
25．【答案】（1）解：由折叠的性质得：，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴
（3）解：如图，延长交于点，
设，
∵，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴
∵，即
∴
∴即
∴
∵四边形是平行四边形，
∴
又∵折叠，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴即
∴
∵
∴
∴
∴
解得：
∴
又∵
∴
∴
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由折叠可得，根据平行四边形的性质推出，然后根据AAS得到三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，即可得到，进而得到，然后证明，根据对应边成比例解答即可；
（3）延长交于点，设，，即可得到，，求出AD和AB长，然后证明，根据对应边成比例得到DM长，进而得到，，，根据对应边成比例解答即可.
26．【答案】（1）解：∵抛物线过点，且对称轴为直线，
∴，解得：，
∴
（2）解：当时，则：，
∴当，，当时，，
∴，
∵，
∴顶点坐标在直线上移动，
∵与线段有公共点，
∴联立，整理，得：，
∴当，即：时，满足题意，
将从开始向右移动，直至抛物线与线段只有一个交点为时，与线段均有公共点，
∴当过点时，，
解得：或，
∴当时，抛物线与线段有公共点；
（3）解：存在；
∵，
∴当时，，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴点在抛物线的对称轴上，
∵过点，且与直线垂直，
∴直线的解析式为：，即：，
联立，整理，得：，
∴，，
∵为的中点，
∴，
联立，
同理可得：，
作，
∵平分，
∴
∴，
∴，
设，则：，
解得：
∴抛物线的对称轴上存在，使得总是平分．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—边角关系；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）当时得到二次函数的解析式为，然后联立二次函数和一次函数的解析式，利用根的判别式求出h的值，把点E的坐标代入求出h值，然后根据图象得到解集即可；
（3）先求出直线PQ的解析式，然后联立直线PQ与二次函数的解析式，利用根与系数的关系求出中点M的坐标，联立解析式求出交点N的坐标，作，设，根据正切的定义列方程求出t的值解答即可.
1 / 1四川省成都市2025届中考数学试卷
A卷（共100分）
一、单选题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求)
1．（2025·成都）如果某天中午的气温是5℃，傍晚比中午下降了7℃，那么傍晚的气温是（ ）
A．2℃ B．-2℃ C．-5℃ D．-7℃
【答案】B
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：5-7=-2℃，
故答案为：B.
【分析】利用有理数的减法解答即可.
2．（2025·成都）下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A：主视图是长方形，俯视图为圆，不相同；
B：主视图是长方形，俯视图为三角形，不行同；
C：主视图和俯视图都是圆，相同；
D：主视图是三角形，俯视图是带有对角线的平行四边形；
故答案为：C.
【分析】根据从正面和上面看到的几何图形判断即可.
3．（2025·成都）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：不是同类项，不能合并，原计算错误；
B：，原计算错误；
C：，原计算错误；
D： ，计算正确
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式、单项式乘以单项式的运算法则解答即可.
4．（2025·成都）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴点P在第二象限，
故答案为：B.
【分析】根据点的横、纵坐标判断点的位置即可解题.
5．（2025·成都）在第25个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表：
人数
元宇宙 16
脑机接口 a
人形机器人 14
根据图表信息，表中a的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．15
【答案】B
【知识点】统计表；扇形统计图
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】先根据元宇宙的人数除以占比计算考查的总人数，然后用总人数减去元宇宙和人形机器人的人数解答即可.
6．（2025·成都）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设良田为x亩，劣田为y亩， 列方程组为 ，
故答案为：A.
【分析】设良田为x亩，劣田为y亩，根据题意列方程解答即可.
7．（2025·成都）下列命题中，假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直
D．平行四边形的对角线相等
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A： 矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意；
B： 菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意；；
C： 正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意；
D： 平行四边形的对角线平分，原说法是假命题，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的性质逐项判断解答即可.
8．（2025·成都）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（ ）
A．小明家到体育馆的距离为
B．小明在体育馆锻炼的时间为
C．小明家到书店的距离为
D．小明从书店到家步行的时间为
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A：小明家到体育馆的距离为，原说法错误；
B：小明在体育馆锻炼的时间为，原说法错误；
C：小明家到书店的距离为，说法正确；
D：小明从书店到家步行的时间为，原说法错误；
故答案为：C.
【分析】从图象上提取相关信息，逐项判断解答即可.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（2025·成都）若，则的值为 ．
【答案】4
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：4.
【分析】先得到，然后代入计算解答即可.
10．（2025·成都）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为 ．
【答案】3
【知识点】解一元一次方程；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题可得6x-3=15，
解得x=3，
故答案为：3.
【分析】根据程序得到方程6x-3=15，解方程求出x值即可.
11．（2025·成都）正六边形的边长为1，则对角线的长为 ．
【答案】2
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：作正六边形ABCDEF的外接圆，圆心为点O，连接OB、OC、OA、OD，
∵OA=OB=OC=OD，
∴△AOB、△BOC、△COD都是等边三角形，
∵正六边形ABCDEF的边长为1，
∴OA=AB=1，
∵∠AOB+∠BOC+∠COD =180°，
∴点O在AD上，
∴AD=2OA=2，
故答案为： 2.
【分析】作正六边形ABCDEF的外接圆⊙O， 连接OB、OC、OA、OD， ， 则OA=OB=OC=OD，， 所以△AOB、△BOC、△COD都是等边三角形， 则OA=AB=1， 由∠AOB+∠BOC+∠COD =180°， 证明点O在AD上， 则AD=2OA=2， 于是得到问题的答案.进而求出即可.
12．（2025·成都）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）．与电阻R（Ω）之间的函数关系为，则电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而 （填“增大”或“减小”）．
【答案】减小
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵36>0，
∴ 电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而减小，
故答案为：减小.
【分析】根据反比例函数的增减性解答即可.
13．（2025·成都）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-直线、射线、线段；面积及等积变换
【解析】【解答】解：如图，连接AD，CD，
则AD=AB，CD=BC，
∴点A、C在BD的垂直平分线上，
即AC垂直平分BD，
∵，，，
∴，
又∵，
即，
故答案为：.
【分析】连接AD，CD，根据作图可得AC垂直平分BD，然后根据勾股定理求出AC长，然后根据四边形的面积求出BD长即可.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（2025·成都）
（1）计算：．
（2）解不等式组：
【答案】（1）解：
；
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以原不等式组的解集为
【知识点】负整数指数幂；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先运算负整数指数次幂、算术平方根、绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后合并解答即可；
（2）分别解不等式求出不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分即可解题.
15．（2025·成都）某公司需要经常快递物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表：
物品完好度 服务态度 物流时长
平台A 92 m 90
平台B 95 n 88
（1）七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是 ；
（2）求表格中m，n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好；
（3）如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？
【答案】（1）10分
（2）解：，
，
∵，
∴平台A的服务态度更好；
（3）解：平台A的得分分，
平台B的得分分，
∵，
∴该公司会选择平台B．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；极差
【解析】【解答】解（1）极差为分，
故答案为：10分；
【分析】（1）用 对平台A的服务态度评分最大值减去最小值即可解题；
（2）求出两个平台服务态度的平均数，然后比较解答即可；
（3）利用加权平均数的运算方法求出两平台的最终得分，然后比较解答即可.
16．（2025·成都）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为，然后沿方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，）
【答案】解：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米
解：由题意，得：，米，
在中，米；
在中，米；
答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】在和中，利用正切求出AC和AB的值即可解题.
17．（2025·成都）如图，点C在以为直径的半圆O上，连接，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，在上取点E，使，连接，交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求半圆O的半径及的长．
【答案】（1）证明：连接，
则：，
∴，
∵过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设半圆O的半径为，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：半圆O的半径为2；
∴，
连接，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
∴到的距离相等，都等于的长，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OC，即可得到，然后根据切线的性质得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，进而得到，可以得到，根据内错角相等，两直线平行即可得到结论；
（2）设半圆O的半径为，则，根据正弦的定义求出r的值，连接，即可求出AE长，再根据勾股定理求出BE长，利用角平分线的性质得到到的距离相等，都等于的长，
然后根据面积比求出即可解题.
18．（2025·成都）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点为，与x轴的交点为．
（1）求k的值；
（2）直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式；
（3）P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，求点E的坐标．
【答案】（1）解：∵直线与x轴的交点为，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
把代入得：
，解得：，
∴点，
把点代入得：；
（2）解：如图，连接，
由（1）得：反比例函数的解析式为，
∵直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点，
∴点C的坐标为，
∴，
设点D的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴点D的坐标为，
设直线的函数表达式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的函数表达式为
（3）解：设点E的坐标为，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴点P的坐标为，
∴，
∴，
∵的面积为2，
∴，
解得：或，
∴点E的坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式即可；
（2）连接，设点D的坐标为，根据勾股定理求出m值，即可得到点D的坐标，然后利用待定系数法求出直线AD的解析式即可；
（3）设点E的坐标为，求出直线AE的解析式，即可得到点P的坐标，利用△BEP的面积求出t值即可解题.
B卷（共50分）
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（2025·成都）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）．
【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：，
故答案为：4x.
【分析】根据完全平方公式的特征解答即可.
20．（2025·成都）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；概率公式
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
当a=-1，b=1时，，方程有解；
当a=-1，b=2时，，方程有解；
当a=1，b=-1时，，方程无解；
当a=-1，b=2时，，方程有解；
当a=2，b=-1时，，方程无解；
当a=2，b=1时，，方程无解；
故方程有实数根的概率为
故答案为：.
【分析】列举所有a和b的值的情况，得到方程有实数根的结果数，然后利用概率公式计算解题.
21．（2025·成都）如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵ABCD是平行四边形，OA=OC，
∴ABCD是菱形，
∴OA=OB=AB，OC∥AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
又∵OC∥AB，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】先判断ABCD是菱形，即可得到△OAB是等边三角形，OC∥AB，进而得到∠AOB=60°，然后得到解答即可.
22．（2025·成都）如图，在中，，点D在边上，，，，则的值为 ；点E在的延长线上，连接，若，则的长为 ．
【答案】4；
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作 ，垂足分别为H， G， F， 则四边形DFHG为矩形，
为等腰直角三角形，
∴设DF=3x， CH=5x，
则HG =DF =3x， BH =CH =5x，
∴DG = BG = BH +HG=8x，CG=CH-HG=2x，
，
∴在Rt△CGD中， ，
由勾股定理，得
(负值舍去)，
，
∵∠CED=∠ABD， ∠ACB=∠E+∠CDE，∠ABC=∠ABD+∠CBD， ∠ABC=∠ACB，
∴∠CDE =∠CBD=45°，
又∵∠E=∠E，
∴△DEC∽△BED，
，
，
解得：(舍去)或 CE=，
故答案为：4，.
【分析】作AH⊥BC. DG⊥BC. DF⊥AH， 垂足分别为H. G. F， 易得四边形DFHG为矩形， 得到DG= FH， DF=HG， 证明△BDG为等腰直角三角形，得到BG =DG， 三线合一得到BH=CH， ∠ABC=∠ACB， 证明△ADF∽△ACH， 得到设DF=3x， CH =5x， 求出DG， CG的长， 正切的定义求出tan∠ACB，勾股定理求出x的值，进而求出BD的值， 证明△DEC∽△BED， 列出比例式进行求解即可.
23．（2025·成都）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为 ；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ．
【答案】；
【知识点】分式的化简求值-拆项变形法
【解析】【解答】解：解：设，
∴，
∴a>，
当a=4时，b=44，
∴，
设，
∴，
∴，
当m=时，，
∴，
故答案为：，.
【分析】根据新定义运算法则可设，整理得到，即可得到a>，然后令a=4求解即可；类比上面解答过程计算解题.
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
24．（2025·成都）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．
（1）求每个A种挂件的价格；
（2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件．
【答案】（1）解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元．
根据题意，得，
解得，经检验是原方程的解，且符合题意，
答：每个A种挂件的价格为25元；
（2）解：设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件，
由（1）得每个B种挂件的价格为（元），
根据题意，得，
解得，
由于y为正整数，
故该游客最多购买11个A种挂件．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个A种挂件的价格为x元，根据“ 每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个 ”列分式方程解答即可；
（2）设该游客购买y个A种挂件，根据题意列不等式求出y的最大整数解即可.
25．（2025·成都）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点．
（1）【特例感知】
如图1，当时，点在延长线上，求证：；
（2）【问题探究】
在（1）的条件下，若，，求的长；
（3）【拓展延伸】
如图2，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示）
【答案】（1）解：由折叠的性质得：，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴
（3）解：如图，延长交于点，
设，
∵，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴
∵，即
∴
∴即
∴
∵四边形是平行四边形，
∴
又∵折叠，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴即
∴
∵
∴
∴
∴
解得：
∴
又∵
∴
∴
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由折叠可得，根据平行四边形的性质推出，然后根据AAS得到三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，即可得到，进而得到，然后证明，根据对应边成比例解答即可；
（3）延长交于点，设，，即可得到，，求出AD和AB长，然后证明，根据对应边成比例得到DM长，进而得到，，，根据对应边成比例解答即可.
26．（2025·成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围；
（3）过点C与垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线过点，且对称轴为直线，
∴，解得：，
∴
（2）解：当时，则：，
∴当，，当时，，
∴，
∵，
∴顶点坐标在直线上移动，
∵与线段有公共点，
∴联立，整理，得：，
∴当，即：时，满足题意，
将从开始向右移动，直至抛物线与线段只有一个交点为时，与线段均有公共点，
∴当过点时，，
解得：或，
∴当时，抛物线与线段有公共点；
（3）解：存在；
∵，
∴当时，，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴点在抛物线的对称轴上，
∵过点，且与直线垂直，
∴直线的解析式为：，即：，
联立，整理，得：，
∴，，
∵为的中点，
∴，
联立，
同理可得：，
作，
∵平分，
∴
∴，
∴，
设，则：，
解得：
∴抛物线的对称轴上存在，使得总是平分．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—边角关系；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）当时得到二次函数的解析式为，然后联立二次函数和一次函数的解析式，利用根的判别式求出h的值，把点E的坐标代入求出h值，然后根据图象得到解集即可；
（3）先求出直线PQ的解析式，然后联立直线PQ与二次函数的解析式，利用根与系数的关系求出中点M的坐标，联立解析式求出交点N的坐标，作，设，根据正切的定义列方程求出t的值解答即可.
1 / 1
