湖南省永州市冷水滩区京华中学2025年中考二模数学试题
1．（2025·冷水滩模拟）下列四个数中，无理数是（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、是无理数，故本选项符合题意；
C、是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
故答案为：B。
【分析】根据无理数的定义：无理数是指无限不循环的小数，然后再对各个选项逐一分析即可。
2．（2025·冷水滩模拟）端午节是中国的传统节日之一，有着悠久的历史和丰富的文化内涵，如图是某品牌粽子的一种包装盒，它的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：包装盒的主视图为
故答案为：A．
【分析】根据主视图的定义：主视图就是物体由前方向后方做正投影得到的视图，据此即可求解
3．（2025·冷水滩模拟）截止2025年4月2日，电影《哪吒之魔童闹海》全球票房累计约达15492000000元，数据15492000000用科学记数法可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据15492000000用科学记数法表示为．
故选：C．
【分析】
用科学记数法抒一个绝对值较大的数字表示为的形式，其中，n这个数字整数部分数位个数与1的差．
4．（2025·冷水滩模拟）下列运算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】A、因为与不是同类项，不能合并同类项，
∴此选项不符合题意；
B、因为≠-m2n2，
∴此选项不符合题意；
C、因为≠m9，
∴此选项不符合题意；
D、因为，
∴此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】A、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知3m和n不是同类项， 不能合并同类项；
B、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；
C、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
D、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解.
5．（2025·冷水滩模拟）如图，是的中位线，的平分线交于点F，连接并延长交于G，若，，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵是的中位线，
∴，
∵是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：B。
【分析】根据中位线性质求出，，再根据是的平分线 ，可得，易证三角形EFC是等腰三角形，然后再根据等腰三角形的性质与判定求出，再求出的长，据此即可求解
6．（2025·冷水滩模拟）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，即．
故答案为：B．
【分析】根据“ ”，可得，因为DO和OC均是圆的半径，所以，易得，利用三角形的外角的性质得到，而，代入以上等式，即可求出 的值
7．（2025·冷水滩模拟）某餐饮公司为一所学校提供午餐，有 元， 元， 元三种价格的盒饭供师生选择，每人选一份，该校师生某一天购买的这三种价格的盒饭数依次占，，．那么这一天该校师生购买盒饭费用的平均数和中位数分别是（ ）
A． 元， 元 B． 元， 元
C． 元， 元 D． 元， 元
【答案】D
【知识点】加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：平均数；
中位数；
故答案为：D．
【分析】根据加权平均数定义，用分别用三种价格的盒饭价格乘以其对应的占比，然后再进行相加，即可求出平均数；然后再根据中位数的定义，求出中位数即可。
8．（2025·冷水滩模拟）如果点在平面直角坐标系的第三象限内，那么的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系的第三象限内，
∴，
解得：，
在数轴上表示为：
故答案为：D．
【分析】点P是第三象限的坐标，根据第三象限x和y的坐标符号：x<0，y<0，令-x<0，x-3<0，联合建立不等式组，然后解不等式组，最后再取这两个不等式组的公共部分即可求解
9．（2025·冷水滩模拟）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ）．
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：令抛物线y=ax2-a中的y=0，
得ax2-a=0，
∵a≠0，
∴x2-1=0，
解得x=±1，
∴抛物线y=ax2-a与x轴交点坐标为（1，0）与（-1，0），
令抛物线y=ax2-a中的x=0，得y=-a，
∴抛物线的顶点坐标为（0，-a），
当a＞0，k＞0时，其图象大致为
由图象可得x1＞1，-1＜x2＜0，∴x1+x2＞0，故此种情况不成立；
当a＞0，k＜0时，其图象大致为
由图象可得0＜x1＜1，x2＜-1，∴x1+x2＜0，此时直线y=ax+k过一、三、四象限；
当a＜0，k＞0时，其图象大致为：
由图象可得0＜x1＜1，x2＜-1，∴x1+x2＜0，此时直线y=ax+k过一、二、四象限；
当a＜0，k＜0时，其图象大致为：
由图象可得x1＞1，-1＜x2＜0，∴x1+x2＞0，故此种情况不成立；
综上直线y=ax+k的图象一定经过第一、四象限.
故答案为：D.
【分析】首先求出抛物线y=ax2-a与x轴两交点的坐标及顶点坐标，然后分当a＞0，k＞0时，当a＞0，k＜0时，当a＜0，k＞0时，当a＜0，k＜0时，四种情况画出大致图象，找出两交点横坐标的取值范围，进而根据x1+x2＜0进行一一验证，得出符合题意的a、k的取值，最后根据一次函数的图象与系数的关系可得直线y=ax+k所经过的象限，即可得出答案.
10．（2025·冷水滩模拟）如图①，将一个正方形纸片沿虚线对折两次，得到图②，按照图②所示剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，展开后得到一个如图③所示的正八边形，将剪下的四个等腰直角三角形拼成一个正方形，放在正八边形内部，与重合，L为的中点，连接．将正方形绕点A顺时针旋转与重合，此时的长为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；多边形内角与外角；菱形的判定与性质；正方形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意，，，
如图所示，连接，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形，
∴，
设正方形对角的交点为，则，
∴正方形的边长为，
∴，
∵，，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
故答案为：B ．
【分析】根据八边形的内角和公式，代入数据，求出八边形一个内角的度数，连接KF，，代入数据，求出的度数，进而 ，由此可得 ，确定可证明 四边形是平行四边，然后再进一步证明四边形是菱形，可求出正方形的边长为，由勾股定理可得，即可求解．
11．（2025·冷水滩模拟）因式分解： = ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=(a+2b)(a-2b) ．
【分析】利用因式分解法解题即可。
12．（2025·冷水滩模拟）不透明袋子中装有7个球，其中有5个绿球、2个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意，从装有7个球的不透明袋子中，随机取出1个球，则它是红球的概率为，
故答案为：
【分析】袋子里一共有5个绿球和2个红球，所以一共有7个球，红球有2个，根据概率的公式：，代入数据即可求解
13．（2025·冷水滩模拟）计算： ．
【答案】3
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：．
【分析】根据负指数幂、绝对值、三次根式的求解方法，分别对，和进行运算，再对特殊角的三角函数进行运算，最后再将以上各个数进行相加减即可
14．（2025·冷水滩模拟）一元二次方程 配方为 ，则k的值是 .
【答案】1
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴
故答案为：1.
【分析】先将常数项移到方程的右边，再在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方“4”，将左边写成完全平方式，即可求出k值.
15．（2025·冷水滩模拟）分式方程的解为 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以（）得
，
解得：，
检验：当时，
，
故原方程的解为．
故答案为：
【分析】根据等式的基本性质：等式两边同时乘以（x-1），将方程化为 ，然后再去括号，移项，合并同类项，再将系数化为1，即可求解，因为分式的分母不等于0，所以将x的值代入x-1，看是不是不等于0，即可求解
16．（2025·冷水滩模拟）已知扇形半径长为，扇形的弧所对的圆心角度数为，则该扇形的面积为 ．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：扇形的面积．
故答案为：．
【分析】根据扇形的面积公式：，代入数据即可求解
17．（2025·冷水滩模拟）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为 ．
【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质；反比例函数的两点和原点型
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
设点的坐标为，
∵矩形的对称中心，
∴延长恰好经过点，
∵点在上，且，
∴，
∴，
∴，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：4。
【分析】设B点的坐标为，根据矩形对称中心的性质得出延长OM恰好经过点)，从而确定，根据D点在反比例函数的图象上，可得出 ，从而得出，然后将代入数据即可求解。
18．（2025·冷水滩模拟）我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点、、、分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的弦的长为 ．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题；圆周角定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连接，，
抛物线的解析式为，
点的坐标为，
的长为，
设，则，
解得：或，
，
，，
为半圆的直径，
，
，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
故答案为：。
【分析】连接，，由抛物线的解析式可先求出C点坐标，然后再令y=0，求出，的坐标，即可求出，，的长，再根据AB为半圆的直径，求出， 再结合，易证 ，然后再根据相似的性质，得出其占比，进而求出CO的长，进而可求出的长。
19．（2025·冷水滩模拟）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
．
将，代入可得，
原式。
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先对括号里面的分式进行通分运算，然后再将除法换算成乘法，再进行约分化简，最后再将a和b的值代入即可求解
20．（2025·冷水滩模拟）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为，，，先以原点O为位似中心在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为，然后再把绕原点O逆时针旋转得到．画出，画出，并直接写出点的坐标；
【答案】解：如图，
、为所求作，
．
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【分析】根据绕原点O逆时针旋转得到和A、B和C三点的坐标，分别求出、和的坐标，然后再将这三个点连接起来即可得到 ；因为： =2：1，用A、B和C三个点的横纵坐标分别乘以2，求出、和的坐标，然后再根据绕原点O逆时针旋转，求出旋转后的、和的坐标，最后再将、和连起来即可
21．（2025·冷水滩模拟）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之间”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人；
（3）甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．
【答案】（1）解：总人数为（人）
∴选择大学的人数为，补全统计图如图所示，
（2）；．
（3）解：列表如下，
甲
乙
共有9种等可能结果，其中有3种符合题意，
∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为，
选择A大学的大约有（人）
故答案为：；．
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用选择C大学的人数除以其占比得到本次调查的总人数，根据选择各所大学的人数之和等于本次调查的总人数求得选择B大学的人数，从而可补全统计图；
（2）根据选择D大学的占比乘以360°得到D所在扇形圆心角的度数，用该市参加本次活动的中学生总人数乘以选择A大学的人数的占比即可求解；
（3）此题是抽取放回类型，用列表法列举出所有等可能的情况数，从表格可知共有9种等可能结果，其中两人选择同一所大学的情况数有3种，从而根据概率公式计算即可.
22．（2025·冷水滩模拟）如图，菱形的边长为2，，E，F分别是边上的两个动点且满足．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）设的面积为S，求S的取值范围．
【答案】（1）解：等边三角形，证明如下：
∵菱形的边长为2，
∴，
∵，
∴和都为等边三角形．
∴，．
∵，又，
∴．
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴是等边三角形；
（2）解：如图，过点B作于点G，
∵是等边三角形，
∴可设，则，
∴，
∴，
当时，取最小值，此时，
∴，
此时；
当与重合时，取最大值为2，；
∴．
【知识点】二次根式的性质与化简；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质：对角线平分对角，以及根据BD=2和ABCD的边长为2，即可推出和都为等边三角形，继而得到；根据和，推出，易证，由此可得，，据此即可证明；
（2）过点B作于点G，设，根据等边三角形的性质以及勾股定理可得，再利用三角形的面积公式，求出，然后根据取得最小值和当与重合时，x取得最大值，据此即可求出x的范围
（1）解：等边三角形，证明如下：
∵菱形的边长为2，
∴，
∵，
∴和都为等边三角形．
∴，．
∵，又，
∴．
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴是等边三角形；
（2）解：如图，过点B作于点G，
∵是等边三角形，
∴可设，则，
∴，
∴，
当时，取最小值，此时，
∴，
此时；
当与重合时，取最大值为2，；
∴．
23．（2025·冷水滩模拟）五一期间，大润发商场新上市了一款童装，进价每件80元，现以每件120元销售，每天可售出20件，在试销售阶段发现，若每件童装降价1元，那么每天就可多售2件，设每件童装单价降价了x元．
（1）请写出每天销售该款童装的利润y（元）与每件童装降价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每件童装销售单价定为多少元时，商场每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：由题意，得
∴y与x的函数关系式为：；
（2）解：由（1）知，
∵，
∴当时，销售单价定价为元时，
商场每天可获得最大利润元．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据利润=售价-进价，求出每件降价x后的利润，再乘以每件降价x元后，销量增加的总数量，据此即可列式
（2）由（1）的关系式，对该关系式进行配方，然后再根据二次函数的二次项系数的特点，求出x的最小值，进而求出最大利润值
（1）解：由题意，得
∴y与x的函数关系式为；
（2）由（1）知，
∵，
∴当时，销售单价定价为元时，商场每天可获得最大利润元．
24．（2025·冷水滩模拟）如图①是某型号家用轿车后备箱开启侧面示意图，将其简化成如图②所示模型，其中，，箱盖开启过程中，点B，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别至点，的位置，且点在线段的延长线上，．
（1）求旋转角的度数；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）解：由旋转得，，
∵，
∴．
∵，
∴在四边形中，
；
（2）解：如图，过点A作于点P，过点作于点H．
∵，
∴．
在中，
∴．
∴．
∴．
由（1）知，，即，
∵，
∴，
由旋转，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
∴，
∴．
所以，的长度为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，可得，，再利用，可知，进而得到，最后再利用四边形内角和定理求解即可
（2）过点A作于点P，过点作于点H．在中，利用三角函数的定义：，代入数据求出AP的值然后再利用勾股定理求出，BP的值，由（1）证明，进而推出，然后再根据旋转的性质，可得，求得，再根据，推出是矩形，据此即可求解
（1）解：由旋转得，，
∵，
∴．
∵，
∴在四边形中，；
（2）解：如图，过点A作于点P，过点作于点H．
∵，
∴．
在中，
∴．
∴．
∴．
由（1）知，，即，
∵，
∴，
由旋转，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
∴，
∴．
所以，的长度为．
25．（2025·冷水滩模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AD，交AB于点E，AE为⊙O的直径．
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）求证：△ABD∽△DBE；
（3）若cosB=，AE=4，求CD．
【答案】解：（1）结论：BC与⊙O相切．
证明：如图连接OD．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∵AC⊥BC，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
证明：（2）∵BC是⊙O切线，
∴∠ODB=90°，
∴∠BDE+∠ODE=90°，
∵AE是直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠DAE+∠AED=90°，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠BDE=∠DAB，
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△DBE．
解：（3）在Rt△ODB中，
∵cosB==，
设BD=k，OB=3k，
∵OD2+BD2=OB2，
∴4+8k2=9k2，
∴k=2，
∴BO=6，BD=，
∵DO∥AC，
∴，
∴，
∴CD=．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【解答】（1）结论：BC与⊙O相切，连接OD，因为OA和OD都是圆的半径，OA=OD，从而得到∠OAD=∠ODA；又根据AD是∠BAC的平分线，可得∠CAD=∠DAB，进而得到∠CAD=∠ADO；又根据∠C=90°，即可证明OD∥AC
（2）根据切线的性质，可得∠ODB=90°，进而得到∠BDE+∠ODE=90°；又根据AE是直径，可得∠ADE=90°；易证∠ODE=∠OED，据此即可证明△ABD∽△DBE
（3）在Rt△ODB中，根据三角函数的定义，可得cosB==，设BD=k，OB=3k，利用勾股定理列出方程：OD2+BD2=OB2，再利用DO∥AC，得，最后再解方程即可
26．（2025·冷水滩模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：令，则，解得，
令，则，
∴，，
把，代入，
得，
解得，
∴抛物线所对应的函数表达式为；
（2）解：存在，理由如下，根据题意，设点，
∵和相似，，
∴分类讨论：或，
①如图所示，当时，，
∴，
∴点纵坐标为，
∴，
解得或，
∴；
②如图所示，当时，，
过作于点，则，，，，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去）或，
∴，
∴，
综上所述，点的坐标为或
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）分别令y=0和x=0，求出A和B的坐标，然后再将A和B的坐标代入 ，利用待定系数法，即可求出二次函数的解析式
（2）先假设存在，然后再根据题意，设点，分类讨论：①如图所示，当时，，建立关于t的方程，然后再根据D点位于第一象限中x和y的特点：x>0，y>0，然后再对t的结果进行取舍，即可求出点的坐标；②如图所示，当时，，过作于点，则，，；同样根据D点位于第一象限中x和y的特点：x>0，y>0，然后再进行取舍即即可求解
（1）解：令，则，
解得，
令，则，
∴，，
把，代入，
得，
解得，
∴抛物线所对应的函数表达式为；
（2）解：存在，理由如下，
根据题意，设点，
∵和相似，，
∴分类讨论：或，
①如图所示，当时，，
∴，
∴点纵坐标为，
∴，
解得或，
∴；
②如图所示，当时，，
过作于点，则，，，，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去）或，
∴，
∴，
综上所述，点的坐标为或．
1 / 1湖南省永州市冷水滩区京华中学2025年中考二模数学试题
1．（2025·冷水滩模拟）下列四个数中，无理数是（ ）
A．0 B． C． D．1
2．（2025·冷水滩模拟）端午节是中国的传统节日之一，有着悠久的历史和丰富的文化内涵，如图是某品牌粽子的一种包装盒，它的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·冷水滩模拟）截止2025年4月2日，电影《哪吒之魔童闹海》全球票房累计约达15492000000元，数据15492000000用科学记数法可表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·冷水滩模拟）下列运算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2025·冷水滩模拟）如图，是的中位线，的平分线交于点F，连接并延长交于G，若，，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（2025·冷水滩模拟）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·冷水滩模拟）某餐饮公司为一所学校提供午餐，有 元， 元， 元三种价格的盒饭供师生选择，每人选一份，该校师生某一天购买的这三种价格的盒饭数依次占，，．那么这一天该校师生购买盒饭费用的平均数和中位数分别是（ ）
A． 元， 元 B． 元， 元
C． 元， 元 D． 元， 元
8．（2025·冷水滩模拟）如果点在平面直角坐标系的第三象限内，那么的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·冷水滩模拟）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ）．
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
10．（2025·冷水滩模拟）如图①，将一个正方形纸片沿虚线对折两次，得到图②，按照图②所示剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，展开后得到一个如图③所示的正八边形，将剪下的四个等腰直角三角形拼成一个正方形，放在正八边形内部，与重合，L为的中点，连接．将正方形绕点A顺时针旋转与重合，此时的长为（ ）
A．3 B． C． D．
11．（2025·冷水滩模拟）因式分解： = ．
12．（2025·冷水滩模拟）不透明袋子中装有7个球，其中有5个绿球、2个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为 ．
13．（2025·冷水滩模拟）计算： ．
14．（2025·冷水滩模拟）一元二次方程 配方为 ，则k的值是 .
15．（2025·冷水滩模拟）分式方程的解为 ．
16．（2025·冷水滩模拟）已知扇形半径长为，扇形的弧所对的圆心角度数为，则该扇形的面积为 ．
17．（2025·冷水滩模拟）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为 ．
18．（2025·冷水滩模拟）我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点、、、分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的弦的长为 ．
19．（2025·冷水滩模拟）先化简，再求值：，其中，．
20．（2025·冷水滩模拟）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为，，，先以原点O为位似中心在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为，然后再把绕原点O逆时针旋转得到．画出，画出，并直接写出点的坐标；
21．（2025·冷水滩模拟）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之间”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人；
（3）甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．
22．（2025·冷水滩模拟）如图，菱形的边长为2，，E，F分别是边上的两个动点且满足．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）设的面积为S，求S的取值范围．
23．（2025·冷水滩模拟）五一期间，大润发商场新上市了一款童装，进价每件80元，现以每件120元销售，每天可售出20件，在试销售阶段发现，若每件童装降价1元，那么每天就可多售2件，设每件童装单价降价了x元．
（1）请写出每天销售该款童装的利润y（元）与每件童装降价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每件童装销售单价定为多少元时，商场每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
24．（2025·冷水滩模拟）如图①是某型号家用轿车后备箱开启侧面示意图，将其简化成如图②所示模型，其中，，箱盖开启过程中，点B，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别至点，的位置，且点在线段的延长线上，．
（1）求旋转角的度数；
（2）若，求的长度．
25．（2025·冷水滩模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AD，交AB于点E，AE为⊙O的直径．
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）求证：△ABD∽△DBE；
（3）若cosB=，AE=4，求CD．
26．（2025·冷水滩模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、是无理数，故本选项符合题意；
C、是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
故答案为：B。
【分析】根据无理数的定义：无理数是指无限不循环的小数，然后再对各个选项逐一分析即可。
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：包装盒的主视图为
故答案为：A．
【分析】根据主视图的定义：主视图就是物体由前方向后方做正投影得到的视图，据此即可求解
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据15492000000用科学记数法表示为．
故选：C．
【分析】
用科学记数法抒一个绝对值较大的数字表示为的形式，其中，n这个数字整数部分数位个数与1的差．
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】A、因为与不是同类项，不能合并同类项，
∴此选项不符合题意；
B、因为≠-m2n2，
∴此选项不符合题意；
C、因为≠m9，
∴此选项不符合题意；
D、因为，
∴此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】A、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知3m和n不是同类项， 不能合并同类项；
B、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；
C、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
D、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解.
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵是的中位线，
∴，
∵是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：B。
【分析】根据中位线性质求出，，再根据是的平分线 ，可得，易证三角形EFC是等腰三角形，然后再根据等腰三角形的性质与判定求出，再求出的长，据此即可求解
6．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，即．
故答案为：B．
【分析】根据“ ”，可得，因为DO和OC均是圆的半径，所以，易得，利用三角形的外角的性质得到，而，代入以上等式，即可求出 的值
7．【答案】D
【知识点】加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：平均数；
中位数；
故答案为：D．
【分析】根据加权平均数定义，用分别用三种价格的盒饭价格乘以其对应的占比，然后再进行相加，即可求出平均数；然后再根据中位数的定义，求出中位数即可。
8．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系的第三象限内，
∴，
解得：，
在数轴上表示为：
故答案为：D．
【分析】点P是第三象限的坐标，根据第三象限x和y的坐标符号：x<0，y<0，令-x<0，x-3<0，联合建立不等式组，然后解不等式组，最后再取这两个不等式组的公共部分即可求解
9．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：令抛物线y=ax2-a中的y=0，
得ax2-a=0，
∵a≠0，
∴x2-1=0，
解得x=±1，
∴抛物线y=ax2-a与x轴交点坐标为（1，0）与（-1，0），
令抛物线y=ax2-a中的x=0，得y=-a，
∴抛物线的顶点坐标为（0，-a），
当a＞0，k＞0时，其图象大致为
由图象可得x1＞1，-1＜x2＜0，∴x1+x2＞0，故此种情况不成立；
当a＞0，k＜0时，其图象大致为
由图象可得0＜x1＜1，x2＜-1，∴x1+x2＜0，此时直线y=ax+k过一、三、四象限；
当a＜0，k＞0时，其图象大致为：
由图象可得0＜x1＜1，x2＜-1，∴x1+x2＜0，此时直线y=ax+k过一、二、四象限；
当a＜0，k＜0时，其图象大致为：
由图象可得x1＞1，-1＜x2＜0，∴x1+x2＞0，故此种情况不成立；
综上直线y=ax+k的图象一定经过第一、四象限.
故答案为：D.
【分析】首先求出抛物线y=ax2-a与x轴两交点的坐标及顶点坐标，然后分当a＞0，k＞0时，当a＞0，k＜0时，当a＜0，k＞0时，当a＜0，k＜0时，四种情况画出大致图象，找出两交点横坐标的取值范围，进而根据x1+x2＜0进行一一验证，得出符合题意的a、k的取值，最后根据一次函数的图象与系数的关系可得直线y=ax+k所经过的象限，即可得出答案.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；多边形内角与外角；菱形的判定与性质；正方形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意，，，
如图所示，连接，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形，
∴，
设正方形对角的交点为，则，
∴正方形的边长为，
∴，
∵，，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
故答案为：B ．
【分析】根据八边形的内角和公式，代入数据，求出八边形一个内角的度数，连接KF，，代入数据，求出的度数，进而 ，由此可得 ，确定可证明 四边形是平行四边，然后再进一步证明四边形是菱形，可求出正方形的边长为，由勾股定理可得，即可求解．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=(a+2b)(a-2b) ．
【分析】利用因式分解法解题即可。
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意，从装有7个球的不透明袋子中，随机取出1个球，则它是红球的概率为，
故答案为：
【分析】袋子里一共有5个绿球和2个红球，所以一共有7个球，红球有2个，根据概率的公式：，代入数据即可求解
13．【答案】3
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：．
【分析】根据负指数幂、绝对值、三次根式的求解方法，分别对，和进行运算，再对特殊角的三角函数进行运算，最后再将以上各个数进行相加减即可
14．【答案】1
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴
故答案为：1.
【分析】先将常数项移到方程的右边，再在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方“4”，将左边写成完全平方式，即可求出k值.
15．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以（）得
，
解得：，
检验：当时，
，
故原方程的解为．
故答案为：
【分析】根据等式的基本性质：等式两边同时乘以（x-1），将方程化为 ，然后再去括号，移项，合并同类项，再将系数化为1，即可求解，因为分式的分母不等于0，所以将x的值代入x-1，看是不是不等于0，即可求解
16．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：扇形的面积．
故答案为：．
【分析】根据扇形的面积公式：，代入数据即可求解
17．【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质；反比例函数的两点和原点型
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
设点的坐标为，
∵矩形的对称中心，
∴延长恰好经过点，
∵点在上，且，
∴，
∴，
∴，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：4。
【分析】设B点的坐标为，根据矩形对称中心的性质得出延长OM恰好经过点)，从而确定，根据D点在反比例函数的图象上，可得出 ，从而得出，然后将代入数据即可求解。
18．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题；圆周角定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连接，，
抛物线的解析式为，
点的坐标为，
的长为，
设，则，
解得：或，
，
，，
为半圆的直径，
，
，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
故答案为：。
【分析】连接，，由抛物线的解析式可先求出C点坐标，然后再令y=0，求出，的坐标，即可求出，，的长，再根据AB为半圆的直径，求出， 再结合，易证 ，然后再根据相似的性质，得出其占比，进而求出CO的长，进而可求出的长。
19．【答案】解：
．
将，代入可得，
原式。
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先对括号里面的分式进行通分运算，然后再将除法换算成乘法，再进行约分化简，最后再将a和b的值代入即可求解
20．【答案】解：如图，
、为所求作，
．
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【分析】根据绕原点O逆时针旋转得到和A、B和C三点的坐标，分别求出、和的坐标，然后再将这三个点连接起来即可得到 ；因为： =2：1，用A、B和C三个点的横纵坐标分别乘以2，求出、和的坐标，然后再根据绕原点O逆时针旋转，求出旋转后的、和的坐标，最后再将、和连起来即可
21．【答案】（1）解：总人数为（人）
∴选择大学的人数为，补全统计图如图所示，
（2）；．
（3）解：列表如下，
甲
乙
共有9种等可能结果，其中有3种符合题意，
∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为，
选择A大学的大约有（人）
故答案为：；．
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用选择C大学的人数除以其占比得到本次调查的总人数，根据选择各所大学的人数之和等于本次调查的总人数求得选择B大学的人数，从而可补全统计图；
（2）根据选择D大学的占比乘以360°得到D所在扇形圆心角的度数，用该市参加本次活动的中学生总人数乘以选择A大学的人数的占比即可求解；
（3）此题是抽取放回类型，用列表法列举出所有等可能的情况数，从表格可知共有9种等可能结果，其中两人选择同一所大学的情况数有3种，从而根据概率公式计算即可.
22．【答案】（1）解：等边三角形，证明如下：
∵菱形的边长为2，
∴，
∵，
∴和都为等边三角形．
∴，．
∵，又，
∴．
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴是等边三角形；
（2）解：如图，过点B作于点G，
∵是等边三角形，
∴可设，则，
∴，
∴，
当时，取最小值，此时，
∴，
此时；
当与重合时，取最大值为2，；
∴．
【知识点】二次根式的性质与化简；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质：对角线平分对角，以及根据BD=2和ABCD的边长为2，即可推出和都为等边三角形，继而得到；根据和，推出，易证，由此可得，，据此即可证明；
（2）过点B作于点G，设，根据等边三角形的性质以及勾股定理可得，再利用三角形的面积公式，求出，然后根据取得最小值和当与重合时，x取得最大值，据此即可求出x的范围
（1）解：等边三角形，证明如下：
∵菱形的边长为2，
∴，
∵，
∴和都为等边三角形．
∴，．
∵，又，
∴．
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴是等边三角形；
（2）解：如图，过点B作于点G，
∵是等边三角形，
∴可设，则，
∴，
∴，
当时，取最小值，此时，
∴，
此时；
当与重合时，取最大值为2，；
∴．
23．【答案】（1）解：由题意，得
∴y与x的函数关系式为：；
（2）解：由（1）知，
∵，
∴当时，销售单价定价为元时，
商场每天可获得最大利润元．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据利润=售价-进价，求出每件降价x后的利润，再乘以每件降价x元后，销量增加的总数量，据此即可列式
（2）由（1）的关系式，对该关系式进行配方，然后再根据二次函数的二次项系数的特点，求出x的最小值，进而求出最大利润值
（1）解：由题意，得
∴y与x的函数关系式为；
（2）由（1）知，
∵，
∴当时，销售单价定价为元时，商场每天可获得最大利润元．
24．【答案】（1）解：由旋转得，，
∵，
∴．
∵，
∴在四边形中，
；
（2）解：如图，过点A作于点P，过点作于点H．
∵，
∴．
在中，
∴．
∴．
∴．
由（1）知，，即，
∵，
∴，
由旋转，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
∴，
∴．
所以，的长度为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，可得，，再利用，可知，进而得到，最后再利用四边形内角和定理求解即可
（2）过点A作于点P，过点作于点H．在中，利用三角函数的定义：，代入数据求出AP的值然后再利用勾股定理求出，BP的值，由（1）证明，进而推出，然后再根据旋转的性质，可得，求得，再根据，推出是矩形，据此即可求解
（1）解：由旋转得，，
∵，
∴．
∵，
∴在四边形中，；
（2）解：如图，过点A作于点P，过点作于点H．
∵，
∴．
在中，
∴．
∴．
∴．
由（1）知，，即，
∵，
∴，
由旋转，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
∴，
∴．
所以，的长度为．
25．【答案】解：（1）结论：BC与⊙O相切．
证明：如图连接OD．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∵AC⊥BC，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
证明：（2）∵BC是⊙O切线，
∴∠ODB=90°，
∴∠BDE+∠ODE=90°，
∵AE是直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠DAE+∠AED=90°，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠BDE=∠DAB，
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△DBE．
解：（3）在Rt△ODB中，
∵cosB==，
设BD=k，OB=3k，
∵OD2+BD2=OB2，
∴4+8k2=9k2，
∴k=2，
∴BO=6，BD=，
∵DO∥AC，
∴，
∴，
∴CD=．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【解答】（1）结论：BC与⊙O相切，连接OD，因为OA和OD都是圆的半径，OA=OD，从而得到∠OAD=∠ODA；又根据AD是∠BAC的平分线，可得∠CAD=∠DAB，进而得到∠CAD=∠ADO；又根据∠C=90°，即可证明OD∥AC
（2）根据切线的性质，可得∠ODB=90°，进而得到∠BDE+∠ODE=90°；又根据AE是直径，可得∠ADE=90°；易证∠ODE=∠OED，据此即可证明△ABD∽△DBE
（3）在Rt△ODB中，根据三角函数的定义，可得cosB==，设BD=k，OB=3k，利用勾股定理列出方程：OD2+BD2=OB2，再利用DO∥AC，得，最后再解方程即可
26．【答案】（1）解：令，则，解得，
令，则，
∴，，
把，代入，
得，
解得，
∴抛物线所对应的函数表达式为；
（2）解：存在，理由如下，根据题意，设点，
∵和相似，，
∴分类讨论：或，
①如图所示，当时，，
∴，
∴点纵坐标为，
∴，
解得或，
∴；
②如图所示，当时，，
过作于点，则，，，，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去）或，
∴，
∴，
综上所述，点的坐标为或
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）分别令y=0和x=0，求出A和B的坐标，然后再将A和B的坐标代入 ，利用待定系数法，即可求出二次函数的解析式
（2）先假设存在，然后再根据题意，设点，分类讨论：①如图所示，当时，，建立关于t的方程，然后再根据D点位于第一象限中x和y的特点：x>0，y>0，然后再对t的结果进行取舍，即可求出点的坐标；②如图所示，当时，，过作于点，则，，；同样根据D点位于第一象限中x和y的特点：x>0，y>0，然后再进行取舍即即可求解
（1）解：令，则，
解得，
令，则，
∴，，
把，代入，
得，
解得，
∴抛物线所对应的函数表达式为；
（2）解：存在，理由如下，
根据题意，设点，
∵和相似，，
∴分类讨论：或，
①如图所示，当时，，
∴，
∴点纵坐标为，
∴，
解得或，
∴；
②如图所示，当时，，
过作于点，则，，，，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去）或，
∴，
∴，
综上所述，点的坐标为或．
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