湖北省云学名校联盟2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷（含解析）

湖北省云学名校联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．记等差数列的前项和为.若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列有关排列数 组合数的计算，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及其以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一高二高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（ ）
A． B． C． D．
4．若的展开式中的系数为，则（ ）
A． B． C． D．
5．“灵秀湖北梦，大道武当山”，年“五一”长假来临之际，甲 乙 丙 丁、戊五位同学决定一起游览“祈福圣地”——武当山.到武当山的顾客，一般都会选择金顶、太子坡、南岩宫这三个地方游览，如果在5月1日上午8：00~9：00之间，他们每人只能去一个地方，金顶一定有人去，则不同游览方案的种数为（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；，设第次“美好成长”后得到的数列为，记，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．数列的通项公式为
二、多选题
9．近些年在全世界范围内，气温升高是十分显著的，世界气象组织预测2025年到2029年间，有93%的概率平均气温会超过2020年，达到历史上最高气温纪录.某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会，现有10名学生，其中6名男生4名女生，若从中选取4名学生参加研讨会，则下列说法正确的是（ ）
A．选取的4名学生都是男生的不同选法共有15种
B．选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有360种
C．选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有195种
D．选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种
10．设正项等比数列的公比为，前项和为，前项的积为，并且满足，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．没有最大值
11．已知函数，对于不相等的实数设，，现有如下四个结论，其中正确的选项是（ ）
A．对于任意不相等的实数都有
B．当时，函数恰有3个零点
C．对于任意的实数，存在不相等的实数，使得
D．对于任意不相等的正实数，都有
三、填空题
12．函数f(x)＝x＋xln x在(1，1)处的切线方程为 .
13．化简 .
14．已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上第一象限内的动点，设，当时， ；当时，则 .
四、解答题
15．已知函数.
(1)当时，数列满足，记数列前项和为，则当取得最小值时，求的值；
(2)当时，数列满足，，若数列是公差的等差数列，求的值.
16．已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若函数在上的最小值为，求实数的值.
17．已知数列满足，数列满足.
(1)求数列的前项和；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
18．已知，两点在椭圆上，直线交椭圆于两点（均不与点重合），过作直线的垂线，垂足为.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线，的斜率分别为，当时，
①求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
②求的最小值.
19．已知函数.
(1)若恒成立，求实数的值；
(2)当时，方程有两个不同的根，分别为.
①求实数的取值范围；
②求证：.
湖北省云学名校联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C B B D B C AC ABD
题号 11
答案 BCD
1．A
【详解】由题知．
故选：A．
2．D
【详解】对于A，∵，∴A不正确；
对于B，，，故B不正确；
对于C，由组合数性质可得，故C不正确；
对于D，由组合数性质可知，故D正确．
故选：D．
3．C
【详解】根据全概率公式可得:
.
故选：C．
4．B
【详解】因为展开式的通项公式为，
令，得；令，得．
所以的展开式中的系数为，解得．
故选：B．
5．B
【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学决定在8:00~9:00去金顶、太子坡、南岩宫游玩，
且每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则5人一共有种情况，
若金顶没人去，即五位同学选择了太子坡、南岩宫，
每人有2种选择方法，则5人一共有种情况，
故金顶一定要有人去有种情况．
故选：B．
6．D
【详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知．
如图，设于点，则，
由图可知，当三点共线，且在中间时，取得最小值．
由抛物线，得，
所以的最小值即点到直线的距离，为．
故选：D ．

7．B
【详解】根据题意可令，
所以在上单调递增，则原不等式等价于，
由，解之得．
故选：B．
8．C
【详解】对A选项，根据题意可得：，A选项正确；
对B选项，设每次插入项的个数构成数列，则，
数列是以首项为1，公比为2的等比数列，
数列的前项和即为，，B选项正确；
对C选项，
，C选项错误；
对D选项，由B选项分析可得，又，
，又，
是以首项为，公比为3的等比数列，
，D选项正确．
故选：C．
9．AC
【详解】选取的4名学生都是男生的不同选法共有种，故A正确；
恰有2名女生的不同选法共有种，故B错误；
至少有1名女生的不同选法共有种，故C正确；
选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有种，故D错误.
故选：AC．
10．ABD
【详解】因为，所以或，即或
若，又，，又,，所以，符合题意，
若，又，则，又，则，与矛盾，不符合题意，
所以没有最大值，所以A、D正确，
因为前项均小于1，从项起均大于1，所以无最大值，故C错误；
又由，所以B正确．
故选：ABD．
11．BCD
【详解】对于A，因为在上是先减后增的函数，在对称轴左边的两点连线斜率为负数，
所以对于不相等的实数不恒成立，故A错误；
对于B，当时，令，
则，
令，又为增函数，
所以当时，，当时，，
所以即在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以存在；两个零点，
所以当时，，当时，，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
又，
所以当时，函数恰好有3个零点，故B正确；
对于C，由，得，即，
令，
则，在上单调递增，
当时，，当时，，
即必唯一有零点，
即存在满足使得当时，；当时，；
所以先减后增，即存在不相等的实数使 即，故C正确．
对于D，
又：，
当且仅当时等号成立，
所以对于任意不相等的正实数都有，故D正确．
故选：BCD．
12．
【详解】，则，
则函数在点处的切线方程为：
故答案为：
13．
【详解】.
故答案为：．
14． /
【详解】
（1）当时，双曲线方程为：由于点在双曲线上，设点，
，．
．
（2）在中，由正弦定理：
，，
，
，
由（1）可得：，
.
故答案为： ；．
15．(1)
(2)
【详解】（1）当时，，令．
故：，当时，；当时，．
故：当时，数列前项和取得最小值．
（2）解法一：当时，，
．
因为数列是公差为等差数列，
所以：不为常数，
故：的值为．
解法二：由解法一知：，，可得：，．
因为数列是公差为等差数列
解得：或．
检验：当时，，故：满足条件；
当时，，
，此时：，
故：为常数数列，不满足条件．
综上：的值为．
16．(1)极大值，极小值
(2)
【详解】（1）当时，，．
令，
同理：或
所以：在单调递增，在单调递减，在单调递增．
当时，取得极大值；
当时，取得极小值．
（2）解法一：由题：，．
①当时，，在单调递增，．
②当时，，在单调递减，．
③当时，在单调递增，在单调递减．
此时：不合题意．
④当时，，在单调递增，．
综上：的值为．
解法二：由题：，．
①当时，，在单调递增，．
②当时，由于，在上的最小值小于，与题目矛盾，故不成立；
综上：的值为．
解法三：由题：，．
由题：的最小值为，则必有：．
当时，，在单调递增，
．
故：的值为．
17．(1)；
(2).
【详解】（1）依题意，，
则，令，
于是，
两式相减得：，
则，所以.
（2）由（1）得，
整理得，令，显然，，
当时，，当时，，于是，
因此，，则，
所以的取值范围是.
18．(1)
(2)①证明见解析，；②1
【详解】（1）由题意可得，
所以椭圆的标准方程为：．
（2）解法一：①由条件，可知直线的斜率存在，
设直线，，，
联立方程组：，
其中（▲），
所以，，
由条件，即，
由于直线不过点，故，
化简可得，
所以
，
代入（▲）式，，此时直线恒过定点．
②因为，所以点在以为直径的圆上，圆心为，半径为，

所以，此时的坐标为，的斜率，满足条件．
故的最小值为．
解法二：①设，，由条件，即（★），
由点在椭圆上，则有，
即①，同理可得② ，
①②可得：
代入（★）式可得：，
即，
变形可得．所以直线恒过定点．
②解法同一.
19．(1)
(2)①；②证明见解析
【详解】（1），．
由于不是定义域区间的端点，且在定义域上连续，
故：不仅是函数的最小值，同时也是极小值．
．
检验：当时，
，
当时，，单调递减，当时，，单调递增．
所以： 成立，
故：
（2）①当时，，
令：；同理：
所以 在上单调递减，在上单调递增.
当时，；当时，；
且；所以方程有两个不同的根时，．
②由题可知：，
即且
构造函数
所以在上单调递减，故．
所以，
又因为所以：，
又因为，所以：
因为 在单调递增，
所以．
要证：，
即证：，
即
只须证明：，
即证：
因为：，故只须证明：
因为成立．
所以原不等式成立，证毕.