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第十三章 三角形
13.3.1 三角形的内角
（第1课时）
1．探索并证明三角形内角和定理．
2．能运用三角形内角和定理解决简单问题．
1．三角形的中线：
连接△ABC 的_____A 和它所对的边 BC 的_____D，所得线段 AD 叫作△ABC 的边 BC 上的中线．
三角形有三条中线，这三条中线___________．三角形三条中线的交点叫作三角形的_____．
顶点
中点
相交于一点
重心
2．三角形的角平分线：
画△ABC 的∠A 的_______AD，交∠A 所对的边 BC 于点 D，所得线段 AD 叫作△ABC 的角平分线．
三角形有三条角平分线，这三条角平分线______________.
平分线
相交于一点
3．三角形的高：
从△ABC 的顶点 A 向它所对的边 BC 所在直线画_____，____为 D，所得线段 AD 叫作△ABC 的边 BC 上的高线．三角形的高线简称三角形的高.
垂线
垂足
锐角三角形的三条高都在三角形的______；直角三角形有两条高恰好是它的两条________；钝角三角形有两条高在三角形的______，两个垂足落在边的延长线上。
三角形的三条高所在的_____相交于一点.
内部
直角边
外部
直线
与边一样，三角形的角也是构成三角形的元素。本节我们学习三角形的三个内角之间的关系。
在小学，通过度量或剪拼，我们已经知道三角形的内角和等于180°，这样的方法获得的结论可靠吗？
由于测量常常有误差，这样验证三角形的内角和等于180°，不能完全令人信服；又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于180°.因此，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和等于180°.
探究：你还记得在小学是如何通过剪拼的方法得出三角形的内角和吗？下图给出了两种剪拼的方法。从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？
在图(1)中，将△ABC的∠B和∠C剪下，分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点的直线，移动后的∠B和∠C各有一条边在直线l上。想一想，直线l与△ABC的边BC有什么关系？
你能由这个图想出证明“三角形的内角和等于180”的方法吗？
由上述拼合过程得到启发，过△ABC的顶点A作直线l 平行于△ABC的边BC. 由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论。
A
B
C
2
4
1
5
3
l
证明：如图所示，过点A作直线l，使l//BC．
∵l//BC，
∴∠2=∠4, （两直线平行，内错角相等）
同理，∠3=∠5.
∵∠1，∠4，∠5组成平角
∴∠1+∠4+∠5=180°, （平角定义）
∴∠A+∠B+∠C=180°. （等量代换）
∴任意一个三角形的内角和都等于180°
已知：△ABC（如图所示）．
求证：∠A+∠B+∠C=180°．
以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°，得到如下定理：
三角形内角和定理： 三角形的三个内角和等于180°
即：∠A+∠B+∠C=180°
试一试：由图（2），你能给出这个定理的其他证法吗？
证明：如图，延长 BC，过点 C 作直线 l，使 l//AB．
∵ l∥AB，
∴∠1＝∠4（两直线平行，内错角相等），
∠2＝∠5（两直线平行，同位角相等）．
∵∠3，∠4，∠5 组成平角，
∴∠3＋∠4＋∠5＝180°（平角定义）．
∴∠1＋∠2＋∠3＝180°（等量代换）．
A
B
C
1
2
3
l
5
4
试一试：由图（2），你能给出这个定理的其他证法吗？
例1：如图，在△ABC 中， ∠BAC =40°, ∠B =75°，AD 是△ABC 的角平分线．求∠ADB 的度数．
C
B
D
A
解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得
∠DAB=∠BAC=20°，
在△ABD 中，
∠ADB=180°－∠B－∠BAD=180°－20°－75°=85°．
例2：如图，是A、B、C三岛的平面图. C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°向．从B 岛看A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C岛看A，B 两岛的视角∠ACB 呢？
北
北
C
A
B
D
E
分析：A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角. 如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB.
解：∠CAB=∠BAD ∠CAD=80° 50°=30°,
由AD//BE，得
∠BAD+∠ABE=180°，
∴∠ABE=180°－∠BAD=180° 80°=100°
∠ABC=∠ABE－∠EBC=100° 40°=60°
在△ABC 中，
∠ACB=180° ∠ABC ∠CAB=180° 60° 30°=90°
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.
你还能想出其他解法吗？
北
北
C
A
B
D
E
求角有技巧，一转二计算
（1）转移：根据平行线的性质，转移已知角（或所求角）的位置．
（2）计算：集中条件应用三角形内角和定理计算角．
【知识技能类练习】必做题：
1.下列各组角能构成同一个三角形的三个内角的是( )
A. 34°，36°，50° B.63°，70°，67°
C. 95°，80°，5° D.25°，160°，15°
C
【知识技能类练习】必做题：
2.在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
A
【知识技能类练习】必做题：
3.在△ABC中，∠A＋∠B＝100°，∠C＝2∠B，求∠A，∠B，∠C的度数．
解：在△ABC中，
∠C＝180°－(∠A＋∠B) ＝180°－100° ＝80°，
∠B＝∠C＝40°，
∠A＝100°－∠B＝60°
【知识技能类练习】选做题：
4．一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．无法比较和的大小
A
【综合拓展类练习】
5．如图，D，E分别是边，上两点，平分，平分.
(1)若，，则__________；
(2)若，则__________；
(3)写出，与之间的数量关系，并说明理由．
；
理由：，
，
平分，平分，
，，
【综合拓展类练习】
5．如图，D，E分别是边，上两点，平分，平分.
(1)若，，则__________；
(2)若，则__________；
(3)写出，与之间的数量关系，并说明理由．
，
，
，即．
三角形内角和定理
平行线证明法
动手实践操作法
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，直线l1//l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3的度数是( )
A．50° B．55° C．60° D．65°
C
【知识技能类作业】必做题：
2．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，∠B＝40°，∠BAD＝40°，则∠C的度数是( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
B
【知识技能类作业】必做题：
3．在△ABC中，已知∠A＝∠B＝∠C，试判断△ABC的形状．
解：设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝3x°，
由∠A＋∠B＋∠C＝180°
得x＋2x＋3x＝180，
解得x＝30，
∴∠C＝3x°＝90°，
故△ABC是直角三角形.
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，B岛在A岛的南偏西54°方向上，C岛在A岛的南偏东51°方向上，B岛在C岛的北偏西81°方向上，求∠ABC的度数．
解：∠BAC=51°＋54°=105°
∠ACB=81°－51°=30°
∴∠ABC=180°－105°－30°=45°
【综合拓展类作业】
5．【感知】（1）如图①，在中，，点、分别在的边、上，以为边作，使点在内，则____°．
【特例探究】（2）在【感知】的条件下，若，则____°．
【类比探究】（3）在【感知】
的条件下，、、
之间的数量关系是
________________________．请给予证明．
90
40
【综合拓展类作业】
证明：根据题意得：，
∵，
∴，
∵，
即；
∴
【综合拓展类作业】
【变式探究】（4）如图②，在中，，点、分别在的边、上，以为边作，若点在外，且点与点位于异侧，则、、之间的数量关系是_________________________．中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 13.3.1 三角形的内角（第1课时） 单元 第十三章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．探索并证明三角形内角和定理． 2．能运用三角形内角和定理解决简单问题．
重点 1．三角形内角和定理的证明过程及定理的应用． 2．能熟练运用定理进行角度计算和解决实际问题．
难点 1．定理证明中辅助线的构造思路． 2．将实际问题转化为三角形内角和问题的建模过程，逻辑推理过程的规范表达．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．三角形的中线： 连接△ABC 的_____A 和它所对的边 BC 的_____D，所得线段 AD 叫作△ABC 的边 BC 上的中线． 三角形有三条中线，这三条中线___________．三角形三条中线的交点叫作三角形的_____． 2．三角形的角平分线： 画△ABC 的∠A 的_______AD，交∠A 所对的边 BC 于点 D，所得线段 AD 叫作△ABC 的角平分线． 三角形有三条角平分线，这三条角平分线______________. 3．三角形的高： 从△ABC 的顶点 A 向它所对的边 BC 所在直线画_____，____为 D，所得线段 AD 叫作△ABC 的边 BC 上的高线．三角形的高线简称三角形的高. 锐角三角形的三条高都在三角形的______；直角三角形有两条高恰好是它的两条________；钝角三角形有两条高在三角形的______，两个垂足落在边的延长线上。 三角形的三条高所在的_____相交于一点.
新知探究 本节课来研究： 与边一样，三角形的角也是构成三角形的元素。本节我们学习三角形的三个内角之间的关系。 在小学，通过度量或剪拼，我们已经知道三角形的内角和等于180°，这样的方法获得的结论可靠吗？ 由于测量常常有误差，这样验证三角形的内角和等于180°，不能完全令人信服；又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于180°.因此，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和等于180°. 探究：你还记得在小学是如何通过剪拼的方法得出三角形的内角和吗？下图给出了两种剪拼的方法。从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？ 分析：由上述拼合过程得到启发，过△ABC的顶点A作直线l 平行于△ABC的边______. 由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论。 已知：△ABC（如图所示）． 求证：∠A+∠B+∠C=180°． 归纳：三角形内角和定理： 三角形的三个内角和等于__________. 即：∠A+∠____+∠C=180° 试一试：由图（2），你能给出这个定理的其他证法吗？ 例1：如图，在△ABC 中， ∠BAC =40°, ∠B =75°，AD 是△ABC 的角平分线．求∠ADB 的度数． 例2：如图，是A、B、C三岛的平面图. C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°向．从B 岛看A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C岛看A，B 两岛的视角∠ACB 呢？ 问题：你还能想出其他解法吗？ 归纳：求角有技巧，一转二计算 （1）转移：根据平行线的性质，转移已知角（或所求角）的位置． （2）计算：集中条件应用三角形内角和定理计算角．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1.下列各组角能构成同一个三角形的三个内角的是( ) A. 34°，36°，50° B.63°，70°，67° C. 95°，80°，5° D.25°，160°，15° 2.在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，则△ABC是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 3.在△ABC中，∠A＋∠B＝100°，∠C＝2∠B，求∠A，∠B，∠C的度数． 选做题： 4．一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．无法比较和的大小 【综合拓展类练习】 5．如图，D，E分别是边，上两点，平分，平分． (1)若，，则__________； (2)若，则__________； (3)写出，与之间的数量关系，并说明理由．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，直线l1//l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3的度数是( ) A．50° B．55° C．60° D．65° 2．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，∠B＝40°，∠BAD＝40°，则∠C的度数是( ) A．50° B．60° C．70° D．80° 3．在△ABC中，已知∠A＝∠B＝∠C，试判断△ABC的形状． 选做题： 4.如图，B岛在A岛的南偏西54°方向上，C岛在A岛的南偏东51°方向上，B岛在C岛的北偏西81°方向上，求∠ABC的度数． 【综合拓展类作业】 5．【感知】（1）如图①，在中，，点、分别在的边、上，以为边作，使点在内，则_____________°． 【特例探究】（2）在【感知】的条件下，若，则_____________°． 【类比探究】（3）在【感知】的条件下，、、之间的数量关系是__________．请给予证明． 【变式探究】（4）如图②，在中，，点、分别在的边、上，以为边作，若点在外，且点与点位于异侧，则、、之间的数量关系是__________________．
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分课时教学设计
第四课时《13.3.1 三角形的内角（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是人教版八年级上册第13章《三角形》中“13.3三角形的内角与外角”的核心内容，是在学生已掌握三角形基本概念及小学通过度量、剪拼感知三角形内角和为180°的基础上，进一步通过逻辑推理证明定理，是几何推理的重要开端。 三角形内角和定理是研究三角形其他性质（如外角性质、多边形内角和）的基础，也是解决几何问题和实际应用题（如方位角计算）的关键知识，体现了“直观操作”向“逻辑推理”的转化，渗透了转化与化归的数学思想。
学习者分析 学生在小学阶段已通过度量、剪拼等直观方法知道“三角形内角和为180°”，并具备平行线的性质（内错角、同位角相等）、平角定义等知识储备。已掌握三角形的角平分线、方位角（如北偏东、北偏西）等概念，能识别简单的几何图形。但对“证明”的必要性认识不足，并且辅助线的添加是难点，可能难以理解“作平行线”与“将角转化为平角”的逻辑关联。同时逻辑推理的严谨性不足，可能在证明步骤或等量代换时出现表述错误。
教学目标 1．探索并证明三角形内角和定理． 2．能运用三角形内角和定理解决简单问题．
教学重点 1．三角形内角和定理的证明过程及定理的应用． 2．能熟练运用定理进行角度计算和解决实际问题．
教学难点 1．定理证明中辅助线的构造思路． 2．将实际问题转化为三角形内角和问题的建模过程，逻辑推理过程的规范表达．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．探索并证明三角形内角和定理． 2．能运用三角形内角和定理解决简单问题．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．三角形的中线： 连接△ABC 的_____A 和它所对的边 BC 的_____D，所得线段 AD 叫作△ABC 的边 BC 上的中线． 三角形有三条中线，这三条中线___________．三角形三条中线的交点叫作三角形的_____． 答案：顶点，中点，相交于一点，重心 2．三角形的角平分线： 画△ABC 的∠A 的_______AD，交∠A 所对的边 BC 于点 D，所得线段 AD 叫作△ABC 的角平分线． 三角形有三条角平分线，这三条角平分线______________. 答案：平分线，相交于一点 3．三角形的高： 从△ABC 的顶点 A 向它所对的边 BC 所在直线画_____，____为 D，所得线段 AD 叫作△ABC 的边 BC 上的高线．三角形的高线简称三角形的高. 锐角三角形的三条高都在三角形的______；直角三角形有两条高恰好是它的两条________；钝角三角形有两条高在三角形的______，两个垂足落在边的延长线上。 三角形的三条高所在的_____相交于一点. 答案：垂线，垂足，内部，直角边，外部，直线 导言：与边一样，三角形的角也是构成三角形的元素。本节我们学习三角形的三个内角之间的关系。学生活动2： 积极回答老师提出的问题活动意图说明： 通过复习与三角形有关的中线、角平分线、高的相关知识，为探究与三角形有关的角作好铺垫。环节三：新知讲解教师活动3： 提问：在小学，通过度量或剪拼，我们已经知道三角形的内角和等于180°，这样的方法获得的结论可靠吗？ 讲解：由于测量常常有误差，这样验证三角形的内角和等于180°，不能完全令人信服；又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于180°.因此，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和等于180°. 探究：你还记得在小学是如何通过剪拼的方法得出三角形的内角和吗？下图给出了两种剪拼的方法。从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？ 预设：在图(1)中，将△ABC的∠B和∠C剪下，分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点的直线，移动后的∠B和∠C各有一条边在直线l上。想一想，直线l与△ABC的边BC有什么关系？ 追问：你能由这个图想出证明“三角形的内角和等于180”的方法吗？ 提示：由上述拼合过程得到启发，过△ABC的顶点A作直线l 平行于△ABC的边BC. 由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论。 已知：△ABC（如图所示）． 求证：∠A+∠B+∠C=180°． 证明：如图所示，过点A作直线l，使l//BC． ∵l//BC， ∴∠2=∠4, （两直线平行，内错角相等） 同理，∠3=∠5. ∵∠1，∠4，∠5组成平角 ∴∠1+∠4+∠5=180°, （平角定义） ∴∠A+∠B+∠C=180°. （等量代换） ∴任意一个三角形的内角和都等于180° 归纳：以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°，得到如下定理： 三角形内角和定理： 三角形的三个内角和等于180° 即：∠A+∠B+∠C=180° 试一试：由图（2），你能给出这个定理的其他证法吗？ 证明：如图，延长 BC，过点 C 作直线 l，使 l//AB． ∵ l//AB， ∴∠1＝∠4（两直线平行，内错角相等）， ∠2＝∠5（两直线平行，同位角相等）． ∵∠3，∠4，∠5 组成平角， ∴∠3＋∠4＋∠5＝180°（平角定义）． ∴∠1＋∠2＋∠3＝180°（等量代换）． 例1：如图，在△ABC 中， ∠BAC =40°, ∠B =75°，AD 是△ABC 的角平分线．求∠ADB 的度数． 解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得 ∠DAB=∠BAC=20°， 在△ABD 中， ∠ADB=180°－∠B－∠BAD=180°－20°－75°=85°． 例2：如图，是A、B、C三岛的平面图. C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°向．从B 岛看A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C岛看A，B 两岛的视角∠ACB 呢？ 解：∠CAB=∠BAD ∠CAD=80° 50°=30°, 由AD//BE，得 ∠BAD+∠ABE=180°， ∴∠ABE=180°－∠BAD=180° 80°=100° ∠ABC=∠ABE－∠EBC=100° 40°=60° 在△ABC 中， ∠ACB=180° ∠ABC ∠CAB=180° 60° 30°=90° 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°. 追问：你还能想出其他解法吗？ 归纳：求角有技巧，一转二计算 （1）转移：根据平行线的性质，转移已知角（或所求角）的位置． （2）计算：集中条件应用三角形内角和定理计算角．学生活动3： 学生动手操作，小组合作探究，然后汇报结果，之后听老师的点评和讲解活动意图说明： 通过动手操作让学生反思操作过程，体会添加辅助线的方法，获得证明思路，感悟辅助线在几何证明中的重要作用，并通过例题提高学生运算三角形内角和定理解决实际问题的能力及证明步骤的规范性。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：13.3.1 三角形的内角（第1课时） 一、三角形内角和定理 1. 动手实践操作法 2. 平行线证明法教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1.下列各组角能构成同一个三角形的三个内角的是( ) A. 34°，36°，50° B.63°，70°，67° C. 95°，80°，5° D.25°，160°，15° 答案：C 2.在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，则△ABC是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 答案：A 3.在△ABC中，∠A＋∠B＝100°，∠C＝2∠B，求∠A，∠B，∠C的度数． 解：在△ABC中， ∠C＝180°－(∠A＋∠B) ＝180°－100° ＝80°， ∠B＝∠C＝40°， ∠A＝100°－∠B＝60° 选做题： 4．一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．无法比较和的大小 答案：A 【综合拓展类练习】 5．如图，D，E分别是边，上两点，平分，平分． (1)若，，则__________； (2)若，则__________； (3)写出，与之间的数量关系，并说明理由． 解：（1）， ， 平分，平分， ，， ， ； （2）， ， 平分，平分， ，， ， ； （3）； 理由：， ， 平分，平分， ，， ， ， ，即．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，直线l1//l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3的度数是( ) A．50° B．55° C．60° D．65° 答案：C 2．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，∠B＝40°，∠BAD＝40°，则∠C的度数是( ) A．50° B．60° C．70° D．80° 答案：B 3．在△ABC中，已知∠A＝∠B＝∠C，试判断△ABC的形状． 解：设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝3x°， 由∠A＋∠B＋∠C＝180° 得x＋2x＋3x＝180， 解得x＝30， ∴∠C＝3x°＝90°， 故△ABC是直角三角形. 选做题： 4.如图，B岛在A岛的南偏西54°方向上，C岛在A岛的南偏东51°方向上，B岛在C岛的北偏西81°方向上，求∠ABC的度数． 解：∠BAC=51°＋54°=105° ∠ACB=81°－51°=30° ∴∠ABC=180°－105°－30°=45° 【综合拓展类作业】 5．【感知】（1）如图①，在中，，点、分别在的边、上，以为边作，使点在内，则_____________°． 【特例探究】（2）在【感知】的条件下，若，则_____________°． 【类比探究】（3）在【感知】的条件下，、、之间的数量关系是__________．请给予证明． 【变式探究】（4）如图②，在中，，点、分别在的边、上，以为边作，若点在外，且点与点位于异侧，则、、之间的数量关系是__________________． 解：（1）根据题意得：， ∵， ∴； 故答案为：90； （2）∵，， ∴， ∴； 故答案为：40； （3）；理由如下： 根据题意得：， ∵， ∴， ∵， 即； ∴； （4）． 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：．
教学反思 采用 “探究式教学”，让学生自主尝试不同的证明方法（如利用同位角平移角），培养创新思维，而非仅局限于教材中的一种证法。并结合动态演示剪拼过程和辅助线作用，直观展示角的转化过程，增强教学效果。
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