湖北省云学名校联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷（含解析）

湖北省云学名校联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，其中为虚数单位.则（ ）
A．10 B．5 C． D．
3．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，点为线段的中点，点在线段上，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
7．已知，都是锐角，，，则（ ）
A．1 B． C． D．
8．法国数学家皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角：当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知，，分别是三个内角，，的对边，且，，若点为的费马点，则（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
二、多选题
9．已知为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若复数，则
B．若复数，则
C．若复数，则实数或
D．若复数满足，则
10．已知三个内角的对边分别为，且，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则边上高的最大值为
B．若，则周长的最小值为
C．若的角平分线长为，且，则
D．若是锐角三角形，且，则的取值范围是
11．已知函数，若方程有三个不相等的实根，，，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．方程有三个不相等的实数根
三、填空题
12．已知向量，，且，则 ；
13．在中，已知，，且满足条件的三角形有两个，则边的取值范围是 ；
14．在中，边长为4，为的中点，长为，点、分别为的重心和外心，则 .
四、解答题
15．已知复数，.（其中为虚数单位，）
(1)若为纯虚数，求的值：
(2)若是关于的方程的一个根，求实数，的值.
16．已知，，函数.
(1)求函数的对称中心及单调减区间；
(2)若，且，求的值.
17．在中，已知，，.，分别是，上的点，且，，与相交于点，.
(1)求实数的值；
(2)求的余弦值.
18．如图，四边形ABCD中，，，，，，且.
(1)求；
(2)求的取值范围；
(3)求四边形周长的最小值.
19．已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径.
(1)若，求的值；
(2)在（1）的条件下，求边长的最大值；
(3)若的面积为，且，求面积的取值范围.
湖北省云学名校联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A D B D A B AD ACD
题号 11
答案 BCD
1．C
【详解】由题知，，则，
故选：C.
2．C
【详解】由，可得，
所以，
则.
故选：C.
3．A
【详解】因为向量，，
所以，，
则向量在向量上的投影向量为，
故选：A.
4．D
【详解】如图①，过作于E，
由斜二测画法知，，可得是等腰直角三角形，
又是等腰梯形，则，所以，
还原平面图，如下图：为直角梯形，
则，
所以四边形ABCD的面积为．
故选：D
5．B
【详解】由题意，
又，所以，所以.
故选：B
6．D
【详解】因为，所以，
则，因为，所以，
又，所以，
由，所以，，
所以为等腰直角三角形.
故选：D.
7．A
【详解】因为，是锐角，所以，
所以，从而，
所以.
故选：A.
8．B
【详解】，由正弦定理得，
，，
则有，
即，
，，有，得，
因为，所以，所以，所以.
由三角形内角和性质知：内角均小于，
结合题设易知：P点一定在三角形的内部，
再由余弦定理知，，
又因为，所以，
所以
，
所以.
由，等号左右两边同时乘以可得：
，
.
故选：B.
9．AD
【详解】对于A选项，，则，故A正确；
对于B选项，不妨设，故，但，故B错误；
对于C选项，复数，则，
解得，故C错误；
对于D选项，复数满足，即，
即，化简得，故D正确.
故选：AD.
10．ACD
【详解】由，可得，
又，得到,
又，所以，即，又，所以；
对于选项A，时，由余弦定理得，
所以，所以边上的高，故选项A正确，
对于选项B，因为，则，
所以，得到，
所以，则周长，周长的最大值为，所以选项B错误；
对于选项C，由，得，
又，所以，
又，得到，则，
又，
所以，所以选项C正确；
对于选项D，由正弦定理知，
，
又是锐角三角形，所以，得到，
所以，则，所以，故选项D正确，
故选：ACD.
11．BCD
【详解】由函数，作出图象：

若方程有三个不相等的实根，，，
因为，所以，所以，
所以，所以，
所以当时方程有一个不相等的实根，则，
又因为关于对称，
所以，且，
则，
因为时，，因此可以取到1，所以A错误；
则，所以B正确；
又因为，所以，所以，，知，所以C正确，
当方程有三个不相等的实根时，，则，所以D正确.
故选：BCD.
12．
【详解】因为向量，，且，所以，解得.
故答案为：
13．
【详解】满足三角形有两个的条件为，又因为，，
所以，所以.
故答案为：.
14．4
【详解】因为为重心，则有，
又为外心，故在方向上的投影向量为，且在方向上的投影向量为,
根据数量积的几何意义得
故，
又因为,两式平方相加得，
故,所以.
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）由为纯虚数，所以有，解得.
（2）方法一 是关于的方程的一个根
是的另一个根，
，，.
方法二 是关于的方程的一个根，.
.
即，，.
16．(1)对称中心为，减区间为
(2)
【详解】（1）.
由，得对称中心为.
由，解得，
所以.函数的对称中心为，单调减区间为
（2）由，得，
又，所以，所以.
.
17．(1)
(2)
【详解】（1）
由，可得，
所以，
由得
，
所以，解得.
（2）因为，，，所以，
由，所以，
由（1）可知，
所以，
.
，
所以.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由，得，
知，又，所以.
（2）设，因为，，则，
法一：.
又，，则，，.
所以.
法二：
.
因为，所以，所以.
所以.
（3）法一：在中，由正弦定理，
得，同理.
所以四边形周长为
，由，，令，.
则，由单调性性质可知在上单调递增，
所以当，有最小值，即时取得等号.
所以四边形周长的最小值为.
法二：由柯西不等式，当且仅当时等号成立.
而.
所以，当且仅当时取等号.
所以四边形周长的最小值为.
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在中，由正弦定理，得，
又是锐角三角形，所以.
而分别是以为边的等边三角形的中心，
所以，从而.
（2）由（1）知，
在中，设，，
由余弦定理得，即，
故，故，同理，
所以.
而在中由余弦定理有，
.
当且仅当时等号成立，从而，
由题意可得为等边三角形，故边长的最大值为.
（3）由的面积为知，
在，中分别由余弦定理有
①，
②.
联立①②，消去，
可得.
所以面积，
又，
所以.
从而得面积的取值范围是.