2.1.1等式的性质与方程的解集（教学课件）——高中数学人教B版（2019）必修第一册（共31张PPT）

(共30张PPT)
人教B版（2019）必修第一册
第二章 等式与不等式
2.1.1等式的性质与方程解集
学习目标
掌握等式的基本性质，学会利用等式的性质进行等式的基本边形
01
了解恒等式的定义，掌握恒等式的证明方法
02
了解方程的解、解集的定义，会求方程的解
03
探索新知
我们已经学习过等式的性质：
（1）等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；
（2）等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．
等式的性质
探索新知
尝试与发现
用符号语言和量词表示上述等式的性质：
（1）如果 a＝ b，则对任意 c，都有 ；
（2）如果 a＝ b，则对任意不为零的c，都有 .
a+ c＝b+ c
ac＝ bc
因为减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数，所以上述等式性质中的“加上”与“乘以”，如果分别改为“减去”与“除以”，结论仍成立.
探索新知
尝试与发现
补全下列 (1)(2) 中的两个公式，然后将下列含有字母的等式进行分类，并说出分类的标准：
（1）a2－b2＝ __________________ (平方差公式)；
（2）(x＋ y)2＝ _________________(两数和的平方公式)；
（3）3x－6＝ 0；
（4）(a＋b)c＝ ac＋bc；
（5）m(m－1)＝ 0；
（6）t3＋1＝ (t＋1)(t2－t＋1).
(a＋b)＝(a－b)
x2＋ 2xy＋ y2
探索新知
尝试与发现
（1）a2－b2＝(a＋b)＝(a－b)；
（2）(x＋y)2＝ x2＋ 2xy＋ y2；
（3）3x－6＝ 0；
（4）(a＋b)c＝ ac＋bc；
（5）m(m－1)＝ 0；
（6）t3＋1＝ (t＋1)(t2－t＋1).
如果从量词的角度来对以上 6 个等式进行分类的话，可以知道，等式______________对任意实数都成立，而等式________只是存在实数使其成立. 例如 3x－6＝0 只有 x＝2 时成立， x 取其他数时都不成立.
(1) (2) (4) (6)
(3) (5)
探索新知
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等.
恒等式是进行代数变形的依据之一. 例如，因为(x＋y)2＝ x2＋2xy＋y2 对任意 x，y 都成立，所以可用其他代数式去替换其中的 x，y，等式仍会成立，若用－z 替换其中的 y，则
(x－z)2＝x2＋2x(－z)＋(－z)2＝x2－2xz＋z2，
由此就得到了以前学过的两数差的平方公式.
恒等式
典型例题
解：（方法一）可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开，然后合并同类项，即
例 1 化简 (2x＋1)2 － (x －1)2.
典型例题
（方法二）可以将 2x＋1 和 x－1 分别看成一个整体，然后使用平方差公式，即
例 1 化简 (2x＋1)2 － (x －1)2.
探索新知
下面我们介绍另外一个经常会用到的恒等式：对任意的 x，a，b，都有
(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab.
这个恒等式的证明，只需将左边展开然后合并同类项即可.
可以利用这个恒等式来进行因式分解.
给定式子 x2＋Cx＋D，如果能找到 a 和 b，使得 D＝ab 且C＝a＋b，则
x2 ＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b).
探索新知
为了方便记忆，已知 C 和 D，寻找满足条件的 a 和 b 的过程，通常用下图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于 C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”.
例如，对于式子 x2＋5x＋6 来说，因为 2×3＝6 且 2＋3＝5，所以 x2＋5x＋6＝____________.
(x＋2)(x＋3)
探索新知
尝试与发现
证明恒等式 (ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(ad＋bc)x＋bd.
并由此探讨 Ex2＋Fx＋G 的因式分解方法.
例如，对于 3x2＋11x ＋10来说，因为1×3＝3，2×5＝10，1×5＋3×2＝11，如图所示，所以
3x2＋11x＋10＝(x＋2)(3x＋5).
上述恒等式的证明，也只需将左边展开然后合并同类项即可. 据此也可进行因式分解.
探索新知
我们知道，方程的解 (或根) 是指能使方程左右两边相等的未知数的值.一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.
利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集. 例如，对于方程 3x＋5＝－1 来说，首先在等式两边同时加上－5，可得
__________，
然后在上述等式两边同时乘以 ，则得 x＝－2，因此可知方程 3x＋5＝－1的解集为{－2}.
3x＝-6
不难知道，利用类似的方法可以得到所有一元一次方程的解集.
方程的解集
探索新知
利用这一结论，我们可以得到一些方程的解集.
例如，由方程 (4x＋1)(x－1)＝0 可知 4x＋1＝0 或 x－1＝0，
从而 x＝－ 或 x＝1，
因此方程 (4x＋1)(x－1)＝0 的解集为{－，1}.
从小学开始我们就知道，任意两个非零的实数，它们的乘积不可能是零，因此：如果 ab＝0，则 a＝0或 b＝0.
典型例题
解：因为 x2－5x＋6＝0＝(x－2)(x－3)，
所以原方程可以化为 (x－2)(x－3)＝0，
从而可知 x－2＝0 或 x－3＝0，
即 x＝2 或 x＝3，因此所求解集为{2，3}．
本例说明：如果一个一元二次方程可以通过因式分解化为 (x－x1)(x－x2)= 0的形式，那么就能方便地得出原方程的解集了.
例 2 求方程 x2－5x＋6＝0的解集．
探索新知
想一想
一元二次方程的解集中一定有两个元素吗？
一元二次方程的解集中不一定有两个元素．
对于方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），
当Δ＝b2－4ac＝0时，
解集中有一个元素；
当Δ＝b2－4ac＜0时，方程无实根，解集中没有元素．
当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两不等实根
解集中有两个元素；
典型例题
尝试与发现
例 3 求关于 x 的方程 ax＝2 的解集，其中 a 是常数．
典型例题
例 3 求关于 x 的方程 ax＝2 的解集，其中 a 是常数．
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B
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D
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本节课学习了哪些知识点呢？
1.等式的性质；
2.恒等式；
3.方程的解集
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