四川省自贡市2025年中考数学真题
1．（2025·自贡）若，则内的数字是（ ）
A．-2 B．2 C．4 D．-4
2．（2025·自贡）起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·自贡）如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若、则的度数为（ ）
A．75° B．90° C．100° D．115°
4．（2025·自贡）中国新能源汽车性能优越，近年来销售量持续攀升，2024年度销量已达到1286.6万辆.12866000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·自贡）如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·自贡）某校举行“唱红歌”歌咏比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如下表所示．三项评分所占百分比如下图所示，平均分最高的是（ ）
选手 专家组评分 教师组评分 学生组评分
甲 7 7 9
乙 8 7 8
丙 7 8 8
A．甲 B．乙
C．丙 D．平均分都相同
7．（2025·自贡）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（ ）
A．（-3，5） B．（5，-3） C．（-2，5） D．（5，-2）
8．（2025·自贡）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ）
A．140° B．150° C．160° D．170°
9．（2025·自贡）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长．则小地砖短边长（ ）
A．7cm B．8 C．9 D．
10．（2025·自贡）分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（ ）
A．50° B．100°
C．130° D．或-
11．（2025·自贡）如图．在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（ ）
A．（11，-4） B．（10，-3） C．（12，-3） D．（9，-4）
12．（2025·自贡）如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（ ）
A．6 B．6 C．3 D．4
13．（2025·自贡）计算： ．
14．（2025·自贡）分解因式： .
15．（2025·自贡）若，则的值为 ．
16．（2025·自贡）如图，在中，，于点，．以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．以点为圆心．的长为半径画弧．交于点，过点作，交于点；再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以的长为半径画弧，交于点，过点作，交于点；又以点为圆心……重复以上操作．则的长为 ．
17．（2025·自贡）如图，在平面直角坐标系中，Rt的顶点分别在轴，轴正半轴上，．以为边作等边．连接，则的最大值为 ．
18．（2025·自贡）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．
19．（2025·自贡）如图，，．求证：．
20．（2025·自贡）去年暑假，小张和小李同学主动帮刘大爷掰玉米，他们各留了36篮和30筐，两人劳动时间相同，小张平均每小时比小李多掰2筐，请问小李平均每小时掰玉米多少筐？
21．（2025·自贡）某校七年级拟组建球类课外活动兴趣班，为了解同学们的参与意向，学生会进行了随机问卷调查，要求被调查的同学在足球、篮球、乒乓球、羽毛球中任选一项．以下是依据调查数据，正在绘制中的统计图和统计表，请根据相关信息解答下列问题，
选择球类兴趣班人数条形统计图
选择球类兴趣班人数占比统计表
粗脚 球类活动兴趣班 占调查总人数百分比
A 足球 10%
B 篮球
C 乒乓球
D 羽毛球
（1）请补全上述条形统计图和占比统计表，若用扇形统计图反映选择球类活动兴趣班的人数占比，则篮球兴趣班的扇形圆心角为 ▲ 度；
（2）估计该校七年级400名学生中，选择乒乓球兴趣班的人数；
（3）若用电脑随机选择A，B，C，D四类兴趣班，请用列表或画树状图的方法，求该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率
22．（2025·自贡）如图．等圆和相交于两点，经过的圆心，连接，作直径，延长到点，使，连接．
（1） 度；
（2）求证：为的切线；
（3）若，求上的长．
23．（2025·自贡）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．
（1）求的值；
（2）若，求点坐标；
（3）双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标.
24．（2025·自贡）如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下．
（1）制作工具
如图2，在矩形木板上点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物，过点画射线．测量时竖放木板，当重垂线时，将等腰直角三角尺的直角顶点紧靠铁钉，绕点转动三角尺，通过边瞄准目标，测量可得仰角度数．采用同样方式，可测俯角度数．
测量时，是否水平呢？小蕊产生了疑问．组长对她说：“因为始终垂直于水平面，满足就行．”求证：．
（2）获取数据
如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼阳台处测得塔底的仰角为，在25楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为．
如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个，．在边上取两点，使，量得，，，则 ， ， （结果保留小数点后两位）．
（3）计算塔高
请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）．
（4）反思改进
小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议（总字数少于50字）．
25．（2025·自贡）如图，在中，分别是的中点，连接，交于点．
（1）若，，，则四边形的面积为 ；
（2）若，的最大面积为．设，求与之间的函数关系式，并求的最大值；
（3）若（2）问中取任意实数，将函数的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数的图象．直线交该图象于点，（点在点左边），过点的直线交该图象于另一点，过点的直线与直线交于点．若，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：(-4)×(-2)=8，故A选项正确；
(-4)×2=-8，故B选项错误；
(-4)×4=-16，故C选项错误；
(-4)×(-4)=16，故D选项错误；
故答案为：A.
【分析】根据有理数的乘法计算法则，分别计算出-4与四个选项中的数的乘积即可得到答案.
2．【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图形绕某一点旋转180°后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形绕某一点旋转180°后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意；
D、图形绕某一点旋转180°后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案.
3．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=115°，a//b，
∴∠3=∠1=115°，
∵c//d，
∴∠4=∠3=115°，
∴∠2=∠4=115°；
故答案为：D.
【分析】先证明∠3=∠1=115°，再证明∠4=∠3=115°，再结合对顶角的性质可得答案.
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：12866000=1.2866×107，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.据此求解即可.
5．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据题意得：其主视图是
故答案为：D.
【分析】根据从前面看到的图形是主视图，即可求解.
6．【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：甲的平均分为：7×50%+7×30%+9×20%=7.4(分)，
乙的平均分为：8×50%+7×30%+8×20%=7.7(分)，
丙的平均分为：7×50%+8×30%+8×20%=75(分)，
∴平均分最高的是乙；
故答案为：B.
【分析】根据平均数的含义分别计算甲、乙、丙的平均数，再比较即可.
7．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形 A'B'C'D'.
∴AB=BC=A'B'=B'C'=C'D'=5，A'B'在x轴上，A'B'//C'D'，
∵B(0，-2)，
∴B'(2，0)，C'(2，5)，
∴D'(-3，5)，
故答案为：A.
【分析】由正方形与旋转可得A'B'在x轴上，A'B'//CD'，结合B(0，-2)，可得B'(2，0)，C'(2，5)，进一步可得答案.
8．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：如图，
∵正六边形与正方形的两邻边相交，
∴∠4=90°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B=180°，∠1=α，∠2=β，
∴∠1+∠2=360°-90°-120°=150°，
∴α+β=∠1+∠2=150°，
故答案为：B.
【分析】先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案.
9．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设每块小平行四边形地砖的长为xcm，宽为ycm，
由题意得：
解得
则每块小平行四边形地砖的短边长为8cm，
故答案为：B.
【分析】设每块小平行四边形地砖的长为xcm，宽为ycm，由图示可得等量关系：①2个长=1个长+4个宽，②一个长+一个宽=40cm，列出方程组，解方程组即可.
10．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB：，
∵PA，PB分别与☉O相切于A，B两点，
∴∠PAO=90°=∠PBO，
∵∠P=80°，
∴∠AOB=360°-2×90°-80°=100°
∴，∠C'=180°-50°=130°
故答案为：D.
【分析】连接OA，OB，求解∠AOB=360°-2×90°-80°=100°，再根据C的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案.
11．【答案】B
【知识点】平移的性质；解直角三角形—边角关系；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA的延长线于点K，则∠AHO=∠BKA=90°=∠BAO，
∴∠BAK=∠AOH=90°-∠HAO，
∴△AHO∽△BKA，
∴，
∵∠A=90°，，A(-4，3)，
∴OH=3，AH=4，
∴
∴BK=8，AK=6，
∵平移，
∴OF=BK=8，OE=AK=6，
∴E(6，0)，
∴将点A先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点E，
∴将点O(0.0)先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点G，
∴G(10，-3)，
故答案为：B.
【分析】过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA的延长线于点K，证明△AHO∽△BKA，得到，根据点A的坐标，结合tan∠ABO的值，求出BK=8，AK=6，平移求出E点坐标，进而得到平移规则，再求出G点坐标即可.
12．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：以点B为原点，BC所以直线为x轴，AB所在直线为y轴，设BD的中点为G，过点D在AD上方作DH⊥BD，使，过点作HK⊥AD于点K，连接BH，FH，AG，EG，则∠BDH=∠DKH=90°，
∵正方形 ABCD边长为6，
∴C(6，0)，D(6，6)，A(0，6)，
∴G(3，3)，
∴
∴
∵∠E=∠BAC=90°，
∴
∴点B、E、A、D在☉G上，
∴∠ABE=∠ADE，
∵∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠HDK=∠BDH-∠ADB=45°
∴∠HDK=∠ABD=45°，
∴∠ABE+∠ABD=∠ADE+∠HDK，
即∠EBG=∠FDH ，
∵2BE=3DF ，
∴
∴△BEG∽△DFH
∴
∴点F在以点H为圆心，为半径的圆上运动，
∵∠DHK=90°-∠HDK=45°，DK2+HK2=DH2，
∴DK=HK=2，
∴H(4，8)，
∴，
∵BF+FH≥BH ，
∴当点F在BH上时，BF取得最小值，，
故答案为：D.
【分析】以点B为原点，BC所以直线为x轴，AB所在直线为y轴，设BD的中点为G，过点D在AD上方作DH⊥BD，使，过点作HK⊥AD于点K，连接BH，FH，AG，EG，则∠BDH=∠DKH=90°，根据正方形性质，得C(6，0)，D(6，6)，A(0，6)，G(3，3)，和，，根据，得点B、E、A、D在☉G上，得∠ABE=L∠ADE，得∠EBG=/∠FDH，根据，得△BEG∽△DFH，得，得点F在以点H为圆心，为半径的圆上运动，根据DK=HK=2，得H(4，8)，得，得BF取得最小值.
13．【答案】0
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：0.
【分析】先化简，再合并即可.
14．【答案】m（m-4）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：m（m-4）.
【分析】对原式直接提取公因式m即可.
15．【答案】1
【知识点】整式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵2a+b=-1，
∴b=-1-2a，
∴4a2+2ab-b=4a2+2a(-1-2a)-(-1-2a)=4a2-2a-4a2+1+2a=1，
故答案为：1.
【分析】由题意可得b=-1-2a，整体代入计算即可得解.
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；探索规律-图形的递变规律；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AC=BC，CD⊥AB于点D，AB=DC=2，
∴AD=BD=1，
∴，
∵以点B为圆心，DB的长为半径画弧，交BC于点E1，
∴BE1=BD=1，
∴，
∵以点C为圆心，CE1的长为半径画弧，交CD于点D1，
∴，
∵过点D1作D1F1⊥DC，交AC于点F1，
∴AD//D1F1，
∴△CD1F1∽△CDA，
∴，即，
∴，，
∵以点F1为圆心，F1D1的长为半径画弧，交AC于点F2，
∴
∴，
∵以CF2的长为半径画弧，交DC于点D2，
∴，
∵过点D2作D2E2⊥DC，交BC于点E2，
∴∠CD1F1=∠CD2E2=90°，
∵∠F1CD1=∠D2CE2，
∴△CD22E2∽△CD1F1
∴，即
∴
同理可得：，，…，
∴，
故答案为：.
【分析】由等腰三角形的性质可得AD=BD=1，由勾股定理得出，求出，，同理可得，，…，即可得解.
17．【答案】
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的性质；勾股定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2.
∴，
∵△BCD为等边三角形，
∴CD=BC=2，∠BCD=60°，
如图，取AC的中点E，连接OE、DE，作EF⊥CD交DC的延长线于F，
则，∠FCE=180°-∠ACB-∠BCD=30°，
∴，
∴
∴，
根据三角形三边关系可得：OD≤DE+OE，
∴
∴OD的最大值为，
故答案为：.
【分析】解直角三角形得出，由等边三角形的性质可得CD=BC=2，∠BCD=60°，取AC的中点E，连接OE、DE，作EF⊥CD交DC的延长线于F，则，∠FCE=30°，求出，，从而可得，由勾股定理可得，最后根据三角形三边关系可得OD≤DE+OE，即可得解.
18．【答案】解：
由①得：x>-1，
由②得：x<2，
在数轴上表示其解集如下：
∴不等式组的解集为-1【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示解集的公共部分即可.
19．【答案】解：∵∠ABE=∠BAF，
∴AC=BC，
在△ACE和△BCF中，
∴△ACE≌△BCF(SAS)
∴AE=BF
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】由∠ABE=∠BAF可知AC=BC，在证明△ACE≌△BCF(SAS)，即可得出结论.
20．【答案】解：设小李平均每小时掰玉米筐，则小张平均每小时掰玉米筐．
根据题意，得
解得：x=10，
经检验：x=10是原方程的根且符合题意；
∴小李平均每小时掰玉米12筐．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设小李平均每小时掰玉米x筐，则小张平均每小时掰玉米(x+2)筐，根据题意，两人劳动时间相同，所以掰的玉米数之比等于他们的速度之比，可得，再解方程即可.
21．【答案】（1）解：由条形统计图可知各球类兴趣班人数占比，设总人数为：
足球：4人，占比10%，得4÷n=10%，解得n=40．
补全条形统计图如图所示：
B组人数占调查总人数百分比为10÷40×100%=25%，
C组人数占调查总人数百分比为14÷40×100%=35%，
D组人数占调查总人数百分比为12÷40×100%=30%，
若用扇形统计图反映选择球类活动兴趣班的人数占比，则篮球兴趣班的扇形圆心角为360°×25%=90°
将以上数据填入条形统计图和占比统计表中：
组别 球类活动兴趣班 占调查总人数百分比
A 足球 10%
B 篮球 25%
C 乒乓球 35%
D 羽毛球 30%
（2）解：估计该校七年级400名学生中选择乒乓球兴趣班的人数：
人．
（3）解：用列表法求该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率：
所有可能组合为（A，A），（A，B），（A，C），（A，D），（B，A），（B，B），（B，C），（B，D），（C，A），，共16种．
其中该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的情况有1种，
∴该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率为.
【知识点】用样本估计总体；统计表；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)先求出本次调查的总人数，即可计算出D组的人数，从而即可补全条形统计图，分别求出B组、C组、D组人数占调查总人数百分比，即可补全选择球类兴趣班人数占比统计表，用360°乘以篮球兴趣班人数所占比例即可得解；
(2)用400乘以选择乒乓球兴趣班的人数所占的比例即可得解；
(3)列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可.
22．【答案】（1）30
（2）证明：如图，连接BC，
由(1)得：△AO1O2，△BO1O2是等边三角形，
∴∠AO2O=∠BO2O=60°，
∴∠BO2C=60°，
∵O2B=O2C，
∴△BO2C为等边三角形，
∴∠O2CB=60°=∠O2BC，CB=O2B，
∵DB=O2B，
∴DB=BC ，
∴，
∴∠O2CD=60°+30°=90°
∵O2C为半径，
∴CD为☉O的切线.
（3）解：∵，∠BDC=30°，∠O2CD=90°
∴，
∵∠AO2B=60°+60°=120°，
∴☉O2上的长
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；切线的判定；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接O1O2，AO1，BO1，
∵☉O1和☉O2相交于A，B两点，且☉O1经过☉O2的圆心O2，
∴AO1=BO1=AO2=BO2=O1O2，AB⊥O1O2，
∴四边形AO1BO2是菱形，△AO1O2，△BO1O2是等边三角形，
∴∠O1BO2=60°，
∴
故答案为：30.
【分析】(1)连接O1O2，AO1，BO1，证明AB⊥O1O2，四边形AO1BO2是菱形，△AO1O2，△BO1O2是等边三角形，可得∠O1BO2=60°，进一步可得结论；
(2)如图，连接BC，由(1)得：△AO1O2，△BO1O2是等边三角形，可得∠AO2O1=∠BO2O1=60°，证明△BO2C为等边三角形，可得∠O2CB=60°=∠O2BC，CB=O2B，证明DB=BC，可得，再进一步证明即可；
(3)由，∠BDC=30°，∠O2CD=90°，可得O2C=CD·tan30°=3，结合∠AO2B=60+60°=120°，再利用弧长公式计算即可.
23．【答案】（1）解：∵点A(-2，a)在反比例函数上，
∴a=4，即A(-2，4)，
将A(-2，4)代入正比例函数y=kx中，
得-2k=4，
解得：k=-2.
（2）解：B在直线y=-2x上，
设B(m，-2m)，
∵过点B作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点D，
∴，
∵BD=2，
∴
整理得：m2-2m-4=0，
解得：或(不符合题意舍去)，
∴.
（3）解：∵双曲线关于y轴对称的图象为y'，
∴，
如图，
由旋转可得：OA=OA'，∠AOA'=90°，
过A作AK⊥x轴于K，过A'作A'L⊥x轴于L，
∴∠AKO=∠A'LO=90°，
∴∠AOK=90°-∠A'OL=∠OA'L，
∴△AOK≌△OA'L，
∵A'(-2，4)，
∴OL=AK=4，A'L=OK=2，
∴A'(4，2)，
当x=4时，，
∴A'(4，2)在的图象上，
由反比例函数是中心对称图形可得：A"(-4，-2)，
∴射线OA绕点O旋转90°后与y'的交点坐标为(4，2)或(-4，-2).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；轴对称的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；中心对称的性质
【解析】【分析】(1)点 A(-2，a)在反比例函数上，可得a=4，即 (-2，4)，将A(-2，4)代入正比例函数y=kx中，进一步求解即可；
(2)设B(m，-2m)，结合过点B作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点D，可得，可得，再解方程进一步求解即可；
(3)求解，如图，由旋转可得：OA=OA'，∠AOA'=90°，过A作AK⊥x轴于K，过A'作A'L⊥x轴于L，证明△AOK≌△OA'L，可得A'(4，2)，证明A'(4，2)在的图象上；结合反比例函数是中心对称图形可得：A"(-4，-2)，从而可得答案.
24．【答案】（1）证明：∵四边形HIJK为矩形，
∴∠H=90°，
∵QM//HK，
∴∠IQM=∠H=90°
又∵OG//HI ，
∴∠MOG=∠IQM=90°
∴OG⊥QM
（2）0.09；0.16；0.26
（3）解：如图，延长DR交TU于F，延长PS交TU于E，
则∠DFE=∠PEF=∠DFT=∠DPE=90°，
∴四边形DPEF为矩形，
∴DP=EF，DF=PE，
由题意可得：DP=(25-15)×3=30米，∠EPU=5.1°，∠FDU=9.1°，∠TDF=14.5°，
设EU=x米，则FU=EF-EU=(30-x)米，
∵，，
∴，，
∴
解得：x=10.8，
∴FU=30-10.8=19.2米，米，
∵，
∴TF=31.2米，
∴TU=TF+UF=19.2+31.2≈50米，
即该塔高度为50米.
（4）解：使用高精度测量工具：为提高测量精度，应使用激光测距仪、高精度全站仪等高精度测量工具进行距离和角度的测量．
多次测量取平均值：在同一位置进行多次测量，并计算平均值，以减少偶然误差的影响．
考虑大气折射等因素：在远距离测量时，应考虑大气折射等因素对测量结果的影响，并进行相应的校正．
建立更精确的数学模型：结合楼层高度、角度测量值等数据，建立更精确的数学模型来计算塔高．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：(2)在Rt△VWY中，∠W=90°，∠YVW=5.1°，VW=10.0cm，YW=0.91cm，
∴tan5.1°=tan∠YVW=YW=0.91≈0.09，
∵∠XVY=4.0°，∠YVW=5.1°，XY=0.70cm，YW=0.91cm
∴∠XVW=∠XVY+∠YVW=9.1°，XW=XY+YW=1.61cm，
∵在Rt△VWX中，∠W=90°，∠XVW=9.1°，VW=10.0cm，XW=1.61cm，
∴
∵YW=0.91cm，XY=0.70cm，ZX=0.94cm ，
∴ZW=ZX+XY+YW=2.55cm
∵在Rt△VWZ中，∠W=90°，∠ZVW=14.5°，VW=10.0cm，ZW=2.55cm，
∴，
故答案为：0.09，0.16，0.26.
【分析】(1)根据矩形的性质和平行线的性质证明即可；
(2)根据正切的定义计算即可得解；
(3)延长DR交TU于F，延长PS交TU于E，则四边形DPEF为矩形，由矩形的性质可得DP=EF，DF=PE，由题意可得DP=30米，∠EPU=5.1°，∠FDU=9.1°，∠TDF=14.5°，设EU=x米，则FU=(30-x)米，解直角三角形得出，求出FU=19.2米，PE=DF=120米，再解直角三角形得出TF=31.2米，即可得解；
(4)结合题意提出合理的建议即可.
25．【答案】（1）
（2）解：在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位数，
∴DE//BC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴
∴
∴
∴当四边形BCDE的面积最大时，△ABC的面积最大，
过点B作BM⊥CE，过点D作DN⊥CE，则：BM≤BG，DN≤DG，
∵四边形BCDE的面积=S△BCE+S△DCE
∴四边形BCDE的面积最大，
∵，BD=x，
∴，
∴
∴当时，S最大为.
（3）解：直线l是过定点：
由(2)知： ，
∴，
∴，
设xF=m，
∵S△HFK=S△HKQ ，
∴K为F，Q的中点，
∵过点F，Q的直线与直线x=1交于点K，
∴xK=1，
∴xQ=2-m，
∴
设，
∴
解得：，
∴直线l：y-yH=k2(x-xH)，
即：
∴当x=1时，即：x=1时，y=1+1=2，
∴直线l过定点(1，2).
【知识点】二次函数的最值；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：(1)∵BD⊥CE，BD=1，，
∴四边形BCDE的面积=S△BCE+S△DCE
故答案为：.
【分析】】(1)分割法得到四边形BCDE的面积，即可得出结果；
(2)三角形的中位线定理，证明，进而推出，进而得到当四边形BCDE的面积最大时，S最大，过点B作BM⊥CE，过点D作DN⊥CE，则：BM≤BG，DN≤DG，进而得到四边形BCDE的最大面积，列出函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；
(3)根据平移规则，求出抛物线y的解析式，设xF=m，根据三角形的中线平分面积，得到K为F，Q的中点，进而得到Q点坐标，设，把H，Q的坐标代入l：y=k2x+b，求出k2，根据直线l过点H，将解析式写为y-yH=k2(x-xH)，得到，令x=1，求出y值，即可得出结果.
1 / 1四川省自贡市2025年中考数学真题
1．（2025·自贡）若，则内的数字是（ ）
A．-2 B．2 C．4 D．-4
【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：(-4)×(-2)=8，故A选项正确；
(-4)×2=-8，故B选项错误；
(-4)×4=-16，故C选项错误；
(-4)×(-4)=16，故D选项错误；
故答案为：A.
【分析】根据有理数的乘法计算法则，分别计算出-4与四个选项中的数的乘积即可得到答案.
2．（2025·自贡）起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图形绕某一点旋转180°后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形绕某一点旋转180°后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意；
D、图形绕某一点旋转180°后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案.
3．（2025·自贡）如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若、则的度数为（ ）
A．75° B．90° C．100° D．115°
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=115°，a//b，
∴∠3=∠1=115°，
∵c//d，
∴∠4=∠3=115°，
∴∠2=∠4=115°；
故答案为：D.
【分析】先证明∠3=∠1=115°，再证明∠4=∠3=115°，再结合对顶角的性质可得答案.
4．（2025·自贡）中国新能源汽车性能优越，近年来销售量持续攀升，2024年度销量已达到1286.6万辆.12866000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：12866000=1.2866×107，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.据此求解即可.
5．（2025·自贡）如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据题意得：其主视图是
故答案为：D.
【分析】根据从前面看到的图形是主视图，即可求解.
6．（2025·自贡）某校举行“唱红歌”歌咏比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如下表所示．三项评分所占百分比如下图所示，平均分最高的是（ ）
选手 专家组评分 教师组评分 学生组评分
甲 7 7 9
乙 8 7 8
丙 7 8 8
A．甲 B．乙
C．丙 D．平均分都相同
【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：甲的平均分为：7×50%+7×30%+9×20%=7.4(分)，
乙的平均分为：8×50%+7×30%+8×20%=7.7(分)，
丙的平均分为：7×50%+8×30%+8×20%=75(分)，
∴平均分最高的是乙；
故答案为：B.
【分析】根据平均数的含义分别计算甲、乙、丙的平均数，再比较即可.
7．（2025·自贡）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（ ）
A．（-3，5） B．（5，-3） C．（-2，5） D．（5，-2）
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形 A'B'C'D'.
∴AB=BC=A'B'=B'C'=C'D'=5，A'B'在x轴上，A'B'//C'D'，
∵B(0，-2)，
∴B'(2，0)，C'(2，5)，
∴D'(-3，5)，
故答案为：A.
【分析】由正方形与旋转可得A'B'在x轴上，A'B'//CD'，结合B(0，-2)，可得B'(2，0)，C'(2，5)，进一步可得答案.
8．（2025·自贡）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ）
A．140° B．150° C．160° D．170°
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：如图，
∵正六边形与正方形的两邻边相交，
∴∠4=90°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B=180°，∠1=α，∠2=β，
∴∠1+∠2=360°-90°-120°=150°，
∴α+β=∠1+∠2=150°，
故答案为：B.
【分析】先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案.
9．（2025·自贡）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长．则小地砖短边长（ ）
A．7cm B．8 C．9 D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设每块小平行四边形地砖的长为xcm，宽为ycm，
由题意得：
解得
则每块小平行四边形地砖的短边长为8cm，
故答案为：B.
【分析】设每块小平行四边形地砖的长为xcm，宽为ycm，由图示可得等量关系：①2个长=1个长+4个宽，②一个长+一个宽=40cm，列出方程组，解方程组即可.
10．（2025·自贡）分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（ ）
A．50° B．100°
C．130° D．或-
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB：，
∵PA，PB分别与☉O相切于A，B两点，
∴∠PAO=90°=∠PBO，
∵∠P=80°，
∴∠AOB=360°-2×90°-80°=100°
∴，∠C'=180°-50°=130°
故答案为：D.
【分析】连接OA，OB，求解∠AOB=360°-2×90°-80°=100°，再根据C的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案.
11．（2025·自贡）如图．在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（ ）
A．（11，-4） B．（10，-3） C．（12，-3） D．（9，-4）
【答案】B
【知识点】平移的性质；解直角三角形—边角关系；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA的延长线于点K，则∠AHO=∠BKA=90°=∠BAO，
∴∠BAK=∠AOH=90°-∠HAO，
∴△AHO∽△BKA，
∴，
∵∠A=90°，，A(-4，3)，
∴OH=3，AH=4，
∴
∴BK=8，AK=6，
∵平移，
∴OF=BK=8，OE=AK=6，
∴E(6，0)，
∴将点A先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点E，
∴将点O(0.0)先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点G，
∴G(10，-3)，
故答案为：B.
【分析】过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA的延长线于点K，证明△AHO∽△BKA，得到，根据点A的坐标，结合tan∠ABO的值，求出BK=8，AK=6，平移求出E点坐标，进而得到平移规则，再求出G点坐标即可.
12．（2025·自贡）如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（ ）
A．6 B．6 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：以点B为原点，BC所以直线为x轴，AB所在直线为y轴，设BD的中点为G，过点D在AD上方作DH⊥BD，使，过点作HK⊥AD于点K，连接BH，FH，AG，EG，则∠BDH=∠DKH=90°，
∵正方形 ABCD边长为6，
∴C(6，0)，D(6，6)，A(0，6)，
∴G(3，3)，
∴
∴
∵∠E=∠BAC=90°，
∴
∴点B、E、A、D在☉G上，
∴∠ABE=∠ADE，
∵∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠HDK=∠BDH-∠ADB=45°
∴∠HDK=∠ABD=45°，
∴∠ABE+∠ABD=∠ADE+∠HDK，
即∠EBG=∠FDH ，
∵2BE=3DF ，
∴
∴△BEG∽△DFH
∴
∴点F在以点H为圆心，为半径的圆上运动，
∵∠DHK=90°-∠HDK=45°，DK2+HK2=DH2，
∴DK=HK=2，
∴H(4，8)，
∴，
∵BF+FH≥BH ，
∴当点F在BH上时，BF取得最小值，，
故答案为：D.
【分析】以点B为原点，BC所以直线为x轴，AB所在直线为y轴，设BD的中点为G，过点D在AD上方作DH⊥BD，使，过点作HK⊥AD于点K，连接BH，FH，AG，EG，则∠BDH=∠DKH=90°，根据正方形性质，得C(6，0)，D(6，6)，A(0，6)，G(3，3)，和，，根据，得点B、E、A、D在☉G上，得∠ABE=L∠ADE，得∠EBG=/∠FDH，根据，得△BEG∽△DFH，得，得点F在以点H为圆心，为半径的圆上运动，根据DK=HK=2，得H(4，8)，得，得BF取得最小值.
13．（2025·自贡）计算： ．
【答案】0
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：0.
【分析】先化简，再合并即可.
14．（2025·自贡）分解因式： .
【答案】m（m-4）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：m（m-4）.
【分析】对原式直接提取公因式m即可.
15．（2025·自贡）若，则的值为 ．
【答案】1
【知识点】整式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵2a+b=-1，
∴b=-1-2a，
∴4a2+2ab-b=4a2+2a(-1-2a)-(-1-2a)=4a2-2a-4a2+1+2a=1，
故答案为：1.
【分析】由题意可得b=-1-2a，整体代入计算即可得解.
16．（2025·自贡）如图，在中，，于点，．以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．以点为圆心．的长为半径画弧．交于点，过点作，交于点；再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以的长为半径画弧，交于点，过点作，交于点；又以点为圆心……重复以上操作．则的长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；探索规律-图形的递变规律；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AC=BC，CD⊥AB于点D，AB=DC=2，
∴AD=BD=1，
∴，
∵以点B为圆心，DB的长为半径画弧，交BC于点E1，
∴BE1=BD=1，
∴，
∵以点C为圆心，CE1的长为半径画弧，交CD于点D1，
∴，
∵过点D1作D1F1⊥DC，交AC于点F1，
∴AD//D1F1，
∴△CD1F1∽△CDA，
∴，即，
∴，，
∵以点F1为圆心，F1D1的长为半径画弧，交AC于点F2，
∴
∴，
∵以CF2的长为半径画弧，交DC于点D2，
∴，
∵过点D2作D2E2⊥DC，交BC于点E2，
∴∠CD1F1=∠CD2E2=90°，
∵∠F1CD1=∠D2CE2，
∴△CD22E2∽△CD1F1
∴，即
∴
同理可得：，，…，
∴，
故答案为：.
【分析】由等腰三角形的性质可得AD=BD=1，由勾股定理得出，求出，，同理可得，，…，即可得解.
17．（2025·自贡）如图，在平面直角坐标系中，Rt的顶点分别在轴，轴正半轴上，．以为边作等边．连接，则的最大值为 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的性质；勾股定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2.
∴，
∵△BCD为等边三角形，
∴CD=BC=2，∠BCD=60°，
如图，取AC的中点E，连接OE、DE，作EF⊥CD交DC的延长线于F，
则，∠FCE=180°-∠ACB-∠BCD=30°，
∴，
∴
∴，
根据三角形三边关系可得：OD≤DE+OE，
∴
∴OD的最大值为，
故答案为：.
【分析】解直角三角形得出，由等边三角形的性质可得CD=BC=2，∠BCD=60°，取AC的中点E，连接OE、DE，作EF⊥CD交DC的延长线于F，则，∠FCE=30°，求出，，从而可得，由勾股定理可得，最后根据三角形三边关系可得OD≤DE+OE，即可得解.
18．（2025·自贡）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．
【答案】解：
由①得：x>-1，
由②得：x<2，
在数轴上表示其解集如下：
∴不等式组的解集为-1【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示解集的公共部分即可.
19．（2025·自贡）如图，，．求证：．
【答案】解：∵∠ABE=∠BAF，
∴AC=BC，
在△ACE和△BCF中，
∴△ACE≌△BCF(SAS)
∴AE=BF
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】由∠ABE=∠BAF可知AC=BC，在证明△ACE≌△BCF(SAS)，即可得出结论.
20．（2025·自贡）去年暑假，小张和小李同学主动帮刘大爷掰玉米，他们各留了36篮和30筐，两人劳动时间相同，小张平均每小时比小李多掰2筐，请问小李平均每小时掰玉米多少筐？
【答案】解：设小李平均每小时掰玉米筐，则小张平均每小时掰玉米筐．
根据题意，得
解得：x=10，
经检验：x=10是原方程的根且符合题意；
∴小李平均每小时掰玉米12筐．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设小李平均每小时掰玉米x筐，则小张平均每小时掰玉米(x+2)筐，根据题意，两人劳动时间相同，所以掰的玉米数之比等于他们的速度之比，可得，再解方程即可.
21．（2025·自贡）某校七年级拟组建球类课外活动兴趣班，为了解同学们的参与意向，学生会进行了随机问卷调查，要求被调查的同学在足球、篮球、乒乓球、羽毛球中任选一项．以下是依据调查数据，正在绘制中的统计图和统计表，请根据相关信息解答下列问题，
选择球类兴趣班人数条形统计图
选择球类兴趣班人数占比统计表
粗脚 球类活动兴趣班 占调查总人数百分比
A 足球 10%
B 篮球
C 乒乓球
D 羽毛球
（1）请补全上述条形统计图和占比统计表，若用扇形统计图反映选择球类活动兴趣班的人数占比，则篮球兴趣班的扇形圆心角为 ▲ 度；
（2）估计该校七年级400名学生中，选择乒乓球兴趣班的人数；
（3）若用电脑随机选择A，B，C，D四类兴趣班，请用列表或画树状图的方法，求该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率
【答案】（1）解：由条形统计图可知各球类兴趣班人数占比，设总人数为：
足球：4人，占比10%，得4÷n=10%，解得n=40．
补全条形统计图如图所示：
B组人数占调查总人数百分比为10÷40×100%=25%，
C组人数占调查总人数百分比为14÷40×100%=35%，
D组人数占调查总人数百分比为12÷40×100%=30%，
若用扇形统计图反映选择球类活动兴趣班的人数占比，则篮球兴趣班的扇形圆心角为360°×25%=90°
将以上数据填入条形统计图和占比统计表中：
组别 球类活动兴趣班 占调查总人数百分比
A 足球 10%
B 篮球 25%
C 乒乓球 35%
D 羽毛球 30%
（2）解：估计该校七年级400名学生中选择乒乓球兴趣班的人数：
人．
（3）解：用列表法求该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率：
所有可能组合为（A，A），（A，B），（A，C），（A，D），（B，A），（B，B），（B，C），（B，D），（C，A），，共16种．
其中该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的情况有1种，
∴该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率为.
【知识点】用样本估计总体；统计表；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)先求出本次调查的总人数，即可计算出D组的人数，从而即可补全条形统计图，分别求出B组、C组、D组人数占调查总人数百分比，即可补全选择球类兴趣班人数占比统计表，用360°乘以篮球兴趣班人数所占比例即可得解；
(2)用400乘以选择乒乓球兴趣班的人数所占的比例即可得解；
(3)列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可.
22．（2025·自贡）如图．等圆和相交于两点，经过的圆心，连接，作直径，延长到点，使，连接．
（1） 度；
（2）求证：为的切线；
（3）若，求上的长．
【答案】（1）30
（2）证明：如图，连接BC，
由(1)得：△AO1O2，△BO1O2是等边三角形，
∴∠AO2O=∠BO2O=60°，
∴∠BO2C=60°，
∵O2B=O2C，
∴△BO2C为等边三角形，
∴∠O2CB=60°=∠O2BC，CB=O2B，
∵DB=O2B，
∴DB=BC ，
∴，
∴∠O2CD=60°+30°=90°
∵O2C为半径，
∴CD为☉O的切线.
（3）解：∵，∠BDC=30°，∠O2CD=90°
∴，
∵∠AO2B=60°+60°=120°，
∴☉O2上的长
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；切线的判定；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接O1O2，AO1，BO1，
∵☉O1和☉O2相交于A，B两点，且☉O1经过☉O2的圆心O2，
∴AO1=BO1=AO2=BO2=O1O2，AB⊥O1O2，
∴四边形AO1BO2是菱形，△AO1O2，△BO1O2是等边三角形，
∴∠O1BO2=60°，
∴
故答案为：30.
【分析】(1)连接O1O2，AO1，BO1，证明AB⊥O1O2，四边形AO1BO2是菱形，△AO1O2，△BO1O2是等边三角形，可得∠O1BO2=60°，进一步可得结论；
(2)如图，连接BC，由(1)得：△AO1O2，△BO1O2是等边三角形，可得∠AO2O1=∠BO2O1=60°，证明△BO2C为等边三角形，可得∠O2CB=60°=∠O2BC，CB=O2B，证明DB=BC，可得，再进一步证明即可；
(3)由，∠BDC=30°，∠O2CD=90°，可得O2C=CD·tan30°=3，结合∠AO2B=60+60°=120°，再利用弧长公式计算即可.
23．（2025·自贡）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．
（1）求的值；
（2）若，求点坐标；
（3）双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标.
【答案】（1）解：∵点A(-2，a)在反比例函数上，
∴a=4，即A(-2，4)，
将A(-2，4)代入正比例函数y=kx中，
得-2k=4，
解得：k=-2.
（2）解：B在直线y=-2x上，
设B(m，-2m)，
∵过点B作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点D，
∴，
∵BD=2，
∴
整理得：m2-2m-4=0，
解得：或(不符合题意舍去)，
∴.
（3）解：∵双曲线关于y轴对称的图象为y'，
∴，
如图，
由旋转可得：OA=OA'，∠AOA'=90°，
过A作AK⊥x轴于K，过A'作A'L⊥x轴于L，
∴∠AKO=∠A'LO=90°，
∴∠AOK=90°-∠A'OL=∠OA'L，
∴△AOK≌△OA'L，
∵A'(-2，4)，
∴OL=AK=4，A'L=OK=2，
∴A'(4，2)，
当x=4时，，
∴A'(4，2)在的图象上，
由反比例函数是中心对称图形可得：A"(-4，-2)，
∴射线OA绕点O旋转90°后与y'的交点坐标为(4，2)或(-4，-2).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；轴对称的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；中心对称的性质
【解析】【分析】(1)点 A(-2，a)在反比例函数上，可得a=4，即 (-2，4)，将A(-2，4)代入正比例函数y=kx中，进一步求解即可；
(2)设B(m，-2m)，结合过点B作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点D，可得，可得，再解方程进一步求解即可；
(3)求解，如图，由旋转可得：OA=OA'，∠AOA'=90°，过A作AK⊥x轴于K，过A'作A'L⊥x轴于L，证明△AOK≌△OA'L，可得A'(4，2)，证明A'(4，2)在的图象上；结合反比例函数是中心对称图形可得：A"(-4，-2)，从而可得答案.
24．（2025·自贡）如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下．
（1）制作工具
如图2，在矩形木板上点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物，过点画射线．测量时竖放木板，当重垂线时，将等腰直角三角尺的直角顶点紧靠铁钉，绕点转动三角尺，通过边瞄准目标，测量可得仰角度数．采用同样方式，可测俯角度数．
测量时，是否水平呢？小蕊产生了疑问．组长对她说：“因为始终垂直于水平面，满足就行．”求证：．
（2）获取数据
如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼阳台处测得塔底的仰角为，在25楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为．
如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个，．在边上取两点，使，量得，，，则 ， ， （结果保留小数点后两位）．
（3）计算塔高
请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）．
（4）反思改进
小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议（总字数少于50字）．
【答案】（1）证明：∵四边形HIJK为矩形，
∴∠H=90°，
∵QM//HK，
∴∠IQM=∠H=90°
又∵OG//HI ，
∴∠MOG=∠IQM=90°
∴OG⊥QM
（2）0.09；0.16；0.26
（3）解：如图，延长DR交TU于F，延长PS交TU于E，
则∠DFE=∠PEF=∠DFT=∠DPE=90°，
∴四边形DPEF为矩形，
∴DP=EF，DF=PE，
由题意可得：DP=(25-15)×3=30米，∠EPU=5.1°，∠FDU=9.1°，∠TDF=14.5°，
设EU=x米，则FU=EF-EU=(30-x)米，
∵，，
∴，，
∴
解得：x=10.8，
∴FU=30-10.8=19.2米，米，
∵，
∴TF=31.2米，
∴TU=TF+UF=19.2+31.2≈50米，
即该塔高度为50米.
（4）解：使用高精度测量工具：为提高测量精度，应使用激光测距仪、高精度全站仪等高精度测量工具进行距离和角度的测量．
多次测量取平均值：在同一位置进行多次测量，并计算平均值，以减少偶然误差的影响．
考虑大气折射等因素：在远距离测量时，应考虑大气折射等因素对测量结果的影响，并进行相应的校正．
建立更精确的数学模型：结合楼层高度、角度测量值等数据，建立更精确的数学模型来计算塔高．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：(2)在Rt△VWY中，∠W=90°，∠YVW=5.1°，VW=10.0cm，YW=0.91cm，
∴tan5.1°=tan∠YVW=YW=0.91≈0.09，
∵∠XVY=4.0°，∠YVW=5.1°，XY=0.70cm，YW=0.91cm
∴∠XVW=∠XVY+∠YVW=9.1°，XW=XY+YW=1.61cm，
∵在Rt△VWX中，∠W=90°，∠XVW=9.1°，VW=10.0cm，XW=1.61cm，
∴
∵YW=0.91cm，XY=0.70cm，ZX=0.94cm ，
∴ZW=ZX+XY+YW=2.55cm
∵在Rt△VWZ中，∠W=90°，∠ZVW=14.5°，VW=10.0cm，ZW=2.55cm，
∴，
故答案为：0.09，0.16，0.26.
【分析】(1)根据矩形的性质和平行线的性质证明即可；
(2)根据正切的定义计算即可得解；
(3)延长DR交TU于F，延长PS交TU于E，则四边形DPEF为矩形，由矩形的性质可得DP=EF，DF=PE，由题意可得DP=30米，∠EPU=5.1°，∠FDU=9.1°，∠TDF=14.5°，设EU=x米，则FU=(30-x)米，解直角三角形得出，求出FU=19.2米，PE=DF=120米，再解直角三角形得出TF=31.2米，即可得解；
(4)结合题意提出合理的建议即可.
25．（2025·自贡）如图，在中，分别是的中点，连接，交于点．
（1）若，，，则四边形的面积为 ；
（2）若，的最大面积为．设，求与之间的函数关系式，并求的最大值；
（3）若（2）问中取任意实数，将函数的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数的图象．直线交该图象于点，（点在点左边），过点的直线交该图象于另一点，过点的直线与直线交于点．若，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位数，
∴DE//BC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴
∴
∴
∴当四边形BCDE的面积最大时，△ABC的面积最大，
过点B作BM⊥CE，过点D作DN⊥CE，则：BM≤BG，DN≤DG，
∵四边形BCDE的面积=S△BCE+S△DCE
∴四边形BCDE的面积最大，
∵，BD=x，
∴，
∴
∴当时，S最大为.
（3）解：直线l是过定点：
由(2)知： ，
∴，
∴，
设xF=m，
∵S△HFK=S△HKQ ，
∴K为F，Q的中点，
∵过点F，Q的直线与直线x=1交于点K，
∴xK=1，
∴xQ=2-m，
∴
设，
∴
解得：，
∴直线l：y-yH=k2(x-xH)，
即：
∴当x=1时，即：x=1时，y=1+1=2，
∴直线l过定点(1，2).
【知识点】二次函数的最值；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：(1)∵BD⊥CE，BD=1，，
∴四边形BCDE的面积=S△BCE+S△DCE
故答案为：.
【分析】】(1)分割法得到四边形BCDE的面积，即可得出结果；
(2)三角形的中位线定理，证明，进而推出，进而得到当四边形BCDE的面积最大时，S最大，过点B作BM⊥CE，过点D作DN⊥CE，则：BM≤BG，DN≤DG，进而得到四边形BCDE的最大面积，列出函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；
(3)根据平移规则，求出抛物线y的解析式，设xF=m，根据三角形的中线平分面积，得到K为F，Q的中点，进而得到Q点坐标，设，把H，Q的坐标代入l：y=k2x+b，求出k2，根据直线l过点H，将解析式写为y-yH=k2(x-xH)，得到，令x=1，求出y值，即可得出结果.
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