【学情分析】
本节课是学生在学习了正比例函数，一次函数和反比例函数，二次函数的概念、图像和性质后进一步学习二次函数的应用。学生有了一定的二次函数的知识，并且在前两节课已经接触到运用二次函数的知识解决函数的最值问题，而本节课需要利用建模的思想，将实际问题转化为二次函数的问题，从而使问题得到解决。建立二次函数关系对学生而言比较困难，尤其是关注实际问题中自变量的取值范围，需要学生经历分析、讨论、对比等过程，进而得出结论。本节课的问题均来自学生的日常生活，学生会感到很有兴趣，愿意去探究。但学生基础比较薄弱，对学习数学还是有一些畏难的情绪，因此需要教师进行适当引导、分散难点。
【效果分析】
本节课用二次函数的观点解决实际问题，在展示问题的时候，创设了学生熟悉的情境，这样更能引起学生的兴趣，使学生更积极地参与到教学中来，因为情境熟悉，也能快速地让学生产生共鸣。创设了轻松愉快的教学环境与氛围，，师生互动较好，这样能使学生主动思考，利用已有知识顺利解决了老师设计的几种变形。在解决在自变量取值范围内求最大（小）值问题培养学生数形结合的思想和分类讨论的数学思想。及时进行归纳小结，形成规律，进而顺利解决几种变式，在教学过程中让学生主动思考，感受题目的变化带来的解析式的不同，取值范围的差异，一题多变，培养了学生的发散思维能力，体现了新课标中研究性学习的思想，培养了学生的思维能力和思维方式。最后，让学生体会到利用二次函数解决实际问题关键在于建立函数模型，利用函数的最大（小）的求法解决问题。从整体看整个教学环节比较完整。
【课后反思】 教学时，能够达到三维目标的要求，抓住了重点，分散难点并逐步突破难点，能够让学生经历数学知识的形成过程，让学生利用已有知识解决实际问题，用二次函数解决实际问题的关键在于分析问题情境，找出常量与变量，用已知量去表示未知量从而列出函数关系式，建立函数模型，在自变量取值范围内求最大（小）值，突出以学生为主体，教师只是引导学生经历分析——观察——抽象——概括——发现新知——解决新知的过程。为了让学生发现方法、领悟方法、运用方法，同时我特意给学生留有一定的思考和交流讨论的时间。通过题目检测，达到了预设目标。 ???????????? ?
人教版初中数学九年级上册
22.3 实际问题与二次函数（第1课时）
山东省邹城市王村中学 张 杰
【教学目标】
? ◆知识技能 ? ??通过探究实际问题与二次函数关系,让学生掌握利用顶点坐标解决最大值(或最小值)问题的方法. ? ◆数学思考 ? ? 1.通过研究生活中实际问题,让学生体会建立数学建模的思想. ? ? 2.通过学习和探究“矩形面积”问题,渗透转化及分类的数学思想方法. ??◆解决问题 ? ??通过研究生活中实际问题,体会数学知识的现实意义,进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题. ? ◆情感态度 ? ??通过将“二次函数的最大值”的知识灵活用于实际,让学生亲自体会到学习数学的价值,从而提高学生学习数学的兴趣.
【重点】? ??探究利用二次函数的最大值(或最小值)解决实际问题的方法. 【难点】 ?1、读懂题意，找出相关的数量关系，正确构建数学模型。
2、理解与应用函数图像顶点、端点与最值的关系。
【教学过程】
一、情景导入，初步认识
问题1: 中考在即，同学们都在准备体育测试。小明从地面竖直向上抛出一个铅球，铅球的高度y（单位：m）与铅球的运动时间x（单位：s）之间的关系是y=30x-5x2（0≤x≤6）。铅球运动的时间是多少时，铅球最高？铅球运动中的最大高度是多少？
师生活动：教师提出问题，学生尝试回答。
（1）图中抛物线的顶点在哪里？
（2）这个抛物线的顶点是否是铅球运动的最高点？
（3）铅球运动至最高点的时间是什么时间？
（4）通过前面的学习，你认为铅球运行轨迹的顶点坐标是什么？
师生活动：
教师追问：如何求出球的最大高度呢？
学生回答：当x=3时 y最大=45
设计意图：通过追问为学生提供解决此类问题的思路，让学生在问题解决的过程中体会二次函数与实际问题的联系。
二、结合问题 ，拓展一般
问题 2 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，如何求出它的最小（大）值呢？
当a﹥0时，函数图像开口向上，y取最小值。
当a﹤0时，函数图像开口向下，y取最大值。
设计意图：让学生得出求二次函数的最小（大）值的结论，体会由特殊到一般的思想方法。
问题3 从地面竖直向上抛出一铅球，铅球的高度 y（单位：m）与铅球的运动时间 x（单位：s） 之间的关系式是y= 30x – 5x 2 （0≤x≤2）． 铅球的运动时间是多少时，铅球最高？铅球运动中的最大高度是多少？
问题4 从地面竖直向上抛出一铅球，铅球的高度 y（单位：m）与铅球的运动时间 x（单位：s）之间的关系式是y= 30x- 5x2 （1≤x≤4）．铅球的运动时间是多少时，铅球最高？铅球运动中的最大高度是多少？
问题5 从地面竖直向上抛出一铅球，铅球的高度 y（单位：m）与铅球的运动时间 x（单位：s）之间的关系式是y= 30x- 5x 2 （4≤x≤6）．铅球的运动时间是多少时，铅球最高？铅球运动中的最大高度是多少？
设计意图：借助图形，指导学生解决此类问题的基本过程和基本方法，使学生能直观体验和经历发现问题、分析问题、解决问题的过程，让不同层次的学生对本题数量关系的加深理解，便于今后学习过程中利用本模型来解决实际问题。
类比引入 ， 探究问题
问题：如图，用总长为24米的篱笆，围成长方形养鸡场.设养鸡场的长BC为x米，面积为y平方米.
试问：
(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围？
(2)x取何值时所围成的面积最大，最大值是多少？
师生活动:教师引导学生整理上面解决问题的一般步骤，分析出利用二次函数解决实际问题的一般方法，学生思考后回答，然后师生共同总结。
列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。
在自变量取值范围内，求出二次函数的最大值或者最小值。
设计意图：引导学生自主学习，对解决问题的基本策略进行反思，通过学生之间的合作与交流，让学生积累和总结经验，培养学生归纳概括的能力，养成良好的学习习惯。
四 、 运用新知，深化理解
变式一：如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够长）围成长方形养鸡场.设养鸡场的长BC为x米，面积为y平方米.
试问：
(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围？
(2)x取何值时所围成的面积最大，最大值是多少？
变式二： 如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的长度为10米）围成长方形养鸡场.设养鸡场的长BC为x米，面积为y平方米.
试问：
(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围？
(2)x取何值时所围成的面积最大，最大值是多少？
变式三： 如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形养鸡场.设养鸡场的长BC为x米，面积为y平方米.
试问：
(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围？
(2)x取何值时所围成的面积最大，最大值是多少？
师生活动：通过试题的变式，进行巩固训练，引导学生借助上面解决问题的经验解决问题。
设计意图：巩固本节课所学内容，再次体会实际问题与二次函数的联系，进一步掌握在不同的取值范围内，利用图像的端点和顶点来确定函数值的最大与最小值。
五 、 师生互动，课堂小结
1.通过本节课的学习你有什么收获？
2.你觉得这节课有哪些问题需要特殊关注的？谈谈自己的看法。
设计意图：通过小结，归纳提升，加强学习反思，帮助学生养成善于总结，归纳整理的习惯，便于知识网络的形成。
六、练习巩固 ，效果评测
在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：
(1)运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2。
(2)设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
(3)t为何值时S最小？求出S的最小值。
设计意图：考查学生对本节课所学的内容的理解和掌握情况。
七、作业布置 ， 课外延伸
1.必做题：教科书习题22.3 第1，4，5题
2.选做题：教科书习题22.3 第7，8题．
课件18张PPT。 （1）图中抛物线的顶点在哪里？
（2）这个抛物线的顶点是否是铅球运动的最高点？
（3）铅球运动至最高点的时间是什么时间？
（4）通过前面的学习，你认为铅球运行轨迹的顶点坐标是什么？y=30x-5x2（0≤x≤6）345．．．二次函数的
最小(大)值函数图象最高（低）点
（自变量取值范围内）ABCD 解决此类问题的基本思路。【1】理解问题；【2】分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系；【3】 列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，
确定自变量的取值范围；【4】 在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方
求出二次函数的最大值或最小值；【5】 检验结果的合理性。
在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：
(1)运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米。
(2)设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为S平方厘米，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
(3)t为何值时S最小？求出S的最小值。【教材分析】
二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题。而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，面积问题与最大利润学生易于理解和接受，让学生通过掌握求面积、利润最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题，此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，设计时把它分为面积、利润最大、运动中的二次函数、综合应用三课时，本节是第一课时。
《22.3二次函数与实际问题》课堂观察记录表单（1）
任职学校
邹城市香城镇
王村中学
任教
学科
数学
任教
年段
九年级
上册
姓名
张杰
观察
视角
一、教什么
观察记录
观察视点
【教学目标】
是否明确而恰当？
教学紧扣课标，教学目标明确,符合课程实施标准。
【主干知识】
教师是如何呈现给不同学生的？
采用变式教学，充分利用多媒体课件，创设教学情境,深入浅出，
由浅入深。
【内在联系】
是否注意建立知识横向或纵向联系，与生活联系？
注重知识之间的横向联系,注重知识整体与部分的联系。
【学科特点】
是否体现了学科特点与本质？
教学从学生身边生活实际入手，逐渐变换条件，一题多变，充分体现了数学学科的特点与本质。
【详略得当】
是否做到了易懂的少讲或不讲、易混的细讲并辨析？
教学有取舍，重点放在最大（小）的求法上，能够做到详略得当,重点突出,难点突破，适时点拨和引导。
【教学资源】
是否合理使用教材和校内外教学资源？
合理使用教材和多媒体,展现课堂知识。选取了跟二次函数在不同取值范围内，不同的最值取法。
【学法指导】
是否注重学习方法的指导和培养？
注重学习方法的指导和培养，如教给学生做材料解析题的方法,培养学生良好学习习惯。
教学改进建议：
如果留给学生更充裕的时间，让学生思考、分析和总结，效果更好。
记录人：孙强
《22.3二次函数与实际问题》课堂观察记录表单（2）
任职学校
邹城市香城镇
王村中学
任教
学科
数学
任教
年段
九年级
上册
姓名
张杰
观察视角
二、怎么教
观察记录
观察视点
【先学后教】
能否通过预学，提醒学习要点。
通过实例展示，让学生整体了解所学知识。
【以学定教】
能否针对学生的问题有效教学？
采取小组合作探究形式，师生共同探讨解答。
【课堂提问】
启发式提问的次数，无效提问的次数？
启发式提问20次以上，无无效提问.
【示范操作】
教师能否示范高水平操作行为？
教师的教学设计体现教改，教学活动丝丝入扣，能够展示高超的教学艺术。
【变式训练】
能否分层设计变式训练题？
教学问题的设计目由易到难，有基础性到开放性。
【当堂检测】
能否当堂检测学习效果？
随堂跟教学进度同步，当堂检测学习效果，并及时反馈回授
【教学特色】
能否将探究式教学与有意义接受式教学相结合？
能教学过程中，设计的教学活动富有探究性，贴近学生的认知特点，取得了良好的效果。
教学改进建议：
在自变量取值范围内求最值是本课的教学重点，应该引导学生进行适当的表述。
记录人：孙传军
《22.3二次函数与实际问题》课堂观察记录表单（3）
任职学校
邹城市香城镇
王村中学
任教
学科
数学
任教
年段
九年级
上册
姓名
张杰
观察视角
三、怎么学
观察记录
观察视点
【指导预习】
是否布置学生预习和思考练习，从中发现学生的问题？
布置了预习，主要安排了学生对函数解析式的求法，自变量取值范围的求法，公式法求最值的方法。
【学思结合】
是否引导学生思考教学内容，并主动发现、提出问题？
教师的提问灵活多样，富有启发性，充分调动了学生的积极性，能够引导学生进行深入的思考。
【合作学习】
形式、次数，是否有效组织、汇报交流、点拨指导？
整堂课都在小组合作，动手训练，教师适时点拨订正。
【聆听心声】
教师能否细心聆听学生不同意见，然后灵活积极地回应？
教师能够细心聆听学生的不同意见，并灵活积极的回应。
【情境创设】
是否创设情境，导入新课，激发兴趣，引导学生主动学习？
利用实际问题引入材料激发学生学习兴趣，引导学生主动学习。
【课堂活动】
学生活动效果如何？
学生学习积极主动，效果良好。
【学法指导】
学生用工具、记笔记、抓要领、做小结、做对比等情况
引导学生进行史料分析，抓重点，总结知识结构
教学改进建议：
课件中的问题教师及时给予解读，学习效果会更好。
记录人：周元庆
《22.3二次函数与实际问题》课堂观察记录表单（4）
任职学校
邹城市香城镇
王村中学
任教
学科
数学
任教
年段
九年级
上册
姓名
张杰
观察视角
四、学得如何
观察记录
观察视点
【目标达成】
通过当堂教学目标是否达成？
检查预期教学目标是否达成。
【各有所得】
全班不同水平的学生是否各有所得？
是，根据学生水平掌握不同知识点，体现了分层教学，因材施教的教学原则。
【特殊需要】
是否能了解、满足学生的特殊教育需要？
可以满足学生的特殊教育需要。对个别学生在课上进行个别辅导。
【时间空间】
是否给学生创设必要的时空、进行独立思考与实践？
留给学生创设必要的时间，让学生进行独立思考与实践。
【问题解决】
学生学习中的疑难问题，是否得到有效解决？
学生学习中的疑难问题，通过合作探究得到有效解决。
【活动完成】
老师分层布置的作业，学生完成的程度。
大多数能够完成，个别学生有待提高。
【课堂实效】
学生对同一问题有无独特的思考和创见
学生对同一问题有独特的思考和创见，老师根据问题及时引导点拨。
教学改进建议：
通过训练提高学生的做题速度。
记录人：程发勇
【评测练习】
将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是______cm2．
用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?
3、在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：
(1)运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2。
(2)设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
(3)t为何值时S最小？求出S的最小值。
【课标分析】
《22.3实际问题与二次函数》的内容是用二次函数解决简单的实际问题，以及用二次函数解释现实生活中的一些现象，本节课是第一课时----面积问题，新课程标准强调动手实践、自主探索与合作交流应该是学生学习数学的重要方式。教师应该是学生数学学习的组织者、引导者、合作者。同时，我认为教学方法与学习方法应该是相辅相成的不应该是割裂开来的，而且在一节课中教学方法和学习方法不可能是单一的而是多种方式方法并存的，因此根据本节课的内容和学生的实际情况，同时也为了突出本节课的重点并突破学习难点我确定本节课的教法与学法有启发法、探究法、课堂讨论法、练习法等。
