【精品解析】广东省汕头市潮阳一中明光学校2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

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名称 【精品解析】广东省汕头市潮阳一中明光学校2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2025-06-20 14:49:58

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广东省汕头市潮阳一中明光学校2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题
1.(2025高二下·潮阳月考)已知集合,,则
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解:因为

.
故答案为:.
【分析】利用已知条件和绝对值不等式求解方法、元素与集合的关系,从而得出集合B,再结合并集的运算法则,从而得出集合.
2.(2025高二下·潮阳月考)若复数 满足 ,其中 为虚数单位, 是 的共轭复数,则复数 (  )
A. B. C.4 D.5
【答案】D
【知识点】复数的基本概念;复数代数形式的加减运算;复数的模
【解析】【解答】解:复数z=a+bi,a、b∈R;
∵2z ,
∴2(a+bi)﹣(a﹣bi)= ,
即 ,
解得a=3,b=4,
∴z=3+4i,
∴|z| 。
故答案为:D.
【分析】利用复数域共轭复数的关系,再结合复数的加减法运算法则,再结合复数相等的判断方法,从而求出a,b的值,进而求出复数z,再利用复数求模公式,进而求出复数的模。
3.(2025高二下·潮阳月考)函数在区间上的零点个数为(  )
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式;函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解:令,可得,
解得或,
因为,所以或或或或,
即零点共有5个零点,
故答案为:B.
【分析】令,利用二倍角公式可得或,再求零点个数即可.
4.(2025高二下·潮阳月考)已知一圆锥的底面直径与母线长相等,一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切,则球与圆锥的表面积之比为(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用;圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解:设圆锥底面圆半径为,球的半径为,
由题意知,圆锥的轴截面是边长为的等边三角形,球的大圆是该等边三角形的内切圆,
所以,,
则,
所以,球与圆锥的表面积之比为.
故答案为:B.
【分析】设圆锥底面圆半径为,球的半径为,根据题意画出图形,结合图形求出与的关系式,再利用球的表面积公式和圆锥的表面积公式,从而计算出球与圆锥的表面积,进而得出它们的表面积的比值.
5.(2025高二下·潮阳月考)2022年11月,第五届中国国际进口博览会在上海举行,组委员会安排5名工作人员去A,B等4个场馆,其中A场馆安排2人,其余比赛场馆各1人,则不同的安排方法种数为(  )
A.48 B.60 C.120 D.240
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理;简单计数与排列组合
【解析】【解答】分为两步,第一步:安排2人去A场馆有种结果;第二步:安排其余3人到剩余3个场馆,有种结果,所以不同的安排方法种数为。
故答案为:B.
【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式,再结合分步乘法计数原理,进而求出不同安排方法的种数。
6.(2025高二下·潮阳月考)纯电动汽车是以车载电源为动力,用电机驱动车轮行驶,符合道路交通 安全法规各项要求的车辆,它使用存储在电池中的电来发动.因其对环境影响较小,逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变,1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式:,其中为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert常数),在电池容量不变的条件下,当放电电流为时,放电时间为;当放电电流为时,放电时间为,则该萻电池的Peukert常数约为(  )(参考数据:,)
A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.15
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则;换底公式及其推论;“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解:由题意知,
所以,两边取以10为底的对数,得,
所以.
故选:D.
【分析】根据题意可得,再结合对数式与指数式的互化及换底公式,准确计算,即可求解.
7.(2025高二下·潮阳月考)若直线与曲线相切,则的最小值为(  )
A. B.1 C. D.2
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质;函数的最大(小)值;导数的几何意义
【解析】【解答】解:设切点为,
曲线定义域为,,
因为直线的斜率为,所以,即,
又因为切点既在直线上又在曲线上,所以且,
即.
将代入,可得,即,
将代入,
可得,
当,时,取得最小值为.
故答案为:A.
【分析】设切点,求导,利用导数的几何意义列出等式,再利用二次函数的性质求最小值即可.
8.(2025高二下·潮阳月考)已知函数(其中表示不超过的最大整数),则关于的方程的所有实数根之和为(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】整系数代数方程的有理根
【解析】【解答】解:因为,
则,
因为,
可得,解得,
当时,满足题意;
当时,即当时,解得,满足题意;
当时,即当时,解得,满足题意,
则所有实数根之和为.
故答案为:A.
【分析】利用已知条件将方程转化为,再结合的定义可得,从而得出,进而解不等式得出x的取值范围,再分别判断个区间内解的情况,从而得出关于的方程的所有实数根之和.
9.(2025高二下·潮阳月考)将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线,则下列结论正确的是(  )
A. B.
C.在上有4个零点 D.在上单调递增
【答案】B,C
【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;含三角函数的复合函数的单调性;函数的零点与方程根的关系;运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解:根据图象变换可得,故A错误;
由,故B正确;
由,得,
所以在上有4个零点,故C正确;
由,得
由正弦函数图象与性质,可知在上不单调,故D错误.
故答案为:BC.
【分析】根据三角型函数的图象变换得出,再根据三角函数的诱导公式、函数的零点的定义和三角型函数的单调性,从而逐项判断找出结论正确的选项.
10.(2025高二下·潮阳月考)若,其中为实数,则(  )
A. B.
C. D.
【答案】B,C
【知识点】二项式系数的性质;二项式系数
【解析】【解答】解:令,
则原式转化为:,
由二项式定理,得,
令,得;
令,得,
所以.
故答案为:BC.
【分析】先换元,令,则原式转化为:,再利用二项式定理和赋值法,从而逐项判断找出正确的选项.
11.(2025高二下·潮阳月考)甲罐中有个红球,个白球,乙罐中有个红球,个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,再从乙罐中随机取出一球.表示事件“从甲罐取出的球是红球”,表示事件“从甲罐取出的球是白球”,表示事件“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的是( )
A.为互斥事件 B.
C. D.
【答案】B,D
【知识点】互斥事件与对立事件;全概率公式;条件概率
【解析】【解答】解:对于A: 因为事件可以同时发生,显然不成立,故A错误;
对于B:当发生时,乙罐中有个红球,个白球,此时发生的概率为,
∴,故B正确;
对于D: 当发生时,乙罐中有个红球,个白球,此时发生的概率为,
∴,
∴,故D正确;
对于C:因为,故C错误.
故答案为:BD.
【分析】利用互斥事件概念、条件概率公式和全概率公式,从而逐项判断找出结论正确的选项.
12.(2025高二下·潮阳月考)离散型随机变量X的概率分布中部分数据丢失,丢失数据以x,y代替,其概率分布如下:
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 x 0.10 y 0.20
则等于   .
【答案】
【知识点】概率的基本性质;互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解:由概率分布的性质可知随机变量的所有取值的概率和为1,
则.
故答案为:.
【分析】由随机变量的所有取值的概率和为1和对立事件求概率公式,从而得出的值.
13.(2025高二下·潮阳月考) 展开式中含 项的系数为   (结果用数值表示).
【答案】9
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解:
二项式 的展开式中,通项公式为 ,
分别取 ,5,可得 展开式中含 项的系数为: .
故答案为:9.
【分析】求出 展开式中的常数项和含 项,利用多项式乘多项式得答案.
14.(2025高二下·潮阳月考)若数列满足,(,),则的最小值是   .
【答案】6
【知识点】数列的求和;数列的递推公式
【解析】【解答】解:由已知,,…,,,
由累加法可知:
,,
又也满足上式,所以,
设,由对勾函数性质知在上单调递减,在递增,
因此在时递减,在时递增,
又,,
所以的最小值是6.
故答案为:6.
【分析】利用累加法和对勾函数的性质求可求得最小值.
15.(2025高二下·潮阳月考)在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.求:
(1);
(2)的取值范围.
【答案】(1)解:因为,
所以,
因为,

因为
(2)解:由正弦定理,

因为,所以,所以,
所以,所以的取值范围是
【知识点】二倍角的正弦公式;二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系;正弦定理
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合正弦定理和三角形中角的取值范围,进而得出角A的值。
(2)利用已知条件结合正弦定理和两角差的正弦公式,再结合二倍角的正弦公式和余弦公式,再结合同角三角函数基本关系式和三角形中角的取值范围,进而结合正切函数的图象求值域的方法和构造法,从而得出 的取值范围 。
16.(2025高二下·潮阳月考)已知函数.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若,求证:函数存在极小值;
(3)若对任意的实数,恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)解:当时,,
所以,
所以,
则曲线在点处的切线方程为.
(2)证明:由,
得,
令,
则,
当时,;当时,,
所以在区间上是减函数,在区间上是增函数,
所以的最小值为,
当时,,,
又因为在单调递增,
所以,存在,使得,
在区间上,在区间上,
所以,在区间上,在区间上,
所以,在区间上单调递减,在区间上单调递增,
故函数存在极小值.
(3)解:对任意的实数,恒成立,
等价于的最小值大于或等于.
①当时,,
由(2)得,所以,
所以在上单调递增,
所以的最小值为,
由,得,满足题意;
②当时,由(2)知,在上单调递减,
所以,在上,不满足题意,
综上所述,实数a的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题;利用导数研究函数最大(小)值;利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)将代入求出的值,从而得出,进而得到,则得出切线的斜率,再利用点斜式方程写出曲线在点处的切线方程.
(2)先求导得,令函数,可证出函数在上有一个零点,从而证出函数在单调递减,在上单调递增,进而证出函数在处取得极小值.
(3)当时,由(2)可知,则函数恒成立,所以恒成立,所以函数在上单调递增,故只需即可,从而得出;当时,由(2)可知存在,使得,则函数在上单调递减,从而得出,不符合条件,综上可得的取值范围.
17.(2025高二下·潮阳月考)如图,在四棱锥中,底面ABCD是矩形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=a,E是PC的中点,过E作EF⊥PB,交PB于点F.
(1)证明:PB⊥平面EFD;
(2)若平面PBC与平面PBD的夹角的大小为,求AD的长度.
【答案】(1)证明:∵PD⊥底面ABCD,且底面ABCD是矩形,
∴,,
又因为,
∴平面PDC,
∵平面PDC,
∴,
又∵,E是PC的中点,
∴,
∵,
∴DE⊥平面PBC,
∴,
又因为,,
∴PB⊥平面EFD.
(2)解:如图,由题意知DA、DC、DP两两互相垂直,以D为坐标原点,DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设
则,,,,,
∴,,
由(1)知,DE⊥平面PBC,故是平面PBC的一个法向量,
且.
设平面PBD的法向量为,
由得

取,得,
∴,解得,
则.
【知识点】直线与平面垂直的判定;用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)要证PB⊥平面EFD,则要证PB⊥DE,则证DE⊥平面PBC,则证DE⊥BC,则证BC⊥平面PCD,从而证出线面垂直.
(2)以D为坐标原点,DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设,得出平面PBC和平面PBD的法向量,再利用数量积求向量夹角公式结合平面PBC与平面PBD的夹角的大小为,从而得出t的值,则得出AD的长.
(1)∵PD⊥底面ABCD,且底面ABCD是矩形,
∴,,
又,∴平面PDC,
∵平面PDC,∴.
又∵,E是PC的中点,∴,
∵,∴DE⊥平面PBC,∴.
又,,∴PB⊥平面EFD;
(2)如图,由题意知DA、DC、DP两两互相垂直,以D为坐标原点,DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设,
则,,,,,
∴,,
由(1)知,DE⊥平面PBC,故是平面PBC的一个法向量,且.
设平面PBD的法向量为,
由得即取,得,
∴,解得,即.
18.(2025高二下·潮阳月考)已知圆,圆,.当r变化时,圆与圆的交点P的轨迹为曲线C,
(1)求曲线C的方程;
(2)已知点,过曲线C右焦点的直线交曲线C于A、B两点,与直线交于点D,是否存在实数m,,使得成立,若存在,求出m,;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(1)由题意可知,,,
所以,
所以,曲线C为以、为焦点的椭圆,
且,,,
所以曲线C的方程为.
(2)假设存在,由题意知直线AB的斜率存在,
设直线AB的方程为,,,
联立|,
消去y整理得,,
则,,
所以

因为,
所以,
所以,,
则,
所以,存在,使成立.
【知识点】椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)利用圆F1与圆F2的交点满足,,再利用,从而得出点P的轨迹满足椭圆方程,从而得出椭圆C的标准方程.
(2)设直线AB的方程为,与椭圆联立,利用两点求斜率公式分别表示出,,利用韦达定理,代入化简,再结合,从而得出参数m,的值.
19.(2025高二下·潮阳月考)学校食堂为了减少排队时间,从开学第天起,每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐,若他前天选择了米饭套餐,则第天选择米饭套餐的概率为;若他前天选择了面食套餐,则第天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第天中午选择米饭套餐的概率为.
(1)求该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率;
(2)记该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率为证明:当时,.
【答案】(1)解:设“第天选择米饭套餐”,
则“第天选择面食套餐”,
根据题意,得,,,,
由全概率公式,得:
(2)证明:设“第天选择米饭套餐”,
则,,,,
由全概率公式,得:,
则,
所以,
因为,
所以是以为首项,为公比的等比数列,
可得,
当为大于的奇数时,
当为正偶数时,,
综上所述:当时,.
【知识点】等比数列概念与表示;等比数列的通项公式;全概率公式;条件概率
【解析】【分析】(1)由已知条件结合条件概率公式和全概率公式,从而得出该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率.
(2)由已知条件结合全概率公式和等比数列的定义,从而判断出数列是以为首项,为公比的等比数列,利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式,再分类讨论结合放缩法,从而证出当时,成立.
(1)设“第天选择米饭套餐”,则“第天选择面食套餐”,
根据题意,,,,
由全概率公式,得;
(2)设“第天选择米饭套餐”,
则,,,,
由全概率公式,得,
即,所以,
因为,所以是以为首项,为公比的等比数列;
可得,
当为大于的奇数时,;
当为正偶数时,,
综上所述:当时,.
1 / 1广东省汕头市潮阳一中明光学校2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题
1.(2025高二下·潮阳月考)已知集合,,则
A. B. C. D.
2.(2025高二下·潮阳月考)若复数 满足 ,其中 为虚数单位, 是 的共轭复数,则复数 (  )
A. B. C.4 D.5
3.(2025高二下·潮阳月考)函数在区间上的零点个数为(  )
A.4 B.5 C.6 D.7
4.(2025高二下·潮阳月考)已知一圆锥的底面直径与母线长相等,一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切,则球与圆锥的表面积之比为(  )
A. B. C. D.
5.(2025高二下·潮阳月考)2022年11月,第五届中国国际进口博览会在上海举行,组委员会安排5名工作人员去A,B等4个场馆,其中A场馆安排2人,其余比赛场馆各1人,则不同的安排方法种数为(  )
A.48 B.60 C.120 D.240
6.(2025高二下·潮阳月考)纯电动汽车是以车载电源为动力,用电机驱动车轮行驶,符合道路交通 安全法规各项要求的车辆,它使用存储在电池中的电来发动.因其对环境影响较小,逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变,1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式:,其中为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert常数),在电池容量不变的条件下,当放电电流为时,放电时间为;当放电电流为时,放电时间为,则该萻电池的Peukert常数约为(  )(参考数据:,)
A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.15
7.(2025高二下·潮阳月考)若直线与曲线相切,则的最小值为(  )
A. B.1 C. D.2
8.(2025高二下·潮阳月考)已知函数(其中表示不超过的最大整数),则关于的方程的所有实数根之和为(  )
A. B. C. D.
9.(2025高二下·潮阳月考)将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线,则下列结论正确的是(  )
A. B.
C.在上有4个零点 D.在上单调递增
10.(2025高二下·潮阳月考)若,其中为实数,则(  )
A. B.
C. D.
11.(2025高二下·潮阳月考)甲罐中有个红球,个白球,乙罐中有个红球,个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,再从乙罐中随机取出一球.表示事件“从甲罐取出的球是红球”,表示事件“从甲罐取出的球是白球”,表示事件“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的是( )
A.为互斥事件 B.
C. D.
12.(2025高二下·潮阳月考)离散型随机变量X的概率分布中部分数据丢失,丢失数据以x,y代替,其概率分布如下:
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 x 0.10 y 0.20
则等于   .
13.(2025高二下·潮阳月考) 展开式中含 项的系数为   (结果用数值表示).
14.(2025高二下·潮阳月考)若数列满足,(,),则的最小值是   .
15.(2025高二下·潮阳月考)在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.求:
(1);
(2)的取值范围.
16.(2025高二下·潮阳月考)已知函数.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若,求证:函数存在极小值;
(3)若对任意的实数,恒成立,求实数a的取值范围.
17.(2025高二下·潮阳月考)如图,在四棱锥中,底面ABCD是矩形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=a,E是PC的中点,过E作EF⊥PB,交PB于点F.
(1)证明:PB⊥平面EFD;
(2)若平面PBC与平面PBD的夹角的大小为,求AD的长度.
18.(2025高二下·潮阳月考)已知圆,圆,.当r变化时,圆与圆的交点P的轨迹为曲线C,
(1)求曲线C的方程;
(2)已知点,过曲线C右焦点的直线交曲线C于A、B两点,与直线交于点D,是否存在实数m,,使得成立,若存在,求出m,;若不存在,请说明理由.
19.(2025高二下·潮阳月考)学校食堂为了减少排队时间,从开学第天起,每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐,若他前天选择了米饭套餐,则第天选择米饭套餐的概率为;若他前天选择了面食套餐,则第天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第天中午选择米饭套餐的概率为.
(1)求该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率;
(2)记该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率为证明:当时,.
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解:因为

.
故答案为:.
【分析】利用已知条件和绝对值不等式求解方法、元素与集合的关系,从而得出集合B,再结合并集的运算法则,从而得出集合.
2.【答案】D
【知识点】复数的基本概念;复数代数形式的加减运算;复数的模
【解析】【解答】解:复数z=a+bi,a、b∈R;
∵2z ,
∴2(a+bi)﹣(a﹣bi)= ,
即 ,
解得a=3,b=4,
∴z=3+4i,
∴|z| 。
故答案为:D.
【分析】利用复数域共轭复数的关系,再结合复数的加减法运算法则,再结合复数相等的判断方法,从而求出a,b的值,进而求出复数z,再利用复数求模公式,进而求出复数的模。
3.【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式;函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解:令,可得,
解得或,
因为,所以或或或或,
即零点共有5个零点,
故答案为:B.
【分析】令,利用二倍角公式可得或,再求零点个数即可.
4.【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用;圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解:设圆锥底面圆半径为,球的半径为,
由题意知,圆锥的轴截面是边长为的等边三角形,球的大圆是该等边三角形的内切圆,
所以,,
则,
所以,球与圆锥的表面积之比为.
故答案为:B.
【分析】设圆锥底面圆半径为,球的半径为,根据题意画出图形,结合图形求出与的关系式,再利用球的表面积公式和圆锥的表面积公式,从而计算出球与圆锥的表面积,进而得出它们的表面积的比值.
5.【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理;简单计数与排列组合
【解析】【解答】分为两步,第一步:安排2人去A场馆有种结果;第二步:安排其余3人到剩余3个场馆,有种结果,所以不同的安排方法种数为。
故答案为:B.
【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式,再结合分步乘法计数原理,进而求出不同安排方法的种数。
6.【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则;换底公式及其推论;“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解:由题意知,
所以,两边取以10为底的对数,得,
所以.
故选:D.
【分析】根据题意可得,再结合对数式与指数式的互化及换底公式,准确计算,即可求解.
7.【答案】A
【知识点】函数单调性的性质;函数的最大(小)值;导数的几何意义
【解析】【解答】解:设切点为,
曲线定义域为,,
因为直线的斜率为,所以,即,
又因为切点既在直线上又在曲线上,所以且,
即.
将代入,可得,即,
将代入,
可得,
当,时,取得最小值为.
故答案为:A.
【分析】设切点,求导,利用导数的几何意义列出等式,再利用二次函数的性质求最小值即可.
8.【答案】A
【知识点】整系数代数方程的有理根
【解析】【解答】解:因为,
则,
因为,
可得,解得,
当时,满足题意;
当时,即当时,解得,满足题意;
当时,即当时,解得,满足题意,
则所有实数根之和为.
故答案为:A.
【分析】利用已知条件将方程转化为,再结合的定义可得,从而得出,进而解不等式得出x的取值范围,再分别判断个区间内解的情况,从而得出关于的方程的所有实数根之和.
9.【答案】B,C
【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;含三角函数的复合函数的单调性;函数的零点与方程根的关系;运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解:根据图象变换可得,故A错误;
由,故B正确;
由,得,
所以在上有4个零点,故C正确;
由,得
由正弦函数图象与性质,可知在上不单调,故D错误.
故答案为:BC.
【分析】根据三角型函数的图象变换得出,再根据三角函数的诱导公式、函数的零点的定义和三角型函数的单调性,从而逐项判断找出结论正确的选项.
10.【答案】B,C
【知识点】二项式系数的性质;二项式系数
【解析】【解答】解:令,
则原式转化为:,
由二项式定理,得,
令,得;
令,得,
所以.
故答案为:BC.
【分析】先换元,令,则原式转化为:,再利用二项式定理和赋值法,从而逐项判断找出正确的选项.
11.【答案】B,D
【知识点】互斥事件与对立事件;全概率公式;条件概率
【解析】【解答】解:对于A: 因为事件可以同时发生,显然不成立,故A错误;
对于B:当发生时,乙罐中有个红球,个白球,此时发生的概率为,
∴,故B正确;
对于D: 当发生时,乙罐中有个红球,个白球,此时发生的概率为,
∴,
∴,故D正确;
对于C:因为,故C错误.
故答案为:BD.
【分析】利用互斥事件概念、条件概率公式和全概率公式,从而逐项判断找出结论正确的选项.
12.【答案】
【知识点】概率的基本性质;互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解:由概率分布的性质可知随机变量的所有取值的概率和为1,
则.
故答案为:.
【分析】由随机变量的所有取值的概率和为1和对立事件求概率公式,从而得出的值.
13.【答案】9
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解:
二项式 的展开式中,通项公式为 ,
分别取 ,5,可得 展开式中含 项的系数为: .
故答案为:9.
【分析】求出 展开式中的常数项和含 项,利用多项式乘多项式得答案.
14.【答案】6
【知识点】数列的求和;数列的递推公式
【解析】【解答】解:由已知,,…,,,
由累加法可知:
,,
又也满足上式,所以,
设,由对勾函数性质知在上单调递减,在递增,
因此在时递减,在时递增,
又,,
所以的最小值是6.
故答案为:6.
【分析】利用累加法和对勾函数的性质求可求得最小值.
15.【答案】(1)解:因为,
所以,
因为,

因为
(2)解:由正弦定理,

因为,所以,所以,
所以,所以的取值范围是
【知识点】二倍角的正弦公式;二倍角的余弦公式;同角三角函数间的基本关系;正弦定理
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合正弦定理和三角形中角的取值范围,进而得出角A的值。
(2)利用已知条件结合正弦定理和两角差的正弦公式,再结合二倍角的正弦公式和余弦公式,再结合同角三角函数基本关系式和三角形中角的取值范围,进而结合正切函数的图象求值域的方法和构造法,从而得出 的取值范围 。
16.【答案】(1)解:当时,,
所以,
所以,
则曲线在点处的切线方程为.
(2)证明:由,
得,
令,
则,
当时,;当时,,
所以在区间上是减函数,在区间上是增函数,
所以的最小值为,
当时,,,
又因为在单调递增,
所以,存在,使得,
在区间上,在区间上,
所以,在区间上,在区间上,
所以,在区间上单调递减,在区间上单调递增,
故函数存在极小值.
(3)解:对任意的实数,恒成立,
等价于的最小值大于或等于.
①当时,,
由(2)得,所以,
所以在上单调递增,
所以的最小值为,
由,得,满足题意;
②当时,由(2)知,在上单调递减,
所以,在上,不满足题意,
综上所述,实数a的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题;利用导数研究函数最大(小)值;利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)将代入求出的值,从而得出,进而得到,则得出切线的斜率,再利用点斜式方程写出曲线在点处的切线方程.
(2)先求导得,令函数,可证出函数在上有一个零点,从而证出函数在单调递减,在上单调递增,进而证出函数在处取得极小值.
(3)当时,由(2)可知,则函数恒成立,所以恒成立,所以函数在上单调递增,故只需即可,从而得出;当时,由(2)可知存在,使得,则函数在上单调递减,从而得出,不符合条件,综上可得的取值范围.
17.【答案】(1)证明:∵PD⊥底面ABCD,且底面ABCD是矩形,
∴,,
又因为,
∴平面PDC,
∵平面PDC,
∴,
又∵,E是PC的中点,
∴,
∵,
∴DE⊥平面PBC,
∴,
又因为,,
∴PB⊥平面EFD.
(2)解:如图,由题意知DA、DC、DP两两互相垂直,以D为坐标原点,DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设
则,,,,,
∴,,
由(1)知,DE⊥平面PBC,故是平面PBC的一个法向量,
且.
设平面PBD的法向量为,
由得

取,得,
∴,解得,
则.
【知识点】直线与平面垂直的判定;用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)要证PB⊥平面EFD,则要证PB⊥DE,则证DE⊥平面PBC,则证DE⊥BC,则证BC⊥平面PCD,从而证出线面垂直.
(2)以D为坐标原点,DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设,得出平面PBC和平面PBD的法向量,再利用数量积求向量夹角公式结合平面PBC与平面PBD的夹角的大小为,从而得出t的值,则得出AD的长.
(1)∵PD⊥底面ABCD,且底面ABCD是矩形,
∴,,
又,∴平面PDC,
∵平面PDC,∴.
又∵,E是PC的中点,∴,
∵,∴DE⊥平面PBC,∴.
又,,∴PB⊥平面EFD;
(2)如图,由题意知DA、DC、DP两两互相垂直,以D为坐标原点,DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设,
则,,,,,
∴,,
由(1)知,DE⊥平面PBC,故是平面PBC的一个法向量,且.
设平面PBD的法向量为,
由得即取,得,
∴,解得,即.
18.【答案】解:(1)由题意可知,,,
所以,
所以,曲线C为以、为焦点的椭圆,
且,,,
所以曲线C的方程为.
(2)假设存在,由题意知直线AB的斜率存在,
设直线AB的方程为,,,
联立|,
消去y整理得,,
则,,
所以

因为,
所以,
所以,,
则,
所以,存在,使成立.
【知识点】椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)利用圆F1与圆F2的交点满足,,再利用,从而得出点P的轨迹满足椭圆方程,从而得出椭圆C的标准方程.
(2)设直线AB的方程为,与椭圆联立,利用两点求斜率公式分别表示出,,利用韦达定理,代入化简,再结合,从而得出参数m,的值.
19.【答案】(1)解:设“第天选择米饭套餐”,
则“第天选择面食套餐”,
根据题意,得,,,,
由全概率公式,得:
(2)证明:设“第天选择米饭套餐”,
则,,,,
由全概率公式,得:,
则,
所以,
因为,
所以是以为首项,为公比的等比数列,
可得,
当为大于的奇数时,
当为正偶数时,,
综上所述:当时,.
【知识点】等比数列概念与表示;等比数列的通项公式;全概率公式;条件概率
【解析】【分析】(1)由已知条件结合条件概率公式和全概率公式,从而得出该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率.
(2)由已知条件结合全概率公式和等比数列的定义,从而判断出数列是以为首项,为公比的等比数列,利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式,再分类讨论结合放缩法,从而证出当时,成立.
(1)设“第天选择米饭套餐”,则“第天选择面食套餐”,
根据题意,,,,
由全概率公式,得;
(2)设“第天选择米饭套餐”,
则,,,,
由全概率公式,得,
即,所以,
因为,所以是以为首项,为公比的等比数列;
可得,
当为大于的奇数时,;
当为正偶数时,,
综上所述:当时,.
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