广东省汕头市潮阳一中明光学校2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题
1．（2025高二下·潮阳月考）已知集合，，则
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为
，
.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和绝对值不等式求解方法、元素与集合的关系，从而得出集合B，再结合并集的运算法则，从而得出集合.
2．（2025高二下·潮阳月考）若复数 满足 ，其中 为虚数单位， 是 的共轭复数，则复数 （ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：复数z＝a+bi，a、b∈R；
∵2z ，
∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）＝ ，
即 ，
解得a＝3，b＝4，
∴z＝3+4i，
∴|z| 。
故答案为：D．
【分析】利用复数域共轭复数的关系，再结合复数的加减法运算法则，再结合复数相等的判断方法，从而求出a，b的值，进而求出复数z，再利用复数求模公式，进而求出复数的模。
3．（2025高二下·潮阳月考）函数在区间上的零点个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，可得，
解得或，
因为，所以或或或或，
即零点共有5个零点，
故答案为：B.
【分析】令，利用二倍角公式可得或，再求零点个数即可.
4．（2025高二下·潮阳月考）已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：设圆锥底面圆半径为，球的半径为，
由题意知，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，
所以，，
则，
所以，球与圆锥的表面积之比为.
故答案为：B.
【分析】设圆锥底面圆半径为，球的半径为，根据题意画出图形，结合图形求出与的关系式，再利用球的表面积公式和圆锥的表面积公式，从而计算出球与圆锥的表面积，进而得出它们的表面积的比值.
5．（2025高二下·潮阳月考）2022年11月，第五届中国国际进口博览会在上海举行，组委员会安排5名工作人员去A，B等4个场馆，其中A场馆安排2人，其余比赛场馆各1人，则不同的安排方法种数为（ ）
A．48 B．60 C．120 D．240
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】分为两步，第一步：安排2人去A场馆有种结果；第二步：安排其余3人到剩余3个场馆，有种结果，所以不同的安排方法种数为。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再结合分步乘法计数原理，进而求出不同安排方法的种数。
6．（2025高二下·潮阳月考）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通 安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该萻电池的Peukert常数约为（ ）（参考数据：，）
A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：由题意知，
所以，两边取以10为底的对数，得，
所以．
故选：D．
【分析】根据题意可得，再结合对数式与指数式的互化及换底公式，准确计算，即可求解．
7．（2025高二下·潮阳月考）若直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；导数的几何意义
【解析】【解答】解：设切点为，
曲线定义域为，，
因为直线的斜率为，所以，即，
又因为切点既在直线上又在曲线上，所以且，
即.
将代入，可得，即，
将代入，
可得，
当，时，取得最小值为.
故答案为：A.
【分析】设切点，求导，利用导数的几何意义列出等式，再利用二次函数的性质求最小值即可.
8．（2025高二下·潮阳月考）已知函数（其中表示不超过的最大整数），则关于的方程的所有实数根之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】整系数代数方程的有理根
【解析】【解答】解：因为，
则，
因为，
可得，解得，
当时，满足题意；
当时，即当时，解得，满足题意；
当时，即当时，解得，满足题意，
则所有实数根之和为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件将方程转化为，再结合的定义可得，从而得出，进而解不等式得出x的取值范围，再分别判断个区间内解的情况，从而得出关于的方程的所有实数根之和.
9．（2025高二下·潮阳月考）将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．在上有4个零点 D．在上单调递增
【答案】B,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：根据图象变换可得，故A错误；
由，故B正确；
由，得，
所以在上有4个零点，故C正确；
由，得
由正弦函数图象与性质，可知在上不单调，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据三角型函数的图象变换得出，再根据三角函数的诱导公式、函数的零点的定义和三角型函数的单调性，从而逐项判断找出结论正确的选项.
10．（2025高二下·潮阳月考）若，其中为实数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：令，
则原式转化为：，
由二项式定理，得，
令，得；
令，得，
所以.
故答案为：BC.
【分析】先换元，令，则原式转化为：，再利用二项式定理和赋值法，从而逐项判断找出正确的选项.
11．（2025高二下·潮阳月考）甲罐中有个红球，个白球，乙罐中有个红球，个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A．为互斥事件 B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：对于A： 因为事件可以同时发生，显然不成立，故A错误；
对于B：当发生时，乙罐中有个红球，个白球，此时发生的概率为，
∴，故B正确；
对于D： 当发生时，乙罐中有个红球，个白球，此时发生的概率为，
∴，
∴，故D正确；
对于C：因为，故C错误．
故答案为：BD.
【分析】利用互斥事件概念、条件概率公式和全概率公式，从而逐项判断找出结论正确的选项.
12．（2025高二下·潮阳月考）离散型随机变量X的概率分布中部分数据丢失，丢失数据以x，y代替，其概率分布如下：
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 x 0.10 y 0.20
则等于 .
【答案】
【知识点】概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：由概率分布的性质可知随机变量的所有取值的概率和为1，
则.
故答案为：.
【分析】由随机变量的所有取值的概率和为1和对立事件求概率公式，从而得出的值.
13．（2025高二下·潮阳月考） 展开式中含 项的系数为 （结果用数值表示）.
【答案】9
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：
二项式 的展开式中，通项公式为 ，
分别取 ，5，可得 展开式中含 项的系数为： ．
故答案为：9．
【分析】求出 展开式中的常数项和含 项，利用多项式乘多项式得答案．
14．（2025高二下·潮阳月考）若数列满足，（，），则的最小值是 .
【答案】6
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由已知，，…，，，
由累加法可知：
，，
又也满足上式，所以，
设，由对勾函数性质知在上单调递减，在递增，
因此在时递减，在时递增，
又，，
所以的最小值是6.
故答案为：6.
【分析】利用累加法和对勾函数的性质求可求得最小值.
15．（2025高二下·潮阳月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求：
（1）；
（2）的取值范围．
【答案】（1）解：因为，
所以，
因为，
，
因为
（2）解：由正弦定理，
，
因为，所以，所以，
所以，所以的取值范围是
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和三角形中角的取值范围，进而得出角A的值。
（2）利用已知条件结合正弦定理和两角差的正弦公式，再结合二倍角的正弦公式和余弦公式，再结合同角三角函数基本关系式和三角形中角的取值范围，进而结合正切函数的图象求值域的方法和构造法，从而得出 的取值范围 。
16．（2025高二下·潮阳月考）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求证：函数存在极小值；
（3）若对任意的实数，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
所以，
所以，
则曲线在点处的切线方程为．
（2）证明：由，
得，
令，
则，
当时，；当时，，
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数，
所以的最小值为，
当时，，，
又因为在单调递增，
所以，存在，使得，
在区间上，在区间上，
所以，在区间上，在区间上，
所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故函数存在极小值．
（3）解：对任意的实数，恒成立，
等价于的最小值大于或等于．
①当时，，
由（2）得，所以，
所以在上单调递增，
所以的最小值为，
由，得，满足题意；
②当时，由（2）知，在上单调递减，
所以，在上，不满足题意，
综上所述，实数a的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）将代入求出的值，从而得出，进而得到，则得出切线的斜率，再利用点斜式方程写出曲线在点处的切线方程.
（2）先求导得，令函数，可证出函数在上有一个零点，从而证出函数在单调递减，在上单调递增，进而证出函数在处取得极小值.
（3）当时，由（2）可知，则函数恒成立，所以恒成立，所以函数在上单调递增，故只需即可，从而得出；当时，由（2）可知存在，使得，则函数在上单调递减，从而得出，不符合条件，综上可得的取值范围.
17．（2025高二下·潮阳月考）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝a，E是PC的中点，过E作EF⊥PB，交PB于点F．
（1）证明：PB⊥平面EFD；
（2）若平面PBC与平面PBD的夹角的大小为，求AD的长度.
【答案】（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是矩形，
∴，，
又因为，
∴平面PDC，
∵平面PDC，
∴，
又∵，E是PC的中点，
∴，
∵，
∴DE⊥平面PBC，
∴，
又因为，，
∴PB⊥平面EFD.
（2）解：如图，由题意知DA、DC、DP两两互相垂直，以D为坐标原点，DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设
则，，，，，
∴，，
由(1)知，DE⊥平面PBC，故是平面PBC的一个法向量，
且．
设平面PBD的法向量为，
由得
则
取，得，
∴，解得，
则．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)要证PB⊥平面EFD，则要证PB⊥DE，则证DE⊥平面PBC，则证DE⊥BC，则证BC⊥平面PCD，从而证出线面垂直.
(2)以D为坐标原点，DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设，得出平面PBC和平面PBD的法向量，再利用数量积求向量夹角公式结合平面PBC与平面PBD的夹角的大小为，从而得出t的值，则得出AD的长．
（1）∵PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是矩形，
∴，，
又，∴平面PDC，
∵平面PDC，∴．
又∵，E是PC的中点，∴，
∵，∴DE⊥平面PBC，∴．
又，，∴PB⊥平面EFD；
（2）如图，由题意知DA、DC、DP两两互相垂直，以D为坐标原点，DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设，
则，，，，，
∴，，
由(1)知，DE⊥平面PBC，故是平面PBC的一个法向量，且．
设平面PBD的法向量为，
由得即取，得，
∴，解得，即．
18．（2025高二下·潮阳月考）已知圆，圆，．当r变化时，圆与圆的交点P的轨迹为曲线C，
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点，过曲线C右焦点的直线交曲线C于A、B两点，与直线交于点D，是否存在实数m，，使得成立，若存在，求出m，；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）由题意可知，，，
所以，
所以，曲线C为以、为焦点的椭圆，
且，，，
所以曲线C的方程为．
（2）假设存在，由题意知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为，，，
联立|，
消去y整理得，，
则，，
所以
，
因为，
所以，
所以，，
则，
所以，存在，使成立．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用圆F1与圆F2的交点满足，，再利用，从而得出点P的轨迹满足椭圆方程，从而得出椭圆C的标准方程.
（2）设直线AB的方程为，与椭圆联立，利用两点求斜率公式分别表示出，，利用韦达定理，代入化简，再结合，从而得出参数m，的值.
19．（2025高二下·潮阳月考）学校食堂为了减少排队时间，从开学第天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前天选择了米饭套餐，则第天选择米饭套餐的概率为；若他前天选择了面食套餐，则第天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第天中午选择米饭套餐的概率为.
（1）求该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率为证明：当时，.
【答案】（1）解：设“第天选择米饭套餐”，
则“第天选择面食套餐”，
根据题意，得，，，，
由全概率公式，得：
（2）证明：设“第天选择米饭套餐”，
则，，，，
由全概率公式，得：，
则，
所以，
因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
可得，
当为大于的奇数时，
当为正偶数时，，
综上所述：当时，.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）由已知条件结合条件概率公式和全概率公式，从而得出该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率.
（2）由已知条件结合全概率公式和等比数列的定义，从而判断出数列是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式，再分类讨论结合放缩法，从而证出当时，成立.
（1）设“第天选择米饭套餐”，则“第天选择面食套餐”，
根据题意，，，，
由全概率公式，得；
（2）设“第天选择米饭套餐”，
则，，，，
由全概率公式，得，
即，所以，
因为，所以是以为首项，为公比的等比数列；
可得，
当为大于的奇数时，；
当为正偶数时，，
综上所述：当时，.
1 / 1广东省汕头市潮阳一中明光学校2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题
1．（2025高二下·潮阳月考）已知集合，，则
A． B． C． D．
2．（2025高二下·潮阳月考）若复数 满足 ，其中 为虚数单位， 是 的共轭复数，则复数 （ ）
A． B． C．4 D．5
3．（2025高二下·潮阳月考）函数在区间上的零点个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2025高二下·潮阳月考）已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高二下·潮阳月考）2022年11月，第五届中国国际进口博览会在上海举行，组委员会安排5名工作人员去A，B等4个场馆，其中A场馆安排2人，其余比赛场馆各1人，则不同的安排方法种数为（ ）
A．48 B．60 C．120 D．240
6．（2025高二下·潮阳月考）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通 安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该萻电池的Peukert常数约为（ ）（参考数据：，）
A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15
7．（2025高二下·潮阳月考）若直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
8．（2025高二下·潮阳月考）已知函数（其中表示不超过的最大整数），则关于的方程的所有实数根之和为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高二下·潮阳月考）将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．在上有4个零点 D．在上单调递增
10．（2025高二下·潮阳月考）若，其中为实数，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025高二下·潮阳月考）甲罐中有个红球，个白球，乙罐中有个红球，个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A．为互斥事件 B．
C． D．
12．（2025高二下·潮阳月考）离散型随机变量X的概率分布中部分数据丢失，丢失数据以x，y代替，其概率分布如下：
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 x 0.10 y 0.20
则等于 .
13．（2025高二下·潮阳月考） 展开式中含 项的系数为 （结果用数值表示）.
14．（2025高二下·潮阳月考）若数列满足，（，），则的最小值是 .
15．（2025高二下·潮阳月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求：
（1）；
（2）的取值范围．
16．（2025高二下·潮阳月考）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求证：函数存在极小值；
（3）若对任意的实数，恒成立，求实数a的取值范围．
17．（2025高二下·潮阳月考）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝a，E是PC的中点，过E作EF⊥PB，交PB于点F．
（1）证明：PB⊥平面EFD；
（2）若平面PBC与平面PBD的夹角的大小为，求AD的长度.
18．（2025高二下·潮阳月考）已知圆，圆，．当r变化时，圆与圆的交点P的轨迹为曲线C，
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点，过曲线C右焦点的直线交曲线C于A、B两点，与直线交于点D，是否存在实数m，，使得成立，若存在，求出m，；若不存在，请说明理由．
19．（2025高二下·潮阳月考）学校食堂为了减少排队时间，从开学第天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前天选择了米饭套餐，则第天选择米饭套餐的概率为；若他前天选择了面食套餐，则第天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第天中午选择米饭套餐的概率为.
（1）求该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率为证明：当时，.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为
，
.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和绝对值不等式求解方法、元素与集合的关系，从而得出集合B，再结合并集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：复数z＝a+bi，a、b∈R；
∵2z ，
∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）＝ ，
即 ，
解得a＝3，b＝4，
∴z＝3+4i，
∴|z| 。
故答案为：D．
【分析】利用复数域共轭复数的关系，再结合复数的加减法运算法则，再结合复数相等的判断方法，从而求出a，b的值，进而求出复数z，再利用复数求模公式，进而求出复数的模。
3．【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，可得，
解得或，
因为，所以或或或或，
即零点共有5个零点，
故答案为：B.
【分析】令，利用二倍角公式可得或，再求零点个数即可.
4．【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：设圆锥底面圆半径为，球的半径为，
由题意知，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，
所以，，
则，
所以，球与圆锥的表面积之比为.
故答案为：B.
【分析】设圆锥底面圆半径为，球的半径为，根据题意画出图形，结合图形求出与的关系式，再利用球的表面积公式和圆锥的表面积公式，从而计算出球与圆锥的表面积，进而得出它们的表面积的比值.
5．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】分为两步，第一步：安排2人去A场馆有种结果；第二步：安排其余3人到剩余3个场馆，有种结果，所以不同的安排方法种数为。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再结合分步乘法计数原理，进而求出不同安排方法的种数。
6．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：由题意知，
所以，两边取以10为底的对数，得，
所以．
故选：D．
【分析】根据题意可得，再结合对数式与指数式的互化及换底公式，准确计算，即可求解．
7．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；导数的几何意义
【解析】【解答】解：设切点为，
曲线定义域为，，
因为直线的斜率为，所以，即，
又因为切点既在直线上又在曲线上，所以且，
即.
将代入，可得，即，
将代入，
可得，
当，时，取得最小值为.
故答案为：A.
【分析】设切点，求导，利用导数的几何意义列出等式，再利用二次函数的性质求最小值即可.
8．【答案】A
【知识点】整系数代数方程的有理根
【解析】【解答】解：因为，
则，
因为，
可得，解得，
当时，满足题意；
当时，即当时，解得，满足题意；
当时，即当时，解得，满足题意，
则所有实数根之和为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件将方程转化为，再结合的定义可得，从而得出，进而解不等式得出x的取值范围，再分别判断个区间内解的情况，从而得出关于的方程的所有实数根之和.
9．【答案】B,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：根据图象变换可得，故A错误；
由，故B正确；
由，得，
所以在上有4个零点，故C正确；
由，得
由正弦函数图象与性质，可知在上不单调，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据三角型函数的图象变换得出，再根据三角函数的诱导公式、函数的零点的定义和三角型函数的单调性，从而逐项判断找出结论正确的选项.
10．【答案】B,C
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：令，
则原式转化为：，
由二项式定理，得，
令，得；
令，得，
所以.
故答案为：BC.
【分析】先换元，令，则原式转化为：，再利用二项式定理和赋值法，从而逐项判断找出正确的选项.
11．【答案】B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：对于A： 因为事件可以同时发生，显然不成立，故A错误；
对于B：当发生时，乙罐中有个红球，个白球，此时发生的概率为，
∴，故B正确；
对于D： 当发生时，乙罐中有个红球，个白球，此时发生的概率为，
∴，
∴，故D正确；
对于C：因为，故C错误．
故答案为：BD.
【分析】利用互斥事件概念、条件概率公式和全概率公式，从而逐项判断找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：由概率分布的性质可知随机变量的所有取值的概率和为1，
则.
故答案为：.
【分析】由随机变量的所有取值的概率和为1和对立事件求概率公式，从而得出的值.
13．【答案】9
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：
二项式 的展开式中，通项公式为 ，
分别取 ，5，可得 展开式中含 项的系数为： ．
故答案为：9．
【分析】求出 展开式中的常数项和含 项，利用多项式乘多项式得答案．
14．【答案】6
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由已知，，…，，，
由累加法可知：
，，
又也满足上式，所以，
设，由对勾函数性质知在上单调递减，在递增，
因此在时递减，在时递增，
又，，
所以的最小值是6.
故答案为：6.
【分析】利用累加法和对勾函数的性质求可求得最小值.
15．【答案】（1）解：因为，
所以，
因为，
，
因为
（2）解：由正弦定理，
，
因为，所以，所以，
所以，所以的取值范围是
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和三角形中角的取值范围，进而得出角A的值。
（2）利用已知条件结合正弦定理和两角差的正弦公式，再结合二倍角的正弦公式和余弦公式，再结合同角三角函数基本关系式和三角形中角的取值范围，进而结合正切函数的图象求值域的方法和构造法，从而得出 的取值范围 。
16．【答案】（1）解：当时，，
所以，
所以，
则曲线在点处的切线方程为．
（2）证明：由，
得，
令，
则，
当时，；当时，，
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数，
所以的最小值为，
当时，，，
又因为在单调递增，
所以，存在，使得，
在区间上，在区间上，
所以，在区间上，在区间上，
所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故函数存在极小值．
（3）解：对任意的实数，恒成立，
等价于的最小值大于或等于．
①当时，，
由（2）得，所以，
所以在上单调递增，
所以的最小值为，
由，得，满足题意；
②当时，由（2）知，在上单调递减，
所以，在上，不满足题意，
综上所述，实数a的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）将代入求出的值，从而得出，进而得到，则得出切线的斜率，再利用点斜式方程写出曲线在点处的切线方程.
（2）先求导得，令函数，可证出函数在上有一个零点，从而证出函数在单调递减，在上单调递增，进而证出函数在处取得极小值.
（3）当时，由（2）可知，则函数恒成立，所以恒成立，所以函数在上单调递增，故只需即可，从而得出；当时，由（2）可知存在，使得，则函数在上单调递减，从而得出，不符合条件，综上可得的取值范围.
17．【答案】（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是矩形，
∴，，
又因为，
∴平面PDC，
∵平面PDC，
∴，
又∵，E是PC的中点，
∴，
∵，
∴DE⊥平面PBC，
∴，
又因为，，
∴PB⊥平面EFD.
（2）解：如图，由题意知DA、DC、DP两两互相垂直，以D为坐标原点，DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设
则，，，，，
∴，，
由(1)知，DE⊥平面PBC，故是平面PBC的一个法向量，
且．
设平面PBD的法向量为，
由得
则
取，得，
∴，解得，
则．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)要证PB⊥平面EFD，则要证PB⊥DE，则证DE⊥平面PBC，则证DE⊥BC，则证BC⊥平面PCD，从而证出线面垂直.
(2)以D为坐标原点，DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设，得出平面PBC和平面PBD的法向量，再利用数量积求向量夹角公式结合平面PBC与平面PBD的夹角的大小为，从而得出t的值，则得出AD的长．
（1）∵PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是矩形，
∴，，
又，∴平面PDC，
∵平面PDC，∴．
又∵，E是PC的中点，∴，
∵，∴DE⊥平面PBC，∴．
又，，∴PB⊥平面EFD；
（2）如图，由题意知DA、DC、DP两两互相垂直，以D为坐标原点，DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设，
则，，，，，
∴，，
由(1)知，DE⊥平面PBC，故是平面PBC的一个法向量，且．
设平面PBD的法向量为，
由得即取，得，
∴，解得，即．
18．【答案】解：（1）由题意可知，，，
所以，
所以，曲线C为以、为焦点的椭圆，
且，，，
所以曲线C的方程为．
（2）假设存在，由题意知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为，，，
联立|，
消去y整理得，，
则，，
所以
，
因为，
所以，
所以，，
则，
所以，存在，使成立．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用圆F1与圆F2的交点满足，，再利用，从而得出点P的轨迹满足椭圆方程，从而得出椭圆C的标准方程.
（2）设直线AB的方程为，与椭圆联立，利用两点求斜率公式分别表示出，，利用韦达定理，代入化简，再结合，从而得出参数m，的值.
19．【答案】（1）解：设“第天选择米饭套餐”，
则“第天选择面食套餐”，
根据题意，得，，，，
由全概率公式，得：
（2）证明：设“第天选择米饭套餐”，
则，，，，
由全概率公式，得：，
则，
所以，
因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
可得，
当为大于的奇数时，
当为正偶数时，，
综上所述：当时，.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）由已知条件结合条件概率公式和全概率公式，从而得出该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率.
（2）由已知条件结合全概率公式和等比数列的定义，从而判断出数列是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式，再分类讨论结合放缩法，从而证出当时，成立.
（1）设“第天选择米饭套餐”，则“第天选择面食套餐”，
根据题意，，，，
由全概率公式，得；
（2）设“第天选择米饭套餐”，
则，，，，
由全概率公式，得，
即，所以，
因为，所以是以为首项，为公比的等比数列；
可得，
当为大于的奇数时，；
当为正偶数时，，
综上所述：当时，.
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