广东省广州市执信中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
1．（2024高二下·广州期末）已知样本空间含有等可能的样本点，且，，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意，得，，，
，
所以事件与相互独立，
则与也相互独立，
.
故答案为：A.
【分析】根据题意分别求出，，的值，结合独立事件的定义，从而判断出事件与相互独立，再结合对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而得出的值.
2．（2024高二下·广州期末）已知(1＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝（ ）
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
【答案】D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由题意知： ，解得 ，
故答案为：D.
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出 x2的系数，再利用 (1＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，从而求出a的值。
3．（2024高二下·广州期末）已知正项等差数列满足，且是与的等比中项，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差中项
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
，
所以，
又因为，
所以，
可得，
由，
得，
则，
所以，且正项等差数列，
则，
解得，
则.
故答案为：C．
【分析】根据等差数列的通项公式与，从而求出的关系式，再根据是与的等比中项，从而求出的值，利用等差数列的通项公式得出的值.
4．（2024高二下·广州期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，
所以，，
，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据指数函数的单调性和对数函数的单调性，再利用与特殊值对应的指数、对数的大小比较，从而比较出a，b，c的大小.
5．（2024高二下·广州期末）若函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：当时，，
则，
所以，函数在上单调递增，
由题意可知，函数在上为增函数，
当时，为增函数，
则，
可得，且，
解得，
综上所述，.
故答案为：B.
【分析】利用导数判断函数在上的单调性，从而判断出函数在上的单调性，再利用分段函数的单调性得出关于实数的不等式组，解不等式组得出实数a的取值范围.
6．（2024高二下·广州期末）过坐标原点向圆作两条切线，切点分别为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：解法一：由，
得，
该圆的圆心为，半径为1，
如图所示，连接，
易知，
所以.
解法二：由，
得，
该圆的圆心为，半径为1，
设直线的方程为，
则，
解得：或，
所以．
故答案为：B．
【分析】利用两种方法求解.
解法一 ：先求出，再由两角和的正切公式，从而得出的值.
解法二：设直线的方程为，由圆心到直线的距离等于圆的半径建立方程，从而解方程得出直线的斜率，再结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而得出的值.
7．（2024高二下·广州期末）若函数单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为单调递增，
所以恒成立，
当时，，符合要求；
当时，则需恒成立；
当时，则需恒成立，
设，则，
则当时，；当时，，
故在、上单调递增，在上单调递减，
则当时，，
则，则，
当时，由时，，
则，所以，
综上所述，.
故答案为：B.
【分析】利用单调递增，则恒成立，参变分离后对进行分类讨论，从而得出实数a的取值范围.
8．（2024高二下·广州期末）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等. 设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则=（ ）
A．﹕1﹕1 B．﹕2﹕2 C．﹕2﹕ D．﹕2﹕
【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征
【解析】【解答】解：由题意，作图如图，
则几何体是一个棱长都相等的斜三棱柱，
设棱长为1，四棱锥是棱长都相等的正四棱锥，三棱锥是一个正四面体，
则四棱锥的高是P到面的距离，P点到线段的距离是，
令P在底面上的射影为O，连接，
则，
故，
则三棱锥的高就是P点到面的距离，
令P点在面上的射影为 ，
则是三角形的重心，
所以，
所以，三棱柱的高也是，
所以.
故答案为：B.
【分析】由题意画出图形，则几何体是一个棱长都相等的斜三棱柱，四棱锥的高是点P到直线的距离，三棱锥的高和三棱柱的高都是三棱锥的高，从而得出.
9．（2024高二下·广州期末）已知复数z，下列说法正确的是（ ）
A．若，则z为实数 B．若，则
C．若，则的最大值为2 D．若，则z为纯虚数
【答案】A,C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：对于选项A，设，则，
因为，即，即，所以z为实数，故A正确；
对于选项B，若，即，
化简可得，即，即，
当时，，，此时不一定满足，
当时，，，此时不一定满足，故B错误；
对于选项C，因为，所以，
所以，即表示以为圆心，以为半径的圆上的点，
且表示圆上的点到原点的距离，所以的最大值为2，故C正确；
对于选项D，因为，所以，
，即，
化简可得，则且，
此时可能为实数也可能为纯虚数，故D错误；
故选：AC
【分析】根据题意，由复数的运算以及其几何意义，对选项逐一判断，即可得到结果.
10．（2024高二下·广州期末）已知曲线C：，，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C可能是圆，不可能是直线
B．曲线C可能是焦点在y轴上的椭圆
C．当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆
D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为
【答案】B,D
【知识点】双曲线的简单性质；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：设，故曲线C的方程可表示为.
对于A，当时，曲线C的方程为，
可得，此时曲线C为两条直线；
当时，曲线C的方程为，
此时曲线C是一个圆，故A错误；
对于B，当时，，曲线C的方程为，
此时曲线C为焦点在y轴上的椭圆，故B正确；
对于C，当曲线C表示椭圆时，离心率为，
则越大椭圆越扁，故C错误；
对于D，当时，，曲线C的方程为，
此时曲线C为焦点在x轴上的双曲线，离心率为，
由，
可得，
则它的离心率有最小值，且最小值为，故D正确.
故答案为： BD.
【分析】设，由的符号和取值结合对应方程的特点，再结合已知条件和圆锥曲线的定义、圆锥曲线的性质，从而逐项判断找出结论正确的选项.
11．（2024高二下·广州期末）已知函数满足：①对任意，；②若，则.则（ ）
A．的值为2 B．
C．若，则 D．若，则
【答案】A,B,C
【知识点】函数单调性的性质；抽象函数及其应用；函数的值
【解析】【解答】解：对于A，令，得，
解得或，
若，令，得，则，
但这与②若，则矛盾，
所以只能，故A正确；
对于B，令，结合，得，
解得或，
又因为，所以，所以只能，故B正确；
对于C，若，令，得，
所以，所以，
所以，故C正确；
对于D，取，
则
且单调递增，
满足，但，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】令结合“若，则”，则可判断选项A；由基本不等式求最值的方法结合，则可判断选项B；令，得，则可判断选项C；令判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．（2024高二下·广州期末）已知向量满足，则 ．
【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由得，而，
故答案：
【分析】根据去掉括号，结合整体代值即可求得结果.
13．（2024高二下·广州期末）写出同时满足下列条件①②③的一个函数 ．
①是二次函数；②是奇函数；③在上是减函数．
【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；二次函数模型
【解析】【解答】解：因为是二次函数，
令，，
令，
则，故满足条件②；
令在上是减函数，满足条件③.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和二次函数的定义、奇函数的定义、减函数的定义，从而写出一个满足条件的函数.
14．（2024高二下·广州期末）将“用一条线段联结两个点”称为一次操作，把操作得到的线段称为“边”．若单位圆上个颜色不相同且位置固定的点经过次操作后，从任意一点出发，沿着边可以到达其他任意点，就称这n个点和k条边所构成的图形满足“条件”，并将所有满足“条件”的图形个数记为，则 ．
【答案】125
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：，则，，
如图，在单位圆上有5个颜色不同的点，由4条边连接起来，每条边有2个端点，
所以4条边一共有8个端点，
由于从任意一点出发，沿着可边可以达到任意一点，
所以每一点必定会作边，至少一条边的端点，
所以可能出现的情形有三种情形，按照5个点可能同时做边几条边的公共端点来分情况讨论：
情形1：有3个点是2条边的端点，另2个点是1条边的端点，有种；
情形2：有1个点是3条边的端点，有1个点是2条边的端点，另3个点是1条边的端点，有种；
情形3：有1个点是4条边的端点，另4个点是1条边的端点，共有种；
综上所述：.
故答案为：125.
【分析】利用新定义和排列数公式、组合数公式，再分情况讨论结合分类加法计数原理得出.
15．（2024高二下·广州期末）已知函数.
（1）求的减区间；
（2）在上的零点从小到大排列后构成数列，求的前10项和.
【答案】（1）解：因为
令，，
得，，
因此，函数的减区间是 ，.
（2）解：因为函数的最小正周期为，
当时，，
令，
所以，
则或，
解得或，
所以函数在上的零点分别为，.
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
则
，
所以的前10项和为.
【知识点】等差数列概念与表示；数列的求和；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换得到，再利用换元法和正弦函数的单调，从而求出正弦型函数f(x)的单调递减区间.
（2）利用正弦型函数的最小正周期公式结合x的取值范围，从而求出在上的零点分别为，，进而得到数列是以为首项，为公差的等差数列，数列是以为首项，为公差的等差数列，再利用数列分组求和公式得到的前10项和.
（1）.
令，
得，.
因此，函数的减区间是 ，.
（2）函数的最小正周期为，
当时，，
令，即，
故或，解得或，
所以函数在上的零点分别为，.
所以数列是以为首项，为公差的等差数列；
数列是以为首项，为公差的等差数列，
则
所以的前10项和为.
16．（2024高二下·广州期末）如图，在五棱锥中，平面ABCDE，，，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）已知直线与平面所成的角为，求线段的长．
【答案】（1）证明：因为，，，
由余弦定理得，
，
所以，
则，
因为，
所以，
因为平面，平面，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面.
（2）解：作交于点，
所以四边形是长方形，
因为，，
所以，
因为，
所以，
由（1）知，互相垂直，
以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，
则，
，
设为平面的一个法向量，
则，
则，
令，则，
所以，
所以
解得，
所以，
所以线段的长为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由余弦定理得和勾股定理以及平行的传递性，从而证出，再由线线垂直证出线面垂直，最后由线面垂直的判定定理证出平面平面.
（2）作交于点，以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，设，则得出点的坐标和向量的坐标，求出平面的一个法向量，再由数量积求向量夹角公式，从而得出直线与平面所成的角，再结合已知条件得出t的值，从而得出点P和点A的坐标，则由空间两点距离公式得出线段的长.
（1），，．
由余弦定理得
，
所以，故，
因为，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）做交于点，所以四边形是长方形，
因为，，所以，
因为，所以，
由（1）知，互相垂直，以为原点，
所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
，
设为平面的一个法向量，
则，即，令，则，
所以，
所以，
解得，所以，
所以线段的长为．
17．（2024高二下·广州期末）已知函数在处的切线经过原点.
（1）判断函数的单调性；
（2）求证：函数的图象与直线有且只有一个交点.
【答案】（1）解：因为，
所以切点为，
因为，
所以，
所以切线方程为.
因为切线经过原点，
所以，
所以.
由定义域为，
得，
所以在上单调递增.
（2）证明：设（），
则.
因为当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
且
因为，且当时，单调递减，
所以，
所以当时，，
所以函数在时没有零点，
所以当时，函数的图象与直线没有交点，
当时，，单调递增，
又因为，且函数的图象是不间断的，
所以当时，函数有且只有一个零点，
函数的图象与直线有且只有一个交点，
综上所述，函数的图象与直线有且只有一个交点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先根据题意求出参数的值，再求导，再结合导数符号与函数单调性的关系，从而判断出函数的单调性.
（2）由题意，构造函数（），利用导数判断函数单调性，再结合零点存在定理和函数g(x)的零点与函数的图象与直线交点的横坐标的等价关系，从而证出函数的图象与直线有且只有一个交点.
（1）因为，所以切点为.
因为，所以，
所以切线方程为.
因为切线经过原点，所以，所以.
由定义域为，故，
所以在上单调递增.
（2）设（），
则.
因为当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
且，
因为，且当时，单调递减，所以
所以当时，，
所以函数在时没有零点，
所以当时，函数的图象与直线没有交点.
当时，，单调递增，
又因为，且函数的图象是不间断的，
所以当时，函数有且只有一个零点，
函数的图象与直线有且只有一个交点.
综上所述，函数的图象与直线有且只有一个交点.
18．（2024高二下·广州期末）某企业的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．
（1）若，且每个元件正常工作的概率．
①求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望；
②在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率．
（2）请用表示，并探究：在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，能否通过增加控制系统中元件的个数来提高设备正常运行的概率．
【答案】（1）解：①、若，则控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3；
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以，
则，
，
，
控制系统中正常工作的元件个数的分布列为
0 1 2 3
控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为；
②、设“设备正常运行”为事件“所有元件都正常工作”为事件
则；
（2）解：控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则设备正常运行有三种情况，
第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其概率为；
第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，
其概率为；
第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，
其概率为；
所以
，
即；
则，
当时，，即增加元件个数能提高设备正常工作的概率，
当时，，即增加元件个数不能提高设备正常工作的概率.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布；条件概率
【解析】【分析】（1）①、由题意可知随机变量服从二项分布，，利用二项分布可得分布列，再求得期望即可；
②、根据条件概率的公式求解在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率即可；
（2）分类讨论求出与的关系，做差比较大小即可得出结论.
（1）①因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3；
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，
所以，
所以，
，
，
所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为
0 1 2 3
控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为，
②设“设备正常运行”为事件“所有元件都正常工作”为事件
则在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率为，
（2）因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，
则设备正常运行有三种情况，
第一类：原系统中至少有个元件正常工作，
其概率为；
第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，
其概率为；
第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，
其概率为；
所以
，
即；
则，
所以，当时，，即增加元件个数能提高设备正常工作的概率，
当时，，即增加元件个数不能提高设备正常工作的概率.
19．（2024高二下·广州期末）设抛物线：，：，，的焦点分别为，，交于点N，已知三角形的周长为．
（1）求，的方程；
（2）过上第一象限内一点M作的切线l，交于A，B两点，其中点B在第一象限，设l的斜率为k．
①x轴正半轴上的点P满足，问P是否为定点？并证明你的结论．
②过点A，B分别作的切线交于点D，当三角形ABD的面积最小时，求的值．
【答案】（1）解：如图所示：
由题意，得，，，
联立，
解得：，
所以，
由抛物线的性质，得，
则三角形的周长为：
解得，
所以抛物线：，抛物线：.
（2）①解：P为定点，.
证明如下：
如图所示：
由（1）知，抛物线：，抛物线：，
设点，且，
则，
求导可得：，
则直线l的斜率，
则直线l的方程：，
则，
记直线l与轴的交点为，
令则，
则
由，直线l的斜率为k，
则，
所以三角形为等腰三角形，点为线段的垂直平分线与轴的交点，
记的中点为，则，
所以，线段的垂直平分线，
令则，
故.
②如图所示：
由①知，直线l的方程：，
联立，可得：，
设，
则，.
由，，求导可得：，
所以，过点A作的切线为：，
则，
同理可得过点B作的切线为：，
联立，
解得：，
则，
记点D到直线AB的距离为d，则，
则
所以，三角形ABD的面积为：
令，
则，
则在单调递减，在单调递增，
所以时取得最小值，此时，
则，
故M为AB中点，.
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）联立，解得，由抛物线的性质得到，再由三角形的周长为代入求解得到的值.
(2)①设点，利用导数的几何意义得出切线的斜率，再由点斜式方程得出直线l的方程，记直线l与轴的交点为， 由，直线l的斜率为k，则，则点为线段的垂直平分线与轴的交点，从而证出P为定点.
②由①知，直线l的方程：，联立可得：，结合韦达定理找出过点A和点B作抛物线的切线方程，从而得出点D的坐标，进而表示出三角形ABD的面积为，再结合函数的单调性求最值的方法，从而得出三角形ABD的面积的最小值，进而得出此时的值.
（1）如图所示：
由题，，，，
联立解得：，所以，
由抛物线的性质：，
三角形的周长为：，
解得，故抛物线：，：.
（2）①P为定点，.证明如下：
如图所示：
由（1）知，抛物线：，：.
设点，且，则，求导可得：，
则l的斜率，则直线l的方程：，即，
记直线l与轴的交点为，令则，则
由，l的斜率为k，则，
所以三角形为等腰三角形，点为线段的垂直平分线与轴的交点，
记的中点为，则，
线段的垂直平分线，
令则，故.
②如图所示：
由①知，直线l的方程：，
联立可得：，
设，
则，.
由，求导可得：，
所以过点A作的切线为：，即，
同理可得过点B作的切线为：，
联立，解得：，即，
记点D到直线AB的距离为d，则，
，
三角形ABD的面积为：
令，则，
则在单调递减，在单调递增，
所以时取得最小值，此时，
，故M为AB中点，.
1 / 1广东省广州市执信中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
1．（2024高二下·广州期末）已知样本空间含有等可能的样本点，且，，则（ ）
A． B． C． D．1
2．（2024高二下·广州期末）已知(1＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝（ ）
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
3．（2024高二下·广州期末）已知正项等差数列满足，且是与的等比中项，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
4．（2024高二下·广州期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·广州期末）若函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·广州期末）过坐标原点向圆作两条切线，切点分别为，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·广州期末）若函数单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·广州期末）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等. 设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则=（ ）
A．﹕1﹕1 B．﹕2﹕2 C．﹕2﹕ D．﹕2﹕
9．（2024高二下·广州期末）已知复数z，下列说法正确的是（ ）
A．若，则z为实数 B．若，则
C．若，则的最大值为2 D．若，则z为纯虚数
10．（2024高二下·广州期末）已知曲线C：，，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C可能是圆，不可能是直线
B．曲线C可能是焦点在y轴上的椭圆
C．当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆
D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为
11．（2024高二下·广州期末）已知函数满足：①对任意，；②若，则.则（ ）
A．的值为2 B．
C．若，则 D．若，则
12．（2024高二下·广州期末）已知向量满足，则 ．
13．（2024高二下·广州期末）写出同时满足下列条件①②③的一个函数 ．
①是二次函数；②是奇函数；③在上是减函数．
14．（2024高二下·广州期末）将“用一条线段联结两个点”称为一次操作，把操作得到的线段称为“边”．若单位圆上个颜色不相同且位置固定的点经过次操作后，从任意一点出发，沿着边可以到达其他任意点，就称这n个点和k条边所构成的图形满足“条件”，并将所有满足“条件”的图形个数记为，则 ．
15．（2024高二下·广州期末）已知函数.
（1）求的减区间；
（2）在上的零点从小到大排列后构成数列，求的前10项和.
16．（2024高二下·广州期末）如图，在五棱锥中，平面ABCDE，，，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）已知直线与平面所成的角为，求线段的长．
17．（2024高二下·广州期末）已知函数在处的切线经过原点.
（1）判断函数的单调性；
（2）求证：函数的图象与直线有且只有一个交点.
18．（2024高二下·广州期末）某企业的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．
（1）若，且每个元件正常工作的概率．
①求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望；
②在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率．
（2）请用表示，并探究：在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，能否通过增加控制系统中元件的个数来提高设备正常运行的概率．
19．（2024高二下·广州期末）设抛物线：，：，，的焦点分别为，，交于点N，已知三角形的周长为．
（1）求，的方程；
（2）过上第一象限内一点M作的切线l，交于A，B两点，其中点B在第一象限，设l的斜率为k．
①x轴正半轴上的点P满足，问P是否为定点？并证明你的结论．
②过点A，B分别作的切线交于点D，当三角形ABD的面积最小时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意，得，，，
，
所以事件与相互独立，
则与也相互独立，
.
故答案为：A.
【分析】根据题意分别求出，，的值，结合独立事件的定义，从而判断出事件与相互独立，再结合对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而得出的值.
2．【答案】D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由题意知： ，解得 ，
故答案为：D.
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出 x2的系数，再利用 (1＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，从而求出a的值。
3．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差中项
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
，
所以，
又因为，
所以，
可得，
由，
得，
则，
所以，且正项等差数列，
则，
解得，
则.
故答案为：C．
【分析】根据等差数列的通项公式与，从而求出的关系式，再根据是与的等比中项，从而求出的值，利用等差数列的通项公式得出的值.
4．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，
所以，，
，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据指数函数的单调性和对数函数的单调性，再利用与特殊值对应的指数、对数的大小比较，从而比较出a，b，c的大小.
5．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：当时，，
则，
所以，函数在上单调递增，
由题意可知，函数在上为增函数，
当时，为增函数，
则，
可得，且，
解得，
综上所述，.
故答案为：B.
【分析】利用导数判断函数在上的单调性，从而判断出函数在上的单调性，再利用分段函数的单调性得出关于实数的不等式组，解不等式组得出实数a的取值范围.
6．【答案】B
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：解法一：由，
得，
该圆的圆心为，半径为1，
如图所示，连接，
易知，
所以.
解法二：由，
得，
该圆的圆心为，半径为1，
设直线的方程为，
则，
解得：或，
所以．
故答案为：B．
【分析】利用两种方法求解.
解法一 ：先求出，再由两角和的正切公式，从而得出的值.
解法二：设直线的方程为，由圆心到直线的距离等于圆的半径建立方程，从而解方程得出直线的斜率，再结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而得出的值.
7．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为单调递增，
所以恒成立，
当时，，符合要求；
当时，则需恒成立；
当时，则需恒成立，
设，则，
则当时，；当时，，
故在、上单调递增，在上单调递减，
则当时，，
则，则，
当时，由时，，
则，所以，
综上所述，.
故答案为：B.
【分析】利用单调递增，则恒成立，参变分离后对进行分类讨论，从而得出实数a的取值范围.
8．【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征
【解析】【解答】解：由题意，作图如图，
则几何体是一个棱长都相等的斜三棱柱，
设棱长为1，四棱锥是棱长都相等的正四棱锥，三棱锥是一个正四面体，
则四棱锥的高是P到面的距离，P点到线段的距离是，
令P在底面上的射影为O，连接，
则，
故，
则三棱锥的高就是P点到面的距离，
令P点在面上的射影为 ，
则是三角形的重心，
所以，
所以，三棱柱的高也是，
所以.
故答案为：B.
【分析】由题意画出图形，则几何体是一个棱长都相等的斜三棱柱，四棱锥的高是点P到直线的距离，三棱锥的高和三棱柱的高都是三棱锥的高，从而得出.
9．【答案】A,C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：对于选项A，设，则，
因为，即，即，所以z为实数，故A正确；
对于选项B，若，即，
化简可得，即，即，
当时，，，此时不一定满足，
当时，，，此时不一定满足，故B错误；
对于选项C，因为，所以，
所以，即表示以为圆心，以为半径的圆上的点，
且表示圆上的点到原点的距离，所以的最大值为2，故C正确；
对于选项D，因为，所以，
，即，
化简可得，则且，
此时可能为实数也可能为纯虚数，故D错误；
故选：AC
【分析】根据题意，由复数的运算以及其几何意义，对选项逐一判断，即可得到结果.
10．【答案】B,D
【知识点】双曲线的简单性质；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：设，故曲线C的方程可表示为.
对于A，当时，曲线C的方程为，
可得，此时曲线C为两条直线；
当时，曲线C的方程为，
此时曲线C是一个圆，故A错误；
对于B，当时，，曲线C的方程为，
此时曲线C为焦点在y轴上的椭圆，故B正确；
对于C，当曲线C表示椭圆时，离心率为，
则越大椭圆越扁，故C错误；
对于D，当时，，曲线C的方程为，
此时曲线C为焦点在x轴上的双曲线，离心率为，
由，
可得，
则它的离心率有最小值，且最小值为，故D正确.
故答案为： BD.
【分析】设，由的符号和取值结合对应方程的特点，再结合已知条件和圆锥曲线的定义、圆锥曲线的性质，从而逐项判断找出结论正确的选项.
11．【答案】A,B,C
【知识点】函数单调性的性质；抽象函数及其应用；函数的值
【解析】【解答】解：对于A，令，得，
解得或，
若，令，得，则，
但这与②若，则矛盾，
所以只能，故A正确；
对于B，令，结合，得，
解得或，
又因为，所以，所以只能，故B正确；
对于C，若，令，得，
所以，所以，
所以，故C正确；
对于D，取，
则
且单调递增，
满足，但，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】令结合“若，则”，则可判断选项A；由基本不等式求最值的方法结合，则可判断选项B；令，得，则可判断选项C；令判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由得，而，
故答案：
【分析】根据去掉括号，结合整体代值即可求得结果.
13．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；二次函数模型
【解析】【解答】解：因为是二次函数，
令，，
令，
则，故满足条件②；
令在上是减函数，满足条件③.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和二次函数的定义、奇函数的定义、减函数的定义，从而写出一个满足条件的函数.
14．【答案】125
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：，则，，
如图，在单位圆上有5个颜色不同的点，由4条边连接起来，每条边有2个端点，
所以4条边一共有8个端点，
由于从任意一点出发，沿着可边可以达到任意一点，
所以每一点必定会作边，至少一条边的端点，
所以可能出现的情形有三种情形，按照5个点可能同时做边几条边的公共端点来分情况讨论：
情形1：有3个点是2条边的端点，另2个点是1条边的端点，有种；
情形2：有1个点是3条边的端点，有1个点是2条边的端点，另3个点是1条边的端点，有种；
情形3：有1个点是4条边的端点，另4个点是1条边的端点，共有种；
综上所述：.
故答案为：125.
【分析】利用新定义和排列数公式、组合数公式，再分情况讨论结合分类加法计数原理得出.
15．【答案】（1）解：因为
令，，
得，，
因此，函数的减区间是 ，.
（2）解：因为函数的最小正周期为，
当时，，
令，
所以，
则或，
解得或，
所以函数在上的零点分别为，.
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
则
，
所以的前10项和为.
【知识点】等差数列概念与表示；数列的求和；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换得到，再利用换元法和正弦函数的单调，从而求出正弦型函数f(x)的单调递减区间.
（2）利用正弦型函数的最小正周期公式结合x的取值范围，从而求出在上的零点分别为，，进而得到数列是以为首项，为公差的等差数列，数列是以为首项，为公差的等差数列，再利用数列分组求和公式得到的前10项和.
（1）.
令，
得，.
因此，函数的减区间是 ，.
（2）函数的最小正周期为，
当时，，
令，即，
故或，解得或，
所以函数在上的零点分别为，.
所以数列是以为首项，为公差的等差数列；
数列是以为首项，为公差的等差数列，
则
所以的前10项和为.
16．【答案】（1）证明：因为，，，
由余弦定理得，
，
所以，
则，
因为，
所以，
因为平面，平面，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面.
（2）解：作交于点，
所以四边形是长方形，
因为，，
所以，
因为，
所以，
由（1）知，互相垂直，
以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，
则，
，
设为平面的一个法向量，
则，
则，
令，则，
所以，
所以
解得，
所以，
所以线段的长为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由余弦定理得和勾股定理以及平行的传递性，从而证出，再由线线垂直证出线面垂直，最后由线面垂直的判定定理证出平面平面.
（2）作交于点，以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，设，则得出点的坐标和向量的坐标，求出平面的一个法向量，再由数量积求向量夹角公式，从而得出直线与平面所成的角，再结合已知条件得出t的值，从而得出点P和点A的坐标，则由空间两点距离公式得出线段的长.
（1），，．
由余弦定理得
，
所以，故，
因为，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）做交于点，所以四边形是长方形，
因为，，所以，
因为，所以，
由（1）知，互相垂直，以为原点，
所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
，
设为平面的一个法向量，
则，即，令，则，
所以，
所以，
解得，所以，
所以线段的长为．
17．【答案】（1）解：因为，
所以切点为，
因为，
所以，
所以切线方程为.
因为切线经过原点，
所以，
所以.
由定义域为，
得，
所以在上单调递增.
（2）证明：设（），
则.
因为当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
且
因为，且当时，单调递减，
所以，
所以当时，，
所以函数在时没有零点，
所以当时，函数的图象与直线没有交点，
当时，，单调递增，
又因为，且函数的图象是不间断的，
所以当时，函数有且只有一个零点，
函数的图象与直线有且只有一个交点，
综上所述，函数的图象与直线有且只有一个交点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先根据题意求出参数的值，再求导，再结合导数符号与函数单调性的关系，从而判断出函数的单调性.
（2）由题意，构造函数（），利用导数判断函数单调性，再结合零点存在定理和函数g(x)的零点与函数的图象与直线交点的横坐标的等价关系，从而证出函数的图象与直线有且只有一个交点.
（1）因为，所以切点为.
因为，所以，
所以切线方程为.
因为切线经过原点，所以，所以.
由定义域为，故，
所以在上单调递增.
（2）设（），
则.
因为当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
且，
因为，且当时，单调递减，所以
所以当时，，
所以函数在时没有零点，
所以当时，函数的图象与直线没有交点.
当时，，单调递增，
又因为，且函数的图象是不间断的，
所以当时，函数有且只有一个零点，
函数的图象与直线有且只有一个交点.
综上所述，函数的图象与直线有且只有一个交点.
18．【答案】（1）解：①、若，则控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3；
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以，
则，
，
，
控制系统中正常工作的元件个数的分布列为
0 1 2 3
控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为；
②、设“设备正常运行”为事件“所有元件都正常工作”为事件
则；
（2）解：控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则设备正常运行有三种情况，
第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其概率为；
第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，
其概率为；
第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，
其概率为；
所以
，
即；
则，
当时，，即增加元件个数能提高设备正常工作的概率，
当时，，即增加元件个数不能提高设备正常工作的概率.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布；条件概率
【解析】【分析】（1）①、由题意可知随机变量服从二项分布，，利用二项分布可得分布列，再求得期望即可；
②、根据条件概率的公式求解在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率即可；
（2）分类讨论求出与的关系，做差比较大小即可得出结论.
（1）①因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3；
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，
所以，
所以，
，
，
所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为
0 1 2 3
控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为，
②设“设备正常运行”为事件“所有元件都正常工作”为事件
则在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率为，
（2）因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，
则设备正常运行有三种情况，
第一类：原系统中至少有个元件正常工作，
其概率为；
第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，
其概率为；
第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，
其概率为；
所以
，
即；
则，
所以，当时，，即增加元件个数能提高设备正常工作的概率，
当时，，即增加元件个数不能提高设备正常工作的概率.
19．【答案】（1）解：如图所示：
由题意，得，，，
联立，
解得：，
所以，
由抛物线的性质，得，
则三角形的周长为：
解得，
所以抛物线：，抛物线：.
（2）①解：P为定点，.
证明如下：
如图所示：
由（1）知，抛物线：，抛物线：，
设点，且，
则，
求导可得：，
则直线l的斜率，
则直线l的方程：，
则，
记直线l与轴的交点为，
令则，
则
由，直线l的斜率为k，
则，
所以三角形为等腰三角形，点为线段的垂直平分线与轴的交点，
记的中点为，则，
所以，线段的垂直平分线，
令则，
故.
②如图所示：
由①知，直线l的方程：，
联立，可得：，
设，
则，.
由，，求导可得：，
所以，过点A作的切线为：，
则，
同理可得过点B作的切线为：，
联立，
解得：，
则，
记点D到直线AB的距离为d，则，
则
所以，三角形ABD的面积为：
令，
则，
则在单调递减，在单调递增，
所以时取得最小值，此时，
则，
故M为AB中点，.
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）联立，解得，由抛物线的性质得到，再由三角形的周长为代入求解得到的值.
(2)①设点，利用导数的几何意义得出切线的斜率，再由点斜式方程得出直线l的方程，记直线l与轴的交点为， 由，直线l的斜率为k，则，则点为线段的垂直平分线与轴的交点，从而证出P为定点.
②由①知，直线l的方程：，联立可得：，结合韦达定理找出过点A和点B作抛物线的切线方程，从而得出点D的坐标，进而表示出三角形ABD的面积为，再结合函数的单调性求最值的方法，从而得出三角形ABD的面积的最小值，进而得出此时的值.
（1）如图所示：
由题，，，，
联立解得：，所以，
由抛物线的性质：，
三角形的周长为：，
解得，故抛物线：，：.
（2）①P为定点，.证明如下：
如图所示：
由（1）知，抛物线：，：.
设点，且，则，求导可得：，
则l的斜率，则直线l的方程：，即，
记直线l与轴的交点为，令则，则
由，l的斜率为k，则，
所以三角形为等腰三角形，点为线段的垂直平分线与轴的交点，
记的中点为，则，
线段的垂直平分线，
令则，故.
②如图所示：
由①知，直线l的方程：，
联立可得：，
设，
则，.
由，求导可得：，
所以过点A作的切线为：，即，
同理可得过点B作的切线为：，
联立，解得：，即，
记点D到直线AB的距离为d，则，
，
三角形ABD的面积为：
令，则，
则在单调递减，在单调递增，
所以时取得最小值，此时，
，故M为AB中点，.
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