广东省江门市新会第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
1．（2024高二下·新会期末）已知的分布列为
1 2 3 4
设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意得，解得，
故，
又因为，
则.
故答案为：A.
【分析】先利用分布列中概率的基本性质得出m的值，结合随机变量的分布列求出随机变量的数学期望，再结合数学期望的性质得出的值.
2．（2024高二下·新会期末）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：由题意，可得圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离，
则弦长为，
则当时，取得最小值为，
解得.
故答案为：C.
【分析】利用圆的标准方程得出圆心坐标和圆的半径长，结合点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，则根据弦长公式得出与k，m的关系式，再的最小值为2，从而得出实数m的值.
3．（2024高二下·新会期末）已知等差数列，等比数列，满足，，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解：数列是等差数列，，可得，即，
数列是等比数列，，可得，可得，
则．
故答案为：B．
【分析】利用等差数列的性质可求出，利用等比数列的性质可求出，再利用等差数列的性质和和等比数列的性质化简式子可得：，代入数据可求出答案.
4．（2024高二下·新会期末）若曲线在点处的切线与直线：平行，则实数( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由，得，，
曲线在点处的切线与直线平行，
，即.
故答案为：D.
【分析】先求出导函数，再利用导函数的几何意义可求出切线的斜率，再根据两条直线平行的斜率转化公式，可列出方程，解方程可求出实数的值.
5．（2024高二下·新会期末）今天是星期天，则天后是( )
A．星期五 B．星期六 C．星期天 D．星期一
【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以除以7的余数为6，所以天后是星期六．
故答案为：B.
【分析】先将改写为：，再利用二项式定理进行展开，据此可得除以7的余数为6，据此可求出答案.
6．（2024高二下·新会期末）某单位五一放假，安排甲、乙等五人值班五天，每人值班一天若甲、乙都至少需要三天的连休假期，则不同的值班安排共有( )
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知甲、乙都不能安排第三天值班，故可以分步完成：
第一步，在除了第三天之外的四天中选两天给甲乙，有种方法；
第二步，在剩下的三个位置上安排另外三个人，有种方法.
由分步乘法计数原理，不同的值班安排共有种．
故答案为：C.
【分析】因甲乙都至少需要三天的连休假期，采用“特殊位置优选法”：第一步，在除了第三天之外的四天中选两天给甲乙；第二步，在剩下的三个位置上安排另外三个人，求出每一步的方法数，再利用分步乘法计数原理进行计算可求出答案.
7．（2024高二下·新会期末）袋中装有个球，其中个黑球、个白球，从中依次取两球不放回，则第二次取到的是黑球的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，事件：表示第2次取到黑球，
于是，，
则.
故答案为：B
【分析】先设事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，事件：表示第2次取到黑球，利用古典概率的计算公式可求出，，再根据，利用全概率的计算公式进行计算可求出答案.
8．（2024高二下·新会期末）已知函数，下列关于的四个命题，其中是假命题是( )
A．函数在上是增函数
B．函数的最小值为
C．如果时，，则的最小值为
D．函数有个零点
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A，因为，求导得，
当或时，，当时，，
故在和上单调递减，在上单调递增，A错误；
B，当时，，当时，，
结合A选项得函数的最小值为0，B错误；
C， 当时，，则的图像如下所示：
如果时，，由图可知的最小值为， C错误；
D， 由图可知只有一个零点，D 正确.
故答案为：D.
【分析】先求出导函数，令和可求出函数的单调区间，据此可判断A选项；根据函数的单调区间，据此可求出函数的最值，据此可判断B选项；根据函数的单调性和最值可画出函数的图象，根据函数图象可求出的最小值，判断C选项；根据函数的图象，可找出函数的零点，据此可判断D选项.
9．（2024高二下·新会期末）给出下列命题，其中正确的命题有( )
A．两个变量的线性相关性越强，则相关系数越大
B．在的展开式中，各项系数和与所有项二项式系数和相等
C．将名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派人，则共有种不同的分派方法
D．公共汽车上有位乘客，沿途个车站，乘客下车的可能方式有种
【答案】B,C
【知识点】样本相关系数r及其数字特征；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；二项式系数
【解析】【解答】解：A，两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越大，A错误；
B，由于的展开式中各项系数和就等于该表达式在时的取值，即，而这正是指数为时的二项式系数和，B正确；
C，名老师各有种选择学校的方式，总共种，但每个学校至少派1人，所以这种选择方式中有两种是需要剔除的（即都去一个学校或都去另一个学校），所以共有种不同的分派方法，C正确；
D，每名乘客有种选择下车车站的方式，故总共的可能下车方式有种，而，D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用相关系数的统计学意义进行判断，可判断A选项；令，可求出所有项二项式系数和，据此可判断B选项；先求出名老师各有种选择学校的方式种数，再求出需要剔除的种数，可求出不同的分派方法，据此可判断C选项；利用分步乘法计数原理进行计算可求出可能的下车方式数目，可判断D选项.
10．（2024高二下·新会期末） 已知双曲线的左、右焦点别为，，过点的直线l与双曲线的右支相交于两点，则（ ）
A．若的两条渐近线相互垂直，则
B．若的离心率为，则的实轴长为
C．若，则
D．当变化时，周长的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易得，
A、若双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线为等轴双曲线，所以，故A正确；
B、若的离心率为，则，解得，则双曲线的实轴长为，故B错误；
C、若，则，整理得，故C正确；
D、根据双曲线的定义可知，，两式相加得，所以周长为，当时，取得最小值，所以，当且仅当，即时等号成立，故周长的最小值为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析判断即可.
11．（2024高二下·新会期末）如图，在棱长为1的正方体中，、分别为棱、的中点，为线段上一个动点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点，使平面平面
C．当点与重合时，二面角的正切值为
D．当点为中点时，平面截正方体所得截面的面积为
【答案】A,C
【知识点】棱柱的结构特征；平面与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，随着的移动，但是点到平面的距离始终不变即为线段的长度，
则是定值，
故A正确；
对于B，如图所示，连接，为侧面的中心，
平面与平面和平面分别交于线、，
若存在点使平面平面，则，
又因为，
则四边形为平行四边形，
所以，
又因为，此时应在延长线上，
所以，不存在线段上一个动点，使平面平面，故B错误；
对于C，取的中点，连接，，
因为，，
所以，，
所以为二面角的平面角，
又因为平面，平面，
所以，
，
所以，
则二面角的正切值为，故C正确；
对于D，连接，，，，
依题意可知，，，
所以，
所以四边形为平面截正方体所得截面，
又因为，，，
如下平面图形，过点作，过点作，
则，
所以，
所以，
当点为中点时，平面截正方体所得截面的面积为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据锥体的体积公式判断出选项A；通过反证，利用平面与平面和平面的交线、是否能平行来判断选项B；取的中点，连接，，从而得到为二面角的平面角，再由锐角三角函数判断出选项C；作出截面，从而求出截面面积，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．（2024高二下·新会期末）已知分别为椭圆的左 右焦点，为椭圆上一点且，则的面积为 .
【答案】
【知识点】椭圆的定义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由椭圆，
可知，
所以，
又因为，
可得，
又因为，
所以，为等腰三角形，其面积为.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和椭圆的定义以及椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出的三边长，再根据三角形面积公式得出的面积.
13．（2024高二下·新会期末）甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为 ．
【答案】
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：设甲获得冠军为事件A，比赛共进行了3局为事件B，
则AB表示在甲获得冠军的条件下，比赛共进行了3局，
，
，
所以.
故答案为：.
【分析】设甲获得冠军为事件A，比赛共进行了3局为事件B，先利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法可求出，再利用条件概率的计算公式进行计算可求出答案.
14．（2024高二下·新会期末）已知，函数恒成立，则的最大值为 .
【答案】1
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：当a为正偶数时，
当时，，显然不符合题意；
当a为正奇数时，则当时，恒成立，
因此只需研究时，恒成立即可，
当时，成立，
则当时，，
因为此时小于0，所以恒成立，
当时，恒成立，
令，，则，
令，得，所以，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以函数在上取得最小值，
要使时，恒成立，
则，
又因为a为正奇数，所以a的最大值为1，
综上所述，a的最大值为1.
故答案为：1.
【分析】当a为正偶数时，不符合题意，当a为正奇数时，只需研究时，分离参数得出恒成立，设，利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出的取值范围，进而得出的最大值.
15．（2024高二下·新会期末）某班级有60名同学参加了某次考试，从中随机抽选出5名同学，他们的数学成绩与物理成绩如下表：
数学成绩 140 130 120 110 100
物理成绩 110 90 100 80 70
数据表明与之间有较强的线性相关性.
（1）利用表中数据，求关于的经验回归方程，并预测该班某同学的数学成绩为90分时的物理成绩；
（2）在本次考试中，规定数学成绩达到125分为数学优秀，物理成绩达到100分为物理优秀. 若该班的数学优秀率与物理优秀率分别为和，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有6人，请你完成下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？
数学成绩 物理成绩 合计
物理优秀 物理不优秀
数学优秀
数学不优秀
合计
参考公式及数据：，，，，
，其中.
下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：由表中数据可得：，，，，
，，
则经验回归方程为，
当时，分，故该班某同学的数学成绩为90分时的物理成绩63分；
（2）解：列联表如下：
数学成绩 物理成绩 合计
物理优秀 物理不优秀
数学优秀 24 6 30
数学不优秀 12 18 30
合计 36 24 60
零假设： 数学成绩与物理成绩无关联，
，
根据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立，即认为数学优秀与物理优秀有关，
此犯错的概率不超过.
【知识点】线性回归方程；独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）由题意先求，结合最小二乘法和经验回归方程的公式，即可求经验性回归方程，将代入经验回归方程中，求解预测值即可；
（2）完成列联表，零假设，计算，与临界值比较即可.
16．（2024高二下·新会期末）已知数列的前项和为.
（1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？（直接写出结论，不要求证明）.
【答案】（1）证明：由，
可得，解得，
当时，由，
可得，
两式相减可得，
整理为，
又因为，
所以，
所以数列是首项为6，公比为2的等比数列，
可得，
所以.
（2）解：由（1）得，
所以，
所以①，
②，
①-②得：
，
.
（3）解：数列中不存在三项可以构成等差数列.
理由如下：
假设数列中存在三项，它们可以构成等差数列，
设成等差数列，且，
则，
所以，
化为，
可得，
上式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立，
所以，数列中不存在三项，它们可以构成等差数列.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系；等差中项
【解析】【分析】(1)利用的关系式和等比数列的定义，从而证出数列是首项为6，公比为2的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
(2)利用（1）中数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合错位相减法得出数列的前项和.
(3)利用已知条件和等差中项公式以及反证法，从而证出不存在三项可以构成等差数列.
（1）证明：由，可得，解得
当时，由，可得
两式相减可得，整理为
又，则
所以数列是首项为6，公比为2的等比数列
可得
所以
（2）由（1）得，所以.
所以①
②
①-②得：
（3）数列中不存在三项可以构成等差数列.
17．（2024高二下·新会期末）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明：过点作于点，如图所示：
因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，所以平面；
（2）解：以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，则，即，取，，，
即平面的一个法向量，
因为在线段上（不含端点），所以可设，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，，，
即平面的一个法向量为，
，，
由题意可得：，解得，
则存在点，使得二面角的余弦值为，此时是上靠近的三等分点．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）过点作于点，由面面垂直性质定理可得平面，由此证明，再证明，根据线面垂直判定定理证明即可；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，利用向量夹角公式求法向量夹角，由条件列方程确定点的位置即可.
（1）过点作于点，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面．
（2）假设在线段上（不含端点），存在点，使得二面角的余弦值为，
以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
即取，，，
所以为平面的一个法向量，
因为在线段上（不含端点），所以可设，，
所以，
设平面的一个法向量为，
即，
取，，，
所以为平面的一个法向量，
，又，
由已知可得
解得或（舍去），
所以，存在点，使得二面角的余弦值为，
此时是上靠近的三等分点．
18．（2024高二下·新会期末）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分.
（1）若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）；
（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的数学期望.
附：若（），则，，.
【答案】（1）解：因为X服从正态分布，所以μ=60，，
所以.
进入面试的人数，.
因此，进入面试的人数大约为16.
（2）解：由题意可知，Y的可能取值为0，2，4，6，8，10，
则；；
；；
；.
所以
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；3σ原则
【解析】【分析】(1) 根据题意可知，进而可知，结合二项分布分析求解；
(2) 由题意可知，Y的可能取值为0，2，4，6，8，10，结合独立事件概率乘法公式求相应的概率，即可得方差.
19．（2024高二下·新会期末）已知函数.
（1）若是函数的一个极值点，求的值；
（2）若在上恒成立，求的取值范围；
（3）证明：（为自然对数的底数）.
【答案】（1）解：因为，定义域为，
所以，
又因为是的一个极值点，
所以，此时，
所以在区间上单调递减；
在区间上单调递增，
所以是的极小值点，符合题意，
所以.
（2）解：因为在上恒成立，所以，
当时，在上恒成立，
则在上单调递增，
所以成立，符合题意；
当时，令，得，
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，这与矛盾，
综上所述，的取值范围是.
（3）证明：要证明，
即证明，
即证明，
由（2）得，
当时，在上单调递增，
所以
则原不等式成立.
【知识点】函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用函数的极值点的求解方法，则由得出的值，再利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的极值点，进而验证确定的值.
（2）对进行分类讨论，根据在上恒成立，则函数在区间上的最小值不小于，再利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出的取值范围.
（3）将要证明的不等式转化为证明，再结合（2）得出当时，在上单调递增，从而证出不等式成立.
（1），定义域为，
，因为是的一个极值点，
所以.
此时，所以在区间上单调递减，
在区间上单调递增，所以是的极小值点，符合题意，
所以.
（2）因为在上恒成立，所以.
当时，在上恒成立，
在上单调递增，所以成立，符合题意.
当时，令，得，
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，这与矛盾.
综上所述，的取值范围是.
（3）要证明，即证明，即证明，
由（2）得时，在上单调递增，
所以，
从而原不等式成立.
1 / 1广东省江门市新会第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
1．（2024高二下·新会期末）已知的分布列为
1 2 3 4
设，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·新会期末）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则
A． B． C． D．
3．（2024高二下·新会期末）已知等差数列，等比数列，满足，，则( )
A． B． C． D．
4．（2024高二下·新会期末）若曲线在点处的切线与直线：平行，则实数( )
A． B． C． D．
5．（2024高二下·新会期末）今天是星期天，则天后是( )
A．星期五 B．星期六 C．星期天 D．星期一
6．（2024高二下·新会期末）某单位五一放假，安排甲、乙等五人值班五天，每人值班一天若甲、乙都至少需要三天的连休假期，则不同的值班安排共有( )
A．种 B．种 C．种 D．种
7．（2024高二下·新会期末）袋中装有个球，其中个黑球、个白球，从中依次取两球不放回，则第二次取到的是黑球的概率为( )
A． B． C． D．
8．（2024高二下·新会期末）已知函数，下列关于的四个命题，其中是假命题是( )
A．函数在上是增函数
B．函数的最小值为
C．如果时，，则的最小值为
D．函数有个零点
9．（2024高二下·新会期末）给出下列命题，其中正确的命题有( )
A．两个变量的线性相关性越强，则相关系数越大
B．在的展开式中，各项系数和与所有项二项式系数和相等
C．将名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派人，则共有种不同的分派方法
D．公共汽车上有位乘客，沿途个车站，乘客下车的可能方式有种
10．（2024高二下·新会期末） 已知双曲线的左、右焦点别为，，过点的直线l与双曲线的右支相交于两点，则（ ）
A．若的两条渐近线相互垂直，则
B．若的离心率为，则的实轴长为
C．若，则
D．当变化时，周长的最小值为
11．（2024高二下·新会期末）如图，在棱长为1的正方体中，、分别为棱、的中点，为线段上一个动点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点，使平面平面
C．当点与重合时，二面角的正切值为
D．当点为中点时，平面截正方体所得截面的面积为
12．（2024高二下·新会期末）已知分别为椭圆的左 右焦点，为椭圆上一点且，则的面积为 .
13．（2024高二下·新会期末）甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为 ．
14．（2024高二下·新会期末）已知，函数恒成立，则的最大值为 .
15．（2024高二下·新会期末）某班级有60名同学参加了某次考试，从中随机抽选出5名同学，他们的数学成绩与物理成绩如下表：
数学成绩 140 130 120 110 100
物理成绩 110 90 100 80 70
数据表明与之间有较强的线性相关性.
（1）利用表中数据，求关于的经验回归方程，并预测该班某同学的数学成绩为90分时的物理成绩；
（2）在本次考试中，规定数学成绩达到125分为数学优秀，物理成绩达到100分为物理优秀. 若该班的数学优秀率与物理优秀率分别为和，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有6人，请你完成下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？
数学成绩 物理成绩 合计
物理优秀 物理不优秀
数学优秀
数学不优秀
合计
参考公式及数据：，，，，
，其中.
下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．（2024高二下·新会期末）已知数列的前项和为.
（1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？（直接写出结论，不要求证明）.
17．（2024高二下·新会期末）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
18．（2024高二下·新会期末）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分.
（1）若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）；
（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的数学期望.
附：若（），则，，.
19．（2024高二下·新会期末）已知函数.
（1）若是函数的一个极值点，求的值；
（2）若在上恒成立，求的取值范围；
（3）证明：（为自然对数的底数）.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意得，解得，
故，
又因为，
则.
故答案为：A.
【分析】先利用分布列中概率的基本性质得出m的值，结合随机变量的分布列求出随机变量的数学期望，再结合数学期望的性质得出的值.
2．【答案】C
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：由题意，可得圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离，
则弦长为，
则当时，取得最小值为，
解得.
故答案为：C.
【分析】利用圆的标准方程得出圆心坐标和圆的半径长，结合点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，则根据弦长公式得出与k，m的关系式，再的最小值为2，从而得出实数m的值.
3．【答案】B
【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解：数列是等差数列，，可得，即，
数列是等比数列，，可得，可得，
则．
故答案为：B．
【分析】利用等差数列的性质可求出，利用等比数列的性质可求出，再利用等差数列的性质和和等比数列的性质化简式子可得：，代入数据可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由，得，，
曲线在点处的切线与直线平行，
，即.
故答案为：D.
【分析】先求出导函数，再利用导函数的几何意义可求出切线的斜率，再根据两条直线平行的斜率转化公式，可列出方程，解方程可求出实数的值.
5．【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以除以7的余数为6，所以天后是星期六．
故答案为：B.
【分析】先将改写为：，再利用二项式定理进行展开，据此可得除以7的余数为6，据此可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知甲、乙都不能安排第三天值班，故可以分步完成：
第一步，在除了第三天之外的四天中选两天给甲乙，有种方法；
第二步，在剩下的三个位置上安排另外三个人，有种方法.
由分步乘法计数原理，不同的值班安排共有种．
故答案为：C.
【分析】因甲乙都至少需要三天的连休假期，采用“特殊位置优选法”：第一步，在除了第三天之外的四天中选两天给甲乙；第二步，在剩下的三个位置上安排另外三个人，求出每一步的方法数，再利用分步乘法计数原理进行计算可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，事件：表示第2次取到黑球，
于是，，
则.
故答案为：B
【分析】先设事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，事件：表示第2次取到黑球，利用古典概率的计算公式可求出，，再根据，利用全概率的计算公式进行计算可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A，因为，求导得，
当或时，，当时，，
故在和上单调递减，在上单调递增，A错误；
B，当时，，当时，，
结合A选项得函数的最小值为0，B错误；
C， 当时，，则的图像如下所示：
如果时，，由图可知的最小值为， C错误；
D， 由图可知只有一个零点，D 正确.
故答案为：D.
【分析】先求出导函数，令和可求出函数的单调区间，据此可判断A选项；根据函数的单调区间，据此可求出函数的最值，据此可判断B选项；根据函数的单调性和最值可画出函数的图象，根据函数图象可求出的最小值，判断C选项；根据函数的图象，可找出函数的零点，据此可判断D选项.
9．【答案】B,C
【知识点】样本相关系数r及其数字特征；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；二项式系数
【解析】【解答】解：A，两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越大，A错误；
B，由于的展开式中各项系数和就等于该表达式在时的取值，即，而这正是指数为时的二项式系数和，B正确；
C，名老师各有种选择学校的方式，总共种，但每个学校至少派1人，所以这种选择方式中有两种是需要剔除的（即都去一个学校或都去另一个学校），所以共有种不同的分派方法，C正确；
D，每名乘客有种选择下车车站的方式，故总共的可能下车方式有种，而，D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用相关系数的统计学意义进行判断，可判断A选项；令，可求出所有项二项式系数和，据此可判断B选项；先求出名老师各有种选择学校的方式种数，再求出需要剔除的种数，可求出不同的分派方法，据此可判断C选项；利用分步乘法计数原理进行计算可求出可能的下车方式数目，可判断D选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易得，
A、若双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线为等轴双曲线，所以，故A正确；
B、若的离心率为，则，解得，则双曲线的实轴长为，故B错误；
C、若，则，整理得，故C正确；
D、根据双曲线的定义可知，，两式相加得，所以周长为，当时，取得最小值，所以，当且仅当，即时等号成立，故周长的最小值为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析判断即可.
11．【答案】A,C
【知识点】棱柱的结构特征；平面与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，随着的移动，但是点到平面的距离始终不变即为线段的长度，
则是定值，
故A正确；
对于B，如图所示，连接，为侧面的中心，
平面与平面和平面分别交于线、，
若存在点使平面平面，则，
又因为，
则四边形为平行四边形，
所以，
又因为，此时应在延长线上，
所以，不存在线段上一个动点，使平面平面，故B错误；
对于C，取的中点，连接，，
因为，，
所以，，
所以为二面角的平面角，
又因为平面，平面，
所以，
，
所以，
则二面角的正切值为，故C正确；
对于D，连接，，，，
依题意可知，，，
所以，
所以四边形为平面截正方体所得截面，
又因为，，，
如下平面图形，过点作，过点作，
则，
所以，
所以，
当点为中点时，平面截正方体所得截面的面积为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据锥体的体积公式判断出选项A；通过反证，利用平面与平面和平面的交线、是否能平行来判断选项B；取的中点，连接，，从而得到为二面角的平面角，再由锐角三角函数判断出选项C；作出截面，从而求出截面面积，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】椭圆的定义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由椭圆，
可知，
所以，
又因为，
可得，
又因为，
所以，为等腰三角形，其面积为.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和椭圆的定义以及椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出的三边长，再根据三角形面积公式得出的面积.
13．【答案】
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：设甲获得冠军为事件A，比赛共进行了3局为事件B，
则AB表示在甲获得冠军的条件下，比赛共进行了3局，
，
，
所以.
故答案为：.
【分析】设甲获得冠军为事件A，比赛共进行了3局为事件B，先利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法可求出，再利用条件概率的计算公式进行计算可求出答案.
14．【答案】1
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：当a为正偶数时，
当时，，显然不符合题意；
当a为正奇数时，则当时，恒成立，
因此只需研究时，恒成立即可，
当时，成立，
则当时，，
因为此时小于0，所以恒成立，
当时，恒成立，
令，，则，
令，得，所以，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以函数在上取得最小值，
要使时，恒成立，
则，
又因为a为正奇数，所以a的最大值为1，
综上所述，a的最大值为1.
故答案为：1.
【分析】当a为正偶数时，不符合题意，当a为正奇数时，只需研究时，分离参数得出恒成立，设，利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出的取值范围，进而得出的最大值.
15．【答案】（1）解：由表中数据可得：，，，，
，，
则经验回归方程为，
当时，分，故该班某同学的数学成绩为90分时的物理成绩63分；
（2）解：列联表如下：
数学成绩 物理成绩 合计
物理优秀 物理不优秀
数学优秀 24 6 30
数学不优秀 12 18 30
合计 36 24 60
零假设： 数学成绩与物理成绩无关联，
，
根据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立，即认为数学优秀与物理优秀有关，
此犯错的概率不超过.
【知识点】线性回归方程；独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）由题意先求，结合最小二乘法和经验回归方程的公式，即可求经验性回归方程，将代入经验回归方程中，求解预测值即可；
（2）完成列联表，零假设，计算，与临界值比较即可.
16．【答案】（1）证明：由，
可得，解得，
当时，由，
可得，
两式相减可得，
整理为，
又因为，
所以，
所以数列是首项为6，公比为2的等比数列，
可得，
所以.
（2）解：由（1）得，
所以，
所以①，
②，
①-②得：
，
.
（3）解：数列中不存在三项可以构成等差数列.
理由如下：
假设数列中存在三项，它们可以构成等差数列，
设成等差数列，且，
则，
所以，
化为，
可得，
上式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立，
所以，数列中不存在三项，它们可以构成等差数列.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系；等差中项
【解析】【分析】(1)利用的关系式和等比数列的定义，从而证出数列是首项为6，公比为2的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
(2)利用（1）中数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合错位相减法得出数列的前项和.
(3)利用已知条件和等差中项公式以及反证法，从而证出不存在三项可以构成等差数列.
（1）证明：由，可得，解得
当时，由，可得
两式相减可得，整理为
又，则
所以数列是首项为6，公比为2的等比数列
可得
所以
（2）由（1）得，所以.
所以①
②
①-②得：
（3）数列中不存在三项可以构成等差数列.
17．【答案】（1）证明：过点作于点，如图所示：
因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，所以平面；
（2）解：以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，则，即，取，，，
即平面的一个法向量，
因为在线段上（不含端点），所以可设，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，，，
即平面的一个法向量为，
，，
由题意可得：，解得，
则存在点，使得二面角的余弦值为，此时是上靠近的三等分点．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）过点作于点，由面面垂直性质定理可得平面，由此证明，再证明，根据线面垂直判定定理证明即可；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，利用向量夹角公式求法向量夹角，由条件列方程确定点的位置即可.
（1）过点作于点，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面．
（2）假设在线段上（不含端点），存在点，使得二面角的余弦值为，
以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
即取，，，
所以为平面的一个法向量，
因为在线段上（不含端点），所以可设，，
所以，
设平面的一个法向量为，
即，
取，，，
所以为平面的一个法向量，
，又，
由已知可得
解得或（舍去），
所以，存在点，使得二面角的余弦值为，
此时是上靠近的三等分点．
18．【答案】（1）解：因为X服从正态分布，所以μ=60，，
所以.
进入面试的人数，.
因此，进入面试的人数大约为16.
（2）解：由题意可知，Y的可能取值为0，2，4，6，8，10，
则；；
；；
；.
所以
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；3σ原则
【解析】【分析】(1) 根据题意可知，进而可知，结合二项分布分析求解；
(2) 由题意可知，Y的可能取值为0，2，4，6，8，10，结合独立事件概率乘法公式求相应的概率，即可得方差.
19．【答案】（1）解：因为，定义域为，
所以，
又因为是的一个极值点，
所以，此时，
所以在区间上单调递减；
在区间上单调递增，
所以是的极小值点，符合题意，
所以.
（2）解：因为在上恒成立，所以，
当时，在上恒成立，
则在上单调递增，
所以成立，符合题意；
当时，令，得，
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，这与矛盾，
综上所述，的取值范围是.
（3）证明：要证明，
即证明，
即证明，
由（2）得，
当时，在上单调递增，
所以
则原不等式成立.
【知识点】函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用函数的极值点的求解方法，则由得出的值，再利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的极值点，进而验证确定的值.
（2）对进行分类讨论，根据在上恒成立，则函数在区间上的最小值不小于，再利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出的取值范围.
（3）将要证明的不等式转化为证明，再结合（2）得出当时，在上单调递增，从而证出不等式成立.
（1），定义域为，
，因为是的一个极值点，
所以.
此时，所以在区间上单调递减，
在区间上单调递增，所以是的极小值点，符合题意，
所以.
（2）因为在上恒成立，所以.
当时，在上恒成立，
在上单调递增，所以成立，符合题意.
当时，令，得，
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，这与矛盾.
综上所述，的取值范围是.
（3）要证明，即证明，即证明，
由（2）得时，在上单调递增，
所以，
从而原不等式成立.
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