2025年北京市高三数学一模试题分类汇编——解三角形（含解析）

2025年北京市高三数学一模试题分类汇编——解三角形
一、单选题（本大题共2小题）
1．[2025北京石景山·一模]在△ABC中，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．[2025全国·一模]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边上的高（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共2小题）
3．[2025北京顺义·一模]在△ABC中，，∠A=2∠C，则 .
4．[2025全国·一模]如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，过点作，交于点，则的面积的最大值为 ．
三、解答题（本大题共11小题）
5．[2025北京东城·一模]在△ABC中.
（1）求的值及△ABC的面积；
（2）求证：.
6．[2025北京延庆·一模]在△ABC中，，．
（1）求b；
（2）再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC为锐角三角形，并求△ABC的面积．
条件①：；条件②：AB边上中线的长为；条件③：．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
7．[2025全国·一模]已知△ABC的内角，，的对边分别为，，，且，．
（1）求；
（2）若是的中点，，求△ABC的面积．
8．[2025北京延庆·一模]在△ABC中，，.
(1)求b；
(2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC为锐角三角形，并求△ABC的面积.
条件①：；条件②：AB边上中线的长为；条件③：.
（注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.）
9．[2025北京海淀·一模]在△ABC中，已知，．
(1)求的值；
(2)若为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一，求的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
10．[2025北京朝阳·一模]在中，
(1)求c的值；
(2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求的周长．
条件①：；
条件②：AB边上的高为；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
11．[2025北京西城·一模]在中，．
（1）求的值；
（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求边上的高．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
12．[2025北京门头沟·一模]在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积.
条件①：，；
条件②：，；
条件③：边上的高，.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
13．[2025北京平谷·一模]在中，.
(1)求的大小；
(2)再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：边上的高为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
14．[2025北京房山·一模]在△ABC中，.
（1）求；
（2）再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
15．[2025北京丰台·一模]在中，．
(1)求；
(2)若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求a．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为，即，由正弦定理，所以，
所以，又，所以，所以.
故选A
2．【答案】B
【详解】∵，，，
∴由余弦定理得，即，
解得或（舍去），又，∴，
由三角形的面积公式可得，即.
3．【答案】/
【详解】根据正弦定理，.
所以，
又，所以.
所以，
所以.
因为为三角形内角，所以，所以，
所以.
又，所以，所以为锐角，所以.
4．【答案】/
【详解】因为，，所以，设，则，
在中由正弦定理可得，即，
所以，
因为，所以，显然当，即时，的面积的最大值为.
故答案为：/.
5．【答案】（1），；
（2）见详解.
【详解】（1）在中,所以是锐角，.
由，可得，而，
所以，
可得，则，
故；
（2）由（1）易知，则，
由（1）及余弦定理有，
所以，又，则.
6．【答案】（1）（2）答案见详解
【详解】（1）
在中，因为，
再由
可得．
所以，即，
所以．
因为，所以．
（2）
选择条件①：，，，
由余弦定理得，，
因为为锐角三角形，所以不符合题意，不存在三角形；
选择条件②：在中，设点为的中点，则，，
中，根据余弦定理
解得，所以，所以，
因为，所以为锐角三角形，
所以，
在中，．
选择条件③：在中，为锐角三角形，
因为，所以，
所以，，，所以，
所以，所以，解得或舍．
所以，所以为锐角三角形，
所以，
在中，．
7．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由及正弦定理得，
由及余弦定理得，，所以，由正弦定理得，
所以.
（2）是的中点，在中，，，
由余弦定理得，，
所以，则，
所以的面积为.
8．【答案】(1)；
(2)答案见详解.
【详解】（1）在中，因为，
再由，
可得，
所以，即，
所以.
因为，所以.
（2）选择条件①：，，，
由余弦定理，得，，
因为为锐角三角形，所以不符合题意，不存在三角形；
选择条件②： 在中，设点为的中点，则，，
在中，根据余弦定理得，
解得，所以，所以，
因为，所以为锐角三角形，
所以，
在中，；
选择条件③：在中，为锐角三角形.
因为，所以，
所以，，，所以，
所以，所以，解得或舍.
所以，所以为锐角三角形，
所以，
在中，.
9．【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【详解】（1）因为，则，
又，，故，也即；
又，由正弦定理可得：，解得.
（2）由（1）可知，，又为锐角，故，又；
若选择条件①：，由正弦定理可得，解得，
此时，可以为锐角，也可以时钝角，故此时三角形有两解，不满足题意，条件①不能选择；
若选择条件②：，则，由正弦定理，可得；
此时，两角均为锐角，故三角形唯一，
且，
故三角形的面积；
若选择条件③：，又，解得，
因为，又为锐角，故也是锐角，此时，三角形唯一，
且，
故三角形的面积；
综上所述：条件①不能选；若选择条件②或③，三角形唯一，且其面积为.
10．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理及
得．
所以．
所以．
又因为，所以．
所以．
（2）选条件①：因为，且，
所以．
因为，所以．所以．
又因为，所以．
所以．
又，所以．
所以的周长为．
选条件②：因为边上的高为，所以．
又因为，所以．
所以．
因为，所以．
（1）当时，由，得．
又，所以．
所以．
所以的周长为．
（2）当时，由，得．
又，所以，不符合题意．
综上，的周长为．
选条件③：
由余弦定理，可得，即。
解得或，此时不唯一，不符合要求.
11．【答案】（1）
（2）条件选择见解析，答案见解析
【详解】（1）由正弦定理，且，
得，即．
由，得．所以．
由，得，所以．
（2）选择条件①：因为，且余弦函数在上单调递减，
故，又因为，从而可得，与三角形的内角和定理矛盾，故①不成立.
选择条件②：由，且，得．
由余弦定理，得，
解得或（舍）．
设边上的高为，则三角形面积，
所以．
选择条件③：由，且，得．
由，且，得．
所以．
由正弦定理，得，所以边上的高．
12．【答案】(1)
(2)解答见解析
【详解】（1）因为，由正弦定理得，，
又，所以，得到，又，
又，所以，得到，所以.
（2）选条件①：，；
由（1）知，，根据正弦定理知，
所以存在或两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件；
选条件②：，
因为，即，
又，
所以，
所以只有成立，存在且唯一确定，
所以的面积为.
选条件③：边上的高，；
如图所示，边上的高，在中，，即，
由（1）知，，根据余弦定理知，，
化简得，得(舍去)或，存在且唯一确定，
所以的面积为.
13．【答案】(1)；
(2)答案见详解.
【详解】（1）方法一：由正弦定理及，得
.①
因为，
所以.②
由①②得
因为，所以.
所以.因为，所以；
方法二：在中，因为，
由余弦定理得，
整理得
所以，所以；
（2）若选条件①：；，所以,而，这与矛盾，故不能选①.
选条件②：
方法一：由余弦定理，得
即，解得.
所以.
方法二：由正弦定理，所以，因为
，所以，
所以.
选条件③：
边上的高，所以，
以下与选择条件②相同.
14．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由正弦定理，
得.
所以.
所以.
因为，所以.
所以.
所以.
（2）选条件①：，，
由余弦定理，得.
，不存在；
选条件②：.
由，可得.
由正弦定理，得.
由余弦定理，得
，整理得.
解得，或（舍）.
所以的面积.
条件③：.
因为，且，所以.
由余弦定理，得.
解得，或（舍）
所以的面积.
15．【答案】(1)；
(2)答案见详解.
【详解】（1）在中，因为，所以，
由余弦定理，得，
因为，所以；
（2）选择条件①：
因为，所以，，
由题意得，所以，
因为，，
所以
，
由正弦定理，得，
又因为，所以，所以；
选择条件②：
由题意得，所以，
因为，且，所以，
又因为，所以，
因为，所以或；
选择条件③：不符合题意，因为中，，不可能．
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