辽宁省沈文新高考研究联盟2024-2025学年高二下学期6月质量监测数学试卷（含答案）

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2024-2025（下）6月月度质量监测
高 二 数 学
本试卷满分150分 考试时间120分钟
【命题组织单位：辽宁沈文新高考研究联盟】
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到依据的独立性检验，正确的结论为附：，，
A. 变量与不独立
B. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
C. 变量与独立
D. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过
2.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度单位：的关系，在个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：
由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是
A.
B.
C.
D.
3.已知数列，，，，，，，，则是这个数列的
A. 第项
B. 第项
C. 第项
D. 第项
4.数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件
D. 充要条件
5.两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有根柱子甲、乙、丙，甲柱上有个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上如图把这个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束，在移动的过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙根柱子都可以利用，且根柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下．设游戏结束需要移动的最少次数为，则当时，和满足的关系式是
A.
B.
C.
D.
6.若函数，则函数的单调递减区间为
A.
B.
C.
D.
7.设函数，若关于的方程恰好有个不相等的实数解，则实数的取值范围是
A.
B.
C.
D.
8.若，函数有两个极值点 ，，则的最大值为
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知由样本数据点，，，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和的误差较大，剔除后重新求得的回归直线的斜率为，则
A. 变量和具有负相关关系
B. 剔除后不变
C. 剔除后的回归直线方程为
D. 剔除后对应于样本数据点的残差为
10.已知数列满足，，记数列的前项和为，则
A.
B.
C.
D.
11.已知函数，，则以下结论不正确的是
A.
B.
C. 若，且，则
D. 若，且，则
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15 分）
12.记为等差数列的前项和，若，则 ．
13.给出下列命题：
实验测得四组数据的值为，，，，则与的回归直线方程为
函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象
当时，函数的最大值为
幂函数的图象经过点，则它在点处的切线方程为
其中正确命题的序号是
14.对函数做如下操作：先在轴找初始点，然后作在点处的切线，切线与轴交于点，再作在点处的切线，切线与轴交于点，再作在点处的切线，依次类推现已知初始点为，若按上述过程操作，则 ，所得的面积为 用含有的代数式表示
四、解答题（本大题共5小题，共 77 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．某学生兴趣小组随机调查了某市天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表单位：天：
锻炼人次 空气质量等级
优
良
轻度污染
中度污染
分别估计该市一天的空气质量等级为，，，的概率；
求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表；
若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量不好”根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次 人次
空气质量好
空气质量不好
附：，
16．已知数列的首项，且满足．
求证：数列为等比数列；
若，求满足条件的最大整数。
17．已知是函数的一个极值点．
求实数的值
求函数的单调区间
若直线与函数的图象有个交点，求实数的取值范围．
18．已知数列，，满足，，．
若为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项公式；
若为等差数列，公差，证明：，．
19．在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度．设光滑连续曲线，定义为曲线在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数．已知曲线．
当时，求曲线在点处的曲率；
已知曲线在不同的两点，处的曲率均为．
求实数的取值范围；
证明：．
2024-2025（下）6月月度质量监测
高 二 数 学 参考答案
【命题组织单位：辽宁沈文新高考研究联盟】
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C D D A C C B B BC CD ACD
12.25
13.
14.
15.
解：空气质量等级为的概率为
空气质量等级为的概率为
空气质量等级为的概率为
空气质量等级为的概率为
一天中该公园锻炼的平均人次的估计值为
；
人次 人次
空气质量好
空气质量不好
，
有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
16. 证明：，
，
，
，
，
为以为首项，以为公比的等比数列；
由知，
，
，
，
，
因为函数单调递增，
最大整数为．
17. 解：因为，
所以，
因此，
则，，，
可得在两边异号，即是函数的一个极值点，
故．
由知，，，
当时，，
当时，，
所以的单调增区间是，，的单调减区间是；
由知，在内单调递增，在内单调递减，在上单调递增，且当或时，，
所以的极大值为，极小值为．
因为，，
所以要使直线与函数的图象有个交点，
则在的三个单调区间，，内，直线与的图象各有一个交点，
当且仅当，
因此，的取值范围为．
18. 解：由题意，，，
，，
整理，得，
解得舍去，或，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，．
，
则，
，
，
，，
各项相加，可得，时，
，
当时代入适合，
．
证明：依题意，由，可得
，
两边同时乘以，可得
，
，
数列是一个常数列，且此常数为，
，
，
，
，故得证．
19. 解：当时，，，
所以，，
故曲线在点处的曲率，
，由题意可知，，
则方程有两个根，，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
又时，，，且，
由题可知，直线与函数的图象有两个不同的交点，
所以，
故实数的取值范围为．
证明：由上可知，，不妨设．
下面证明：当，，
设，则，
令，则，所以在上单调递减，
则，所以在上单调递增，且，
即，故，．
设点在直线上，则，即，
所以，
即，
要证，需证，
需证，
又，只需证，即证．
令，则，
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，即，
所以在上单调递减，所以成立，
故．