第一章直角三角形期末单元复习题（含解析）

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第一章直角三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知，，则BF的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．如图，牧童家在B处，A、B两处相距河岸的距离AC、BD分别为500m和300m,且C、D两处的距离为600m，天黑牧童从A处将牛牵到河边去饮水，在赶回家，那么牧童最少要走（ ）
A．800m B．1000m C．1200m D．1500m
3．下列长度的各组线段能组成一个直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点是的边上一点，连接，与的面积比是，，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
5．年月日是第七个中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），则装饰带的长度最短为（ ）
A． B． C． D．
6．以下列数组为三角形的边长：（1）5，12，13；（2）10，12，13；（3）7，24，25；（4）6，8，10，其中能构成直角三角形的有（ ）
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
7．如图，在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70°方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C，此时小霞在B地的（　　）
A．北偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上
C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上
8．下列几组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．13，15，20 D．6，8，11
9．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺 ）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是（ ）
A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺
10．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）
A．4 cm B．4.75 cm C．6 cm D．5cm
11．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，FG平分∠EFD交AB于点G，若∠BEF＝70°，则∠AGF的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
12．如图，平分，则下列图形能应用“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，，于点D，于点E，，若，则 ．

14．如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有．若，，则：
（1） °；
（2） ．
15．如图，在中，，，，点是的中点，求 ．
16．如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标为（3，4），底边OB在x轴正半轴上．将△AOB绕点O按逆时针方向旋转一定角度后得△A'OB'，点A的对应点A'在x轴负半轴上，则点B的对应点B'的坐标为 ．
17．如图，在中，于点，平分交于点．

（1）若，，则的度数为 ；
（2）若，则的度数为 ．
三、解答题
18．如图，在中，是中点，，垂足分别是、，，求证：是的角平分线
19．如图将长方形纸片折叠，使得点落在边上的点M处，折痕经过点，与边交于点N．
(1)尺规作图：求作点N、M（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，，求的长．
20．在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得
(1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：；
(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
21．判断下列几组数能否作为直角三角形的三边长．
（1）8，15，17； （2）7，12，15； （3）12，15，20； （4）7，24，25．
22．已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋转60°得到AE，连接DE．
(1)如图1，猜想△ADE是什么三角形？　 　；（直接写出结果）
(2)如图2，点D在射线CB上（点C的右边）移动时，∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系，请说明理由．
(3)当点在线段CB上移动时，△DEC的周长是否存在最小值？若存在．请求出周长的最小值以及此时△DEC的面积；若不存在，请说明理由．
23．已知线段，以为斜边作和，连接，分别是线段、的中点，连接、．
(1)如图1，和在线段的两侧．
①求证：；
②若，；请求出的度数；
(2)如图2，和在线段的同侧，若、，则的度数为______（用含、的代数式表示）
24．（2017广西贵港第20题）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
已知线段和，点 在上（如图所示）.
（1）在边上作点，使 ；
（2）作的平分线；
（3）过点作的垂线.
《第一章直角三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C B D B B B D D
题号 11 12
答案 C B
1．B
【分析】由折叠的性质得到，，根据勾股定理求出BF的长即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知：，，
在中，，，
由勾股定理可得：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和折叠的性质，理解折叠的性质是解答关键．
2．B
【详解】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E，则CE=BD，CD=BE，再利用勾股定理求出A′B的长即可．
作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E，
∵CD=600m，BD=300m，AC=500m，
∴A′C=AC=500m，CE=BD=300m，CD=BE=600m，
∴A′E=A′C+CE=500+300=800m，
在Rt△A′CE中，，
故选B.
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
3．C
【分析】求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A．，
∴不能构成直角三角形，故选项错误；
B．∵，
∴不能构成直角三角形，故选项错误；
C．∵，
∴能构成直角三角形，故选项正确；
D．∵，
∴不能构成直角三角形，故选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4．B
【分析】过点D作，，根据已知由面积比可求出，由此判定平分，即可得出．
【详解】解：如图，过点D作，，

∵与的面积比是，，，
∴
又∵，，
∴，
∴平分，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了角平分线性质和判定，根据面积比求边长比从而得出是解题关键．
5．D
【分析】本题考查了勾股定理的展开图求最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键． 根据圆柱的侧面展开图是长方形，画出圆柱的展开图，由勾股定理即可求出．
【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，最短路线为的长，
则，
∴．
故选：D．
6．B
【分析】能否构成直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】（1）、52+122=132，能构成直角三角形，故正确；
（2）、102+122≠132，不能构成直角三角形，故错误；
（3）、72+242=252，能构成直角三角形，故正确；
（4）、62+82=102，能构成直角三角形，故正确．
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
7．B
【详解】解：根据题意可得：∠DAB=70°，AD∥BE，AC=10，AB=8，BC=6，
根据勾股定理的逆定理可知∠ABC=90°，
根据平行线的性质可得：∠ABE=110°，
则∠CBE=110°-90°=20°，
即点C在点B的北偏西20°方向上.
故选B
8．B
【分析】本题考查了勾股数“能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数”，熟记勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项不是勾股数，不符合题意；
B、，则此项是勾股数，符合题意；
C、，则此项不是勾股数，不符合题意；
D、，则此项不是勾股数，不符合题意；
故选：B．
9．D
【分析】依题意，芦苇的长度为直角三角形的斜边，水深为一直角边，另一直角边为5尺，由勾股定理即可列出方程，进而得到答案．
【详解】解：设水深x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺，
依题意，由勾股定理，得：，
解得，
所以芦苇的长度为13尺．
故选D．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，将题目描述问题转化成直角三角形求边长的问题是解题的关键．
10．D
【分析】根据勾股定理可求出AB的长，由AB的长度可求出BE的长度．
【详解】解：∵AC＝6 cm、BC＝8 cm，
在△ABC中，由勾股定理可知：=10，
∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，
故E为AB的中点，
∴AE=BE=5，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，折叠变换，能够熟练应用勾股定理是解决本题的关键．
11．C
【分析】先根据平行线的性质得出，再根据平分得出，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论．
【详解】解：证明：∵AB∥CD，
∴∠EGF＝∠DFG，
∵FG平分∠DEF，
∴∠EFG＝∠DFG，
∴∠EFG＝∠EGF，
∵∠BEF＝70°，
∴∠AGF＝∠EFG＝（180°﹣70°）＝55°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知平行线及角平分线的性质是解答此题的关键．
12．B
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答即可．
【详解】解：依题意，能应用“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的是：
故选：B．
13．/度
【分析】证得，即可求解；
【详解】解：∵，，
∴是直角三角形，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形的全等证明及性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
14． 135 /
【分析】本题主要考查折叠的性质、角平分线性质和等腰三角形的判定和性质；
（1）由折叠得和，由题意得和，根据，即可求得；
（2）延长交于H，根据题意，进一步得到是等腰直角三角形，求得，，有三角形面积求得，即可求得答案．
【详解】解：（1）由折叠的性质得到：，，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）延长交于H，如图，
∵，平分，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
由折叠的性质得到，
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
15．5
【分析】本题主要考查由勾股定理，直角三角形斜边上的中线，求解的长是解题的关键．由勾股定理可求解的长，再利用直角三角形斜边上的中线可求解．
【详解】解：连接，
在中，，，，
，
点是的中点，
．
故答案为：5．
16．（﹣，）
【分析】作AG⊥OB于G，作B'H⊥A'O于H，利用面积法即可得到B'H＝，根据勾股定理可得Rt△B'HO中，HO＝＝，进而得出点B'的坐标为（﹣，）．
【详解】解：如图，作AG⊥OB于G，作B'H⊥A'O于H，
∵△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标为（3，4），
∴AG＝4，OG＝3，AO＝5，OB＝6，
∴由旋转可得A'O＝5，OB'＝6，
∵OB×AG＝A'O×B'H，
∴B'H＝，
∴Rt△B'HO中，HO＝＝，
∴点B'的坐标为（﹣，），
故答案为：（﹣，）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
17． /20度 /10度
【分析】（1）首先根据三角形内角和定理可解得，由角平分线的定义可知，再根据“直角三角形两锐角互余”可得，然后由求解即可；
（2）根据“直角三角形两锐角互余”可得，，再根据角平分线的定义可得，易知，结合即可获得答案．
【详解】解：（1）∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：（1）；（2）．
【点睛】本题主要考查了与三角形有关的角度计算，涉及知识包括直角三角形两锐角互余、三角形内角和定理、角平分线的定义、垂直定义等，熟练掌握相关知识是解题关键．
18．见解析
【分析】本题主要考查学生对角平分线的判定，全等三角形的判定与性质等知识点的灵活运用，关键是证明．先证明，再根据全等三角形的性质可得，证明，得到，最后根据角平分线的判定即可求解．
【详解】证明：是中点，
，
，
，
在和中
，
，
即是的角平分线．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，尺规作图—作垂线：
（1）由于点C在折痕上，那么，以点C为圆心，长为半径画弧交于M，再由垂直平分，作线段的垂直平分线交于N，则M、N即为所求；
（2）连接，由折叠的性质可得，在中，由勾股定理得，则，设，则．在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，点N和点M即为所求；
以点C为圆心，长为半径画弧交于M，作线段的垂直平分线交于N，则M、N即为所求；
（2）解：如上图所示，连接，
由折叠的性质可得，
在中，由勾股定理得，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
20．(1)见解析
(2)；证明见解析
【分析】（1）先利用已知条件证明，得出，推出，再由即可证明；
（2）延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，先证，推出，通过等量代换得到，利用平行线的性质得出，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴．
（2）解：补全后的图形如图所示，，证明如下：
延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，
∵，CM＝CB，
∴ 垂直平分BM，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，，
∵，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ，即，
∵，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明是解题的关键．
21．（1）能；（2）不能；（3）不能；（4）能．
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理进行判断即可；
（2）利用勾股定理的逆定理进行判断即可；
（3）利用勾股定理的逆定理进行判断即可；
（4）利用勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】解：（1）因为，
所以能作为直角三角形的三边长；
（2）因为，
所以不能作为直角三角形的三边长；
（3）因为，
所以不能作为直角三角形的三边长；
（4）因为，
所以能作为直角三角形的三边长．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
22．(1)等边三角形
(2)∠BCE=2∠BAC，理由见解析
(3)点D在运动过程中，△DEC的周长存在最小值，最小值为4+2，此时△DEC的面积为．
【分析】（1）根据旋转的性质得到AD=AE，∠DAE=60°，根据等边三角形的判定定理解答；
（2）证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到∠B=∠ACE=60°，结合图形计算即可；
（3）根据△ABD≌△ACE得到CE=BD，根据垂线段最短解答．
【详解】（1）解：由旋转变换的性质可知，AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
（2）解：∠BCE=2∠BAC，理由如下：
证明：由旋转的性质可知，∠DAE=60°，AD=AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE=60°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°，
∴∠BCE=2∠BAC；
（3）解：点D在运动过程中，△DEC的周长存在最小值，最小值为4+2，此时△DEC的面积为．
理由如下：∵△ABD≌△ACE，
∴CE=BD，
则△DEC的周长=DE+CE+DC=BD+CD+DE=BC+DE，
∴当DE最小时，△DEC的周长最小，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=DE，
由垂线段最短可知，当AD⊥BC时，△DEC的周长最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=4，
∴BD=DC=2，
∴AD==2，
∵△ADE为等边三角形，
∴DE=AD，∠ADE=60°，
∴△DEC的周长的最小值为4+2．
过点E作EG⊥BC并交BC延长线于点G，如图：
∵∠ADE=60°，
∴∠EDG=30°，
∴EG=DE=，
此时△DEC的面积=DC×EG=．
【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
23．(1)①见解析；②；
(2)．
【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
（1）①根据直角三角形的性质得到，，根据等腰三角形的三线合一证明即可；②根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
（2）根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
【详解】（1）①证明：连接，
∵，是的中点，
∴，，
∴，
又∵是的中点，
∴；
②解：∵，是的中点，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：连接，
∵，是的中点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，是的中点，
∴．
24．作图见解析
【分析】（1）在OA上截取OP=2a即可求出点P的位置；
（2）根据角平分线的作法即可作出∠AOB的平分线；
（3）以M为圆心，作一圆与射线OB交于两点，再以这两点分别为圆心，作两个相等半径的圆交于D点，连接MD即为OB的垂线；
【详解】（1）点P为所求作；
（2）OC为所求作；
（3）MD为所求作；
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