第二章实数期末单元复习题（含解析）
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第二章实数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知的立方根是3，的算术平方根是4，则（ ）
A．25 B．23 C．21 D．19
2．的立方根是（ ）
A． B．4 C．16 D．
3．一般地，如果（n为正整数，且n＞1），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2
B．32的5次方根是±2
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小
D．当n为偶数时，2的n次方根有n个
4．下列是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．9
6．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
7．若实数a与2024互为相反数，则a的值为（ ）
A． B． C．2024 D．
8．若介于n和n+1之间（n为整数），那么n的值是（ ）
A．n=0 B．n=1 C．n=2 D．n=3
9．下列各组数中互为相反数的是( )
A．－3与 B．与 C．－3与 D．与-|－3|
10．已知一个正方形的边长为，面积为，则（ ）
A． B．的平方根是
C．是的算术平方根 D．
11．无理数的值介于( )
A．2～3之间 B．3～4之间 C．4～5之间 D．5～6之间
12．某市参加毕业考试的学生人数约为8.63×人．关于这里的近似数8.63×，下列说法正确的是（ ）
A．精确到百分位，有3个有效数字； B．精确到百位，有3个有效数字；
C．精确到百分位，有5个有效数字； D．精确到百位，有5个有效数字．
二、填空题
13． ．
14．若是16的一个平方根，则x的值为 ．
15．实数x满足方程，则x的值为 ．
16．把下列各数的序号写入相应的集合中：①，②，③，④，⑤8，⑥，⑦0，⑧，⑨，⑩（相邻两个2之间的1的个数逐次加1）．
整数集合{_______．．．}；无理数集合{_______．．．}．
17．一个实数的两个平方根分别是和，则这个实数是 ．
三、解答题
18．计算：
(1)；
(2)．
19．计算：；
20．小明制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．
(1)求此长方形信封的长和宽．
(2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由．
21．观察下列规律回答问题：
(1)_______，_______；
(2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______；
(3)根据规律写出与a的大小情况．
22．计算
(1)已知的算术平方根是2，的立方根是．求a，b的值；
(2)某正数的两个平方根分别是和，b的立方根是，求的值．
23．在学习《实数》时，我们思考了在方格网中画格点正方形的问题，如图是边长为1的方格网．
(1)方格网中格点正方形的面积是 ，由此可知，以原点为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点B表示的数为 ；
(2)按照（1）中的思路，在方格网中设计图形，并求出线段的长．
24．把下列各数填入相应的集合中：（相邻两个1之间的0的个数逐次增加1）．
(1)有理数集合：{ …}；
(2)无理数集合：{ …}；
(3)正实数集合：{ …}．
《第二章实数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C D C A D B A C
题号 11 12
答案 B B
1．B
【分析】本题考查了立方根，算术平方根，代数式求值，正确求出、的值是解题关键．根据立方根和算术平方根的定义，求出，，再代入计算求值即可．
【详解】解：的立方根是3，的算术平方根是4，
，，
，，
,
故选：B．
2．A
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根．根据题意可得，再根据立方根的性质，即可求解．
【详解】解：，
的立方根是．
故选：A．
3．C
【分析】根据新定义的意义计算判断即可．
【详解】解：∵16的4次方根是±2，
∴A选项的结论不正确；
∵32的5次方根是2，
∴B选项的结论不正确；
∵当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，
∴C选项的结论正确；
∵当n为偶数时，2的n次方根有2个，
∴D选项的结论不正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义的意义是解题的关键．
4．D
【分析】此题主要考查了实数，有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．无理数的定义：注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如 (每两个8之间依次多1个0)等形式．
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】解：A、是无理数，故此选项不符合题意；
B、是无理数，故此选项不符合题意；
C、是无理数，故此选项不符合题意；
D、是有限小数，属于有理数，故此选项符合题意．
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了算术平方根、立方根的应用，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义得到m，n的值，然后得出代数式的值，即可求解．
【详解】解：的立方根是3，
，
解得，
的算术平方根是4，
，
将代入中，
有，
解得，
则的值为．
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了实数的性质，根据负数的相反数是正数求解即可．
【详解】解：的相反数是．
故选A．
7．D
【分析】本题考查了相反数的定义，掌握“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题关键．
【详解】解：实数a与2024互为相反数，
a的值为，
故选：D
8．B
【分析】先估算出所在区间，再估算所在区间即可解答；
【详解】解：∵，
∴，
∴
∵介于n和n+1之间（n为整数），
∴n=1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．
9．A
【分析】由题意直接根据相反数的定义以及算术平方根和立方根以及绝对值的性质进行分析判断即可．
【详解】解：A. －3与 ，是相反数，正确；
B. 与，不是相反数，错误；
C. －3与 ，不是相反数，错误；
D. 与-|－3|=-3，不是相反数，错误；
故选：A．
【点睛】本题考查相反数，熟练掌握相反数的定义以及算术平方根和立方根以及绝对值的性质是解题的关键．
10．C
【分析】根据算术平方根和平方根的定义，即可解答．
【详解】解：根据题意得：
，
是的算术平方根，的平方根是，
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，解决本题的关键是对算术平方根和平方根的定义的理解．
11．B
【分析】估算出的值即可判断．
【详解】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴无理数的值介于3～4之间，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握平方数是解题的关键．
12．B
【分析】在标准形式a×10n中a的部分中，从左边第一个不为0的数字数起，共有3个有效数字是8，6，3，且其展开后可看出精确到的是百位．
【详解】解：8.63×104=86300，所以有3个有效数字，8，6，3，精确到百位．
故选：B．
【点睛】此题主要考查科学记数法与有效数字，解答的关键是明确用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．
13．
【分析】本题考查了求一个数的平方根，根据平方根的定义，即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
14．3或/或3
【分析】根据平方根的定义，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵是16的一个平方根，
∴，
∴x的值为3或．
【点睛】本题主要考查平方根的定义，掌握一个数的平方根有两个，它们互为相反数是关键．
15．/0.5
【分析】根据立方根的意义求解．
【详解】解：∵
故答案为：
【点睛】本题考查立方根的应用，熟练掌握立方根的意义是解题关键.
16．②⑤⑦；④⑧⑩
【分析】无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环．
【详解】解：
∴整数有： 、、
无理数有：、、
故答案为：②⑤⑦；④⑧⑩
【点睛】本题考查了实数的分类．掌握无理数的定义是解题关键．
17．36
【分析】本题主要考查了平方根，掌握一个实数的两个平方根的和等于零是解题的关键．
根据一个实数的两个平方根的和等于零列方程可求出m的值，然后求出这个实数即可．
【详解】解：∵一个实数的两个平方根分别是和，
∴，解得，
∴，
∴这个实数是．
故答案为：36．
18．(1)
(2)
【解析】略
19．
【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据算术平方根定义和立方根定义进行求解即可．
【详解】解：
．
20．(1)长方形信封的长为，宽为
(2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封；理由见解析
【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长．
（1）设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可；
（2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可．
【详解】（1）解：∵信封的长、宽之比为，
∴设长方形信封的长为，宽为，
由题意得，
∴（负值舍去），
∴长方形信封的长为，宽为；
（2）解：正方形贺卡的边长是，
∵，
∴，
∴，
即信封的宽大于正方形贺卡的边长，
∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封．
21．(1)0.01，100
(2)
(3)当或时，；当或或时，；当或时，
【分析】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳．
（1）根据立方根的概念进行求解、归纳；
（2）运用（1）题规律进行求解；
（3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳．
【详解】（1）解：（1）；；
按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位，
故答案为：0.01、100；
（2）已知，若，用含的代数式表示，则，
故答案为：；
（3），，，，，
与的大小情况为：
当或时，；
当或或时，；
当或时，．
22．(1)
(2)
【分析】（1）由的算术平方根是2，的立方根是，建立方程组再解方程组即可；
（2）由正数的两个平方根互为相反数可求解a，由立方根的含义求解b，再代入求值即可．
【详解】（1）解：∵的算术平方根是2，的立方根是，
∴
解得：
（2）∵某正数的两个平方根分别是和，b的立方根是，
∴
∴
∴
【点睛】本题考查的是算术平方根，立方根的含义，二元一次方程组的解法，掌握“由算术平方根的含义与立方根的含义建立方程组”是解本题的关键．
23．(1)2；
(2)
【分析】本题考查无理数、实数与数轴，先根据网格特点，求出正方形的面积，再根据无理数的表示和正方形的面积公式求得，进而可得求解；
（2）先构造为边的正方形，求得它的面积，进而利用正方形的面积公式以及无理数的表示求解即可．
【详解】（1）解：由题意，方格网中格点正方形的面积是，则，
∴，
∴点B表示的数为，
故答案为：．
（2）解：如图，构造为边的格点正方形，
则格点正方形的面积为，则，
∴．
24．(1)，，，，，；
(2)，，，（相邻两个1之间的0的个数逐次增加1）；
(3)，，，（相邻两个1之间的0的个数逐次增加1）．
【分析】本题考查实数的分类：
（1）根据有理数分为整数和分数，进行作答即可；
（2）根据无限不循环小数叫做无理数，作答即可；
（3）根据正实数包括正有理数和正无理数，作答即可．
【详解】（1）解：，；
有理数集合：{，，，，，…}；
（2）无理数集合：{ ，，，（相邻两个1之间的0的个数逐次增加1）…}；
（3）正实数集合：{，，，（相邻两个1之间的0的个数逐次增加1）…}．
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第二章实数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知的立方根是3，的算术平方根是4，则（ ）
A．25 B．23 C．21 D．19
2．的立方根是（ ）
A． B．4 C．16 D．
3．一般地，如果（n为正整数，且n＞1），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2
B．32的5次方根是±2
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小
D．当n为偶数时，2的n次方根有n个
4．下列是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．9
6．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
7．若实数a与2024互为相反数，则a的值为（ ）
A． B． C．2024 D．
8．若介于n和n+1之间（n为整数），那么n的值是（ ）
A．n=0 B．n=1 C．n=2 D．n=3
9．下列各组数中互为相反数的是( )
A．－3与 B．与 C．－3与 D．与-|－3|
10．已知一个正方形的边长为，面积为，则（ ）
A． B．的平方根是
C．是的算术平方根 D．
11．无理数的值介于( )
A．2～3之间 B．3～4之间 C．4～5之间 D．5～6之间
12．某市参加毕业考试的学生人数约为8.63×人．关于这里的近似数8.63×，下列说法正确的是（ ）
A．精确到百分位，有3个有效数字； B．精确到百位，有3个有效数字；
C．精确到百分位，有5个有效数字； D．精确到百位，有5个有效数字．
二、填空题
13． ．
14．若是16的一个平方根，则x的值为 ．
15．实数x满足方程，则x的值为 ．
16．把下列各数的序号写入相应的集合中：①，②，③，④，⑤8，⑥，⑦0，⑧，⑨，⑩（相邻两个2之间的1的个数逐次加1）．
整数集合{_______．．．}；无理数集合{_______．．．}．
17．一个实数的两个平方根分别是和，则这个实数是 ．
三、解答题
18．计算：
(1)；
(2)．
19．计算：；
20．小明制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．
(1)求此长方形信封的长和宽．
(2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由．
21．观察下列规律回答问题：
(1)_______，_______；
(2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______；
(3)根据规律写出与a的大小情况．
22．计算
(1)已知的算术平方根是2，的立方根是．求a，b的值；
(2)某正数的两个平方根分别是和，b的立方根是，求的值．
23．在学习《实数》时，我们思考了在方格网中画格点正方形的问题，如图是边长为1的方格网．
(1)方格网中格点正方形的面积是 ，由此可知，以原点为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点B表示的数为 ；
(2)按照（1）中的思路，在方格网中设计图形，并求出线段的长．
24．把下列各数填入相应的集合中：（相邻两个1之间的0的个数逐次增加1）．
(1)有理数集合：{ …}；
(2)无理数集合：{ …}；
(3)正实数集合：{ …}．
《第二章实数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C D C A D B A C
题号 11 12
答案 B B
1．B
【分析】本题考查了立方根，算术平方根，代数式求值，正确求出、的值是解题关键．根据立方根和算术平方根的定义，求出，，再代入计算求值即可．
【详解】解：的立方根是3，的算术平方根是4，
，，
，，
,
故选：B．
2．A
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根．根据题意可得，再根据立方根的性质，即可求解．
【详解】解：，
的立方根是．
故选：A．
3．C
【分析】根据新定义的意义计算判断即可．
【详解】解：∵16的4次方根是±2，
∴A选项的结论不正确；
∵32的5次方根是2，
∴B选项的结论不正确；
∵当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，
∴C选项的结论正确；
∵当n为偶数时，2的n次方根有2个，
∴D选项的结论不正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义的意义是解题的关键．
4．D
【分析】此题主要考查了实数，有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．无理数的定义：注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如 (每两个8之间依次多1个0)等形式．
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】解：A、是无理数，故此选项不符合题意；
B、是无理数，故此选项不符合题意；
C、是无理数，故此选项不符合题意；
D、是有限小数，属于有理数，故此选项符合题意．
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了算术平方根、立方根的应用，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义得到m，n的值，然后得出代数式的值，即可求解．
【详解】解：的立方根是3，
，
解得，
的算术平方根是4，
，
将代入中，
有，
解得，
则的值为．
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了实数的性质，根据负数的相反数是正数求解即可．
【详解】解：的相反数是．
故选A．
7．D
【分析】本题考查了相反数的定义，掌握“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题关键．
【详解】解：实数a与2024互为相反数，
a的值为，
故选：D
8．B
【分析】先估算出所在区间，再估算所在区间即可解答；
【详解】解：∵，
∴，
∴
∵介于n和n+1之间（n为整数），
∴n=1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．
9．A
【分析】由题意直接根据相反数的定义以及算术平方根和立方根以及绝对值的性质进行分析判断即可．
【详解】解：A. －3与 ，是相反数，正确；
B. 与，不是相反数，错误；
C. －3与 ，不是相反数，错误；
D. 与-|－3|=-3，不是相反数，错误；
故选：A．
【点睛】本题考查相反数，熟练掌握相反数的定义以及算术平方根和立方根以及绝对值的性质是解题的关键．
10．C
【分析】根据算术平方根和平方根的定义，即可解答．
【详解】解：根据题意得：
，
是的算术平方根，的平方根是，
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，解决本题的关键是对算术平方根和平方根的定义的理解．
11．B
【分析】估算出的值即可判断．
【详解】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴无理数的值介于3～4之间，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握平方数是解题的关键．
12．B
【分析】在标准形式a×10n中a的部分中，从左边第一个不为0的数字数起，共有3个有效数字是8，6，3，且其展开后可看出精确到的是百位．
【详解】解：8.63×104=86300，所以有3个有效数字，8，6，3，精确到百位．
故选：B．
【点睛】此题主要考查科学记数法与有效数字，解答的关键是明确用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．
13．
【分析】本题考查了求一个数的平方根，根据平方根的定义，即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
14．3或/或3
【分析】根据平方根的定义，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵是16的一个平方根，
∴，
∴x的值为3或．
【点睛】本题主要考查平方根的定义，掌握一个数的平方根有两个，它们互为相反数是关键．
15．/0.5
【分析】根据立方根的意义求解．
【详解】解：∵
故答案为：
【点睛】本题考查立方根的应用，熟练掌握立方根的意义是解题关键.
16．②⑤⑦；④⑧⑩
【分析】无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环．
【详解】解：
∴整数有： 、、
无理数有：、、
故答案为：②⑤⑦；④⑧⑩
【点睛】本题考查了实数的分类．掌握无理数的定义是解题关键．
17．36
【分析】本题主要考查了平方根，掌握一个实数的两个平方根的和等于零是解题的关键．
根据一个实数的两个平方根的和等于零列方程可求出m的值，然后求出这个实数即可．
【详解】解：∵一个实数的两个平方根分别是和，
∴，解得，
∴，
∴这个实数是．
故答案为：36．
18．(1)
(2)
【解析】略
19．
【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据算术平方根定义和立方根定义进行求解即可．
【详解】解：
．
20．(1)长方形信封的长为，宽为
(2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封；理由见解析
【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长．
（1）设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可；
（2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可．
【详解】（1）解：∵信封的长、宽之比为，
∴设长方形信封的长为，宽为，
由题意得，
∴（负值舍去），
∴长方形信封的长为，宽为；
（2）解：正方形贺卡的边长是，
∵，
∴，
∴，
即信封的宽大于正方形贺卡的边长，
∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封．
21．(1)0.01，100
(2)
(3)当或时，；当或或时，；当或时，
【分析】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳．
（1）根据立方根的概念进行求解、归纳；
（2）运用（1）题规律进行求解；
（3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳．
【详解】（1）解：（1）；；
按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位，
故答案为：0.01、100；
（2）已知，若，用含的代数式表示，则，
故答案为：；
（3），，，，，
与的大小情况为：
当或时，；
当或或时，；
当或时，．
22．(1)
(2)
【分析】（1）由的算术平方根是2，的立方根是，建立方程组再解方程组即可；
（2）由正数的两个平方根互为相反数可求解a，由立方根的含义求解b，再代入求值即可．
【详解】（1）解：∵的算术平方根是2，的立方根是，
∴
解得：
（2）∵某正数的两个平方根分别是和，b的立方根是，
∴
∴
∴
【点睛】本题考查的是算术平方根，立方根的含义，二元一次方程组的解法，掌握“由算术平方根的含义与立方根的含义建立方程组”是解本题的关键．
23．(1)2；
(2)
【分析】本题考查无理数、实数与数轴，先根据网格特点，求出正方形的面积，再根据无理数的表示和正方形的面积公式求得，进而可得求解；
（2）先构造为边的正方形，求得它的面积，进而利用正方形的面积公式以及无理数的表示求解即可．
【详解】（1）解：由题意，方格网中格点正方形的面积是，则，
∴，
∴点B表示的数为，
故答案为：．
（2）解：如图，构造为边的格点正方形，
则格点正方形的面积为，则，
∴．
24．(1)，，，，，；
(2)，，，（相邻两个1之间的0的个数逐次增加1）；
(3)，，，（相邻两个1之间的0的个数逐次增加1）．
【分析】本题考查实数的分类：
（1）根据有理数分为整数和分数，进行作答即可；
（2）根据无限不循环小数叫做无理数，作答即可；
（3）根据正实数包括正有理数和正无理数，作答即可．
【详解】（1）解：，；
有理数集合：{，，，，，…}；
（2）无理数集合：{ ，，，（相邻两个1之间的0的个数逐次增加1）…}；
（3）正实数集合：{，，，（相邻两个1之间的0的个数逐次增加1）…}．
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