第十五章二元一次方程组期末单元复习题（含解析）

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第十五章二元一次方程组
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，对应密文a＋2，－a＋2b＋4，b＋3c＋9，如果接收方收到密文9，13，23，则解密得到的明文为（ ）
A．8，2，7 B．7，8，2 C．8，7，2 D．7，2，8
2．小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下表是小明每隔看到的里程情况．
时刻
里程表上的数 是一个两位数，它的两个数之和为7 十位与个位数字与时所看到的正好互换了 比时看到的两位数中间多了一个0
小明在时看到的数是（ ）
A．16 B．61 C．72 D．94
3．需要加工100个零件，甲单独加工5小时，然后和乙一起加工4小时完成任务，如果甲每小时加工x个零件，乙每小时加工y个零件，而且甲每小时比乙多加工2个零件，根据题意列方程组（ ）
A． B．
C． D．
4．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．要消去，可以将 B．要消去，可以将
C．要消去，可以将 D．要消去，可以将
5．用代入消元法解方程组时，把①代入②正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．二元一次方程3x+2y＝15的正整数解的对数是（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
7．若是关于，的方程组的一个解，则的值为 （ ）
A．5 B．－5 C．3 D．9
8．已知二元一次方程组有整数解，则正整数m的值为（ ）
A．4或5 B．5或6 C．2或4或8 D．6或8
9．如图，边长为x的两个正方形靠边各放置两个边长为a，b的长方形，然后分别以，构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得x的值是（ ）
A． B． C． D．
10．若是关于x、y的二元一次方程ax-5y=1的解，则a的值为（ ）
A．-5 B．-1 C．9 D．11
11．已知关于x，y的二元一次方程2x3yt，其取值如下表，则p的值为（ ）
A．9 B．11 C．13 D．15
12．一个学生有中国邮票和外国邮票共325张，中国邮票的张数比外国邮票的张数的2倍少2张，这个学生有中国邮票和外国邮票各多少张？（ ）
A．110，215 B．216，109 C．108，217 D．214，111
二、填空题
13．已知关于x、y的二元一次方程组的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为 ．
14．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”译文为：现有一袋黄金9枚，一袋白银11枚，这两袋的重量恰好相等．若两袋中交换1枚黄金和1枚白银，则原来装黄金的袋子比原来装白银的袋子轻13两，问黄金和白银1枚各重几两．
答∶1枚黄金重 两；1枚白银重 两．
15．长方形的长是宽的倍，如果长减少，宽增加，这个长方形就变成了一个正方形．设这个长方形的长是，宽是，根据题意，可得二元一次方程组 ，解得长是 ，宽是 ．
16．已知是关于x，y的方程；的一个解，则 ．
17．已知方程组是关于，的二元一次方程组，则 ．
三、解答题
18．已知代数式，当时，；当时，；当时，；
①求、、的值；
②求时，的值.
19．《孙子算经》是中国古代的数学著作，成书大约一千五百年前．卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法，其中“物不知数”的问题．在西方的数学史里被称为“中国的剩余定理”．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，向木条长多少尺？”
20．已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数．
(1)若是该方程的一个解，求的值；
(2)朵拉发现：不论取何值，都是关于，的方程的解．请你求，的值．
21．下面是小红同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：．
由①得，　　③，第一步
将③代入②，解得　　，第二步
将得值代入③，解得　　，第三步
所以原方程组的解为　　．第四步
(1)请将上面的空格补充完整；
(2)第一步的变形的依据为　　；
(3)该方程组解法为　　．（填“代入消元法”或“加减消元法”）
22．“五一”期间，某商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款386元，这两种商品定价之和为500元，问：这两种商品的定价分别为多少元？
23．育才中学新建塑胶操场跑道一圈长400米，甲、乙两名运动员从同一点同时出发，相背而跑，40秒后首次相遇；若从同一起点同时同向而跑，200秒后甲首次追上乙，求这两名运动员的速度．
24．若关于、的方程组与有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求、的值．
《第十五章二元一次方程组》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C C B B B C B D
题号 11 12
答案 D B
1．B
【分析】根据加密规则为：明文a，b，c，对应密文a+2，-a+2b+4，b+3c+9，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：依题意得：，
解得： ．
故选：B．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
2．B
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程是解答本题的关键．设小明在点时看到的两位数的十位数字为x、个位数字为y；则点时看到的两位数是，点时看到的两位数是，点时看到的三位数是，根据摩托车的速度不变，到和到行驶的路程一样，即可得出关于x，y的二元一次方程，求解方程，结合x、y均为一位整数，即可解答．
【详解】解：设小明在点时看到的两位数的十位数字为x、个位数字为y；则点时看到的两位数是，点时看到的两位数是，点时看到的三位数是，根据题意：
，即，
又∵x，y均为一位整数，
∴，
∴．
故选：B．
3．C
【分析】根据要加工100个零件，甲先单独加工5小时，然后又与乙一起加工4小时，完成了任务以及甲每小时比乙多加工2个，可列出方程组．
【详解】设甲每小时加工x个零件，乙每小时加工y个零件，
依题意得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是以甲比乙每小时多做的件数和完成100个做为等量关系列方程组．
4．C
【分析】本题考查加减消元法．根据加减消元法，逐一进行判断即可．
【详解】解：
要消去，可以将，要消去，可以将
故选：C．
5．B
【分析】将①代入②，可得，去括号可得，即可获得答案．
【详解】解：对于方程组，
将①代入②，可得 ，
去括号，得 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握相关知识是解题关键．
6．B
【分析】将x=1，2，…，分别代入3x+2y=15，求出方程的正整数解的对数是多少即可．
【详解】解：当x＝1时，方程变形为3+2y＝15，解得y＝6；
当x＝3时，方程变形为9+2y＝15，解得y＝3；
∴二元一次方程3x+2y＝15的正整数解的对数是2对：和．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解，要熟练掌握，注意解中x与y必须为正整数．
7．B
【分析】把代入得到新方程，求解二元一次方程组，解出，的值，即可求解．
【详解】∵是方程组的解
∴
令
∴得，
由得，
∴
∴把代入，得，解得：
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解二元一次方程组和二元一次方程组的解．
8．C
【分析】把m看作已知数表示出方程组的解，再根据是10和15的公约数且为正整数，据此来确定出m的值．
【详解】解：在中
①-②得：，
解得，
把代入②得： ，
∴方程组的解是．
∵方程组有整数解，
∴，，
解得：m=2，4，-2，8，
由m为正整数，得到m=2或4或8．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，由，得出m的值是解题关键．
9．B
【分析】根据两个图形分别可得，，两个等式消去a与b即可求解．
【详解】解：由题意得，
，
，得，
解得，
故选：B
【点睛】本题考查了根据几何图形列方程组得问题，读懂题意是解题的关键．
10．D
【分析】把代入ax-5y=1解方程即可求解．
【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程ax-5y=1的解，
∴将代入ax-5y=1，
得：，解得：．
故选：D．
【点睛】此题考查了二元一次方程解的含义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程解的含义．
11．D
【分析】由题意可得2m－3n=5①，2（m+2）－3（n－2）=p②，把②整理后将①整体代入即得关于p的方程，进一步即可求出答案．
【详解】解：根据题意，得2m－3n=5①，2（m+2）－3（n－2）=p②，
把②整理，得2m－3n=p－10，
即5=p－10，解得：p=15．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解和代数式求值，正确理解题意、灵活应用整体思想是解题关键．
12．B
【解析】略
13．
【分析】首先利用整体代值的数学思想可以得到m+n与m﹣n的值，然后解关于m、n的方程组即可求解．
【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为，
∴关于m、n的二元一次方程组中，
∴解这个关于m、n的方程组得：．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握整体代值的数学思想，对于学生的能力要求比较高．
14．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意，弄清熟练关系是解题关键．设1枚黄金重两，1枚白银重两，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案．
【详解】解：设1枚黄金重两，1枚白银重两，
根据题意，可得，
解得，
即1枚黄金重两，1枚白银重两．
故答案为：；．
15． / /
【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键．
设这个长方形的长是，宽是，根据题意列式求解即可．
【详解】解：设这个长方形的长是，宽是，
∵长是宽的倍，
∴，
∵长减少，宽增加，这个长方形就变成了一个正方形
∴，
∴二元一次方程组为，
解方程组，
把①代入②得，
解得，，
∴，
∴原方程组的解为，
∴长是，宽是，
故答案为：①；②；③ ．
16．2
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中得到，据此利用整体代入法计算求解即可．
【详解】解：∵是关于x，y的方程；的一个解，
∴，
∴，
故答案为：2．
17．
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键：1、定义：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．其一般形式是，其中，不同时为，，不同时为；2、注意：①组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组；②在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立；③二元一次方程组中的各个方程应是整式方程．
由可得，解得；由二元一次方程组的定义可得，解得；综合以上，即可求出的值．
【详解】解：由可得：，
解得：；
由二元一次方程组的定义可得：
，
解得：；
，
故答案为：．
18．(1)a=5,b=2,c=1;(2)y=52.
【分析】(1)把三组x,y的值代入到代数式中得到三个三元一次方程,列方程组求解即可;
(2)把代入（1）中所求代数式中即可求出y的值.
【详解】解：（1）有题意得：,
解之得：.
（2）
当时，
【点睛】本题主要考查三元一次方程组的解法,解决本题的关键是要熟练掌握三元一次方程组的解法.
19．木条长6.5尺．
【分析】设绳子长x尺，木条长y尺，根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设绳子长x尺，木条长y尺，
依题意得：，
解得：．
答：木条长6.5尺．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
20．(1)
(2)，
【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
（1）根据方程的解的定义，直接把，的值代入方程，即可求出的值；
（2）先把方程整理为，可知当，不论取任何一个不为0的值时，都有，从而求出，的值即可得到答案．
【详解】（1）解：将代入方程，
得，
解得．
（2）解：原方程可化为，
根据题意，当，不论取任何一个不为0的值时，都有，
解得，，
即，．
21．(1)；；；
(2)等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得的结果仍是等式
(3)代入消元法
【分析】根据代入消元法，解二元一次方程组的步骤进行解答．
【详解】（1）解：．
由①得，③，第一步
将③代入②，解得，第二步
将得值代入③，解得，第三步
所以原方程组的解为．第四步
故答案为：；；；；
（2）等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得的结果仍是等式
（3）代入消元法
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
22．甲、乙两种商品的定价分别为320元、180元．
【详解】用二元一次方程组解决问题的关键是找到2个合适的等量关系．设甲、乙两种商品的原销售价格分别为x、y元，根据两种商品原价为500元，可得方程（1）x+y=500，又根据两种商品打折后的总价为386元，又可得方程（2）0.7x+0.9y=386，由（1）（2）组成方程组，即可得到答案．
23．甲运动员的速度为6米/秒，乙运动员的速度为4米/秒
【详解】根据相背而跑：甲的路程+乙的路程＝400；同向相跑：甲的路程－乙的路程＝400，即可列出方程组，求解即可.
解：设甲运动员的速度为x米/秒，乙运动员的速度为y米/秒，
由题意得， ，
解得：．
经检验，符合题意．
答：甲运动员的速度为6米/秒，乙运动员的速度为4米/秒．
24．(1)
(2)
【分析】（1）因为两个方程组同解，所以将两个方程组的第一个方程联立，解方程组即可求解．
（2）将（1）所得相同的解代入原方程组，并将含参数a、b的两个方程联立可得方程组，解方程组即可求解．
【详解】（1）因为两个方程组同解，所以将两个方程组的第一个方程联立可得：

解这个方程组可得相同的解为：
（2）将（1）所得相同的解代入原方程组，并将含参数a、b的两个方程联立可得方程组：

解得
【点睛】本题考查了同解方程组，加减消元法解二元一次方程组，二元一次方程组的解的定义，正确的计算是解题的关键．
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