第十八章全等三角形期末单元复习题（含解析）

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第十八章全等三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示,已知∠AOB和一条定长线段a,在∠AOB内找一点P,使点P到OA,OB的距离都等于a,作法如下:
①在∠AOB内作OB的垂线段NH,使NH=a,H为垂足;②过N作NM∥OB;③作∠AOB的平分线OP,与NM交于点P;④点P即为所求.其中③的依据是(　　)
A．平行线之间的距离处处相等 B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
2．用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）正方形；（4）等腰三角形，一定可以拼成的图形是 （ ）
A．（1）（2）（4） B．（2）（3）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）
3．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
4．如图，，若要使，则添加的一个条件不能是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在Rt△ABC的斜边AB上截取AD＝AC，过点D作DE⊥AB交BC于E，则有（ ）
A．DE＝DB B．DE＝CE C．CE＝BE D．CE＝BD
6．下列语句中，是真命题的是（ ）
A．已知，求的值 B．面积相等的两个三角形全等
C．对顶角相等 D．若，则
7．数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC，小颖画的三角形面积记作S△DEF，那么你认为( )
A．S△ABC >S△DEF B．S△ABC C．S△ABC =S△DEF D．不能确定
8．已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是 （ ）
A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA
9．下列尺规作图中，能判断线段是中边上的中线的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（2，0），在平面内有一点C（不与点B重合），使得△AOC与△AOB全等，这样的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．下列说法正确的是（ ）.
A．所有正方形都是全等图形
B．面积相等的两个三角形是全等图形
C．所有半径相等的圆都是全等图形
D．所有长方形都是全等图形
12．下列条件能判断两个三角形全等的是( )
①两角及一边对应相等；
②两边及其夹角对应相等；
③两边及一边所对的角对应相等；
④两角及其夹边对应相等．
A．①③; B．②④; C．②③④; D．①②④．
二、填空题
13．命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
14．如图，在中，平分交于点D，于点E，于点F，且，，则的面积是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B分别为x轴和y轴上一点，且，过点B作于点E，延长至点D，使得，连接，若点C在第一象限，点C的坐标为，连接，与交于点F，则点D的坐标为 ．
16．如图，是的垂直平分线，垂足为点D，，，则的周长为 ．
17．如图，已知，，．则可推出 全等．
三、解答题
18．【方法回顾】
课本研究三角形中位线性质的方法
已知：如图①， 已知中，，分别是，两边中点．
求证：，
证明：延长至点，使， 连按．可证：（　　）
由此得到四边形为平行四边形， 进而得到求证结论
（1）请根据以上证明过程，解答下列两个问题：
①在图①中作出证明中所描述的辅助线（请用铅笔作辅助线）；
②在证明的括号中填写理由（请在，，，中选择） .
【问题拓展】
（2）如图②，在等边中， 点是射线上一动点（点在点的右侧），把线段绕点逆时针旋转得到线段，点是线段的中点，连接、．
①请你判断线段与的数量关系，并给出证明；
②若，求线段长度的最小值．
19．如图，已知点E，C在线段上，，．求证：．
20．如图，已知，，，交于点O，点D在上，点E在上，则与全等吗？请说明理由．

21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC延长线上一点，连结AD．AE∥BD，∠BAC＝∠DAE，连接CE交AD于点F．
（1）若∠D＝36°，求∠B的度数；
（2）若CA平分∠BCE，求证：△ABD≌△ACE．
22．如图，在中，，．
(1)画的角平分线交于D；
(2)在（1）的条件下，求的度数．
23．已知：如图，．求证：．
24．如图，在△ABC中，，D是三角形外一点，且，．求证：
《第十八章全等三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B B B C C B B C
题号 11 12
答案 C D
1．B
【分析】题目要求满足两个条件，其一是到角OA，OB的距离相等，作角平分线，根据到角的两边距离相等的点在角平分线上，可得答案．
【详解】根据角平分线的性质，（3）的依据是到角的两边的距离相等的点在角平分线上.
故选B
【点睛】本题主要考查到角的两边距离相等的点在角的平分线上的知识；注意本题容易出现选C的错误．
2．A
【详解】试题分析：根据全等的直角三角形的性质依次分析各小题即可判断.
用两个全等的直角三角形一定可以拼成平行四边形、矩形、等腰三角形
故选A.
考点：图形的拼接
点评：图形的拼接是初中数学平面图形中比较基础的知识，，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.
3．B
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
4．B
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
和中，已知的条件有，；要判定两三角形全等只需条件一组对应角相等，或或者即可．可据此进行判断，两边及一边的对角相等是不能判定两个三角形全等的．
【详解】解：A、当时，符合的判定条件，故A不符合题意；
B、当时，给出的条件是，不能判定两个三角形全等，故B错误,符合题意；
C、当时，则，即，符合的判定条件，故B正确，不符合题意；
D、当时，符合的判定条件，故D正确，不符合题意；
故选：B．
5．B
【分析】由“HL” Rt△ACE≌Rt△ADE，可得DE=CE，即可．
【详解】解：如图，连接AE，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=∠C=90°，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
∵AE=AE，AC=AD，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴DE=CE．
故选：B
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
6．C
【分析】不是判断的语句不是命题，A不是命题；证明假命题的方法是举反例，对B，D假命题须举反例说明．
【详解】A．已知，求的值，
不是判断语句，不是命题；
B．面积相等的两个三角形全等，
例如和，，，，，
∵，，
∴，
∵，，
∴与不全等，
∴原命题是假命题；
C．对顶角相等，是真命题；
D．若，则，
设，，
∴，
∵ ，，
∴，
∴，
∴原命题是假命题．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了命题的判断，解决问题的关键是熟练掌握用举反例的方法说明假命题．此方法注意所举例子的题设符合原命题题设，例子的结论不符合原命题．
7．C
【分析】在两个图形中分别作BC、EF边上的高，欲比较面积，由于底边相等，所以只需比较两条高即可．
【详解】解：如图，过点A、D分别作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分别为G、H，
在△ABG和△DHE中，AB=DE=5，
∠B=50°，∠DEH=180°-130°=50°，
∴∠B=∠DEH，∠AGB=∠DHE=90°，
∴△AGB≌△DHE(AAS)，
∴AG=DH．
∵BC=4，EF=4，
∴S△ABC=S△DEF．
故选：C．
【点睛】要题考查全等三角形的判定和性质，等底等高两三角形面积相等．证明△AGB≌△DHE是解题的关键．
8．B
【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．
【详解】A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故A不符合题意；
B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故B符合题意；
C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故C不符合题意；
D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故D不符合题意．
故选：B．
9．B
【分析】本题考查作图-基本作图，三角形的中线，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题．
根据三角形的中线的定义判断即可．
【详解】解：观察图形可知，选项B中，，故线段是的中线，
故选：B．
10．C
【分析】画出图形即可得到答案．
【详解】如图所示，满足条件的点有三个，分别为C1(-2，0)，C2(-2，4)，C3(2，4)
故选：C
【点睛】本题考查了坐标与图形、三角形全等的判定，全等三角形的判定及图形坐标特征是解题的关键．
11．C
【详解】试题分析：根据全等图形的定义进行判断. A、所有正方形不一定是全等图形，故此选项错误；B、面积相等的两三角形不一定全等，故此选项错误；C、所有半径相等的圆都是全等图形，故此选项正确；D、所有长方形不一定是全等图形，故此选项错误．
故选C．
考点：全等图形．
12．D
【详解】试题分析：①两边及其一边对应相等可以利用ASA或AAS判定，故正确；
②两边及其夹角对应相等可以利用SAS判定，故正确；
③两边及其一边的对角对应相等不能判定两三角形全等，故错误；
④两角及其夹边对应相等符合ASA定理，故正确，
故选D．
考点：全等三角形的判定．
13．真
【分析】本题主要考查了判断命题真假，原命题的逆命题．先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．
【详解】解：命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，它是真命题，
故答案为：真．
14．14
【分析】此题主要考查了角平分线的性质和应用，解答此题的关键是要明确：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质定理可得；最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵平分，于点E，于点F，
∴，
∴；
故答案为：14．
15．
【分析】如图，先证明再根据证明，即得，接着再证明，即可得出，从而求得结果．
【详解】解：过点D作轴于点K，过点C作于点L，与x轴相交于点H，
如图所示：
，
，
在中，，
在中，，
，
，
在和中，
，
，
又，
，
即，
，
，
，
在和 中，
，
，
，
点C的坐标为，即，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是会添加辅助线，构造全等三角形．
16．16
【分析】利用线段垂直平分线的性质，可得，，，进行计算即可解答．
【详解】∵是的垂直平分线，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴的周长
，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
17．和(答案不唯一)
【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握利用“”判定三角形全等即可作答．
【详解】证明：在和中
∵，
∴，
故答案为：和．
18．【方法回顾】（1）①在图①中作出证明中所描述的辅助线，见解析；②；（2）①，证明见解析；②线段长度的最小值为．
【分析】（1）①根据题意画出辅助线即可；
②由题可知判断全等的条件是；
（2）①延长至点，使得，连接，，证明，得到，由绕点逆时针旋转得到线段，可得到为等边三角形，可推出为等边三角形，得到；
②连接，取的中点，连接作射线，由为等腰三角形，，得到，由点为的中点，点为的中点，得到，当时，最短，在中，，．
【详解】（1）①在图①中作出证明中所描述的辅助线如图所示：
②．
（2）①，
延长至点，使得，
连接，，
点为的中点，
，
，，
，
，，
，
绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
为等边三角形，
， ，
，
，
，
，
，，
，
为等边三角形，
；
②连接，取的中点，连接作射线，
为等腰三角形，，
，
点为的中点，点为的中点，
，
，
点的轨迹为射线，且，
当时，最短，
，
，
在中，
，
，
即线段长度的最小值为．
【点睛】本题主要考查了三角形旋转综合应用，结合考查全等三角形性质、中位线性质、直角三角形30度角的性质、等边三角形的性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
19．见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，利用证明三角形全等即可．
【详解】证明：∵，
∴．
∵，
∴，即．
在和中，，
∴．
20．，理由见解析
【分析】由全等三角形的性质得到，，，推出，又，即可证明．
【详解】解：与全等，理由如下：
，
，，，
，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是由全等三角形的性质推出．
21．（1）72°；（2）见解析
【分析】（1）可得∠DAE＝∠BAC，∠B＝∠ACB，由三角形内角和定理可求出答案；
（2）证得∠B＝∠ACE，∠BAD＝∠CAE，可证明△ABD≌△ACE（ASA）．
【详解】解：（1）∵AE∥BD，
∴∠DAE＝∠BAC，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠D＝∠BAC＝36°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝．
（2）证明：∵CA平分∠BCE，
∴∠BCA＝∠ACE，
∵∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACE，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（ASA）．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理和三角形全等证明，准去分析计算是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据角平分线的作图方法作图即可；
（2）由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，再由三角形外角的定义及性质解答即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
；
（2）解：∵，，
，
平分，
，
∴．
23．见解析
【分析】根据证明即可得到结论．
【详解】证明：在和中
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
24．见解析
【分析】首先延长BD至E，使CD＝DE，连接AE，AD，由BD＋DC＝AB，易得△ABE是等边三角形，继而证得△ACD≌△ADE，则可证得：∠ACD＝∠E＝60°．
【详解】延长BD至E，使，连接AE，AD，
∵，，
∴，
∵，
∴△ABE是等边三角形，
∴，，
在△ACD和△ADE中，
，
∴△ACD≌△ADE（SSS），
∴．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
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