第二十七章一元二次方程期末单元复习题（含解析）

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第二十七章一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A．k<5 B．k<5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k>5
2．一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
3．一元二次方程+2x-6=0的根是（　　）
A． == B．=0，=-2
C．=，=-3 D．=-，=3
4．已知关于x的一元二次方程有实数根，设此方程得一个实数根为t，令，则（ ）
A． B． C． D．
5．一元二次方程化一般形式后（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
6．在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（ ）
A． B． C． D．
7．芳芳有一个无盖的收纳箱，该收纳箱展开后的图形（实线部分）如图，将该图形补充四个边长为的小正方形后，得到一个矩形，已知矩形的面积为，根据图中信息，可得的值为（ ）
A．10 B．20 C．25 D．30
8．一元二次方程化成一般形式后，一次项系数是（　　）
A．5 B．9 C． D．1
9．某地区前年参加中考的人数为5万，今年参加中考的人数为6.05万，则这两年该地区参加中考的人数的年平均增长率是（　　）
A． B． C． D．
10．方程组的解是，那么方程x2+ax+b=0( )
A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根
C．没有实数根 D．有两个根为2和3
11．用求根公式法解得某方程的两个根互为相反数，则（ ）
A． B． C． D．
12．有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长是第一块宽的3倍，宽比第一块的长少，已知第二块木板的面积比第一块大，则这两块木板的长和宽分别是（ ）
A．第一块木板长，宽，第二块木板长，宽
B．第一块木板长，宽，第二块木板长，宽
C．第一块木板长9m，宽，第二块木板长，宽
D．以上都不对
二、填空题
13．设、是方程的两个实数根，则的值为 ．
14．已知m是一元二次方程的根，则代数式的值为 ．
15．若一元二次方程的两根分别为m与n，则 ．
16．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于 ．
17．把关于y的方程(2y-3)2=y(y-2)化成一般形式为 ．
三、解答题
18．若方程3kx2-6x＋8=0没有实数根，求k的最小整数值．
19．解方程：（x-1）2=9．
20．已知关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，试判断关于x的方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0的根的情况．
21．解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
22．距台风中心的区域（包括边界）为受台风影响区．如图，如果轮船不改变航向，会进入台风影响区吗？
23．无论p取何值，方程总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．
24．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．
(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根．
(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积．
《第二十七章一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C B A C B C B C
题号 11 12
答案 A B
1．B
【详解】∵关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得：k＜5且k≠1．
故选：B．
2．C
【详解】∵一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，
∴22+2p﹣2=0，
解得：p=﹣1．
故选：C．
3．C
【详解】解：，a=1，b=，c=-6，∴△=b2-4ac==32＞0，∴x==，故选C．
4．B
【分析】由一元二次方程根的判别式先求解再利用根与系数的关系可得从而可得再利用不等式的性质可得答案．
【详解】解： 关于x的一元二次方程有实数根，
解得：
设方程的两根分别为
解得：
即
故选B
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一次函数的性质，不等式的性质，熟练的运用一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键．
5．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确合并同类项是解题关键．先将一元二次方程化一般形式，即可得出a，b，c的值．
【详解】解：一元二次方程化为一般形式为：，
∴，，．
故选：A．
6．C
【分析】本题考查解一元一次方程，相反数定义，解一元二次方程．根据题意逐个对选项进行求解，看哪个结果符合题意即为本题答案．
【详解】解：∵，
∴，
故A选项不符合题意；
∵，
∴，解得：，
∴有两个根，但不互为相反数，
故B选项不符合题意；
∵，
∴，
∴有两个实数根，且它们互为相反数，
故C选项符合题意；
∵无解，故D选项不符合题意，
故选：C．
7．B
【分析】根据题意和图形信息得到补全后的矩形长为x+30，宽为x+20,根据矩形的面积公式即可列出方程进行求解.
【详解】依题意得到补全后的矩形长为x+30，宽为x+20,
故(x+30)( x+20)=2000,
解得x1=20,x2=-70(舍去)
故选B.
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列式.
8．C
【分析】根据一元二次方程的一般形式确定出所求即可．
【详解】解：将一元二次方程化成一般形式为，故化成一般形式后，一次项系数是．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为（其中a，b，c为常数，且）．
9．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设年平均增长率为x．根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设年平均增长率为x．根据题意，得：
，
解得 (不合题意，舍去)．
所以这两年该地区参加中考的人数的年平均增长率为．
故选B．
10．C
【分析】先求得a，b的值，然后再根据一元二次方程的根的判别式的符号判断根的情况．
【详解】把代入方程组得a=2，b=2，
所以方程x2+ax+b=0变为x2+2x+2=0，其中a=1，b=2，c=2，
∴△=b2 4ac=22 4×1×2= 4<0，
∴方程没有实数根
故选C.
【点睛】本题考查了根的判别式，二元一次方程组的解，解题的关键是根据一元二次方程的根的判别式的符号判断根的情况.
11．A
【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根，由题意得，可求出．
【详解】方程有两根，
且．
求根公式得到方程的根为，两根互为相反数，
所以，即，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．
12．B
【分析】先设第一块木板的宽为，根据题意可得出第一块的长为，第二块的长、宽分别为；再根据第二块木板的面积比第一块大，列出方程求解即可．
【详解】解：设第一块木板的宽为，则第一块的长为，第二块的长、宽分别为
根据题意得3，
解得或（舍去），
所以第一块的长为，宽为，第二块的长、宽分别为．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的几何应用，仔细审题，找出题目中的等量关系列出方程是解答本题的关键．
13．．
【详解】试题分析：∵方程、是方程的两个实数根，∴，，∴===．故答案为．
考点：根与系数的关系．
14．-2
【分析】根据方程的解代入方程满足等式关系，再整体代入计算求值即可；
【详解】解：∵m是一元二次方程的根，
∴=0，
∴，
故答案为：-2；
【点睛】本题考查了代数式求值，掌握一元二次方程解的意义是解题关键．
15．
【分析】先根据根与系数的关系得，mn=2，再把原式变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为m与n，
根据根与系数的关系得，mn=2，
所以原式=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
16．2028
【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12-4x1=2020，x1+x2=4，代入原式=x12-4x1+2x1+2x2=x12-4x1+2（x1+x2）计算可得．
【详解】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2020+2×4
＝2020+8
＝2028，
故答案为：2028．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
17．3y2－10y+9=0．
【分析】先去括号，再移项、合并同类项即得答案．
【详解】解：去括号，得4y2－12y+9=y2－2y，
移项，得4y2－y2－12y+2y+9=0，
合并同类项，得3y2－10y+9=0．
故答案为：3y2－10y+9=0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，属于基础题型，熟知一元二次方程的一般形式、掌握化简的方法是关键．
18．1
【分析】根据方程3kx2-6x＋8=0没有实数根，得出△＜0，求出k的取值范围，即可得出k的最小整数值．
【详解】解：根据题意得△=36-96k<0,
即k>时，原方程没有实数根，
∴k的最小整数值为1.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．
19．x1=4，x2=-2
【分析】先开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：两边开方得：x-1=±3，
解得：x1=4，x2=-2．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程求解．
20．方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的实数根，理由见解析
【分析】首先根据已知方程无实根可得Δ1<0，可求出m的取值范围，再计算新方程的判别式，结合m的取值范围确定新方程判别式Δ2的情况，进而得出新方程根的情况即可.
【详解】∵x2－2x－m＝0没有实数根，
∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.
对于方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0，
Δ2＝(2m)2－4m(m＋1)＝－4m>4，
∴方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
21．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）原方程无解
【分析】（1）根据直接开平方法进行求解即可；
（2）根据直接开平方法进行求解即可；
（3）根据直接开平方法进行求解即可；
（4）根据直接开平方法进行求解即可；
（5）根据配方法进行求解即可；
（6）根据公式法可直接进行求解．
【详解】解：（1）
∴，即；
（2）
，
∴，即；
（3）
∴，
解得：；
（4）
∴，
解得：；
（5）
，
∴，
解得：；
（6），
，
∴，
∴，
∴原方程无解．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
22．如果轮船不改变航向，会进入台风影响区．
【分析】先根据勾股定理求出的长，再设当轮船接到报警后经过t小时受到台风影响，根据勾股定理列出关于t的方程，根据根的判别式即可判断．
【详解】解：轮船会受到台风影响．如图，
∵，
∴．
设当轮船接到报警后经过t小时后，轮船到达点D，台风到达点E，
由勾股定理得：
，
整理得，
，
方程有两个不相等的实数解，
∴如果轮船不改变航向，会进入台风影响区．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，一元二次方程根的判别式的应用，正确的理解题意是解题的关键．
23．总有两个不等的实数根，见解析
【分析】先把原方程化成，然后利用一元二次方程根的判别式进行求解即可．
【详解】解：无论p取何值，方程（x－3）（x－2）－p ＝0总有两个不等的实数根，理由如下：
原方程可以化为，，
∴＝＝＝25－24＋4p ＝1＋4p ，
∵p ≥0，
∴1＋4p ＞0，即＞0，
∴原方程总有两个不等的实数根．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根，当，方程有两个相等的实数根，当，方程没有实数根．
24．(1)证明见解析；
(2)方程的另一个根为：；以此两根为边长的直角三角形的面积为或．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可；
（2）将代入方程可确定m的值，然后求解一元二次方程得出方程的另一个解；分两种情况讨论直角三角形的面积：①当该直角三角形的两直角边是1、3时；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，利用勾股定理确定另一条直角边，然后求面积即可得．
【详解】（1）证明：，
其中：，，，
∴，
∴在实数范围内，m无论取何值，，
即，
∴关于x的方程恒有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意得：将代入方程可得：
，
解得，
∴方程为，
解得：或，
∴方程的另一个根为；
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，
该直角三角形的面积为：；
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，
由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为，
则该直角三角形的面积为；
综上可得，该直角三角形的面积为或．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，勾股定理，分情况讨论三角形等，理解题意，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
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