第二十五章平行四边形期末单元复习题（含解析）

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第二十五章平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
2．下列四边形中，AB不平行于CD的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列说法：
四边相等的四边形一定是菱形
顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形
对角线相等的四边形一定是矩形
经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分
其中正确的有　　个．
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点E，交于点F．若平行四边形的周长为18，，则四边形的周长为（ ）．

A．14 B．13 C．12 D．10
5．如图，4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，则与的大小关系是（ ）

A． B．
C． D．
6．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为( )
A．4 B．3 C．3或4 D．3或6
7．如图，在四边形中，对角线、相交于点，已知，添加一个条件，能判定四边形是平行四边形的是( )
A． B．
C． D．
8．如图，在四边形中，对角线相交于点O．下列说法不正确的是（ ）

A．如果，那么可得矩形；
B．如果是菱形，那么可得；
C．如果，那么可得正方形；
D．如果，那么可得矩形；
9．如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90° B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD
C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO
10．已知正方形的对角线相交于点，且，则的长度和的度数分别是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC＝（　　）
A．35° B．45° C．50° D．55°
12．下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )
A．∠A=∠D，∠B=∠C B．AB=CD，AD=BC
C．AB平行且等于CD D．AB=AD，BC=CD
二、填空题
13．用40cm长的绳子围成一个平行四边形，使其相邻两边的长度比为3：2，则较短边的长度为
14．如图，矩形中，，，为上一点，以为边构造等边（、、按逆时针方向排列），连接、，则的最小值为 ．
15．如图，ABCD的对角线相交于点O，且ADCD，过点O作OMAC，交AD于点M．如果CDM的周长为8，那么ABCD的周长是 ．
16．如图，菱形中，连接，若，则的度数为 ．

17．如图所示，A′B′∥AB，B′C′∥BC，C′A′∥CA，图中有 个平行四边形．
三、解答题
18．如图，在中，，的平分线交于点，DEAB，DFAC．
(1)求证：四边形为正方形；
(2)若，求四边形的面积．
19．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当∠BAE为多少度时，四边形AECF是菱形？请说明理由．
20．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交、、于点E、O、F，连接和．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，求菱形的周长．
21．数学课上，老师要求利用一张长、宽的矩形纸片折出一个菱形．李颖按照取两组对边中点的方法折出了菱形（见方案一），张丰沿矩形的对角线折出，得出菱形（见方案二）．请你通过计算，比较方案一和方案二中两个菱形的面积大小．
22．已知：如图，矩形的对角线与相交于点，，.
(1)求证：；
(2)求的长．
23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF，
（1）求证：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
24．如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24 cm，BC＝26cm，动点P从点A开始沿AD边以每秒1cm的速度向D点运动，动点Q从点C开始沿CB边以每秒3cm的速度向B运动，P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s．
(1)t为何值时，四边形PQCD为平行四边形
(2)t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形
(3)t为何值时，四边形ABQP为矩形
《第二十五章平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C C A D A C C D
题号 11 12
答案 D D
1．B
【分析】本题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质，理解矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组内角．
利用矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐项判断即可．
【详解】解：A，矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有，不符合题意；
B，矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分，符合题意；
C，菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有，不符合题意；
D，菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有，不符合题意．
故选：B．
2．D
【分析】A是平行四边形，B是梯形，C是正方形．D是一般的四边形，AB不平行于CD．
【详解】解：因为A、B、C都是特殊的四边形，都有平行的边；
故选D．
【点睛】本题考查常见的几种特殊四边形的边的关系．
3．C
【详解】∵四边相等的四边形一定是菱形，∴①正确；
∵顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，∴②错误；
∵对角线相等的平行四边形才是矩形，∴③错误；
∵经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，∴④正确；
其中正确的有2个，
故选：C．
4．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，则，再证明得到，根据平行四边形周长计算公式得到，再根据四边形周长计算公式求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线交于点O，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平行四边形的周长为18，
∴，
∴四边形的周长，
故选：C．
5．A
【分析】根据矩形的面积公式＝长×宽，平行四边形的面积公式＝边长×高可得两阴影部分的面积，进而得到答案．
【详解】解：∵，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查求矩形和平行四边形的面积．熟练掌握相应的面积公式，是解题的关键．
6．D
【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如图所示，连接AC，先利用勾股定理计算出AC=10，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=6，可计算出CB′=4，设BE=x，则EB′=x，CE=8-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x；
②当点B′落在AD边上时，如图所示，此时四边形ABEB′为正方形．
【详解】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如图所示，连接AC，
在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC==10，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，
即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=6，
∴CB′=10-6=4，
设BE=x，则EB′=x，CE=8-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
∴BE=3；
②当点B′落在AD边上时，如图所示，
此时四边形ABEB′为正方形，
∴BE=AB=6，
综上所述，BE的长为3或6，
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理，注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
7．A
【分析】由平行四边形的判定定理即可得出结论．
【详解】解：添加一个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的是BO＝DO，
理由：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形；
而添加或或均不能判定四边形是平行四边形，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记“对角线互相平分的四边形为平行四边形”是解题的关键．
8．C
【分析】根据矩形，菱形，正方形的判定方法，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，故A选项正确，不符合题意；
∵四边形是菱形，
∴，故B选项正确，不符合题意；
若四边形是平行四边形，，则可得正方形，故C选项错误，符合题意；
∵，
∴四边形是矩形，故D选项正确，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了矩形，菱形，正方形的判定，熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定定理是解题的关键．
9．C
【分析】矩形的判定定理有：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此判断．
【详解】解；A、∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°根据有三个角是直角的四边形是矩形可判定为矩形，故此选项错误；
B、AB∥CD，AB＝CD，可以判定为平行四边形，又有AB⊥AD，可判定为矩形，故此选项错误；
C、AO＝BO，CO＝DO，不可以判定为平行四边形，所以不可判定为矩形，故此选项正确；
D、AO＝BO＝CO＝DO，可以得到对角线互相平分且相等，据此可以判定矩形，故此选项错误，
故选：C．
【点睛】本题是对矩形判定的考查，熟练掌握矩形的判定定理是解决本题的关键.
10．D
【分析】根据正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角可得， BO=CO=AC=8，∠OCD=45°．
【详解】解：∵正方形ABCD，AC=12cm
∴BO=CO=AC=6，=45°．
故选D．
【点睛】本题考查正方形的性质．掌握正方形性质是解题关键，正方形的对角线对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角.
11．D
【分析】延长PF交AB的延长线于点G．根据已知可得∠B，∠BEF，∠BFE的度数，再根据余角的性质可得到∠EPF的度数，从而不难求得∠FPC的度数．
【详解】解：延长PF交AB的延长线于点G．
在△BGF与△CPF中，
∴△BGF≌△CPF（ASA），
∴GF＝PF，
∴F为PG中点．
又∵由题可知，∠BEP＝90°，
∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∵（中点定义），
∴EF＝PF，
∴∠FEP＝∠EPF，
∵∠BEP＝∠EPC＝90°，
∴∠BEP﹣∠FEP＝∠EPC﹣∠EPF，即∠BEF＝∠FPC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣∠A＝70°，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴BE＝BF，
易证FE＝FG，
∴∠FGE＝∠FEG＝55°，
∵AG∥CD，
∴∠FPC＝∠EGF＝55°
故选D．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质的理解及运用，灵活应用菱形的性质是解决问题的关键．
12．D
【详解】解：如图示，根据平行四边形的判定，A、B、C均符合平行四边形的条件，而D不能判定其形状．
故选D．
13．8cm
【分析】根据平行四边形的对边相等的性质，设长边为3xcm，则短边长为2xcm，根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】设长边为3xcm，则短边长为2xcm；
根据题意得：，
解得：，
较短边为．
故答案为8cm；
【点睛】本题考查了平行四边形的对边相等的性质，解题的关键是根据性质，找到等量关系，列出方程．
14．
【分析】先根据矩形的性质、勾股定理、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，证明是等边三角形，利用等边三角形性质即可证明，由全等三角形性质可得，推得是的垂直平分线，则有，推得当、、三点共线时，最小值为长，即可求解．
【详解】解：如图，连接，取的中点，连接、，
矩形中，，，，
，
点是的中点，，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
当点、点、点三点共线时，的最小值为的长，
即的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质、勾股定理、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，解题关键是证明三角形全等．
15．16
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，又由OM⊥AC，可得AM=CM，然后由△CDM的周长为8，求得平行四边形ABCD的周长．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵OM⊥AC，
∴AM=CM，
∵△CDM的周长为8，
∴CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=8，
∴平行四边形ABCD的周长是：2×8=16.
故答案为:16.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行四边形与线段垂直平分线的性质.
16．/70度
【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的性质可得，，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：
17．3
【分析】根据平行四边形的概念：两对对边分别平行的四边形是平行四边形，即可求解．
【详解】依据已知条件，A′B′∥AB，B′C′∥BC，C′A′∥CA，
能够判断四边形ABCB′，C′BCA，ABA′C都是平行四边形．
所以有3个平行四边形．
故答案：3．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法．
18．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据题目条件可得四边形为平行四边形，进而可通过角平分线证明其邻边相等，再加上一个角，即可说明是正方形，
（2）根据正方形的性质先求出边长，即可得面积．
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形．
平分，
．
，
．
．
．
四边形是菱形．
，
四边形是正方形．
（2）解：四边形是正方形，，
，
，
，
四边形的面积为．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，正方形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握正方形的几种判定方法及性质是解题关键．
19．（1）证明见解析（2）当∠BAE=30°时，四边形AECF是菱形
【分析】（1）首先证明△ABE≌△CDF，则DF=BE，然后可得到AF=EC，依据一组对边平行且相等四边形是平行四边形可证明AECF是平行四边形；
（2）由折叠性质得到∠BAE=∠CAE=30°，求得∠ACE=90°-30°=60°，即∠CAE=∠ACE，得到EA=EC，于是得到结论．
【详解】（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D=90°，∠BAC=∠DCA．
由翻折的性质可知：∠EAB=∠BAC，∠DCF=∠DCA．
∴∠EAB=∠DCF．
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴DF=BE．
∴AF=EC．
又∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）当∠BAE=30°时，四边形AECF是菱形，
理由：由折叠可知，∠BAE=∠CAE=30°，
∵∠B=90°，
∴∠ACE=90°-30°=60°，
即∠CAE=∠ACE，
∴EA=EC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键．
20．(1)见解析
(2)菱形的周长为20
【分析】（1）根据推出：；根据全等得出，推出四边形是平行四边形，再根据即可推出四边形是菱形；
（2）根据线段垂直平分线性质得出，设，推出，，在中，由勾股定理得出方程，求出即可．
【详解】（1）证明：是的垂直平分线，
，，
四边形是矩形，
∴，
，
在和中，
，
；
又，
四边形是平行四边形，
又
四边形是菱形；
（2）解：设，
是的垂直平分线，
，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴,
∴在中，由勾股定理得：
，
即，
解得：，
，
菱形的周长为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，注意应用方程思想解决问题．
21．方案一中的菱形面积为，方案二中的菱形面积为；（方案二）张丰同学所折的菱形面积较大．
【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理以及矩形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．根据折叠方法，分别求得李颖同学和张丰同学的折法中的菱形面积，比较即可求得答案．
【详解】解：（方案一）．
（方案二）设，则，
．
四边形是菱形，则，
．
．
．
经比较可知，（方案二）张丰同学所折的菱形面积较大．
22．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）由矩形的性质可得，，进而可得为等边三角形，得到，即可求证；
（）由可得，设，则，利用勾股定理求出即可求解；
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴．
23．（1）见解析（2）见解析
【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案．
（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据菱形的判定推出即可．
【详解】解：（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE．
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD．
在△AFE和△DBE中，
∵∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED， AE=DE，
∴△AFE≌△DBE（AAS）
∴AF=BD．
∴AF=DC．
（2）四边形ADCF是菱形，证明如下：
∵AF∥BC，AF=DC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，
∴AD=DC．
∴平行四边形ADCF是菱形．
24．（1）t＝6时；（2）t＝7时；（3）t＝时.
【详解】试题分析：（1）要使四边形PQCD是平行四边形，则点在运动的过程中，只需PD=QC就满足题意；
（2）作DE⊥BC，PF⊥BC，垂足分别为E，F，要使四边形PQCD为等腰梯形，则QF＝CE；依此即可求解；
（3）要使四边形ABQP为矩形，则点在运动的过程中，只需AP=BQ就满足题意．
试题解析：解：由已知得AP＝t，CQ＝3t，PD＝24－t，BQ＝26－3t．
（1）∵PD∥CQ，∴当PD＝CQ时，即3t＝24－t时，四边形PQCD为平行四边形，解得t＝6．故当t＝6时，四边形PQCD为平行四边形．
（2）如图所示，作DE⊥BC，PF⊥BC，垂足分别为E，F，则CE＝2．当QF＝CE时，即QF+CE＝2CE＝4时，四边形PQCD是等腰梯形．此时有CQ－EF＝4，即3t—（24一t）＝4，解得t＝7．故当t＝7时，四边形PQCD为等腰梯形．
（3）若四边形ABQP为矩形，则AP＝BQ，即t＝26—3t，解得t＝．故当t＝时，四边形ABQP为矩形．
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