湖南省岳阳市临湘市第二中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题
1．（2024高二下·临湘期末）集合的子集的个数是（ ）
A．16 B．8 C．7 D．4
2．（2024高二下·临湘期末）若，且能被17整除，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．15 D．16
3．（2024高二下·临湘期末）若，且，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（2024高二下·临湘期末）某电视台计划在五一期间某段时间连续播放5个广告，其中2个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个必须是公益广告，且商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有（ ）种.
A．144 B．72 C．64 D．36
5．（2024高二下·临湘期末）一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·临湘期末）已知，.设p：，q：，则p是q的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分又不必要
7．（2024高二下·临湘期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温下，某种绿茶用的水泡制，经过后茶水的温度为，且.当茶水温度降至时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（ ）
（参考数据：）
A． B． C．8min D．
8．（2024高二下·临湘期末）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，且，则必有（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高二下·临湘期末）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，则下列结果正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高二下·临湘期末）有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（ ）
A． B．与相互独立
C．与相互独立 D．与相互独立
11．（2024高二下·临湘期末）函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数，例如：，则下列命题正确的是（ ）
A．函数为偶函数
B．函数的值域为
C．若，则的最小值为
D．不等式的解集为
12．（2024高二下·临湘期末）在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图1），小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将的展开式按x的升幂排列，将各项系数列表如下（如图2）：
上表图2中第n行的第m个数用表示，即展开式中的系数为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2024高二下·临湘期末）已知函数，则 .
14．（2024高二下·临湘期末）已知，则 .
15．（2024高二下·临湘期末）设函数是定义域为的奇函数，且，都有.当时，，则函数在区间上有 个零点.
16．（2024高二下·临湘期末）已知不等式恒成立，则实数a的取值范围是 .
17．（2024高二下·临湘期末）已知集合，.
（1）求；
（2）设集合，若，求实数的取值范围.
18．（2024高二下·临湘期末）为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业升级，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）．
（1）现有旧设备生产的零件有10个，其中直径大于10nm的有2个．现从这10个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望；
（2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差；
（3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于10.4nm的概率．
参考数据：若，则，，，，．
19．（2024高二下·临湘期末）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹 郁金香 月季（其中区域的形状 大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为.
（1）用含有的代数式表示，并写出的取值范围；
（2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？
20．（2024高二下·临湘期末）甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为.
（1）求P；
（2）当时，求甲得分X的分布列及数学期望；
（3）若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：.
21．（2024高二下·临湘期末）已知函数.
（1）当时，求函数极值；
（2）讨论在区间上单调性；
（3）若恒成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：因为集合有2个元素，所以集合的子集个数是.
故选：D.
【分析】判断出集合元素个数再求子集个数即可.
2．【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为
又因为能被17整除，
所以上式中能被17整除，满足题意，
所以，
则，
所以的最小值为16.
故答案为：D.
【分析】把改写成，再利用二项式定理展开，令能被17整除，从而求出的最小值.
3．【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：令，
由，得，
即，
又因为，即，
所以，
故答案为：A.
【分析】根据条件，利用换元法求得解析式，再利用即可求解.
4．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先排3个不同的公益广告有，
每两个公益广告之间及最后一个位置可播放2个不同的商业广告有种方法，
由分步计数原理，得种方法.
故答案为：D.
【分析】先安排3个不同的公益广告，再用插入法排2个不同的商业广告，再结合排列数公式和分步乘法计数原理得出不同的播放方式种数.
5．【答案】A
【知识点】瞬时变化率
【解析】【解答】解：因为，
所以，当时，此木块在水平方向的瞬时速度为.
故答案为：A.
【分析】根据导数的几何意义知瞬时速度为该时刻处的导数值，从而得出当时，此木块在水平方向的瞬时速度.
6．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：对于p：，两边取以e为底的对数得，
因为，
所以
则，
设，
则，
所以在区间上，单调递增；
在区间上，单调递减，
由，得，
若或，则，
若不在的同一单调区间，则；
对于q：，则，
设，
则，
所以在上单调递增，
所以等价于，
根据以上的分析可知：由p不能推出q成立，由q可以推出p成立，
所以，条件p是条件q的必要且不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合导数判断函数的单调性，从而确定函数的单调区间，再分别化简条件p与条件q，再结合充要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
7．【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意可知，当时，，
则，
解得，
所以，
当时，，则，
则
，
所以茶水泡制时间大的为7 min.
故答案为：B.
【分析】根据初始条件得出参数的值，再利用已知函数关系得出口感最佳时泡制的时间．
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，
可得，
设，，
则，
所以，函数在上单调递增，
所以，
则，
所以.
故答案为：A.
【分析】通过分析不等式，构造新函数为，，再利用导数判断函数的单调性，则得出，从而找出正确的选项.
9．【答案】A,B
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A中，由，所以，
由不等式的性质，可得A正确；
B中，由，根据不等式的性质，可得正确；
C中，由，可得C错误；
D中，由，可得D错误.
故选：AB.
【分析】根据不等式的基本性质直接求解即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、由题意，可得，故A正确；
B、，，
则，即与不相互独立，故B错误；
C、，，
则，即与相互独立，故C正确；
D、，
则，即与相互独立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，根据独立事件乘法公式计算即可判断A；根据相互独立事件定义，分别计算出、、后，验证是否满足即可判断BCD.
11．【答案】B,C,D
【知识点】函数的值域；函数的奇偶性；一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，因为，显然，故错误；
对于，由取整函数的定义知：，
函数的值域为，故B正确；
对于C，因为，则，
易知，
又因为函数在上单调递增，
当时，的最小值为，故C正确；
对于D，因为，
则，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】代值验证结合偶函数的定义，则判断出选项A，根据高斯函数的定义分析判断出选项B，先求出的取值范围，再根据对勾函数的性质求解判断出选项C；先解不等式，再根据高斯函数的定义得出不等式的解集，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.
12．【答案】B,C,D
【知识点】组合及组合数公式；二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：依题意结合图2可知，
图2中每一行的每一个数等于其上一行头顶和左右肩上共三个数的和（没有的用0代替），
如：第四行的第三个数10，等于上一行头顶上的数3加上左右肩上的数1和6；
第三行中的第二个数3，等于上一行头顶上的数1加上左右肩上的数0（左肩上没有数，故用0代替）和2，
所以.
对于A，由以上可知，故A错；
对于B，由图可知，
以此类推可得，故B对；
对于C，由以上可知正确，故C对；
对于D，因为，
则
所以，根据乘法规则的展开式中的系数为：
，
又因为，
其通项为，
又因为，
所以展开式中的系数为0，
所以，
故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由图2中数据特征判断出选项A、选项B和选项C；左式可由的展开式中的系数得到，则根据和二项式定理研究出展开式中的系数，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
13．【答案】8
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：由函数，
可得，
所以.
故答案为：.
【分析】根据题意结合指数幂的运算法则和对数的运算法则，从而代入求出函数的值.
14．【答案】4048
【知识点】简单复合函数求导法则；二项式系数
【解析】【解答】解：因为，
两边同时求导，得，
令，可得，
由，
令，可得；
令，可得，
可得，
所以.
故答案为：4048.
【分析】求导赋值可得，再赋值可得，从而得出的值.
15．【答案】6
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：如图，
因为函数是定义域为的奇函数，
所以，且.
又因为，
所以，
所以函数的图象关于直线对称，且，
所以，
所以4是函数的一个周期，
所以，
易知函数在上单调递增，
且，
所以函数在区间上仅有1个零点，且零点在区间上，
由函数的图象的对称性，知函数在区间上有且仅有1个零点，
因为是定义域为的奇函数且是4是它的一个周期，
所以，
所以函数的图象关于点中心对称，
所以函数在区间上有且仅有2个零点.
因为函数在区间上没有零点，
所以函数在区间上没有零点.
结合，得函数在区间上有6个零点.
故答案为：6.
【分析】由函数是定义域为的奇函数，再结合可得函数的一个周期为4，再根据函数的单调性与零点存在性定理，从而得出可得函数在区间上的零点个数.
16．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；函数极限
【解析】【解答】解：由，
可得，
则恒成立，
令，
则不等式可化为：，
令，
则，
所以，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以，
故要使恒成立，只需，
所以，
则，
令，
所以，
令，则，
所以时，，在上单调递增，
且当时，，当时，，在上单调递减，
且当时，，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】由题意，将不等式化为，令，利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题得出，令，再利用导数判断函数的单调性，再结合函数的极限得出函数的最值，最后由不等式恒成立问题得出实数a的取值范围.
17．【答案】（1）解：因为集合或，
所以，
则.
（2）解：因为，
所以，
当时，，解得：；
当时，或，解得：，
综上所述：实数的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式求解方法得出集合A，再利用对数函数的单调性得出集合B，再利用并集运算法则和补集的运算法则，从而得出集合、.
（2）先根据确定，再考虑和两种情况，从而得出实数a的取值范围.
（1）集合或，，
故，.
（2）因为，所以，
当时，，所以；
当时，或，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
18．【答案】（1）解：由题意知，的可能取值为0，1，2，
则，
则，
，，
所以的分布列为：
0 1 2
所以，数学期望．
（2）解：由题意可知，服从二项分布，
所以，，
则技术攻坚成功的概率为：
，
所以．
（3）解：记“至少有一个零件直径大于10.4nm”为事件A，
因为，
所以，，
所以，
所以，
所以，
则至少有一件零件直径大于9.4nm的概率为0.2056．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1）由题意得出服从超几何分布，从而求出对应的概率，进而得到的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出的数学期望.
（2）由二项分布的概率公式以及方差公式，从而得出技术攻坚成功的概率及的方差.
（3）由正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而得出至少有一个零件直径大于10.4nm的概率．
（1）由题知，的可能取值为0，1，2，．
则，，，
所以的分布列为：
0 1 2
所以，数学期望．
（2）由题意可知，服从二项分布，
故，
技术攻坚成功的概率为
，
．
（3）记“至少有一个零件直径大于10.4nm”为事件A，
因为，所以，，
所以，
所以，
所以．
从而至少有一件零件直径大于9.4nm的概率为0.2056．
19．【答案】（1）解：设矩形花园的长为，
矩形花园的总面积为，
，可得，
又阴影部分是宽度为的小路，
可得，
可得，
则关于的关系式为.
（2）解：由（1）知，，
则
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据题意，设矩形花园的长为，由已知条件可得，从而用含有的代数式表示，并写出的取值范围.
（2）由（1）中的结论可得鲜花种植的总面积为与矩形花园的一条边长的函数关系式，再由基本不等式求最值的方法，从而代入计算得出当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为.
（1）设矩形花园的长为，
矩形花园的总面积为，
，可得，
又阴影部分是宽度为的小路，
可得，可得，
即关于的关系式为.
（2）由（1）知，，
则
，
当且仅当时，即时，等号成立，
当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为.
20．【答案】（1）解：记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，
则，，
，，，
所以，，
则，
解得.
（2）解：由题意可知，
当n=2时，X可能的取值为0，1，2，
由（1）可知：
，
，
，
则X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以，随机变量X的数学期望为.
（3）证明：由答题总次数为n时甲晋级，
不妨设此时甲的积分为，乙的积分为，
则，且，
所以甲晋级时n必为偶数，
令，
当n为奇数时，，
则
∵当时，随着m的增大而增大，
∴.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】（1）记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，则，，再利用条件概率可得，从而得出p的值.
（2）利用已知条件得出随机变量X可能的取值，再利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而计算得出X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出X的数学期望.
（3）设甲的积分为，乙的积分为，由已知条件可得甲晋级时n必为偶数，令，当n为奇数时，，计算可得，当时，随着m的增大而增大，从而证出不等式成立.
（1）记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，
则，，，，，
，
则，解得；
（2）由题意可知当n=2时，X可能的取值为0，1，2，则由（1）可知
，
，
，
X的分布列为：
X 0 1 2
P
随机变量X的数学期望为.
（3）由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为，乙的积分为，
则，且，所以甲晋级时n必为偶数，令
当n为奇数时，，
则
又∵时，随着m的增大而增大，
∴.
21．【答案】（1）解：因为函数的定义域为，
当时，，
求导得，
由，得，
由，得；由，得，
因此在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，无极小值.
（2）解：由，
当时，，
若，，
则在区间上单调递增；
若，，
则在区间上单调递减；
若，令，
令，
可知在上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）解：方法1：根据题意可知，
，
设，
则，
令，
则定义域上单调递增，易知，
则，使得，
则当时，，故，此时单调递减；
当时，，，此时单调递增，
则，
，
则.
方法2：因为，
，
设，
则，
设，
则，
当单调递减；
当单调递增，
.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由a的值得出函数的解析式，再利用导函数的正负判断函数单调性，再根据函数的单调性得出函数极值.
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，则由导函数的正负判断出函数的单调性.
（3）利用两种方法求解.
方法一：构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
方法二：利用对数运算结合换元法，从而将不等式转化为，设，再利用导数判断函数h(t)的单调性，从而得出函数h(t)的最值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（1）函数的定义域为，
当时，，
求导得，由，得，
由，得，由，得，
因此在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，无极小值.
（2）由，
在时，，
若，，即在区间上单调递增；
若，，即在区间上单调递减；
若，令，令，
可知在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：时，在区间上单调递增；
时，在区间上单调递减；
时，在上单调递增，
在上单调递减.
（3）方法1：
根据题意可知，
，
设，
则，
令，
则定义域上单调递增，易知，
即，使得，
即时，，故，此时单调递减，
时，，，此时单调递增，
则，
，即.
方法2：由，
，
设，则，
设，则，
当单调递减；
当单调递增；
.
1 / 1湖南省岳阳市临湘市第二中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题
1．（2024高二下·临湘期末）集合的子集的个数是（ ）
A．16 B．8 C．7 D．4
【答案】D
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：因为集合有2个元素，所以集合的子集个数是.
故选：D.
【分析】判断出集合元素个数再求子集个数即可.
2．（2024高二下·临湘期末）若，且能被17整除，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．15 D．16
【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为
又因为能被17整除，
所以上式中能被17整除，满足题意，
所以，
则，
所以的最小值为16.
故答案为：D.
【分析】把改写成，再利用二项式定理展开，令能被17整除，从而求出的最小值.
3．（2024高二下·临湘期末）若，且，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：令，
由，得，
即，
又因为，即，
所以，
故答案为：A.
【分析】根据条件，利用换元法求得解析式，再利用即可求解.
4．（2024高二下·临湘期末）某电视台计划在五一期间某段时间连续播放5个广告，其中2个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个必须是公益广告，且商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有（ ）种.
A．144 B．72 C．64 D．36
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先排3个不同的公益广告有，
每两个公益广告之间及最后一个位置可播放2个不同的商业广告有种方法，
由分步计数原理，得种方法.
故答案为：D.
【分析】先安排3个不同的公益广告，再用插入法排2个不同的商业广告，再结合排列数公式和分步乘法计数原理得出不同的播放方式种数.
5．（2024高二下·临湘期末）一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】瞬时变化率
【解析】【解答】解：因为，
所以，当时，此木块在水平方向的瞬时速度为.
故答案为：A.
【分析】根据导数的几何意义知瞬时速度为该时刻处的导数值，从而得出当时，此木块在水平方向的瞬时速度.
6．（2024高二下·临湘期末）已知，.设p：，q：，则p是q的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分又不必要
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：对于p：，两边取以e为底的对数得，
因为，
所以
则，
设，
则，
所以在区间上，单调递增；
在区间上，单调递减，
由，得，
若或，则，
若不在的同一单调区间，则；
对于q：，则，
设，
则，
所以在上单调递增，
所以等价于，
根据以上的分析可知：由p不能推出q成立，由q可以推出p成立，
所以，条件p是条件q的必要且不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合导数判断函数的单调性，从而确定函数的单调区间，再分别化简条件p与条件q，再结合充要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
7．（2024高二下·临湘期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温下，某种绿茶用的水泡制，经过后茶水的温度为，且.当茶水温度降至时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（ ）
（参考数据：）
A． B． C．8min D．
【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意可知，当时，，
则，
解得，
所以，
当时，，则，
则
，
所以茶水泡制时间大的为7 min.
故答案为：B.
【分析】根据初始条件得出参数的值，再利用已知函数关系得出口感最佳时泡制的时间．
8．（2024高二下·临湘期末）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，且，则必有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，
可得，
设，，
则，
所以，函数在上单调递增，
所以，
则，
所以.
故答案为：A.
【分析】通过分析不等式，构造新函数为，，再利用导数判断函数的单调性，则得出，从而找出正确的选项.
9．（2024高二下·临湘期末）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，则下列结果正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A中，由，所以，
由不等式的性质，可得A正确；
B中，由，根据不等式的性质，可得正确；
C中，由，可得C错误；
D中，由，可得D错误.
故选：AB.
【分析】根据不等式的基本性质直接求解即可.
10．（2024高二下·临湘期末）有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（ ）
A． B．与相互独立
C．与相互独立 D．与相互独立
【答案】A,C,D
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、由题意，可得，故A正确；
B、，，
则，即与不相互独立，故B错误；
C、，，
则，即与相互独立，故C正确；
D、，
则，即与相互独立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，根据独立事件乘法公式计算即可判断A；根据相互独立事件定义，分别计算出、、后，验证是否满足即可判断BCD.
11．（2024高二下·临湘期末）函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数，例如：，则下列命题正确的是（ ）
A．函数为偶函数
B．函数的值域为
C．若，则的最小值为
D．不等式的解集为
【答案】B,C,D
【知识点】函数的值域；函数的奇偶性；一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，因为，显然，故错误；
对于，由取整函数的定义知：，
函数的值域为，故B正确；
对于C，因为，则，
易知，
又因为函数在上单调递增，
当时，的最小值为，故C正确；
对于D，因为，
则，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】代值验证结合偶函数的定义，则判断出选项A，根据高斯函数的定义分析判断出选项B，先求出的取值范围，再根据对勾函数的性质求解判断出选项C；先解不等式，再根据高斯函数的定义得出不等式的解集，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.
12．（2024高二下·临湘期末）在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图1），小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将的展开式按x的升幂排列，将各项系数列表如下（如图2）：
上表图2中第n行的第m个数用表示，即展开式中的系数为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B,C,D
【知识点】组合及组合数公式；二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：依题意结合图2可知，
图2中每一行的每一个数等于其上一行头顶和左右肩上共三个数的和（没有的用0代替），
如：第四行的第三个数10，等于上一行头顶上的数3加上左右肩上的数1和6；
第三行中的第二个数3，等于上一行头顶上的数1加上左右肩上的数0（左肩上没有数，故用0代替）和2，
所以.
对于A，由以上可知，故A错；
对于B，由图可知，
以此类推可得，故B对；
对于C，由以上可知正确，故C对；
对于D，因为，
则
所以，根据乘法规则的展开式中的系数为：
，
又因为，
其通项为，
又因为，
所以展开式中的系数为0，
所以，
故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由图2中数据特征判断出选项A、选项B和选项C；左式可由的展开式中的系数得到，则根据和二项式定理研究出展开式中的系数，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
13．（2024高二下·临湘期末）已知函数，则 .
【答案】8
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：由函数，
可得，
所以.
故答案为：.
【分析】根据题意结合指数幂的运算法则和对数的运算法则，从而代入求出函数的值.
14．（2024高二下·临湘期末）已知，则 .
【答案】4048
【知识点】简单复合函数求导法则；二项式系数
【解析】【解答】解：因为，
两边同时求导，得，
令，可得，
由，
令，可得；
令，可得，
可得，
所以.
故答案为：4048.
【分析】求导赋值可得，再赋值可得，从而得出的值.
15．（2024高二下·临湘期末）设函数是定义域为的奇函数，且，都有.当时，，则函数在区间上有 个零点.
【答案】6
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：如图，
因为函数是定义域为的奇函数，
所以，且.
又因为，
所以，
所以函数的图象关于直线对称，且，
所以，
所以4是函数的一个周期，
所以，
易知函数在上单调递增，
且，
所以函数在区间上仅有1个零点，且零点在区间上，
由函数的图象的对称性，知函数在区间上有且仅有1个零点，
因为是定义域为的奇函数且是4是它的一个周期，
所以，
所以函数的图象关于点中心对称，
所以函数在区间上有且仅有2个零点.
因为函数在区间上没有零点，
所以函数在区间上没有零点.
结合，得函数在区间上有6个零点.
故答案为：6.
【分析】由函数是定义域为的奇函数，再结合可得函数的一个周期为4，再根据函数的单调性与零点存在性定理，从而得出可得函数在区间上的零点个数.
16．（2024高二下·临湘期末）已知不等式恒成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；函数极限
【解析】【解答】解：由，
可得，
则恒成立，
令，
则不等式可化为：，
令，
则，
所以，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以，
故要使恒成立，只需，
所以，
则，
令，
所以，
令，则，
所以时，，在上单调递增，
且当时，，当时，，在上单调递减，
且当时，，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】由题意，将不等式化为，令，利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题得出，令，再利用导数判断函数的单调性，再结合函数的极限得出函数的最值，最后由不等式恒成立问题得出实数a的取值范围.
17．（2024高二下·临湘期末）已知集合，.
（1）求；
（2）设集合，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为集合或，
所以，
则.
（2）解：因为，
所以，
当时，，解得：；
当时，或，解得：，
综上所述：实数的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式求解方法得出集合A，再利用对数函数的单调性得出集合B，再利用并集运算法则和补集的运算法则，从而得出集合、.
（2）先根据确定，再考虑和两种情况，从而得出实数a的取值范围.
（1）集合或，，
故，.
（2）因为，所以，
当时，，所以；
当时，或，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
18．（2024高二下·临湘期末）为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业升级，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）．
（1）现有旧设备生产的零件有10个，其中直径大于10nm的有2个．现从这10个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望；
（2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差；
（3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于10.4nm的概率．
参考数据：若，则，，，，．
【答案】（1）解：由题意知，的可能取值为0，1，2，
则，
则，
，，
所以的分布列为：
0 1 2
所以，数学期望．
（2）解：由题意可知，服从二项分布，
所以，，
则技术攻坚成功的概率为：
，
所以．
（3）解：记“至少有一个零件直径大于10.4nm”为事件A，
因为，
所以，，
所以，
所以，
所以，
则至少有一件零件直径大于9.4nm的概率为0.2056．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1）由题意得出服从超几何分布，从而求出对应的概率，进而得到的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出的数学期望.
（2）由二项分布的概率公式以及方差公式，从而得出技术攻坚成功的概率及的方差.
（3）由正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而得出至少有一个零件直径大于10.4nm的概率．
（1）由题知，的可能取值为0，1，2，．
则，，，
所以的分布列为：
0 1 2
所以，数学期望．
（2）由题意可知，服从二项分布，
故，
技术攻坚成功的概率为
，
．
（3）记“至少有一个零件直径大于10.4nm”为事件A，
因为，所以，，
所以，
所以，
所以．
从而至少有一件零件直径大于9.4nm的概率为0.2056．
19．（2024高二下·临湘期末）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹 郁金香 月季（其中区域的形状 大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为.
（1）用含有的代数式表示，并写出的取值范围；
（2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？
【答案】（1）解：设矩形花园的长为，
矩形花园的总面积为，
，可得，
又阴影部分是宽度为的小路，
可得，
可得，
则关于的关系式为.
（2）解：由（1）知，，
则
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据题意，设矩形花园的长为，由已知条件可得，从而用含有的代数式表示，并写出的取值范围.
（2）由（1）中的结论可得鲜花种植的总面积为与矩形花园的一条边长的函数关系式，再由基本不等式求最值的方法，从而代入计算得出当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为.
（1）设矩形花园的长为，
矩形花园的总面积为，
，可得，
又阴影部分是宽度为的小路，
可得，可得，
即关于的关系式为.
（2）由（1）知，，
则
，
当且仅当时，即时，等号成立，
当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为.
20．（2024高二下·临湘期末）甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为.
（1）求P；
（2）当时，求甲得分X的分布列及数学期望；
（3）若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：.
【答案】（1）解：记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，
则，，
，，，
所以，，
则，
解得.
（2）解：由题意可知，
当n=2时，X可能的取值为0，1，2，
由（1）可知：
，
，
，
则X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以，随机变量X的数学期望为.
（3）证明：由答题总次数为n时甲晋级，
不妨设此时甲的积分为，乙的积分为，
则，且，
所以甲晋级时n必为偶数，
令，
当n为奇数时，，
则
∵当时，随着m的增大而增大，
∴.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】（1）记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，则，，再利用条件概率可得，从而得出p的值.
（2）利用已知条件得出随机变量X可能的取值，再利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而计算得出X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出X的数学期望.
（3）设甲的积分为，乙的积分为，由已知条件可得甲晋级时n必为偶数，令，当n为奇数时，，计算可得，当时，随着m的增大而增大，从而证出不等式成立.
（1）记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，
则，，，，，
，
则，解得；
（2）由题意可知当n=2时，X可能的取值为0，1，2，则由（1）可知
，
，
，
X的分布列为：
X 0 1 2
P
随机变量X的数学期望为.
（3）由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为，乙的积分为，
则，且，所以甲晋级时n必为偶数，令
当n为奇数时，，
则
又∵时，随着m的增大而增大，
∴.
21．（2024高二下·临湘期末）已知函数.
（1）当时，求函数极值；
（2）讨论在区间上单调性；
（3）若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为函数的定义域为，
当时，，
求导得，
由，得，
由，得；由，得，
因此在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，无极小值.
（2）解：由，
当时，，
若，，
则在区间上单调递增；
若，，
则在区间上单调递减；
若，令，
令，
可知在上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）解：方法1：根据题意可知，
，
设，
则，
令，
则定义域上单调递增，易知，
则，使得，
则当时，，故，此时单调递减；
当时，，，此时单调递增，
则，
，
则.
方法2：因为，
，
设，
则，
设，
则，
当单调递减；
当单调递增，
.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由a的值得出函数的解析式，再利用导函数的正负判断函数单调性，再根据函数的单调性得出函数极值.
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，则由导函数的正负判断出函数的单调性.
（3）利用两种方法求解.
方法一：构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
方法二：利用对数运算结合换元法，从而将不等式转化为，设，再利用导数判断函数h(t)的单调性，从而得出函数h(t)的最值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（1）函数的定义域为，
当时，，
求导得，由，得，
由，得，由，得，
因此在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，无极小值.
（2）由，
在时，，
若，，即在区间上单调递增；
若，，即在区间上单调递减；
若，令，令，
可知在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：时，在区间上单调递增；
时，在区间上单调递减；
时，在上单调递增，
在上单调递减.
（3）方法1：
根据题意可知，
，
设，
则，
令，
则定义域上单调递增，易知，
即，使得，
即时，，故，此时单调递减，
时，，，此时单调递增，
则，
，即.
方法2：由，
，
设，则，
设，则，
当单调递减；
当单调递增；
.
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