湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
1．（2024高二下·长沙期末）集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：由，解得，
则，
，
.
故答案为：C.
【分析】先解一元一次不等式得出集合，再由并集的运算法则得出集合.
2．（2024高二下·长沙期末）已知，设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：不妨设，满足，此时，充分性不成立，
，两边平方得，
又，故，必要性成立，
故甲是乙的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】先举反例可得充分性不成立，再利用可得两边平方后即可的必要性成立.
3．（2024高二下·长沙期末）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：易知，
因为，所以，故，
，所以.
故答案为：A.
【分析】先利用指对数的单调性求出、、的大致范围，即可求解.
4．（2024高二下·长沙期末）2023年第19届亚运会在杭州举行，亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示：若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
时间x 1 2 3 4 5
销售量y/万只 5 4.5 4 3.5 2.5
A．由题中数据可知，变量y与x负相关
B．当时，残差为0.2
C．可以预测当时销量约为2.1万只
D．线性回归方程中
【答案】B
【知识点】回归分析
【解析】【解答】解：A、从数据看，随的增大而减小，所以变量与负相关，故A正确；
B、由表中数据知，，
所以样本中心点为，将样本中心点代入中
得，
所以线性回归方程为，
所以，残差，故B错误；
C、当时销量约为（万只），故C正确．
D、由B选项可知，故D正确.
故答案为：B.
【分析】利用表中数据变化情况或看回归方程的正负均即可判断A；利用样本中心点求出线性回归方程，把代入回归方程即可判断B；把代入回归方程即可判断C；利用回归方程一定过样本中心点即可判断D.
5．（2024高二下·长沙期末）某饮料厂生产两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（ ）
A．0.12 B．0.20 C．0.44 D．0.32
【答案】C
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：由题意，选到非碳酸饮料的概率为.
故答案为：C.
【分析】利用全概率公式即可求解.
6．（2024高二下·长沙期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：设，则，，
所以，
所以.
故答案为：C．
【分析】设，则，利用诱导公式可得，再利用二倍角的余弦公式即可求解.
7．（2024高二下·长沙期末）函数在区间上的零点个数为（ ）
A．无穷多个 B．4个 C．2个 D．0个
【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：当时，由，即，得，
当时，恒成立，而恒成立，因此不成立，
所以函数在区间上的零点个数为0.
故答案为：D
【分析】利用函数零点的意义变形可得，再利用函数的性质探讨函数的最值即可求解.
8．（2024高二下·长沙期末） 若正数，满足：，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，为正数，所以，
因为，所以，
所以，所以，当且仅当，时，取等号.
故答案为：B.
【分析】根据条件等式及基本不等式即可得解.
9．（2024高二下·长沙期末）已知函数，则（ ）
A．为的一个周期 B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为 D．在区间上单调递减
【答案】A,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：A、根据函数知最小正周期为，故A正确；
B、当时，，故B错误；
C、，故C正确；
D、由于，则，
故在上不单调递减，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用周期的公式即可判断A；把代入验证即可判断BC；利用整体性即可判定D.
10．（2024高二下·长沙期末）已知向量，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
C．存在，使得
D．的最大值为
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；简单的三角恒等变换；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量，
A、由得，解得，故A错误；
B、由在上的投影向量为，得，
而，所以，又因为，所以，故B正确；
C、若，则，所以，
因此，解得，所以存在，使得，进而，故C正确；
D、因为，
而，
所以当时，的最大值为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用数量积的坐标运算即可判断A；利用投影向量的定义可得即可判断B；利用共线关系即可判断C；利用数量积的坐标运算，结合辅助角公式以及三角函数的性质即可判断D.
11．（2024高二下·长沙期末）设函数，则下列选项正确的是（ ）
A．为奇函数
B．当时，的最小值为
C．若函数有四个零点，则实数的取值范围是
D．函数的图象关于点对称
【答案】B,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、当时，
故当，在上递减，
当在上递增，
的最小值为，故B正确；
C、当时，由B知，的最小值为，
且时，时，；
当时，
当在上递增，
当，故在上递减，
且时，时，，
画出图象如图所示：
知不可能有4个零点，故C错误；
D，，
令，
的定义域为，
则，
是奇函数，图象关于原点对称，关于点对称，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用奇函数的定义即可根据和的关系即可判断A；求导可得，利用导数可得函数在上递减即可判断B；利用单调性结合函数的图形即可判断C；利用利用对称性的定义即可判断D.
12．（2024高二下·长沙期末）已知复数，则当 时，复数对应的点在虚轴上.
【答案】
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，又，
所以.
故答案为：.
【分析】先利用复数的四则化简可得，再利用复数的定义即可求解.
13．（2024高二下·长沙期末）的内角的对边分别为，设，则 .
【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：已知
得，
故由正弦定理得.
由余弦定理得.
因为，所以.
故答案为：
【分析】利用正弦定理边角互化可得，再利用余弦定理即可求解.
14．（2024高二下·长沙期末）已知两个不同的正数满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：将两边展开，
得到，
从而，
故，而，
故，又，
故，
从而．
设函数，则，
观察易得在上单调递增，故，
又，所以．
故答案为：.
【分析】先将条件式化简可得，再利用基本不等式可得，再构造函数，再利用函数的单调性即可求解.
15．（2024高二下·长沙期末）已知，，．
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】解：，，
由
，
的最小正周期，
由，
得：，
的单调递减区间为，；
由可得：
当时，函数取得最小值为
当时，函数取得最大值为
故得函数在区间上的最大值为3，最小值为0．
【知识点】正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用向量的坐标运算化简可得，再利用整体的思想即可求解.
（2）根据（1）的结果及的范围求出，再利用正弦型函数的性质即可求解.
16．（2024高二下·长沙期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求；
（2）若的面积为，边上的高为1，求的周长．
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理，得，
即，即，
因为在中，，所以，
又因为，所以．
（2）解：因为的面积为，所以，得，
由，即，所以，
由余弦定理，得，即，化简得，所以，
即，所以的周长为．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理和三角恒等变换求得，即可求得的大小；
（2）由题意，利用三角形面积公式得，再结合余弦定理得的值，最后求周长即可.
17．（2024高二下·长沙期末）已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】解：（1）当时，，，
令，解得，令，解得，
所以的减区间为，增区间为；
（2）若有两个零点，即有两个解，
从方程可知，不成立，即有两个解，
令，则有，
令，解得，令，解得或，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
且当时，，
而时，，当时，，
所以当有两个解时，有，
所以满足条件的的取值范围是：.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）将代入函数解析式，求导可得，再利用导函数的正负与函数单调性的关系即可求解；
（2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图象即可求解.
18．（2024高二下·长沙期末）甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为.
（1）求P；
（2）当时，求甲得分X的分布列及数学期望；
（3）若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：.
【答案】（1）解：记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，
则，，
，，，
所以，，
则，
解得.
（2）解：由题意可知，
当n=2时，X可能的取值为0，1，2，
由（1）可知：
，
，
，
则X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以，随机变量X的数学期望为.
（3）证明：由答题总次数为n时甲晋级，
不妨设此时甲的积分为，乙的积分为，
则，且，
所以甲晋级时n必为偶数，
令，
当n为奇数时，，
则
∵当时，随着m的增大而增大，
∴.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】（1）记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，则，，再利用条件概率可得，从而得出p的值.
（2）利用已知条件得出随机变量X可能的取值，再利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而计算得出X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出X的数学期望.
（3）设甲的积分为，乙的积分为，由已知条件可得甲晋级时n必为偶数，令，当n为奇数时，，计算可得，当时，随着m的增大而增大，从而证出不等式成立.
（1）记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，
则，，，，，
，
则，解得；
（2）由题意可知当n=2时，X可能的取值为0，1，2，则由（1）可知
，
，
，
X的分布列为：
X 0 1 2
P
随机变量X的数学期望为.
（3）由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为，乙的积分为，
则，且，所以甲晋级时n必为偶数，令
当n为奇数时，，
则
又∵时，随着m的增大而增大，
∴.
19．（2024高二下·长沙期末）已知函数.
（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（2）已知直线是曲线的两条切线，且直线的斜率之积为1.
（i）记为直线交点的横坐标，求证：；
（ii）若也与曲线相切，求的关系式并求出的取值范围.
【答案】（1）解：由于，则，
设，则，，且在上单减，
令得，令得，
所以在单调递增，单调递减，
所以，则.
（2）解：（i）设两条切线在上的两个切点横坐标分别为，
有，即，
此时，切线为：，
相减得，
所以，
设，，所以在上单调递减.
故当时，，所以；
当时，，所以，则.
（ii）由题意得：存在实数，使在处的切线和在处的切线重合，
所以，即，
则，
又因为，所以，
题目转化为有两个不等实根，且互为倒数，
不妨设两根为，
则由得，
化简得，
所以，
所以，（也可写为）.
代入中得：有两个不等实根，
即，
设，
由于在上单调递减且，
所以在单调递增，单调递减，
而无限趋近于0时，无限趋向于负无穷大，
无限趋近于正无穷大时，无限趋向于负无穷大，，
所以，即.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）设，求导可得，再利用导数研究单调性和最值即可求解；
（2）（i）设两条切线在上的两个切点横坐标分别为，利用导数的几何意义求出两切线方程，联立可得，构造函数，利用导数求解函数最值即可证明；
（ii）结合导数的几何意义将问题转化为有两个不等实根，且互为倒数，不妨设两根为，由得，从而有两个不等实根，设，利用导数研究的单调性，即可求解.
（1）由于，则，
设，则，，且在上单减，
令得，令得，
所以在单调递增，单调递减，
所以，则.
（2）（i）设两条切线在上的两个切点横坐标分别为，
有，即，
此时，切线为：，
相减得，
所以，
设，，所以在上单调递减.
故当时，，所以；
当时，，所以，则.
（ii）由题意得：存在实数，使在处的切线和在处的切线重合，
所以，即，
则，
又因为，所以，
题目转化为有两个不等实根，且互为倒数，
不妨设两根为，
则由得，
化简得，
所以，
所以，（也可写为）.
代入中得：有两个不等实根，
即，
设，
由于在上单调递减且，
所以在单调递增，单调递减，
而无限趋近于0时，无限趋向于负无穷大，
无限趋近于正无穷大时，无限趋向于负无穷大，，
所以，即.
1 / 1湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
1．（2024高二下·长沙期末）集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·长沙期末）已知，设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
3．（2024高二下·长沙期末）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·长沙期末）2023年第19届亚运会在杭州举行，亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示：若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
时间x 1 2 3 4 5
销售量y/万只 5 4.5 4 3.5 2.5
A．由题中数据可知，变量y与x负相关
B．当时，残差为0.2
C．可以预测当时销量约为2.1万只
D．线性回归方程中
5．（2024高二下·长沙期末）某饮料厂生产两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（ ）
A．0.12 B．0.20 C．0.44 D．0.32
6．（2024高二下·长沙期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·长沙期末）函数在区间上的零点个数为（ ）
A．无穷多个 B．4个 C．2个 D．0个
8．（2024高二下·长沙期末） 若正数，满足：，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
9．（2024高二下·长沙期末）已知函数，则（ ）
A．为的一个周期 B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为 D．在区间上单调递减
10．（2024高二下·长沙期末）已知向量，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
C．存在，使得
D．的最大值为
11．（2024高二下·长沙期末）设函数，则下列选项正确的是（ ）
A．为奇函数
B．当时，的最小值为
C．若函数有四个零点，则实数的取值范围是
D．函数的图象关于点对称
12．（2024高二下·长沙期末）已知复数，则当 时，复数对应的点在虚轴上.
13．（2024高二下·长沙期末）的内角的对边分别为，设，则 .
14．（2024高二下·长沙期末）已知两个不同的正数满足，则的取值范围是 ．
15．（2024高二下·长沙期末）已知，，．
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
16．（2024高二下·长沙期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求；
（2）若的面积为，边上的高为1，求的周长．
17．（2024高二下·长沙期末）已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
18．（2024高二下·长沙期末）甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为.
（1）求P；
（2）当时，求甲得分X的分布列及数学期望；
（3）若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：.
19．（2024高二下·长沙期末）已知函数.
（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（2）已知直线是曲线的两条切线，且直线的斜率之积为1.
（i）记为直线交点的横坐标，求证：；
（ii）若也与曲线相切，求的关系式并求出的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：由，解得，
则，
，
.
故答案为：C.
【分析】先解一元一次不等式得出集合，再由并集的运算法则得出集合.
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：不妨设，满足，此时，充分性不成立，
，两边平方得，
又，故，必要性成立，
故甲是乙的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】先举反例可得充分性不成立，再利用可得两边平方后即可的必要性成立.
3．【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：易知，
因为，所以，故，
，所以.
故答案为：A.
【分析】先利用指对数的单调性求出、、的大致范围，即可求解.
4．【答案】B
【知识点】回归分析
【解析】【解答】解：A、从数据看，随的增大而减小，所以变量与负相关，故A正确；
B、由表中数据知，，
所以样本中心点为，将样本中心点代入中
得，
所以线性回归方程为，
所以，残差，故B错误；
C、当时销量约为（万只），故C正确．
D、由B选项可知，故D正确.
故答案为：B.
【分析】利用表中数据变化情况或看回归方程的正负均即可判断A；利用样本中心点求出线性回归方程，把代入回归方程即可判断B；把代入回归方程即可判断C；利用回归方程一定过样本中心点即可判断D.
5．【答案】C
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：由题意，选到非碳酸饮料的概率为.
故答案为：C.
【分析】利用全概率公式即可求解.
6．【答案】C
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：设，则，，
所以，
所以.
故答案为：C．
【分析】设，则，利用诱导公式可得，再利用二倍角的余弦公式即可求解.
7．【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：当时，由，即，得，
当时，恒成立，而恒成立，因此不成立，
所以函数在区间上的零点个数为0.
故答案为：D
【分析】利用函数零点的意义变形可得，再利用函数的性质探讨函数的最值即可求解.
8．【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，为正数，所以，
因为，所以，
所以，所以，当且仅当，时，取等号.
故答案为：B.
【分析】根据条件等式及基本不等式即可得解.
9．【答案】A,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：A、根据函数知最小正周期为，故A正确；
B、当时，，故B错误；
C、，故C正确；
D、由于，则，
故在上不单调递减，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用周期的公式即可判断A；把代入验证即可判断BC；利用整体性即可判定D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；简单的三角恒等变换；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量，
A、由得，解得，故A错误；
B、由在上的投影向量为，得，
而，所以，又因为，所以，故B正确；
C、若，则，所以，
因此，解得，所以存在，使得，进而，故C正确；
D、因为，
而，
所以当时，的最大值为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用数量积的坐标运算即可判断A；利用投影向量的定义可得即可判断B；利用共线关系即可判断C；利用数量积的坐标运算，结合辅助角公式以及三角函数的性质即可判断D.
11．【答案】B,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、当时，
故当，在上递减，
当在上递增，
的最小值为，故B正确；
C、当时，由B知，的最小值为，
且时，时，；
当时，
当在上递增，
当，故在上递减，
且时，时，，
画出图象如图所示：
知不可能有4个零点，故C错误；
D，，
令，
的定义域为，
则，
是奇函数，图象关于原点对称，关于点对称，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用奇函数的定义即可根据和的关系即可判断A；求导可得，利用导数可得函数在上递减即可判断B；利用单调性结合函数的图形即可判断C；利用利用对称性的定义即可判断D.
12．【答案】
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，又，
所以.
故答案为：.
【分析】先利用复数的四则化简可得，再利用复数的定义即可求解.
13．【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：已知
得，
故由正弦定理得.
由余弦定理得.
因为，所以.
故答案为：
【分析】利用正弦定理边角互化可得，再利用余弦定理即可求解.
14．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：将两边展开，
得到，
从而，
故，而，
故，又，
故，
从而．
设函数，则，
观察易得在上单调递增，故，
又，所以．
故答案为：.
【分析】先将条件式化简可得，再利用基本不等式可得，再构造函数，再利用函数的单调性即可求解.
15．【答案】解：，，
由
，
的最小正周期，
由，
得：，
的单调递减区间为，；
由可得：
当时，函数取得最小值为
当时，函数取得最大值为
故得函数在区间上的最大值为3，最小值为0．
【知识点】正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用向量的坐标运算化简可得，再利用整体的思想即可求解.
（2）根据（1）的结果及的范围求出，再利用正弦型函数的性质即可求解.
16．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理，得，
即，即，
因为在中，，所以，
又因为，所以．
（2）解：因为的面积为，所以，得，
由，即，所以，
由余弦定理，得，即，化简得，所以，
即，所以的周长为．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理和三角恒等变换求得，即可求得的大小；
（2）由题意，利用三角形面积公式得，再结合余弦定理得的值，最后求周长即可.
17．【答案】解：（1）当时，，，
令，解得，令，解得，
所以的减区间为，增区间为；
（2）若有两个零点，即有两个解，
从方程可知，不成立，即有两个解，
令，则有，
令，解得，令，解得或，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
且当时，，
而时，，当时，，
所以当有两个解时，有，
所以满足条件的的取值范围是：.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）将代入函数解析式，求导可得，再利用导函数的正负与函数单调性的关系即可求解；
（2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图象即可求解.
18．【答案】（1）解：记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，
则，，
，，，
所以，，
则，
解得.
（2）解：由题意可知，
当n=2时，X可能的取值为0，1，2，
由（1）可知：
，
，
，
则X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以，随机变量X的数学期望为.
（3）证明：由答题总次数为n时甲晋级，
不妨设此时甲的积分为，乙的积分为，
则，且，
所以甲晋级时n必为偶数，
令，
当n为奇数时，，
则
∵当时，随着m的增大而增大，
∴.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】（1）记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，则，，再利用条件概率可得，从而得出p的值.
（2）利用已知条件得出随机变量X可能的取值，再利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而计算得出X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出X的数学期望.
（3）设甲的积分为，乙的积分为，由已知条件可得甲晋级时n必为偶数，令，当n为奇数时，，计算可得，当时，随着m的增大而增大，从而证出不等式成立.
（1）记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，
则，，，，，
，
则，解得；
（2）由题意可知当n=2时，X可能的取值为0，1，2，则由（1）可知
，
，
，
X的分布列为：
X 0 1 2
P
随机变量X的数学期望为.
（3）由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为，乙的积分为，
则，且，所以甲晋级时n必为偶数，令
当n为奇数时，，
则
又∵时，随着m的增大而增大，
∴.
19．【答案】（1）解：由于，则，
设，则，，且在上单减，
令得，令得，
所以在单调递增，单调递减，
所以，则.
（2）解：（i）设两条切线在上的两个切点横坐标分别为，
有，即，
此时，切线为：，
相减得，
所以，
设，，所以在上单调递减.
故当时，，所以；
当时，，所以，则.
（ii）由题意得：存在实数，使在处的切线和在处的切线重合，
所以，即，
则，
又因为，所以，
题目转化为有两个不等实根，且互为倒数，
不妨设两根为，
则由得，
化简得，
所以，
所以，（也可写为）.
代入中得：有两个不等实根，
即，
设，
由于在上单调递减且，
所以在单调递增，单调递减，
而无限趋近于0时，无限趋向于负无穷大，
无限趋近于正无穷大时，无限趋向于负无穷大，，
所以，即.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）设，求导可得，再利用导数研究单调性和最值即可求解；
（2）（i）设两条切线在上的两个切点横坐标分别为，利用导数的几何意义求出两切线方程，联立可得，构造函数，利用导数求解函数最值即可证明；
（ii）结合导数的几何意义将问题转化为有两个不等实根，且互为倒数，不妨设两根为，由得，从而有两个不等实根，设，利用导数研究的单调性，即可求解.
（1）由于，则，
设，则，，且在上单减，
令得，令得，
所以在单调递增，单调递减，
所以，则.
（2）（i）设两条切线在上的两个切点横坐标分别为，
有，即，
此时，切线为：，
相减得，
所以，
设，，所以在上单调递减.
故当时，，所以；
当时，，所以，则.
（ii）由题意得：存在实数，使在处的切线和在处的切线重合，
所以，即，
则，
又因为，所以，
题目转化为有两个不等实根，且互为倒数，
不妨设两根为，
则由得，
化简得，
所以，
所以，（也可写为）.
代入中得：有两个不等实根，
即，
设，
由于在上单调递减且，
所以在单调递增，单调递减，
而无限趋近于0时，无限趋向于负无穷大，
无限趋近于正无穷大时，无限趋向于负无穷大，，
所以，即.
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