广东省广东实验中学越秀学校2023-2024学年高二下学期5月段考数学试卷
1．（2024高二下·广东月考）在等差数列中，若，则公差（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024高二下·广东月考）已知离散型随机变量的概率分布列如下表：则数学期望等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·广东月考）记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（2024高二下·广东月考）在某项志愿服务中，需从来自甲、乙两个单位的10名志愿者（甲单位6名、乙单位4名）中选出4名志愿者组成志愿者服务小组，所选4名志愿者不全来自同一个单位的选法种数为（ ）
A．156 B．180 C．194 D．672
5．（2024高二下·广东月考）为了研究经常使用手机是否对数学学习成绩有影响，某校高二数学研究性学习小组进行了调查，随机抽取高二年级50名学生的一次数学单元测试成绩，并制成下面的2×2列联表：
使用手机情况 成绩 合计
及格 不及格
很少 20 5 25
经常 10 15 25
合计 30 20 50
参考公式：，其中.
附表：
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．依据小概率值的独立性检验，认为“经常使用手机与数学学习成绩无关”
B．依据小概率值的独立性检验，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”
C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩无关”
D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”
6．（2024高二下·广东月考）已知在8个电子元件中，有2个次品，6个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到2个次品都找到为止，则经过3次测试恰好将2个次品全部找出的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·广东月考）已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·广东月考），，当时，都有，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
9．（2024高二下·广东月考）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲、乙必须相邻，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．甲、乙不相邻的排法种数为72种
D．甲在乙左边的排列的排法有30种
10．（2024高二下·广东月考）数列的首项为1，且，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．
11．（2024高二下·广东月考）有甲、乙两个小组参加某项测试，甲组的合格率为70%，乙组的合格率为90%．已知甲、乙两组的人数分别占这两组总人数的70%，30%．从这两组组成的总体中任选一个人，用事件，分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件表示选取的该人测试合格，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2024高二下·广东月考）从1，2，3，6，9中任取两个不同的数相乘，则不同的乘积结果有 种，乘积为偶数的取法有 种.
13．（2024高二下·广东月考）已知的展开式中含的项的系数为 .
14．（2024高二下·广东月考）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：
①函数的对称中心坐标为 ；
②计算 .
15．（2024高二下·广东月考）已知等比数列的首项，公比为，前项和为，且，，成等差数列.
（1）求的通项；
（2）若，求的前项和.
16．（2024高二下·广东月考）已知展开式的二项式系数和为512，且.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求被8整除的余数.
17．（2024高二下·广东月考）为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业升级，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）．
（1）现有旧设备生产的零件有10个，其中直径大于10nm的有2个．现从这10个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望；
（2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差；
（3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于10.4nm的概率．
参考数据：若，则，，，，．
18．（2024高二下·广东月考）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.
2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8
其中，
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率.
（2）已知2023年该机场飞往A地 B地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A、B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题：
（i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；
（ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地、B地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.
附：（1）对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
参考数据：，，.
19．（2024高二下·广东月考）已知函数（其中是实数）.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）设，若函数的两个极值点恰为函数的两个零点，且的范围是，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解： 数列为等差数列，因为，所以，所以.
故答案为：B.
【分析】利用等差数列的通项公式和性质求解即可.
2．【答案】D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由，解得，则.
故答案为：D.
【分析】利用概率和为1求出m的值，再由期望公式计算即可.
3．【答案】A
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】由题意知S2，S4-S2，S6-S4成等比数列，
即4，2，S6-6成等比数列，
则4×（S6-6）=22
解得S6=7
故答案为：A
【分析】根据等比数列的性质直接求解即可.
4．【答案】C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】所选4名志愿者来自同一单位的共有种选法，则所选4名志愿者不全来自
同一个单位的选法种数为.
故答案为：C
【分析】 先求出所选的4名志愿者来自于一个单位的结果数，然后用总数去掉不符合条件的情况即可求解出答案.
5．【答案】D
【知识点】独立性检验；独立性检验的基本思想
【解析】【解答】解：，
A、因为，所以依据小概率值的独立性检验，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”，故A错误；
B、因为，所以依据小概率值的独立性检验，认为“经常使用手机与数学学习成绩无关”，故B错误
CD、，则有99.5%的把握认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”，即在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”，故C错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】计算的值，结合临界值判断即可.
6．【答案】A
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可得：若经过3次测试恰好将2个次品全部找出，则第一次抽一个合格品、第二次抽一个次品、第三次抽一个次品或第一次抽一个次品、第二次抽一个合格品、第三次抽一个次品，
则经过3次测试恰好将2个次品全部找出的概率为.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据互斥事件概率的加法公式、独立事件的概率公式以及古典概型概率计算公式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数定义域为，求导可得，
因为，所以函数在上单调递减，
又因为，所以，
所以，解得，
则不等式的解集是.
故答案为：B.
【分析】构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，结合函数的单调性解不等式即可.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，，当时，都有，
则，即，
构造函数，，
因为恒成立，所以在上单调递减，且，
因为在上恒成立，所以在上恒成立，
又因为在上单调递减，所以最大值1，则实数的最小值为1.
故答案为：D.
【分析】构造函数，由题意可得函数在上单调递减，求导，可得在上恒成立，结合恒成立问题分析求解即可.
9．【答案】B,C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A、由题意，将甲、乙捆绑，则不同的排法有种，故A错误；
B、最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法分为两类：
甲最左端：种；乙最左端：种，则不同排法有种，故B正确；
C、甲、乙不相邻，用插空法，则甲、乙不相邻的排法种数为种，故C正确；
D、甲在乙左边的排列的排法有种，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】由题意，利用捆绑法、插空法，定序法，结合排列数公式求解即可.
10．【答案】A,B
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：∵，可得，
又
∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，B符合题意；
则，∴，C不符合题意；
则，A符合题意；
∴，D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】根据题意可得，从而可得数列是等比数列，从而可求得数列的通项，再根据分组求和法即可求出，即可得出答案.
11．【答案】A,D
【知识点】全概率公式；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意可得：，，，，
A、，，根据乘法公式可知：，故A正确；
B、由题意可得：，故B错误；
C、由题意可得：，，
根据概率乘法公式可得：，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由题意可得，，，即可判断B；根据概率的乘法公式求解即可判断AC；根据全概率公式即可判断D.
12．【答案】8；7
【知识点】样本点与有限样本空间；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：从 1，2，3，6，9 五个不同的数中任取两个数有种不同的取法，
不同的乘积结果有，不同的乘积结果有8种，
其中乘积为偶数的有共7种.
故答案为：8；7.
【分析】由题意，利用组合公式可求得总的取法数，再确定不同的乘积结果以及乘积为偶数的方法数即可.
13．【答案】
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为：
（且），
因为，
所以的展开式中含的项的系数为.
故答案为：.
【分析】先写出展开式的通项，由，利用通项计算即可.
14．【答案】；2023
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的加法与减法法则；数列的求和
【解析】【解答】解：函数定义域为，，，
由，解得，，
由题意可得：为函数的对称中心；
函数关于中心对称，则，
即，因此；
记，
则
，
故.
故答案为：；.
【分析】①先对函数求二阶导，得到，根据题意求出拐点即可；②先由①得到，推出，用倒序相加法求解即可.
15．【答案】（1）解：设等比数列的公比为，
若，首项，则，不合题意，故；
因为，，成等差数列，所以，所以，
整理可得，解得，
则；
（2）解：由（1）可得：，
对数列，奇数次项依次构成一个首项为1，公比为4的等比数列；
偶数次项依次构成一个首项为，公差为的等差数列，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
综上，.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质；等差中项
【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，由题意，先验证不符合要求，再由列出方程求得，即可得等比数列的通项公式；
（2）由题意，可得，其奇数次项依次构成一个首项为1，公比为4的等比数列，而偶数次项依次构成一个首项为，公差为的等差数列，结合数列求和的公式代入计算即可.
（1）若，而首项，则，不合题意，故.
则由可得，，所以，
则.
（2）由（1）可得
对，其奇数次项依次构成一个首项为1，公比为4的等比数列，而偶数次项依次构成一个首项为，公差为的等差数列，
当为偶数时，
当为奇数时，
综上，
16．【答案】（1）解：由展开式的二项式系数和为512，可得，解得，
，则；
（2）解：，
令，，
令，，
则；
（3）解：
则被8整除的余数为.
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据二项展开式的二项式系数和为512，求出，再将代入中，变形可得，则为其展开式中的系数，由二项式定理求解即可；
（2）由（1）的结论，利用赋值法求解即可；
（3）根据题意，可得，由二项式定理展开式可得，进而由整除的性质分析即可.
（1）因为展开式的二项式系数和为512，
所以，解得，
因为，所以；
（2）在中，
令，则，
令，可得，
所以；
（3）
所以被8整除的余数为.
17．【答案】（1）解：由题意知，的可能取值为0，1，2，
则，
则，
，，
所以的分布列为：
0 1 2
所以，数学期望．
（2）解：由题意可知，服从二项分布，
所以，，
则技术攻坚成功的概率为：
，
所以．
（3）解：记“至少有一个零件直径大于10.4nm”为事件A，
因为，
所以，，
所以，
所以，
所以，
则至少有一件零件直径大于9.4nm的概率为0.2056．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1）由题意得出服从超几何分布，从而求出对应的概率，进而得到的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出的数学期望.
（2）由二项分布的概率公式以及方差公式，从而得出技术攻坚成功的概率及的方差.
（3）由正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而得出至少有一个零件直径大于10.4nm的概率．
（1）由题知，的可能取值为0，1，2，．
则，，，
所以的分布列为：
0 1 2
所以，数学期望．
（2）由题意可知，服从二项分布，
故，
技术攻坚成功的概率为
，
．
（3）记“至少有一个零件直径大于10.4nm”为事件A，
因为，所以，，
所以，
所以，
所以．
从而至少有一件零件直径大于9.4nm的概率为0.2056．
18．【答案】（1）解：由散点图判断适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型，
令，先建立y关于t的线性回归方程，
由于，
，
该机场飞往A地航班放行准点率y关于t的线性回归方程为，
因此y关于年份数x的回归方程为
当时，该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为
，
则2023年该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为；
（2）解：设“该航班飞往A地”，“该航班飞往B地”，“该航班飞往其他地区”，“该航班准点放行”，则，，，
，，，
（i）由全概率公式得：
，则该航班准点放行的概率为0.778；
（ii），
，
，
因为，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.
【知识点】回归分析的初步应用；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）根据线性回归方程的计算公式，选择合适的模型计算即可；
（2）利用全概率公式和条件概率公式计算，再根据概率判断可能性最大的情况.
（1）由散点图判断适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型.
令，先建立y关于t的线性回归方程.
由于，
，
该机场飞往A地航班放行准点率y关于t的线性回归方程为，
因此y关于年份数x的回归方程为
所以当时，该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为
.
所以2023年该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为.
（2）设“该航班飞往A地”，“该航班飞往B地”，“该航班飞往其他地区”，“该航班准点放行”，
则，，，
，，.
（i）由全概率公式得，
，
所以该航班准点放行的概率为0.778.
（ii），
，
，
因为，
所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.
19．【答案】解：（1）当时，函数定义域为， ，且，，
则曲线在点处的切线方程为；
（2）函数定义域为，，
若，则，当且仅当时，，
若，得，
当时，；
当时，，
综上可知：当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，函数的单调递减区间为；单调递增区间为；
（3）由（2）知，若有两个极值点，则，且，所以，
，，
由得，
，
令，，，则函数上单调递减，
由的范围是，得的取值范围，
又，
，又，
故实数的取值范围.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，求导，利用导数的几何意义结合点斜式求切线方程即可；
（2）令函数的导数为零，判断零点的个数，并判断有零点时，零点左右的导数符号，从而确定原函数的单调性即可；
（3）结合（2）的结论得到两个极值点满足的条件；然后将化简，转化为，的表达式，再转化为单变量的函数式，结合已知范围得到的范围，最后将（2）中满足的条件代入，得到关于的函数或不等式求解即可．
1 / 1广东省广东实验中学越秀学校2023-2024学年高二下学期5月段考数学试卷
1．（2024高二下·广东月考）在等差数列中，若，则公差（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解： 数列为等差数列，因为，所以，所以.
故答案为：B.
【分析】利用等差数列的通项公式和性质求解即可.
2．（2024高二下·广东月考）已知离散型随机变量的概率分布列如下表：则数学期望等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由，解得，则.
故答案为：D.
【分析】利用概率和为1求出m的值，再由期望公式计算即可.
3．（2024高二下·广东月考）记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】由题意知S2，S4-S2，S6-S4成等比数列，
即4，2，S6-6成等比数列，
则4×（S6-6）=22
解得S6=7
故答案为：A
【分析】根据等比数列的性质直接求解即可.
4．（2024高二下·广东月考）在某项志愿服务中，需从来自甲、乙两个单位的10名志愿者（甲单位6名、乙单位4名）中选出4名志愿者组成志愿者服务小组，所选4名志愿者不全来自同一个单位的选法种数为（ ）
A．156 B．180 C．194 D．672
【答案】C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】所选4名志愿者来自同一单位的共有种选法，则所选4名志愿者不全来自
同一个单位的选法种数为.
故答案为：C
【分析】 先求出所选的4名志愿者来自于一个单位的结果数，然后用总数去掉不符合条件的情况即可求解出答案.
5．（2024高二下·广东月考）为了研究经常使用手机是否对数学学习成绩有影响，某校高二数学研究性学习小组进行了调查，随机抽取高二年级50名学生的一次数学单元测试成绩，并制成下面的2×2列联表：
使用手机情况 成绩 合计
及格 不及格
很少 20 5 25
经常 10 15 25
合计 30 20 50
参考公式：，其中.
附表：
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．依据小概率值的独立性检验，认为“经常使用手机与数学学习成绩无关”
B．依据小概率值的独立性检验，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”
C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩无关”
D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”
【答案】D
【知识点】独立性检验；独立性检验的基本思想
【解析】【解答】解：，
A、因为，所以依据小概率值的独立性检验，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”，故A错误；
B、因为，所以依据小概率值的独立性检验，认为“经常使用手机与数学学习成绩无关”，故B错误
CD、，则有99.5%的把握认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”，即在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”，故C错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】计算的值，结合临界值判断即可.
6．（2024高二下·广东月考）已知在8个电子元件中，有2个次品，6个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到2个次品都找到为止，则经过3次测试恰好将2个次品全部找出的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可得：若经过3次测试恰好将2个次品全部找出，则第一次抽一个合格品、第二次抽一个次品、第三次抽一个次品或第一次抽一个次品、第二次抽一个合格品、第三次抽一个次品，
则经过3次测试恰好将2个次品全部找出的概率为.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据互斥事件概率的加法公式、独立事件的概率公式以及古典概型概率计算公式求解即可.
7．（2024高二下·广东月考）已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数定义域为，求导可得，
因为，所以函数在上单调递减，
又因为，所以，
所以，解得，
则不等式的解集是.
故答案为：B.
【分析】构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，结合函数的单调性解不等式即可.
8．（2024高二下·广东月考），，当时，都有，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，，当时，都有，
则，即，
构造函数，，
因为恒成立，所以在上单调递减，且，
因为在上恒成立，所以在上恒成立，
又因为在上单调递减，所以最大值1，则实数的最小值为1.
故答案为：D.
【分析】构造函数，由题意可得函数在上单调递减，求导，可得在上恒成立，结合恒成立问题分析求解即可.
9．（2024高二下·广东月考）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲、乙必须相邻，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．甲、乙不相邻的排法种数为72种
D．甲在乙左边的排列的排法有30种
【答案】B,C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A、由题意，将甲、乙捆绑，则不同的排法有种，故A错误；
B、最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法分为两类：
甲最左端：种；乙最左端：种，则不同排法有种，故B正确；
C、甲、乙不相邻，用插空法，则甲、乙不相邻的排法种数为种，故C正确；
D、甲在乙左边的排列的排法有种，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】由题意，利用捆绑法、插空法，定序法，结合排列数公式求解即可.
10．（2024高二下·广东月考）数列的首项为1，且，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．
【答案】A,B
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：∵，可得，
又
∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，B符合题意；
则，∴，C不符合题意；
则，A符合题意；
∴，D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】根据题意可得，从而可得数列是等比数列，从而可求得数列的通项，再根据分组求和法即可求出，即可得出答案.
11．（2024高二下·广东月考）有甲、乙两个小组参加某项测试，甲组的合格率为70%，乙组的合格率为90%．已知甲、乙两组的人数分别占这两组总人数的70%，30%．从这两组组成的总体中任选一个人，用事件，分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件表示选取的该人测试合格，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】全概率公式；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意可得：，，，，
A、，，根据乘法公式可知：，故A正确；
B、由题意可得：，故B错误；
C、由题意可得：，，
根据概率乘法公式可得：，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由题意可得，，，即可判断B；根据概率的乘法公式求解即可判断AC；根据全概率公式即可判断D.
12．（2024高二下·广东月考）从1，2，3，6，9中任取两个不同的数相乘，则不同的乘积结果有 种，乘积为偶数的取法有 种.
【答案】8；7
【知识点】样本点与有限样本空间；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：从 1，2，3，6，9 五个不同的数中任取两个数有种不同的取法，
不同的乘积结果有，不同的乘积结果有8种，
其中乘积为偶数的有共7种.
故答案为：8；7.
【分析】由题意，利用组合公式可求得总的取法数，再确定不同的乘积结果以及乘积为偶数的方法数即可.
13．（2024高二下·广东月考）已知的展开式中含的项的系数为 .
【答案】
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为：
（且），
因为，
所以的展开式中含的项的系数为.
故答案为：.
【分析】先写出展开式的通项，由，利用通项计算即可.
14．（2024高二下·广东月考）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：
①函数的对称中心坐标为 ；
②计算 .
【答案】；2023
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的加法与减法法则；数列的求和
【解析】【解答】解：函数定义域为，，，
由，解得，，
由题意可得：为函数的对称中心；
函数关于中心对称，则，
即，因此；
记，
则
，
故.
故答案为：；.
【分析】①先对函数求二阶导，得到，根据题意求出拐点即可；②先由①得到，推出，用倒序相加法求解即可.
15．（2024高二下·广东月考）已知等比数列的首项，公比为，前项和为，且，，成等差数列.
（1）求的通项；
（2）若，求的前项和.
【答案】（1）解：设等比数列的公比为，
若，首项，则，不合题意，故；
因为，，成等差数列，所以，所以，
整理可得，解得，
则；
（2）解：由（1）可得：，
对数列，奇数次项依次构成一个首项为1，公比为4的等比数列；
偶数次项依次构成一个首项为，公差为的等差数列，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
综上，.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质；等差中项
【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，由题意，先验证不符合要求，再由列出方程求得，即可得等比数列的通项公式；
（2）由题意，可得，其奇数次项依次构成一个首项为1，公比为4的等比数列，而偶数次项依次构成一个首项为，公差为的等差数列，结合数列求和的公式代入计算即可.
（1）若，而首项，则，不合题意，故.
则由可得，，所以，
则.
（2）由（1）可得
对，其奇数次项依次构成一个首项为1，公比为4的等比数列，而偶数次项依次构成一个首项为，公差为的等差数列，
当为偶数时，
当为奇数时，
综上，
16．（2024高二下·广东月考）已知展开式的二项式系数和为512，且.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求被8整除的余数.
【答案】（1）解：由展开式的二项式系数和为512，可得，解得，
，则；
（2）解：，
令，，
令，，
则；
（3）解：
则被8整除的余数为.
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据二项展开式的二项式系数和为512，求出，再将代入中，变形可得，则为其展开式中的系数，由二项式定理求解即可；
（2）由（1）的结论，利用赋值法求解即可；
（3）根据题意，可得，由二项式定理展开式可得，进而由整除的性质分析即可.
（1）因为展开式的二项式系数和为512，
所以，解得，
因为，所以；
（2）在中，
令，则，
令，可得，
所以；
（3）
所以被8整除的余数为.
17．（2024高二下·广东月考）为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业升级，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）．
（1）现有旧设备生产的零件有10个，其中直径大于10nm的有2个．现从这10个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望；
（2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差；
（3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于10.4nm的概率．
参考数据：若，则，，，，．
【答案】（1）解：由题意知，的可能取值为0，1，2，
则，
则，
，，
所以的分布列为：
0 1 2
所以，数学期望．
（2）解：由题意可知，服从二项分布，
所以，，
则技术攻坚成功的概率为：
，
所以．
（3）解：记“至少有一个零件直径大于10.4nm”为事件A，
因为，
所以，，
所以，
所以，
所以，
则至少有一件零件直径大于9.4nm的概率为0.2056．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1）由题意得出服从超几何分布，从而求出对应的概率，进而得到的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出的数学期望.
（2）由二项分布的概率公式以及方差公式，从而得出技术攻坚成功的概率及的方差.
（3）由正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而得出至少有一个零件直径大于10.4nm的概率．
（1）由题知，的可能取值为0，1，2，．
则，，，
所以的分布列为：
0 1 2
所以，数学期望．
（2）由题意可知，服从二项分布，
故，
技术攻坚成功的概率为
，
．
（3）记“至少有一个零件直径大于10.4nm”为事件A，
因为，所以，，
所以，
所以，
所以．
从而至少有一件零件直径大于9.4nm的概率为0.2056．
18．（2024高二下·广东月考）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.
2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8
其中，
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率.
（2）已知2023年该机场飞往A地 B地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A、B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题：
（i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；
（ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地、B地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.
附：（1）对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
参考数据：，，.
【答案】（1）解：由散点图判断适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型，
令，先建立y关于t的线性回归方程，
由于，
，
该机场飞往A地航班放行准点率y关于t的线性回归方程为，
因此y关于年份数x的回归方程为
当时，该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为
，
则2023年该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为；
（2）解：设“该航班飞往A地”，“该航班飞往B地”，“该航班飞往其他地区”，“该航班准点放行”，则，，，
，，，
（i）由全概率公式得：
，则该航班准点放行的概率为0.778；
（ii），
，
，
因为，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.
【知识点】回归分析的初步应用；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）根据线性回归方程的计算公式，选择合适的模型计算即可；
（2）利用全概率公式和条件概率公式计算，再根据概率判断可能性最大的情况.
（1）由散点图判断适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型.
令，先建立y关于t的线性回归方程.
由于，
，
该机场飞往A地航班放行准点率y关于t的线性回归方程为，
因此y关于年份数x的回归方程为
所以当时，该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为
.
所以2023年该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为.
（2）设“该航班飞往A地”，“该航班飞往B地”，“该航班飞往其他地区”，“该航班准点放行”，
则，，，
，，.
（i）由全概率公式得，
，
所以该航班准点放行的概率为0.778.
（ii），
，
，
因为，
所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.
19．（2024高二下·广东月考）已知函数（其中是实数）.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）设，若函数的两个极值点恰为函数的两个零点，且的范围是，求实数的取值范围.
【答案】解：（1）当时，函数定义域为， ，且，，
则曲线在点处的切线方程为；
（2）函数定义域为，，
若，则，当且仅当时，，
若，得，
当时，；
当时，，
综上可知：当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，函数的单调递减区间为；单调递增区间为；
（3）由（2）知，若有两个极值点，则，且，所以，
，，
由得，
，
令，，，则函数上单调递减，
由的范围是，得的取值范围，
又，
，又，
故实数的取值范围.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，求导，利用导数的几何意义结合点斜式求切线方程即可；
（2）令函数的导数为零，判断零点的个数，并判断有零点时，零点左右的导数符号，从而确定原函数的单调性即可；
（3）结合（2）的结论得到两个极值点满足的条件；然后将化简，转化为，的表达式，再转化为单变量的函数式，结合已知范围得到的范围，最后将（2）中满足的条件代入，得到关于的函数或不等式求解即可．
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