北京市京郊绿色联盟四校联考2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
1．（2024高一下·北京市期中）已知集合，，，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．2或3
【答案】C
【知识点】空集；交集及其运算
【解析】【解答】解：由，
则，
解得，
所以，
又因为且，
所以或.
故答案为：C.
【分析】先解一元二次不等式得出集合，再根据求出的值.
2．（2024高一下·北京市期中）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对于A，因为在区间上不是单调函数，不符合题意，故A错；
对于B，因为的定义域为，所以不是偶函数，不符合题意，故B错；
对于C，因为为幂函数，在单调递增，
又因为定义域为，所以不是偶函数，不符合题意，故C错；
对于D，因为既是偶函数又在区间上单调递增，符合题意，故D对.
故答案为：D．
【分析】根据函数的单调性定义和奇偶性的定义，从而找出既是偶函数又在区间上单调递增的函数.
3．（2024高一下·北京市期中）已知二次函数的值域为，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】函数的值域；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为二次函数的值域为，
所以，
所以，，
所以，
当且仅当时，即当时等号成立.
故答案为：A.
【分析】根据函数的值域得出的值，再利用均值不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
4．（2024高一下·北京市期中）“”是“函数的图象关于对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：若函数的图象关于对称，
则，
解得，
因为是的真子集，
所以“”是“函数的图象关于对称”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】若函数的图象关于对称，再根据正切函数的对称性可得，再根据充分条件、必要条件的判断方法结合集合的包含关系，从而找出正确的选项.
5．（2024高一下·北京市期中）设，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为与在定义域上单调递增，
所以在定义域上单调递增，
所以.
对于A：当，时，满足，但是，故A错误；
对于B：当，时，满足，但是，故B错误；
对于C：当，时，满足，但是，故C错误；
对于D：因为函数，所以在定义域上单调递增，
则由可以得到，故D正确.
故答案为：D
【分析】依题意可得，再根据指数型函数的单调性得到，再利用特殊值判断出选项A、选项B和选项C；再根据函数的单调性判断出选项D，从而找出正确的选项.
6．（2024高一下·北京市期中）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是（ ）
A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时
【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：由已知得①，②，
将①代入②得，则，
当时，，
所以该食品在33℃的保鲜时间是24小时.
故答案为：C．
【分析】将两组数据代入解析式可得，，当时，利用指数函数的运算得出该食品在33的保鲜时间.
7．（2024高一下·北京市期中）设函数，则是（ ）
A．奇函数，且对任意都有
B．奇函数，且存在使得
C．偶函数，且对任意都有
D．偶函数，且存在使得
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为的定义域为，关于原点对称，
又因为，
所以是偶函数，
令，
则，
所以在上单调递减，，
则，，
令，
则，
所以在上单调递减，
则，
则，，
所以，当时，，，
则，，
当时，，
所以，对任意，都有.
故答案为：.
【分析】先求函数的定义域，再判断函数的定义域是否关于原点对称，再根据得到函数是偶函数，将等价于，则，当，等价于，再利用作差法比较大小，分别构造，，借助求导判断函数的单调性，再结合函数的单调性进行大小比较，当时结合偶函数的定义，从而得到成立，进而得出对任意都有，则选出正确的选项.
8．（2024高一下·北京市期中）已知函数（，）的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，A，B为图象与x轴的交点，C为图象上的最高点，且，则（ ）
A．
B．
C．在上单调递减
D．函数的图象关于点中心对称
【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由为等腰直角三角形，为图象上的最高点，且点的纵坐标为1，则，
故函数的周期为4，由，，解得，
因为，所以，则，
将点代入，得，
则，，又因为，所以，所以，
A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、若，则，显然函数不是单调的，故C错误；
D、，
所以函数的图象关于点中心对称，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据为图象上的最高点，且点的纵坐标为1，为等腰直角三角形可以求出，求出周期，利用周期公式求出，将点代入即可求出，从而确定函数解析式，再逐项分析判断即可.
9．（2024高一下·北京市期中）已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由函数有两个零点可得有两个零点，
则与的图象有两个交点，
结合函数图象有以下几种情况：
与的图象如图1所示，
则在定义域内不能是单调函数，
对于的值进行分类讨论，
当时，如图2所示；
当时，如图3所示；
当时，如图4所示；
当时，如图5所示；
当时，如图6所示，
对于图2，有可能有两个交点，因为存在使得与二次函数有两个交点；
对于图3，因为图象是单调的，故不可能有两个交点；
对于图4，可能有两个交点，因为存在使得与分段函数有两个交点；
对于图5，不可能有两个交点；
对于图6，不可能有两个交点，
综上所述：当且成立.
故答案为：B.
【分析】由函数有两个零点可得有两个零点，则与的图象有两个交点，从而得出函数在定义域内不能是单调函数，再结合函数图象得出实数的取值范围.
10．（2024高一下·北京市期中）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为2，均是边长为2的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：以为坐标原点，所在直线为轴，过做的垂线为轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
则圆的方程为，
可设，
所以，
所以，
所以，当时，即当时，的最大值为.
故答案为：D．
【分析】以为坐标原点，所在直线为轴，过做的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设，利用数量积的坐标表示得出，再利用余弦型函数最值求解方法，从而得出的最大值.
11．（2024高一下·北京市期中）向量与的夹角的大小为 .
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：因为、，
所以，
，
则，
设向量与的夹角为，
则，
又因为，
所以.
故答案为：.
【分析】先求出，，，再由数量积求向量夹角公式和两向量夹角的取值范围，从而得出向量与的夹角的大小.
12．（2024高一下·北京市期中）如图，点为锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得，逆时针旋转得，……，逆时针旋转得，则 ，点的横坐标为 .
【答案】；
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由题意，可得点为锐角的终边与单位圆的交点，
逆时针旋转得，逆时针旋转得，……，逆时针旋转得，
根据三角函数的定义，
可得，
所以，，
则点的横坐标为：
．
故答案为：，．
【分析】利用已知条件结合三角函数定义、二倍角的余弦公式得出的值；再利用诱导公式得出点的横坐标.
13．（2024高一下·北京市期中）若函数的最大值为1，则常数的一个取值为 ．
【答案】（答案不唯一，取，均可）
【知识点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】函数的最大值为1，
可取与同时取到最大值1，
又时，，
时，也取到1，
，
不妨取，
此时的最大值为1，符合题意，
故常数的一个取值为，
故答案为：（不唯一）．
【分析】依题意可知与同时取到最大值1，进而可得可得，令m=0可得符合题意的的一个取值。
14．（2024高一下·北京市期中）已知是内一点，且满足，若，则 .
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；三角形五心
【解析】【解答】解：由题意得，
则，
所以是的外心，
则.
故答案为：.
【分析】由已知条件化简后得出点是的外心，再由外心的性质得出的值.
15．（2024高一下·北京市期中）函数的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”.下列命题正确的是 .
①“囧函数”的值域为R；
②“囧函数”在上单调递增
③“囧函数”图象关于y轴对称；
④“囧函数”有两个零点；
⑤“囧函数”的图象与直线的图象至少有一个交点.
【答案】③⑤
【知识点】命题的真假判断与应用；函数的值域；函数单调性的判断与证明；奇偶函数图象的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：①令，方程无解，
所以不可能为零，
则“囧函数”的值域为R，故①错误；
②当时，取，
得，
则，
所以“囧函数”在上单调递增，故②错误；
③因为函数定义域关于原点对称且，
所以“囧函数”图象关于y轴对称，故③正确；
④令，方程无解，
所以无零点，“囧函数”有两个零点，故④错误；
⑤令，
则①，
或②，
当时，对于①有，必有正根；
当时，对于②有，必有负根，
则方程至少有一根，
所以“囧函数”的图象与直线的图象至少有一个交点，故⑤正确.
故答案为：③⑤.
【分析】解方程判断出序号①；举反例进行排除，则判断出序号②；利用奇偶性的概念判断出序号③；解方程判断出序号④；令，分类讨论去绝对值，再研究方程的根判断出序号⑤，从而找出正确命题的序号.
16．（2024高一下·北京市期中）已知向量，满足，，它们的夹角为120°．
（1）求的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数k的取值范围．
【答案】（1）解：
=
=
=
=
=
=
=.
（2）解：因为与的夹角为锐角，
所以 ，
化简为：，
所以，
所以，实数k的取值范围为：且.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用=结合数量积的运算律，从而得出的值.
（2）利用向量夹角为锐角，则需满足数量积为正并且两个向量不能方向相同，从而代入求解得出实数k的取值范围.
（1）=
=
=
=
=
=
=
（2）因为与的夹角为锐角，
所以 ，
化简为：，
所以，
故答案为：且
17．（2024高一下·北京市期中）已知函数.的最大值为1，且相邻两条对称轴之间的距离为.求：
（1）函数的解析式；
（2）函数在的单调递增区间.
【答案】（1）解：因为
所以，
又因为相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，
则，
所以，
则.
（2）解：令，
则，
取，则，
所以，函数在的单调递增区间为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式和二倍角的余弦公式以及辅助角公式，从而可得，再利用相邻两条对称轴之间的距离为得出正弦型函数的最小正周期，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出的值，再根据正弦型函数的最大值得出a的值，从而得出函数的解析式.
（2）利用x的取值范围和不等式的基本性质，再结合换元法和正弦函数的单调性，从而得出正弦型函数在的单调递增区间.
（1），
故，
由于相邻两条对称轴之间的距离为，所以，
，故，
故
（2）令，则，
取，则，故单调递增区间为
18．（2024高一下·北京市期中）在中，，．
（1）求的大小：
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：边上的高．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）解：因为，，
所以，
所以，
由余弦定理知，
因为，
所以．
（2）解：若选①，
则，
所以，
因为，
所以方程无解，不符合题意；
若选②，
由正弦定理可知，
所以，
解得，
所以，
则，
解得或（舍去），
所以
若选③边上的高，
在中，，
所以，
则，
所以，
则，
解得或，
所以存在两解，不符合题意.
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）依题意可得，再利用余弦定理和三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）若选①，直接代入，从而得到方程无解，故舍去；若选②，由正弦定理求出的值，再代入，则可求出的值，再根据三角形的面积公式计算可得的面积；若选③，由锐角三角函数定义求出的长，从而得出c的值，再代入求出有两解，故舍去.
（1）解：因为，，所以，所以，
由余弦定理知，
因为，所以．
（2）解：若选①，则，即，因为，所以方程无解，不符合题意；
若选②，由正弦定理可知，即，解得，所以，即，解得或（舍去）
所以；
若选③边上的高；在中，所以，即，所以，即，解得或，所以存在两解，不符合题意；
19．（2024高一下·北京市期中）已知函数（，且）为偶函数．
（1）求的值；
（2）若，使成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为函数为偶函数，所以，即，所以，所以，解得.
（2）解：由题可得：，成立，即，因为，
又因为，所以，所以，所以；
令，设，当时，即时，，所以，解得，此时m无解；
当时，即时，，所以，解得，所以；
当时，即，，解得，无解，
综上所述，实数的取值范围为：.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】(1)根据函数为偶函数可得，再利用对数函数的运算性质求值即可；
（2）问题转化为求的最小值即可.
20．（2024高一下·北京市期中）已知集合 .对于，给出如下定义：①；②；③A与B之间的距离为.说明：的充要条件是.
（1）当时，设，求；
（2）若，且存在，使得，求证：；
（3）记.若，且，求的最大值.
【答案】（1）解：因为，，
所以，
则.
（2）解：设，
使，
使得：，
，使得 ，其中 ，
与 同为非负数或同为负数，
，
（3）解：因为，
设 中有 项为非负数， 项为负数，
不妨设 时，，
当 时，，
所以
，
，
整理得，
，
，
又因为，
则，
对于，
则 ，且，
所以，
综上所得，的最大值为.
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列的求和；平面向量共线（平行）的坐标表示；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）当 时，利用得出的值.
（2）设，由题意可得 ，使得，其中，则得出与同为非负数或同为负数，从而计算出 和 的结果，从而证出.
（3）设 中有 项为非负数， 项为负数，不妨设当 时， ；当 时，，利用得到，从而得到，进而求出 ， ，则得到 的最大值，即得到，再验证得到成立的条件.
（1）解：由于，
则
故
（2）解：设
使，
使得：，
，使得 ，其中 ，
与 同为非负数或同为负数，
，故得证；
（3）解：
设 中有 项为非负数， 项为负数
不妨设 时，
时，
所以
，整理得
又
即
对于
有 ，且
综上所得，的最大值为
1 / 1北京市京郊绿色联盟四校联考2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
1．（2024高一下·北京市期中）已知集合，，，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．2或3
2．（2024高一下·北京市期中）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·北京市期中）已知二次函数的值域为，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．（2024高一下·北京市期中）“”是“函数的图象关于对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024高一下·北京市期中）设，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·北京市期中）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是（ ）
A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时
7．（2024高一下·北京市期中）设函数，则是（ ）
A．奇函数，且对任意都有
B．奇函数，且存在使得
C．偶函数，且对任意都有
D．偶函数，且存在使得
8．（2024高一下·北京市期中）已知函数（，）的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，A，B为图象与x轴的交点，C为图象上的最高点，且，则（ ）
A．
B．
C．在上单调递减
D．函数的图象关于点中心对称
9．（2024高一下·北京市期中）已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
10．（2024高一下·北京市期中）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为2，均是边长为2的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高一下·北京市期中）向量与的夹角的大小为 .
12．（2024高一下·北京市期中）如图，点为锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得，逆时针旋转得，……，逆时针旋转得，则 ，点的横坐标为 .
13．（2024高一下·北京市期中）若函数的最大值为1，则常数的一个取值为 ．
14．（2024高一下·北京市期中）已知是内一点，且满足，若，则 .
15．（2024高一下·北京市期中）函数的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”.下列命题正确的是 .
①“囧函数”的值域为R；
②“囧函数”在上单调递增
③“囧函数”图象关于y轴对称；
④“囧函数”有两个零点；
⑤“囧函数”的图象与直线的图象至少有一个交点.
16．（2024高一下·北京市期中）已知向量，满足，，它们的夹角为120°．
（1）求的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数k的取值范围．
17．（2024高一下·北京市期中）已知函数.的最大值为1，且相邻两条对称轴之间的距离为.求：
（1）函数的解析式；
（2）函数在的单调递增区间.
18．（2024高一下·北京市期中）在中，，．
（1）求的大小：
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：边上的高．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．（2024高一下·北京市期中）已知函数（，且）为偶函数．
（1）求的值；
（2）若，使成立，求实数的取值范围．
20．（2024高一下·北京市期中）已知集合 .对于，给出如下定义：①；②；③A与B之间的距离为.说明：的充要条件是.
（1）当时，设，求；
（2）若，且存在，使得，求证：；
（3）记.若，且，求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】空集；交集及其运算
【解析】【解答】解：由，
则，
解得，
所以，
又因为且，
所以或.
故答案为：C.
【分析】先解一元二次不等式得出集合，再根据求出的值.
2．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对于A，因为在区间上不是单调函数，不符合题意，故A错；
对于B，因为的定义域为，所以不是偶函数，不符合题意，故B错；
对于C，因为为幂函数，在单调递增，
又因为定义域为，所以不是偶函数，不符合题意，故C错；
对于D，因为既是偶函数又在区间上单调递增，符合题意，故D对.
故答案为：D．
【分析】根据函数的单调性定义和奇偶性的定义，从而找出既是偶函数又在区间上单调递增的函数.
3．【答案】A
【知识点】函数的值域；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为二次函数的值域为，
所以，
所以，，
所以，
当且仅当时，即当时等号成立.
故答案为：A.
【分析】根据函数的值域得出的值，再利用均值不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：若函数的图象关于对称，
则，
解得，
因为是的真子集，
所以“”是“函数的图象关于对称”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】若函数的图象关于对称，再根据正切函数的对称性可得，再根据充分条件、必要条件的判断方法结合集合的包含关系，从而找出正确的选项.
5．【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为与在定义域上单调递增，
所以在定义域上单调递增，
所以.
对于A：当，时，满足，但是，故A错误；
对于B：当，时，满足，但是，故B错误；
对于C：当，时，满足，但是，故C错误；
对于D：因为函数，所以在定义域上单调递增，
则由可以得到，故D正确.
故答案为：D
【分析】依题意可得，再根据指数型函数的单调性得到，再利用特殊值判断出选项A、选项B和选项C；再根据函数的单调性判断出选项D，从而找出正确的选项.
6．【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：由已知得①，②，
将①代入②得，则，
当时，，
所以该食品在33℃的保鲜时间是24小时.
故答案为：C．
【分析】将两组数据代入解析式可得，，当时，利用指数函数的运算得出该食品在33的保鲜时间.
7．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为的定义域为，关于原点对称，
又因为，
所以是偶函数，
令，
则，
所以在上单调递减，，
则，，
令，
则，
所以在上单调递减，
则，
则，，
所以，当时，，，
则，，
当时，，
所以，对任意，都有.
故答案为：.
【分析】先求函数的定义域，再判断函数的定义域是否关于原点对称，再根据得到函数是偶函数，将等价于，则，当，等价于，再利用作差法比较大小，分别构造，，借助求导判断函数的单调性，再结合函数的单调性进行大小比较，当时结合偶函数的定义，从而得到成立，进而得出对任意都有，则选出正确的选项.
8．【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由为等腰直角三角形，为图象上的最高点，且点的纵坐标为1，则，
故函数的周期为4，由，，解得，
因为，所以，则，
将点代入，得，
则，，又因为，所以，所以，
A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、若，则，显然函数不是单调的，故C错误；
D、，
所以函数的图象关于点中心对称，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据为图象上的最高点，且点的纵坐标为1，为等腰直角三角形可以求出，求出周期，利用周期公式求出，将点代入即可求出，从而确定函数解析式，再逐项分析判断即可.
9．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由函数有两个零点可得有两个零点，
则与的图象有两个交点，
结合函数图象有以下几种情况：
与的图象如图1所示，
则在定义域内不能是单调函数，
对于的值进行分类讨论，
当时，如图2所示；
当时，如图3所示；
当时，如图4所示；
当时，如图5所示；
当时，如图6所示，
对于图2，有可能有两个交点，因为存在使得与二次函数有两个交点；
对于图3，因为图象是单调的，故不可能有两个交点；
对于图4，可能有两个交点，因为存在使得与分段函数有两个交点；
对于图5，不可能有两个交点；
对于图6，不可能有两个交点，
综上所述：当且成立.
故答案为：B.
【分析】由函数有两个零点可得有两个零点，则与的图象有两个交点，从而得出函数在定义域内不能是单调函数，再结合函数图象得出实数的取值范围.
10．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：以为坐标原点，所在直线为轴，过做的垂线为轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
则圆的方程为，
可设，
所以，
所以，
所以，当时，即当时，的最大值为.
故答案为：D．
【分析】以为坐标原点，所在直线为轴，过做的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设，利用数量积的坐标表示得出，再利用余弦型函数最值求解方法，从而得出的最大值.
11．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：因为、，
所以，
，
则，
设向量与的夹角为，
则，
又因为，
所以.
故答案为：.
【分析】先求出，，，再由数量积求向量夹角公式和两向量夹角的取值范围，从而得出向量与的夹角的大小.
12．【答案】；
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由题意，可得点为锐角的终边与单位圆的交点，
逆时针旋转得，逆时针旋转得，……，逆时针旋转得，
根据三角函数的定义，
可得，
所以，，
则点的横坐标为：
．
故答案为：，．
【分析】利用已知条件结合三角函数定义、二倍角的余弦公式得出的值；再利用诱导公式得出点的横坐标.
13．【答案】（答案不唯一，取，均可）
【知识点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】函数的最大值为1，
可取与同时取到最大值1，
又时，，
时，也取到1，
，
不妨取，
此时的最大值为1，符合题意，
故常数的一个取值为，
故答案为：（不唯一）．
【分析】依题意可知与同时取到最大值1，进而可得可得，令m=0可得符合题意的的一个取值。
14．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；三角形五心
【解析】【解答】解：由题意得，
则，
所以是的外心，
则.
故答案为：.
【分析】由已知条件化简后得出点是的外心，再由外心的性质得出的值.
15．【答案】③⑤
【知识点】命题的真假判断与应用；函数的值域；函数单调性的判断与证明；奇偶函数图象的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：①令，方程无解，
所以不可能为零，
则“囧函数”的值域为R，故①错误；
②当时，取，
得，
则，
所以“囧函数”在上单调递增，故②错误；
③因为函数定义域关于原点对称且，
所以“囧函数”图象关于y轴对称，故③正确；
④令，方程无解，
所以无零点，“囧函数”有两个零点，故④错误；
⑤令，
则①，
或②，
当时，对于①有，必有正根；
当时，对于②有，必有负根，
则方程至少有一根，
所以“囧函数”的图象与直线的图象至少有一个交点，故⑤正确.
故答案为：③⑤.
【分析】解方程判断出序号①；举反例进行排除，则判断出序号②；利用奇偶性的概念判断出序号③；解方程判断出序号④；令，分类讨论去绝对值，再研究方程的根判断出序号⑤，从而找出正确命题的序号.
16．【答案】（1）解：
=
=
=
=
=
=
=.
（2）解：因为与的夹角为锐角，
所以 ，
化简为：，
所以，
所以，实数k的取值范围为：且.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用=结合数量积的运算律，从而得出的值.
（2）利用向量夹角为锐角，则需满足数量积为正并且两个向量不能方向相同，从而代入求解得出实数k的取值范围.
（1）=
=
=
=
=
=
=
（2）因为与的夹角为锐角，
所以 ，
化简为：，
所以，
故答案为：且
17．【答案】（1）解：因为
所以，
又因为相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，
则，
所以，
则.
（2）解：令，
则，
取，则，
所以，函数在的单调递增区间为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式和二倍角的余弦公式以及辅助角公式，从而可得，再利用相邻两条对称轴之间的距离为得出正弦型函数的最小正周期，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出的值，再根据正弦型函数的最大值得出a的值，从而得出函数的解析式.
（2）利用x的取值范围和不等式的基本性质，再结合换元法和正弦函数的单调性，从而得出正弦型函数在的单调递增区间.
（1），
故，
由于相邻两条对称轴之间的距离为，所以，
，故，
故
（2）令，则，
取，则，故单调递增区间为
18．【答案】（1）解：因为，，
所以，
所以，
由余弦定理知，
因为，
所以．
（2）解：若选①，
则，
所以，
因为，
所以方程无解，不符合题意；
若选②，
由正弦定理可知，
所以，
解得，
所以，
则，
解得或（舍去），
所以
若选③边上的高，
在中，，
所以，
则，
所以，
则，
解得或，
所以存在两解，不符合题意.
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）依题意可得，再利用余弦定理和三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）若选①，直接代入，从而得到方程无解，故舍去；若选②，由正弦定理求出的值，再代入，则可求出的值，再根据三角形的面积公式计算可得的面积；若选③，由锐角三角函数定义求出的长，从而得出c的值，再代入求出有两解，故舍去.
（1）解：因为，，所以，所以，
由余弦定理知，
因为，所以．
（2）解：若选①，则，即，因为，所以方程无解，不符合题意；
若选②，由正弦定理可知，即，解得，所以，即，解得或（舍去）
所以；
若选③边上的高；在中，所以，即，所以，即，解得或，所以存在两解，不符合题意；
19．【答案】（1）解：因为函数为偶函数，所以，即，所以，所以，解得.
（2）解：由题可得：，成立，即，因为，
又因为，所以，所以，所以；
令，设，当时，即时，，所以，解得，此时m无解；
当时，即时，，所以，解得，所以；
当时，即，，解得，无解，
综上所述，实数的取值范围为：.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】(1)根据函数为偶函数可得，再利用对数函数的运算性质求值即可；
（2）问题转化为求的最小值即可.
20．【答案】（1）解：因为，，
所以，
则.
（2）解：设，
使，
使得：，
，使得 ，其中 ，
与 同为非负数或同为负数，
，
（3）解：因为，
设 中有 项为非负数， 项为负数，
不妨设 时，，
当 时，，
所以
，
，
整理得，
，
，
又因为，
则，
对于，
则 ，且，
所以，
综上所得，的最大值为.
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列的求和；平面向量共线（平行）的坐标表示；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）当 时，利用得出的值.
（2）设，由题意可得 ，使得，其中，则得出与同为非负数或同为负数，从而计算出 和 的结果，从而证出.
（3）设 中有 项为非负数， 项为负数，不妨设当 时， ；当 时，，利用得到，从而得到，进而求出 ， ，则得到 的最大值，即得到，再验证得到成立的条件.
（1）解：由于，
则
故
（2）解：设
使，
使得：，
，使得 ，其中 ，
与 同为非负数或同为负数，
，故得证；
（3）解：
设 中有 项为非负数， 项为负数
不妨设 时，
时，
所以
，整理得
又
即
对于
有 ，且
综上所得，的最大值为
1 / 1
