贵州省六盘水市2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题
1．（2024高二下·六盘水期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用一元一次不等式求解方法，从而求出集合A，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
2．（2024高二下·六盘水期末）若复数，则（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用复数的除法运算法则得出复数z，再利用复数求模公式得出复数z的模．
3．（2024高二下·六盘水期末）记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．13 B．45 C．65 D．130
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】由等差数列的性质合等差数列前n项和公式，从而得出的值．
4．（2024高二下·六盘水期末）甲、乙两位学生的5次化学考试成绩如下表：
学生 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 87 91 90 89 99
乙 89 90 91 88 92
下列结论正确的是（ ）
A．甲的极差小于乙的极差 B．乙的平均数大于甲的平均数
C．乙的成绩比甲的成绩更稳定 D．甲的中位数小于乙的中位数
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：对于A，因为甲的极差为：，乙的极差为：，故A错误；
对于B，因为甲的平均数为：，
乙的平均数为：，故B错误；
对于C，根据极差，易知乙的成绩比甲的成绩更稳定，故C正确；
对于D，因为甲的成绩从小到大排成一列为：，其中位数为：，
乙的成绩从小到大排成一列为：，其中位数为：，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和极差公式、平均数公式、中位数公式，从而逐项判断找出结论正确的选项．
5．（2024高二下·六盘水期末）已知为锐角，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为为锐角，，
所以，
联立，
解得，
又因为，
所以，
所以
.
故答案为：A.
【分析】利用为锐角和商数关系、平方关系，从而求出的值，再由两角差的正弦公式，从而可得的值.
6．（2024高二下·六盘水期末）关于的方程对应的曲线不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：当时，方程为：，对应的图象为选项A；
当时，方程为：，对应的图象为选项B；
当时，方程为：，
得，对应的图象为选项C；
选项D图形是四条线段，没有方程与之对应.
故答案为：D.
【分析】分别取结合关于的方程，从而找出对应的曲线，进而找出关于的方程对应的曲线不可能的选项．
7．（2024高二下·六盘水期末）已知线段的长度为4，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则面积的最大值为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】A
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，
设，且，
由，
得，
化简得的轨迹方程为圆，半径，
如上图，得．
故答案为：A.
【分析】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，可得点的轨迹方程为圆，再利用数形结合得出高的最大值为圆的半径，再结合三角形的面积公式得出的最大值.
8．（2024高二下·六盘水期末）如图，从一个半径为的圆形纸板中剪出一块最大的正三角形纸板，并将此正三角形纸板折叠成一个正四面体，则该正四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱锥的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：因为圆内最大正三角形为圆内接正三角形，
设该圆内接正三角形的半径为，边长为，
则，解得，
如图，设折叠后正四面体的棱长为，高为，
则，
过点作平面，为底面正三角形的中心，连接，
在中，由正弦定理得，
则，
所以，高，
设正四面体外接球球心为，
则外接球的半径，
在中，，
则，
所以，解得，
则该正四面体外接球的表面积为．
故答案为：B.
【分析】先求出最大正三角形的边长，从而得到正四面体的棱长及高，再由空间几何关系和勾股定理得出外接球半径，再根据球的表面积公式得出该正四面体外接球的表面积.
9．（2024高二下·六盘水期末）已知函数，则（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的最小正周期为
C．函数在区间上有且仅有一个零点
D．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象
【答案】A,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数零点存在定理；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以的图象关于点对称，故A正确；
对于B，因为，
所以是函数的周期，故B错误；
对于C，因为，
所以在区间至少有两个零点，故C错误；
对于D，将函数的图象向左平移个单位长度后得，
所以，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用已知条件和换元法以及正弦函数的对称性，从而得出函数的图象的对称性，则判断出选项A；根据正弦型函数的最小正周期判断的最小正周期，则可判断选项B；利用函数零点求解方法，则可判断选项C；根据正弦型函数的图象平移变换可判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．（2024高二下·六盘水期末）已知函数，则（ ）
A．与互为反函数
B．若是函数的极值点，则
C．若，则
D．点在曲线上，点在曲线上，则
【答案】A,C,D
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系；函数在某点取得极值的条件；平面内两点间距离公式的应用；图形的对称性
【解析】【解答】解：对于A，由对数定义可知，
所以与互为反函数，故A正确；
对于B，因为，
则，
若是函数的极值点，
则必有，
所以，，两边取对数得，故B错误；
对于C，作出的图象如图：
因为与的图象关于直线对称，直线与直线垂直，
所以直线与和的交点关于直线与的交点对称，
联立，可得，
所以，故C正确；
对于D，由上图和函数的图象的对称性可知，
的最小值等于点到直线的最小距离的2倍，
当过点的切线平行于直线时，点到直线的距离最小，
令，解得，
所以此时点坐标为，
所以的最小值为，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据对数定义可判断选项A；根据函数极值点处的导数等于0，再两边取对数可判断选项B；作出的图象，再根据函数的图象对称性可判断选项C；利用函数的图象的对称性，将问题转化为求点到直线的最小距离的2倍，再利用导数求出切点坐标，再由点到直线的距离公式可判断选项D，从而找出正确的选项.
11．（2024高二下·六盘水期末）圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的方程为
B．过点且垂直于的直线平分
C．若，则
D．若，则
【答案】A,B,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，因为双曲线为等轴双曲线，
设双曲线方程为，
所以，解得，
得到双曲线的方程为，故A正确，
对于B，如图，
由题意知，，
所以，
若，所以， 故B正确，
对于C，记，
所以，
因为，
得到，
又因为，
所以，又，
由，得，故C错误；
对于D，因为，，
由，得，
又因为，
所以，
得到，
则，
得到，
由，
得到，
则，
解得，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，代入求解得出a的值，从而得出双曲线C的标准方程，则判断出选项A；根据已知条件，借助图形，从而得出过点且垂直于的直线平分，则判断出选项B；利用余弦定理和双曲线的定义，从而得到，再结合已知条件，从而得出的值，则判断出选项C；利用选项C中结果，再结合已知条件得出的值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．（2024高二下·六盘水期末）已知向量，若，则 ．
【答案】-2
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，
解得.
故答案为：-2.
【分析】由平面向量垂直的坐标表示，从而得出实数m的值．
13．（2024高二下·六盘水期末）现有3名男同学和2名女同学，从中抽取3名同学去两个不同的地方参加志愿者服务活动，且每个地方至少要有1名男同学，则不同的分配方式共有 种．
【答案】30
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：抽取3名同学可以分为两类：
当抽取2名男生，1名女生时，分配方法数为：，
当抽取3名男生时，分配方法数为：，
则总的方法数为：.
故答案为：30.
【分析】按抽取2名男生，1名女生时和抽取3名男生时分类讨论，再结合组合数公式、排列数公式以及分类加法计数原理，从而得出不同的分配方式共有的种数．
14．（2024高二下·六盘水期末）已知函数的定义域为，且．若，则 ．
【答案】2024
【知识点】函数的周期性；图形的对称性
【解析】【解答】解：方法一：（几何法）
由，得的图象关于直线对称；
由，得的图象关于点对称，
再根据可作出的一个符合要求的函数图象如下，
则．
方法二：（代数法）
由，得；
结合，得，
则，
所以；
则，
所以函数是周期为4的周期函数．
由，
得，
所以；
由，
得，
所以；
由，
得，
则，
则，
所以．
故答案为：.
【分析】利用两种方法求解.方法一：（几何法）结合题意得出函数的图象关于直线对称且关于点对称，再结合函数图象得出的值.
方法二：（代数法）结合题意得出函数是周期为4的周期函数，再计算得出的值．
15．（2024高二下·六盘水期末）记的内角所对的边分别为，已知，且．
（1）求的值；
（2）若点满足，求的长度．
【答案】（1）解：由，
得，
则，
将代入，
得．
（2）解：方法1：因为，
将代入，
得，解得，
又因为，
所以，
由余弦定理得．
方法2：因为
将代入，
得，解得，
又因为，
所以，
两边平方得，
所以．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由结合二倍角的正弦公式和正弦定理，从而得到，再将代入得出的值.
（2）利用两种方法求解.
方法1：利用（1）和余弦定理得出a的值，再由得到，在中，利用余弦定理得出的长.
方法2：利用（1）和余弦定理得出a的值，再由得到，从而得出AM的长.
（1）解：由，
得，从而，
将代入得．
（2）方法1：，
将代入得，解得．
因为，所以，
由余弦定理得．
方法2：
将代入得，解得．
因为，所以，
两边平方得，
所以．
16．（2024高二下·六盘水期末）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿脾胃虚弱．采用有放回的简单随机抽样方法对治疗情况进行检查，得到如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿55名，其中未治愈10名；抽到接受乙种疗法的患儿45名，其中治愈30名．
（1）请补全如下列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好；
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
甲
乙
合计
（2）从接受乙种疗法的患儿中，按照疗效采用比例分配的分层随机抽样法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求这3人中未治愈人数的分布列及期望；
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：列联表如下：
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
甲 10 45 55
乙 15 30 45
合计 25 75 100
零假设为：疗法与疗效独立，
则两种疗法效果没有差异．
根据列联表中的数据，经计算得到：
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此，可以认为成立，即认为两种疗法效果没有差异．
（2）解：因为抽样比为，未治愈人数为2人，治愈人数为4人，
则随机变量的所有可能取值为，
所以
所以随机变量的分布列为：
0 1 2
则，
所以随机变量的期望为1．
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据相关数据完成列联表，再利用公式得出的值，再与临界值表进行比较，从而认为成立，即认为两种疗法效果没有差异．
（2）利用已知条件和超几何分布求出这3人中未治愈人数的分布列，再利用X的分布列求数学期望公式，从而得出这3人中未治愈人数的数学期望.
（1）解：列联表如下：
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
甲 10 45 55
乙 15 30 45
合计 25 75 100
零假设为：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异．
根据列联表中的数据，经计算得到
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为两种疗法效果没有差异．
（2）抽样比为，未治愈人数为2人，治愈人数为4人
随机变量的所有可能取值为．
所以随机变量的分布列为
0 1 2
从而，所以随机变量的期望为1．
17．（2024高二下·六盘水期末）已知长方体中，．
（1）在长方体中，过点作与平面平行的平面，并说明理由；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）解：如图，所作平面为平面，
理由如下：
因为为平行四边形，
所以，
又因为平面平面，
所以平面，
同理得平面，
又因为平面，
所以平面平面．
（2）解：方法1：以点为坐标原点建系如图，
则，．
，
设平面的法向量为，
则，
所以
令，则，
所以，
设与平面所成的角为，
则．
方法2：设点到平面的距离为，
依题意，得，
因为，
所以，
所以，解得，
设与平面所成的角为，
则．
【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量研究直线与平面所成的角；任意角三角函数的定义；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）先作图，再利用平行四边形的结构特征得出线线平行，再结合线线平行证出线面平行，最后由线面平行证出面面平行，即证出平面平面．
（2）利用两种方法求解.
方法1：以点为坐标原点建系，则得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出直线与平面所成角的正弦值．
方法2：由等体积法和三棱锥的体积公式，从而得出点到平面的距离，再利用正弦函数的定义得出直线与平面所成角的正弦值．
（1）解：如图，所作平面为平面．
理由如下：
因为为平行四边形，所以，
而平面平面，得平面，
同理得平面，
而平面，
所以平面平面．
（2）方法1：以点为坐标原点建系如图，则，．
，
设平面的法向量为，则
，即
令，则，所以，
设与平面所成的角为，则．
方法2：设点到平面的距离为，
依题，
因为，所以，
从而，解得，
设与平面所成的角为，则．
18．（2024高二下·六盘水期末）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）在数列中，是曲线在点处的切线与轴交点的横坐标．证明：数列是等比数列，并求数列的前项和．
【答案】（1）解：因为，
所以，
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）证明：因为
所以，
则曲线在点处的切线方程为：，
令，得，
则（为常数），
所以是首项为1，公比为的等比数列，
由，
得，
所以
所以．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得出切线的斜率，再由代入法得出切点坐标，再根据点斜式方程可得曲线在点处的切线方程；
（2）利用导数的几何意义得出切线的斜率，再由代入法得出切点坐标，再根据点斜式方程可得线在点处的切线方程，令可得数列递推公式，再根据等比数列定义证出数列是等比数列，再利用分组求和法得出.
（1）因为，所以，
又，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2），
曲线在点处的切线方程为，
令得，
于是（为常数），
所以是首项为1，公比为的等比数列．
由得，
于是，
所以．
19．（2024高二下·六盘水期末）定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”．
如图，为椭圆的“共轭点对”，已知，且点在直线上，直线过原点．
（1）求直线的方程；
（2）已知是椭圆上的两点，为坐标原点，且．
（i）求证：线段被直线平分；
（ii）若点在第二象限，直线与相交于点，点为的中点，求面积的最大值．
【答案】（1）解：因为点在直线上，
又因为直线过原点，
所以所求直线的方程为：．
（2）（i）证明：方法1：因为，
所以
设，
则，
两式相减得，
整理得，
则，
所以线段的中点在直线上，
所以线段被直线平分．
方法2：因为，，
所以，设，
由，
由韦达定理得，
所以，
则，
所以线段的中点在直线上．
（ii）解：由（i）可知为的中点，又因为为的中点，
所以，
由，
解得，
设，
由，
由，
由韦达定理得，
则点到直线的距离，
所以，
则
令，
则，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以，
所以的最大值为．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据“共轭点对”的定义可得直线的方程.
（2）（i）利用两种方法证明.
方法一：利用点差法证出线段被直线平分.
方法二：设，再联立直线方程和椭圆方程，再利用韦达定理证出线段被直线平分.
（ii）联立直线方程与椭圆方程，再结合韦达定理和弦长公式以及点到直线的距离公式，从而得出，令，再利用导数判断函数f(m)的单调性，从而得出函数f(m)的最大值，进而得出的最大值.
（1）由已知，点在直线上，
又因为直线过原点，
所以所求直线的方程为：．
（2）（i）方法1：因为，所以
设，则，
两式相减得，
整理得，
即，所以线段的中点在直线上．
所以线段被直线平分．
方法2：因为，，
所以设，
由，
由韦达定理得，于是，
从而，所以线段的中点在直线上．
（ii）由（i）可知为的中点，而为的中点，
所以．
由解得，设，
由，
由，
由韦达定理得．
点到直线的距离，
令，则，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以，所以的最大值为．
1 / 1贵州省六盘水市2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题
1．（2024高二下·六盘水期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·六盘水期末）若复数，则（ ）
A． B． C． D．4
3．（2024高二下·六盘水期末）记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．13 B．45 C．65 D．130
4．（2024高二下·六盘水期末）甲、乙两位学生的5次化学考试成绩如下表：
学生 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 87 91 90 89 99
乙 89 90 91 88 92
下列结论正确的是（ ）
A．甲的极差小于乙的极差 B．乙的平均数大于甲的平均数
C．乙的成绩比甲的成绩更稳定 D．甲的中位数小于乙的中位数
5．（2024高二下·六盘水期末）已知为锐角，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·六盘水期末）关于的方程对应的曲线不可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高二下·六盘水期末）已知线段的长度为4，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则面积的最大值为（ ）
A． B．8 C． D．
8．（2024高二下·六盘水期末）如图，从一个半径为的圆形纸板中剪出一块最大的正三角形纸板，并将此正三角形纸板折叠成一个正四面体，则该正四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·六盘水期末）已知函数，则（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的最小正周期为
C．函数在区间上有且仅有一个零点
D．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象
10．（2024高二下·六盘水期末）已知函数，则（ ）
A．与互为反函数
B．若是函数的极值点，则
C．若，则
D．点在曲线上，点在曲线上，则
11．（2024高二下·六盘水期末）圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的方程为
B．过点且垂直于的直线平分
C．若，则
D．若，则
12．（2024高二下·六盘水期末）已知向量，若，则 ．
13．（2024高二下·六盘水期末）现有3名男同学和2名女同学，从中抽取3名同学去两个不同的地方参加志愿者服务活动，且每个地方至少要有1名男同学，则不同的分配方式共有 种．
14．（2024高二下·六盘水期末）已知函数的定义域为，且．若，则 ．
15．（2024高二下·六盘水期末）记的内角所对的边分别为，已知，且．
（1）求的值；
（2）若点满足，求的长度．
16．（2024高二下·六盘水期末）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿脾胃虚弱．采用有放回的简单随机抽样方法对治疗情况进行检查，得到如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿55名，其中未治愈10名；抽到接受乙种疗法的患儿45名，其中治愈30名．
（1）请补全如下列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好；
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
甲
乙
合计
（2）从接受乙种疗法的患儿中，按照疗效采用比例分配的分层随机抽样法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求这3人中未治愈人数的分布列及期望；
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
17．（2024高二下·六盘水期末）已知长方体中，．
（1）在长方体中，过点作与平面平行的平面，并说明理由；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18．（2024高二下·六盘水期末）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）在数列中，是曲线在点处的切线与轴交点的横坐标．证明：数列是等比数列，并求数列的前项和．
19．（2024高二下·六盘水期末）定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”．
如图，为椭圆的“共轭点对”，已知，且点在直线上，直线过原点．
（1）求直线的方程；
（2）已知是椭圆上的两点，为坐标原点，且．
（i）求证：线段被直线平分；
（ii）若点在第二象限，直线与相交于点，点为的中点，求面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用一元一次不等式求解方法，从而求出集合A，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用复数的除法运算法则得出复数z，再利用复数求模公式得出复数z的模．
3．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】由等差数列的性质合等差数列前n项和公式，从而得出的值．
4．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：对于A，因为甲的极差为：，乙的极差为：，故A错误；
对于B，因为甲的平均数为：，
乙的平均数为：，故B错误；
对于C，根据极差，易知乙的成绩比甲的成绩更稳定，故C正确；
对于D，因为甲的成绩从小到大排成一列为：，其中位数为：，
乙的成绩从小到大排成一列为：，其中位数为：，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和极差公式、平均数公式、中位数公式，从而逐项判断找出结论正确的选项．
5．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为为锐角，，
所以，
联立，
解得，
又因为，
所以，
所以
.
故答案为：A.
【分析】利用为锐角和商数关系、平方关系，从而求出的值，再由两角差的正弦公式，从而可得的值.
6．【答案】D
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：当时，方程为：，对应的图象为选项A；
当时，方程为：，对应的图象为选项B；
当时，方程为：，
得，对应的图象为选项C；
选项D图形是四条线段，没有方程与之对应.
故答案为：D.
【分析】分别取结合关于的方程，从而找出对应的曲线，进而找出关于的方程对应的曲线不可能的选项．
7．【答案】A
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，
设，且，
由，
得，
化简得的轨迹方程为圆，半径，
如上图，得．
故答案为：A.
【分析】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，可得点的轨迹方程为圆，再利用数形结合得出高的最大值为圆的半径，再结合三角形的面积公式得出的最大值.
8．【答案】B
【知识点】棱锥的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：因为圆内最大正三角形为圆内接正三角形，
设该圆内接正三角形的半径为，边长为，
则，解得，
如图，设折叠后正四面体的棱长为，高为，
则，
过点作平面，为底面正三角形的中心，连接，
在中，由正弦定理得，
则，
所以，高，
设正四面体外接球球心为，
则外接球的半径，
在中，，
则，
所以，解得，
则该正四面体外接球的表面积为．
故答案为：B.
【分析】先求出最大正三角形的边长，从而得到正四面体的棱长及高，再由空间几何关系和勾股定理得出外接球半径，再根据球的表面积公式得出该正四面体外接球的表面积.
9．【答案】A,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数零点存在定理；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以的图象关于点对称，故A正确；
对于B，因为，
所以是函数的周期，故B错误；
对于C，因为，
所以在区间至少有两个零点，故C错误；
对于D，将函数的图象向左平移个单位长度后得，
所以，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用已知条件和换元法以及正弦函数的对称性，从而得出函数的图象的对称性，则判断出选项A；根据正弦型函数的最小正周期判断的最小正周期，则可判断选项B；利用函数零点求解方法，则可判断选项C；根据正弦型函数的图象平移变换可判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系；函数在某点取得极值的条件；平面内两点间距离公式的应用；图形的对称性
【解析】【解答】解：对于A，由对数定义可知，
所以与互为反函数，故A正确；
对于B，因为，
则，
若是函数的极值点，
则必有，
所以，，两边取对数得，故B错误；
对于C，作出的图象如图：
因为与的图象关于直线对称，直线与直线垂直，
所以直线与和的交点关于直线与的交点对称，
联立，可得，
所以，故C正确；
对于D，由上图和函数的图象的对称性可知，
的最小值等于点到直线的最小距离的2倍，
当过点的切线平行于直线时，点到直线的距离最小，
令，解得，
所以此时点坐标为，
所以的最小值为，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据对数定义可判断选项A；根据函数极值点处的导数等于0，再两边取对数可判断选项B；作出的图象，再根据函数的图象对称性可判断选项C；利用函数的图象的对称性，将问题转化为求点到直线的最小距离的2倍，再利用导数求出切点坐标，再由点到直线的距离公式可判断选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，因为双曲线为等轴双曲线，
设双曲线方程为，
所以，解得，
得到双曲线的方程为，故A正确，
对于B，如图，
由题意知，，
所以，
若，所以， 故B正确，
对于C，记，
所以，
因为，
得到，
又因为，
所以，又，
由，得，故C错误；
对于D，因为，，
由，得，
又因为，
所以，
得到，
则，
得到，
由，
得到，
则，
解得，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，代入求解得出a的值，从而得出双曲线C的标准方程，则判断出选项A；根据已知条件，借助图形，从而得出过点且垂直于的直线平分，则判断出选项B；利用余弦定理和双曲线的定义，从而得到，再结合已知条件，从而得出的值，则判断出选项C；利用选项C中结果，再结合已知条件得出的值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】-2
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，
解得.
故答案为：-2.
【分析】由平面向量垂直的坐标表示，从而得出实数m的值．
13．【答案】30
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：抽取3名同学可以分为两类：
当抽取2名男生，1名女生时，分配方法数为：，
当抽取3名男生时，分配方法数为：，
则总的方法数为：.
故答案为：30.
【分析】按抽取2名男生，1名女生时和抽取3名男生时分类讨论，再结合组合数公式、排列数公式以及分类加法计数原理，从而得出不同的分配方式共有的种数．
14．【答案】2024
【知识点】函数的周期性；图形的对称性
【解析】【解答】解：方法一：（几何法）
由，得的图象关于直线对称；
由，得的图象关于点对称，
再根据可作出的一个符合要求的函数图象如下，
则．
方法二：（代数法）
由，得；
结合，得，
则，
所以；
则，
所以函数是周期为4的周期函数．
由，
得，
所以；
由，
得，
所以；
由，
得，
则，
则，
所以．
故答案为：.
【分析】利用两种方法求解.方法一：（几何法）结合题意得出函数的图象关于直线对称且关于点对称，再结合函数图象得出的值.
方法二：（代数法）结合题意得出函数是周期为4的周期函数，再计算得出的值．
15．【答案】（1）解：由，
得，
则，
将代入，
得．
（2）解：方法1：因为，
将代入，
得，解得，
又因为，
所以，
由余弦定理得．
方法2：因为
将代入，
得，解得，
又因为，
所以，
两边平方得，
所以．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由结合二倍角的正弦公式和正弦定理，从而得到，再将代入得出的值.
（2）利用两种方法求解.
方法1：利用（1）和余弦定理得出a的值，再由得到，在中，利用余弦定理得出的长.
方法2：利用（1）和余弦定理得出a的值，再由得到，从而得出AM的长.
（1）解：由，
得，从而，
将代入得．
（2）方法1：，
将代入得，解得．
因为，所以，
由余弦定理得．
方法2：
将代入得，解得．
因为，所以，
两边平方得，
所以．
16．【答案】（1）解：列联表如下：
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
甲 10 45 55
乙 15 30 45
合计 25 75 100
零假设为：疗法与疗效独立，
则两种疗法效果没有差异．
根据列联表中的数据，经计算得到：
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此，可以认为成立，即认为两种疗法效果没有差异．
（2）解：因为抽样比为，未治愈人数为2人，治愈人数为4人，
则随机变量的所有可能取值为，
所以
所以随机变量的分布列为：
0 1 2
则，
所以随机变量的期望为1．
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据相关数据完成列联表，再利用公式得出的值，再与临界值表进行比较，从而认为成立，即认为两种疗法效果没有差异．
（2）利用已知条件和超几何分布求出这3人中未治愈人数的分布列，再利用X的分布列求数学期望公式，从而得出这3人中未治愈人数的数学期望.
（1）解：列联表如下：
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
甲 10 45 55
乙 15 30 45
合计 25 75 100
零假设为：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异．
根据列联表中的数据，经计算得到
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为两种疗法效果没有差异．
（2）抽样比为，未治愈人数为2人，治愈人数为4人
随机变量的所有可能取值为．
所以随机变量的分布列为
0 1 2
从而，所以随机变量的期望为1．
17．【答案】（1）解：如图，所作平面为平面，
理由如下：
因为为平行四边形，
所以，
又因为平面平面，
所以平面，
同理得平面，
又因为平面，
所以平面平面．
（2）解：方法1：以点为坐标原点建系如图，
则，．
，
设平面的法向量为，
则，
所以
令，则，
所以，
设与平面所成的角为，
则．
方法2：设点到平面的距离为，
依题意，得，
因为，
所以，
所以，解得，
设与平面所成的角为，
则．
【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量研究直线与平面所成的角；任意角三角函数的定义；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）先作图，再利用平行四边形的结构特征得出线线平行，再结合线线平行证出线面平行，最后由线面平行证出面面平行，即证出平面平面．
（2）利用两种方法求解.
方法1：以点为坐标原点建系，则得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出直线与平面所成角的正弦值．
方法2：由等体积法和三棱锥的体积公式，从而得出点到平面的距离，再利用正弦函数的定义得出直线与平面所成角的正弦值．
（1）解：如图，所作平面为平面．
理由如下：
因为为平行四边形，所以，
而平面平面，得平面，
同理得平面，
而平面，
所以平面平面．
（2）方法1：以点为坐标原点建系如图，则，．
，
设平面的法向量为，则
，即
令，则，所以，
设与平面所成的角为，则．
方法2：设点到平面的距离为，
依题，
因为，所以，
从而，解得，
设与平面所成的角为，则．
18．【答案】（1）解：因为，
所以，
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）证明：因为
所以，
则曲线在点处的切线方程为：，
令，得，
则（为常数），
所以是首项为1，公比为的等比数列，
由，
得，
所以
所以．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得出切线的斜率，再由代入法得出切点坐标，再根据点斜式方程可得曲线在点处的切线方程；
（2）利用导数的几何意义得出切线的斜率，再由代入法得出切点坐标，再根据点斜式方程可得线在点处的切线方程，令可得数列递推公式，再根据等比数列定义证出数列是等比数列，再利用分组求和法得出.
（1）因为，所以，
又，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2），
曲线在点处的切线方程为，
令得，
于是（为常数），
所以是首项为1，公比为的等比数列．
由得，
于是，
所以．
19．【答案】（1）解：因为点在直线上，
又因为直线过原点，
所以所求直线的方程为：．
（2）（i）证明：方法1：因为，
所以
设，
则，
两式相减得，
整理得，
则，
所以线段的中点在直线上，
所以线段被直线平分．
方法2：因为，，
所以，设，
由，
由韦达定理得，
所以，
则，
所以线段的中点在直线上．
（ii）解：由（i）可知为的中点，又因为为的中点，
所以，
由，
解得，
设，
由，
由，
由韦达定理得，
则点到直线的距离，
所以，
则
令，
则，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以，
所以的最大值为．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据“共轭点对”的定义可得直线的方程.
（2）（i）利用两种方法证明.
方法一：利用点差法证出线段被直线平分.
方法二：设，再联立直线方程和椭圆方程，再利用韦达定理证出线段被直线平分.
（ii）联立直线方程与椭圆方程，再结合韦达定理和弦长公式以及点到直线的距离公式，从而得出，令，再利用导数判断函数f(m)的单调性，从而得出函数f(m)的最大值，进而得出的最大值.
（1）由已知，点在直线上，
又因为直线过原点，
所以所求直线的方程为：．
（2）（i）方法1：因为，所以
设，则，
两式相减得，
整理得，
即，所以线段的中点在直线上．
所以线段被直线平分．
方法2：因为，，
所以设，
由，
由韦达定理得，于是，
从而，所以线段的中点在直线上．
（ii）由（i）可知为的中点，而为的中点，
所以．
由解得，设，
由，
由，
由韦达定理得．
点到直线的距离，
令，则，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以，所以的最大值为．
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