广东省廉江市石岭中学2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷
1．（2024高一下·廉江期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·廉江期末）若，则（ ）
A．3 B． C．5 D．
3．（2024高一下·廉江期末）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·廉江期末）已知点P（cosα，tanα）在第三象限，则角α的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2024高一下·廉江期末）设函数，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
6．（2024高一下·廉江期末）已知，则（ ）
A． B．0 C． D．1
7．（2024高一下·廉江期末）已知向量，，若，则m的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．（2024高一下·廉江期末）等腰直角三角形ABC中，，是斜边BC上一点，且，则=（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高一下·廉江期末）下列选项正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．若向量，，则
C．命题“，”的否定是真命题
D．非零向量，满足，则有
10．（2024高一下·廉江期末）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的图象的一条对称轴为
C．函数的图象关于点对称
D．函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数
11．（2024高一下·廉江期末）已知向量，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（ ）
A．0 B．1 C． D．
12．（2024高一下·廉江期末） ．
13．（2024高一下·廉江期末）已知，则的最大值为 .
14．（2024高一下·廉江期末）已知，，，则 ．
15．（2024高一下·廉江期末）已知复数，，其中
（1）若为纯虚数，求b的值；
（2）若与互为共轭复数，求的值．
16．（2024高一下·廉江期末）已知向量，．
（1）求；
（2）设，的夹角为，求的值；
（3）若向量与互相垂直，求k的值．
17．（2024高一下·廉江期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
（1）求角B的大小；
（2）若的外接圆半径为1，求边长b的值；
（3）若，求的面积的最大值．
18．（2024高一下·廉江期末）已知函数（，，）的部分图象如下图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）写出函数的单调递增区间；
（3）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域．
19．（2024高一下·廉江期末）已知函数是定义在区间上的函数
（1）判断函数的奇偶性；
（2）用定义证明函数在区间上是增函数；
（3）解不等式.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为，，
所以.
故答案为：D.
【分析】
先求集合A，再根据交集运算求解.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】因为，则，
所以.
故答案为：C.
【分析】
根据题意求得，进而求模长.
3．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，
则，解得且，
故函数的定义域是.
故答案为：C.
【分析】根据根式、分式以及零次方成立的条件列式求解即可.
4．【答案】B
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】解：点P（cosα，tanα）在第三象限，所以，cosα＜0角α的终边在第二、三象限．
tanα＜0角α的终边在第二、四象限．
∴角α的终边在第二象限．
故选：B．
【分析】利用点所在象限，推出三角函数的符号，然后判断角所在象限．
5．【答案】A
【知识点】函数的值；对数的性质与运算法则；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：函数，，
则.
故答案为：A.
【分析】根据分段函数，代值求函数值即可.
6．【答案】B
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】
根据同角三角函数关系，结合齐次式问题即可求解.
7．【答案】D
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】根据题意知，，，
则，解之可得
故答案为：D.
【分析】
由向量垂直的坐标表示列方程等于零求解，可得结论.
8．【答案】B
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：如图所示：
因为为等腰直角三角形，，，，
所以.
故答案为：B.
【分析】由题意，直接根据向量加法，减法，数乘运算求解即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】全称量词命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断；共线（平行）向量；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A、一定有，但不一定有，则“”是“”的必要不充分条件，故A正确；
B、若向量，满足，，但不共线，故B错误；
C、，则命题“，”为假命题，
即命题“，”的否定是真命题，故C正确；
D、由，可得，
则，整理可得，
因为，为非零向量，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据集合的包含关系分析充分、必要条件即可判断A；举反例说明即可判断B；先判断原命题的真假性，进而可知其否定的真假性即可判断C；根据数量积的运算律分析即可判断D.
10．【答案】A,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数诱导公式二~六；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解： 函数，
A、函数的最小正周期是，故A正确；
B、，不是函数图象的对称轴，故B错误；
C、因为，所以函数的图象关于点对称，故C正确；
D、函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数，
故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据最小正周期公式运算求解即可判断A；根据对称轴与最值点之间的关系分析即可判断B；根据对称中心与函数零点之间的关系分析即可判断C；根据三角函数图象变换结合诱导公式分析即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由向量，，，
可得，
若点A，B，C能构成三角形，即A，B，C不共线，则不共线，即，即，
故答案为：BCD.
【分析】由题意可知不共线，结合向量共线的坐标表示运算求解即可.
12．【答案】
【知识点】三角函数诱导公式一
【解析】【解答】解：由题意可得：.
故答案为：.
【分析】根据题意和诱导公式，从而得出的值.
13．【答案】1
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，所以，
则，当且仅当时等号成立， 则的最大值为 1.
故答案为：1．
【分析】利用基本不等式求解即可.
14．【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以，，
又因为，，
所以，
，
又因为，
则
.
故答案为：.
【分析】由题意，根据同角三角函数基本关系求，，再根据角的关系，结合两角和差公式运算求解即可.
15．【答案】（1）解： 复数 ，若为纯虚数，则，解得；
（2）解：复数，，
若与互为共轭复数，则，解得，故.
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【分析】（1）根据纯虚数的定义列式求解即可；
（2）整理可得，结合共轭复数的定义列式求解即可.
（1）若为纯虚数，则，解得，
所以b的值为3.
（2）因为，，
若与互为共轭复数，则，解得，
所以.
16．【答案】（1）解：向量，，则；
（2）解：；
（3）解：向量，，
则，，
若向量与互相垂直，则，
即，化简得，解得.
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）直接利用向量的坐标运算求解即可；
（2）利用向量夹角的坐标公式求解即可；
（3）利用向量垂直的坐标运算列式求解即可.
（1）因为，，所以；
（2）；
（3）因为，，所以，，
由向量与互相垂直得，，
所以，化简得，解得.
17．【答案】（1）解：由，可得，
由余弦定理可得，
因为，所以；
（2）解： 若的外接圆半径为1， 由正弦定理可知：（为的外接圆半径），
则；
（3）解：由，且，可得，
因为，所以，解得，
当且仅当时等号成立，
则，即的面积的最大值为.
【知识点】基本不等式；解三角形；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意利用余弦定理边化简求角即可；
（2）利用正弦定理运算求解即可；
（3）根据题意利用基本不等式可得，结合面积公式运算求解即可.
（1）因为，即，
由余弦定理可得，
且，所以.
（2）由正弦定理可知：（为的外接圆半径），
所以.
（3）由题意可知：，且，即，
又因为，即，解得，
当且仅当时，等号成立，
可得，
所以的面积的最大值为.
18．【答案】（1）解：由图可知：，最小正周期，
因为，所以，则，
由图可求出最低点的坐标为，可得，
则，解得，
且，可得，则；
（2）解：由（1）可得：，
令，解得，
则函数的单调递增区间为；
（3）解：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到，
再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位，得到，
当时，，，则，
故在区间上的值域为.
【知识点】正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）由三角函数的图象，利用五点法求函数的解析式即可；
（2）由（1）可得：，结合三角函数的性质求解即可；
（3）由三角函数的图象变换，可得，结合正弦函数的有界性求解即可.
（1）由图象可知：，最小正周期，
且，可得，所以，
由图可求出最低点的坐标为，可得，
则，解得，
且，可得，所以.
（2）由（1）可得：，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
（3）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到；
再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位，得到，
因为，则，可得，即，
所以在区间上的值域为.
19．【答案】（1）解：函数的定义域为，
满足，则函数为奇函数；
（2）证明：任取，且，
则，
因为，则，
可得，即，
所以函数在区间上是增函数；
（3）解：函数在区间上是增函数，
由不等式，可得，解得，
则不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义判断即可；
（2）根据函数单调性的定义证明即可；
（3）根据函数单调性结合函数定义域分析求解即可.
（1）因为函数的定义域为，
且，
所以函数为奇函数.
（2）任取，令，
则，
因为，则，
可得，即，
所以函数在区间上是增函数.
（3）因为，且函数在区间上是增函数，
则，解得，
所以不等式的解集为.
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1．（2024高一下·廉江期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为，，
所以.
故答案为：D.
【分析】
先求集合A，再根据交集运算求解.
2．（2024高一下·廉江期末）若，则（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】因为，则，
所以.
故答案为：C.
【分析】
根据题意求得，进而求模长.
3．（2024高一下·廉江期末）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，
则，解得且，
故函数的定义域是.
故答案为：C.
【分析】根据根式、分式以及零次方成立的条件列式求解即可.
4．（2024高一下·廉江期末）已知点P（cosα，tanα）在第三象限，则角α的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】解：点P（cosα，tanα）在第三象限，所以，cosα＜0角α的终边在第二、三象限．
tanα＜0角α的终边在第二、四象限．
∴角α的终边在第二象限．
故选：B．
【分析】利用点所在象限，推出三角函数的符号，然后判断角所在象限．
5．（2024高一下·廉江期末）设函数，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
【答案】A
【知识点】函数的值；对数的性质与运算法则；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：函数，，
则.
故答案为：A.
【分析】根据分段函数，代值求函数值即可.
6．（2024高一下·廉江期末）已知，则（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】
根据同角三角函数关系，结合齐次式问题即可求解.
7．（2024高一下·廉江期末）已知向量，，若，则m的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】根据题意知，，，
则，解之可得
故答案为：D.
【分析】
由向量垂直的坐标表示列方程等于零求解，可得结论.
8．（2024高一下·廉江期末）等腰直角三角形ABC中，，是斜边BC上一点，且，则=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：如图所示：
因为为等腰直角三角形，，，，
所以.
故答案为：B.
【分析】由题意，直接根据向量加法，减法，数乘运算求解即可.
9．（2024高一下·廉江期末）下列选项正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．若向量，，则
C．命题“，”的否定是真命题
D．非零向量，满足，则有
【答案】A,C,D
【知识点】全称量词命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断；共线（平行）向量；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A、一定有，但不一定有，则“”是“”的必要不充分条件，故A正确；
B、若向量，满足，，但不共线，故B错误；
C、，则命题“，”为假命题，
即命题“，”的否定是真命题，故C正确；
D、由，可得，
则，整理可得，
因为，为非零向量，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据集合的包含关系分析充分、必要条件即可判断A；举反例说明即可判断B；先判断原命题的真假性，进而可知其否定的真假性即可判断C；根据数量积的运算律分析即可判断D.
10．（2024高一下·廉江期末）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的图象的一条对称轴为
C．函数的图象关于点对称
D．函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数
【答案】A,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数诱导公式二~六；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解： 函数，
A、函数的最小正周期是，故A正确；
B、，不是函数图象的对称轴，故B错误；
C、因为，所以函数的图象关于点对称，故C正确；
D、函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数，
故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据最小正周期公式运算求解即可判断A；根据对称轴与最值点之间的关系分析即可判断B；根据对称中心与函数零点之间的关系分析即可判断C；根据三角函数图象变换结合诱导公式分析即可判断D.
11．（2024高一下·廉江期末）已知向量，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由向量，，，
可得，
若点A，B，C能构成三角形，即A，B，C不共线，则不共线，即，即，
故答案为：BCD.
【分析】由题意可知不共线，结合向量共线的坐标表示运算求解即可.
12．（2024高一下·廉江期末） ．
【答案】
【知识点】三角函数诱导公式一
【解析】【解答】解：由题意可得：.
故答案为：.
【分析】根据题意和诱导公式，从而得出的值.
13．（2024高一下·廉江期末）已知，则的最大值为 .
【答案】1
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，所以，
则，当且仅当时等号成立， 则的最大值为 1.
故答案为：1．
【分析】利用基本不等式求解即可.
14．（2024高一下·廉江期末）已知，，，则 ．
【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以，，
又因为，，
所以，
，
又因为，
则
.
故答案为：.
【分析】由题意，根据同角三角函数基本关系求，，再根据角的关系，结合两角和差公式运算求解即可.
15．（2024高一下·廉江期末）已知复数，，其中
（1）若为纯虚数，求b的值；
（2）若与互为共轭复数，求的值．
【答案】（1）解： 复数 ，若为纯虚数，则，解得；
（2）解：复数，，
若与互为共轭复数，则，解得，故.
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【分析】（1）根据纯虚数的定义列式求解即可；
（2）整理可得，结合共轭复数的定义列式求解即可.
（1）若为纯虚数，则，解得，
所以b的值为3.
（2）因为，，
若与互为共轭复数，则，解得，
所以.
16．（2024高一下·廉江期末）已知向量，．
（1）求；
（2）设，的夹角为，求的值；
（3）若向量与互相垂直，求k的值．
【答案】（1）解：向量，，则；
（2）解：；
（3）解：向量，，
则，，
若向量与互相垂直，则，
即，化简得，解得.
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）直接利用向量的坐标运算求解即可；
（2）利用向量夹角的坐标公式求解即可；
（3）利用向量垂直的坐标运算列式求解即可.
（1）因为，，所以；
（2）；
（3）因为，，所以，，
由向量与互相垂直得，，
所以，化简得，解得.
17．（2024高一下·廉江期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
（1）求角B的大小；
（2）若的外接圆半径为1，求边长b的值；
（3）若，求的面积的最大值．
【答案】（1）解：由，可得，
由余弦定理可得，
因为，所以；
（2）解： 若的外接圆半径为1， 由正弦定理可知：（为的外接圆半径），
则；
（3）解：由，且，可得，
因为，所以，解得，
当且仅当时等号成立，
则，即的面积的最大值为.
【知识点】基本不等式；解三角形；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意利用余弦定理边化简求角即可；
（2）利用正弦定理运算求解即可；
（3）根据题意利用基本不等式可得，结合面积公式运算求解即可.
（1）因为，即，
由余弦定理可得，
且，所以.
（2）由正弦定理可知：（为的外接圆半径），
所以.
（3）由题意可知：，且，即，
又因为，即，解得，
当且仅当时，等号成立，
可得，
所以的面积的最大值为.
18．（2024高一下·廉江期末）已知函数（，，）的部分图象如下图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）写出函数的单调递增区间；
（3）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域．
【答案】（1）解：由图可知：，最小正周期，
因为，所以，则，
由图可求出最低点的坐标为，可得，
则，解得，
且，可得，则；
（2）解：由（1）可得：，
令，解得，
则函数的单调递增区间为；
（3）解：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到，
再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位，得到，
当时，，，则，
故在区间上的值域为.
【知识点】正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）由三角函数的图象，利用五点法求函数的解析式即可；
（2）由（1）可得：，结合三角函数的性质求解即可；
（3）由三角函数的图象变换，可得，结合正弦函数的有界性求解即可.
（1）由图象可知：，最小正周期，
且，可得，所以，
由图可求出最低点的坐标为，可得，
则，解得，
且，可得，所以.
（2）由（1）可得：，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
（3）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到；
再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位，得到，
因为，则，可得，即，
所以在区间上的值域为.
19．（2024高一下·廉江期末）已知函数是定义在区间上的函数
（1）判断函数的奇偶性；
（2）用定义证明函数在区间上是增函数；
（3）解不等式.
【答案】（1）解：函数的定义域为，
满足，则函数为奇函数；
（2）证明：任取，且，
则，
因为，则，
可得，即，
所以函数在区间上是增函数；
（3）解：函数在区间上是增函数，
由不等式，可得，解得，
则不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义判断即可；
（2）根据函数单调性的定义证明即可；
（3）根据函数单调性结合函数定义域分析求解即可.
（1）因为函数的定义域为，
且，
所以函数为奇函数.
（2）任取，令，
则，
因为，则，
可得，即，
所以函数在区间上是增函数.
（3）因为，且函数在区间上是增函数，
则，解得，
所以不等式的解集为.
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