贵州省毕节市2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题
1．（2024高二下·毕节期末）已知向量，，若与共线，则t的值为（ ）
A．25 B．-25 C．-4 D．4
2．（2024高二下·毕节期末）点到直线l：的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·毕节期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·毕节期末）已知等比数列的各项均为正数，若，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024高二下·毕节期末）函数在一个周期内的图象如图所示，则函数的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·毕节期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，，且椭圆过点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·毕节期末）若平面内三点O，M，N满足，，，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．（2024高二下·毕节期末）一个盒子中装有4个黑球和6个白球，每个球编有不同的号码，现从中任取2个球，已知一个球是白球，则另一个球也是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·毕节期末）已知命题p：，，命题q：，，则（ ）
A．和q都是真命题 B．p和q都是假命题
C．p和都是假命题 D．和都是真命题
10．（2024高二下·毕节期末）设复数是虚数，复数是实数，则下列说法正确的是（ ）
A．的值为1 B．的实部的取值范围为
C．为纯虚数 D．的最小值为2
11．（2024高二下·毕节期末）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，我们发现可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．的对称中心为
B．的对称中心为
C．类比上面推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数
D．类比上面推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数
12．（2024高二下·毕节期末）数据：，，，，，，，，，的第百分位数为 ．
13．（2024高二下·毕节期末）如图，在长方体中，，则直线与平面所成角的正弦值为 ．
14．（2024高二下·毕节期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上，且，则的面积为 ．
15．（2024高二下·毕节期末）某省采用“3+1+2”新高考模式，其中“3”为语文、数学和外语3门全国统考科目；“1”为考生在物理和历史中选择1门；“2”为考生在思想政治、地理、化学和生物4门中再选择2门．为了研究高一年级学生的选科类别是否与选生物有关联，在某中学高一年级的所有学生中随机抽取200人进行调查，整理得到如下列联表：
选科类别 是否选择生物 合计
选择生物 不选择生物
物理类 100 60 160
历史类 15 25 40
合计 115 85 200
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为选科类别与选择生物有关联
（2）现从选物理类的样本中，按分层随机抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人中再随机抽取3人参加生物竞赛，求这3人中，选择生物的人数的分布列和数学期望．
附：．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．（2024高二下·毕节期末）已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若函数在区间上的最大值为2，求t的取值范围．
17．（2024高二下·毕节期末）如图1，已知直角梯形AEFD中，，点B，C分别在AE，DF上，且，，，，将图1沿BC翻折，使平面平面BEFC得图2．
（1）在线段CF上是否存在一点M，使得A、E、M、D四点共面．若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由；
（2）当时，求平面AEF与平面CEF的夹角的正切值．
18．（2024高二下·毕节期末）已知A，B两点的坐标分别为，．直线AM与BM交于点M，且它们的斜率之积是3．
（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
（2）过点的直线与点M的轨迹所在的曲线相交于C，D两点，P能否是线段CD的中点 为什么
19．（2024高二下·毕节期末）中国古建筑具有悠久的历史，屋顶的设计形式有硬山、悬山、攒尖、歇上、庑殿等，具有独特的线条美感，其曲线之美让人称奇．曲线的曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标，定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．
（1）若曲线与在处的曲率分别为，，求证：；
（2）求曲线曲率的平方的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：若与共线，
则
所以，t=4.
故答案为：D.
【分析】由已知条件和向量平行的坐标表示，从而得出实数t的值.
2．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：点到直线l：的距离为.
故答案为：A.
【分析】由已知条件和点到直线的距离公式，从而得出点到直线l：的距离.
3．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：依题意，结合对应幂、指数函数单调性，
知，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和指数函数的单调性、幂函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小.
4．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为，
所以，
根据等比数列的性质，则，
所以，
则，
所以，
则.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和等比数列的下标性质，再结合对数的运算法则，从而得出的值.
5．【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由图象可知，函数最小正周期，
则，
所以图象上函数的一个对称中心为，
所以函数的对称中心为，，
当时，
则或，
当时，函数的一个对称中心为；
当时，函数的一个对称中心为.
故答案为：D.
【分析】由正弦型函数图象的最高点的纵坐标得出A的值，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出的值，再结合五点对应法得出的值，从而得出正弦型函数解析式，再结合换元法和正弦函数的图象的对称性，从而得出函数的一个对称中心.
6．【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由点在椭圆上，
则，
所以，
所以，
因为椭圆过点，
所以
所以椭圆方程为，
所以，椭圆C的离心率为.
故答案为：C.
【分析】根据椭圆的定义和椭圆过定点，从而建立方程组得出a，b的值，进而得出椭圆的标准方程，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式和椭圆的离心率公式，从而得出椭圆的离心率的值.
7．【答案】B
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，
解得.
故答案为：B.
【分析】由题意可知，根据向量的模长公式结合数量积的运算律，从而得出的值.
8．【答案】B
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：任取两个球，设其中有一个球是白球为事件A，另一个球也是白球为事件B，
则，，
所以，一个球是白球，另一个球也是白球的概率为：
.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和条件概率公式，从而得出已知一个球是白球，则另一个球也是白球的概率.
9．【答案】B,D
【知识点】复合命题的真假
【解析】【解答】解：因为，
解得或，
则命题p为假命题.
又因为，
所以，
但，则不存在这样的，
所以，命题q为假命题，
则和都是真命题.
故答案为：BD.
【分析】由一元二次不等式求解方法和对数不等式的求解方法，从而判断命题的真假，再由命题的否定与原命题的真假关系，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,B,C
【知识点】函数的最大（小）值；复数的基本概念；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：设，，
则，
因为复数是虚数，复数是实数，
所以，
解得.
对于A：因为，故A正确；
对于B：因为，故B正确；
对于C：因为，
则为纯虚数，故C正确；
对于D：因为，
当时，，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由共轭复数的定义和复数的分类以及复数的运算法则，从而得出，再利用复数求模公式，则判断出选项A；利用复数的实部定义和不等式的基本性质，则判断出选项B；利用纯虚数判断方法和复数的运算法则，则判断出选项C；利用复数的运算法则和函数求最值的方法，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】B,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：设的对称中心为，
则为奇函数，
所以是奇函数，且设该函数为，
因为其在处有定义，所以，
得到，
又因为，
所以，
，
解得，
所以，的对称中心为，故A错误、B正确；
若函数为偶函数，
则，此时关于对称，
若关于对称，向左平移两个单位长度后得到函数关于轴对称，
则其是偶函数，故C正确、D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用已知定义判断出选项A和选项B；利用函数的图象平移和偶函数的定义，则判断出选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将数据从小到大依次排列为，，，，，，，，，，
因为，
所以第百分位数为第三个数，即为.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和百分位数的定义，从而得出数据的第百分位数.
13．【答案】
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：设，则.
因为平面，
所以直线与平面所成角为，
则.
故答案为：.
【分析】由已知条件和勾股定理以及平面，从而得出直线与平面所成角为，再由正弦函数的定义得出直线与平面所成角的正弦值.
14．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：如图所示，由抛物线可知，，
过点作轴于点，
则，
，
为等腰直角三角形，
则也为等腰直角三角形，
所以，
则.
故答案为：.
【分析】根据抛物线的定义，可将转化为点M到准线的距离，从而可确定三角形形状，再结合三角形的面积公式得出的面积.
15．【答案】（1）解：零假设为：选科类别与选生物无关联，
计算
所以依据小概率值的独立性检验，推断选科类别与选生物有关联，
此推断犯错误的概率不超过.
（2）解：依题意，
选择生物的人抽取人，不选择生物的人抽取人，
则的可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以，X的数学期望为：
.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立性检验的方法，从而依据小概率值的独立性检验，推断选科类别与选生物有关联，此推断犯错误的概率不超过.
（2）依题意得出随机变量的可能取值，再利用组合数公式和古典概率公式，从而求出相应的概率，进而得到随机变量X的分布列，再根据随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（1）零假设为：选科类别与选生物无关联，
计算
所以依据小概率值的独立性检验，推断选科类别与选生物有关联，
此推断犯错误的概率不超过；
（2）依题意选择生物的人抽取人，不选择生物的人抽取人，
则的可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以数学期望.
16．【答案】（1）解：因为
由，，
解得，，
所以，函数的单调递增区间为，.
（2）解：由，得，
结合题意可知，解得，
则t的取值范围为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）由三角恒等变换化简函数的解析式，再由换元法和正弦函数的单调性，从而得出函数的单调递增区间.
（2）由结合正弦函数的性质，从而列出不等关系式，解不等式得出实数t的取值范围．
（1）解：因为
由，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，.
（2）由得
结合题意可知，解得，即t的取值范围为
17．【答案】（1）解：存在，
理由如下：过E作交CF于点M，连接DM，
∵且，
∴，
∵，
∴，
∴A、E、M、D四点共面.
（2）解：因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
由（1）可知，
在中，，，
∴，则，
易知，，
∵，
∴，
以C为坐标原点，CB，CF，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
显然平面的法向量为
设平面AEF的法向量为，
∵，
∴，
令，∴，
∴，
设平面AEF与平面CEF的夹角为，
则，，
∴平面AEF与平面CEF的夹角的正切值为.
【知识点】共面向量定理；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）过E作交CF于点M，连接DM，利用平行传递性证出，从而证出A、E、M、D四点共面.
（2）利用面面垂直的性质定理证出线面垂直，再利用（1）可知，再结合已知条件建立如图所示的空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标以及平面的法向量，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面AEF的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式，从而得出平面AEF与平面CEF的夹角的正切值.
（1）解：存在，理由如下：过E作交CF于点M，连接DM，
∵且，∴
∵，∴，∴A、E、M、D四点共面
（2）因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，
由（1）可知，在中，，，∴
即，易知，，∵．∴
以C为坐标原点，CB，CF，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，显然平面的法向量为
设平面AEF的法向量为，∵，
∴，令，∴
∴
设平面AEF与平面CEF的夹角为，则，
∴平面AEF与平面CEF的夹角的正切值为.
18．【答案】（1）解：设点M的坐标为，
因为A，B两点的坐标分别为，，
所以直线AM的斜率为
所以直线BM的斜率为
由已知得，
化简得点M的轨迹方程为，
故点M的轨迹是除去，两点的双曲线.
（2）解：解法一：依题意易知，直线CD的斜率存在，
设直线CD的方程为，
联立，
消y得：，
由直线CD与双曲线相交于两点可得：，
设，，
则，
若是线段CD的中点，
则，解得：，
此时，与矛盾，
故不是线段CD的中点.
解法二：假设是线段CD的中点，
设，，
则，
∵C、D在双曲线上，
∴，
①-②整理可得：，则，
∴线段CD所在直线的方程是，即，
联立，消y得：，
则，
所以，
则不是线段CD的中点.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件和两点求斜率公式，从而得出点M的轨迹方程，再利用圆锥曲线的定义说明轨迹的形状.
（2）利用两种方法求解.
法一：联立直线CD与双曲线的方程，再结合韦达定理和中点坐标公式，再结合判别式法推出矛盾，从而判断出不是线段CD的中点.
法二：利用点差法得出直线方程，再与双曲线方程联立，再结合判别式法检验，从而判断出不是线段CD的中点.
（1）解：设点M的坐标为，
因为A，B两点的坐标分别为，，
所以直线AM的斜率为
所以直线BM的斜率为
由已知得，
化简得点M的轨迹方程为，
故点M的轨迹是除去，两点的双曲线
（2）解法一：依题意易知直线CD的斜率存在
设直线CD的方程为，
联立，消y得：，
由直线CD与双曲线相交于两点可得：，
设，，则，
若是线段CD的中点，则，解得：．
此时，与矛盾，
故不是线段CD的中点
解法二：假设是线段CD的中点，
设，，则，
∵C、D在双曲线上，∴，
①-②整理可得：，即，
∴线段CD所在直线，的方程是，即，
联立，消y得：，即，
，不是线段CD的中点.
19．【答案】（1）证明：因为，
则，．
所以，
可得曲线在处的曲率为
又因为，
则，．
所以，
可得曲线在处的曲率为：
，
因为，
所以.
（2）解：因为，
则，，
可得，
令，
则
设，
令，
则在上恒成立，
可知函数在上单调递增，
当时，取得最大值为2，
则的最大值为2．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）对求导，利用曲率公式求出处的曲率，从而比较出，大小，进而证出.
（2）由题意求出的曲率平方，再由换元法，令，，，再利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出的最大值.
（1）因为，则，．
即，
可得曲线在处的曲率为
又因为，则，．
即，
可得曲线在处的曲率为
，
因为，所以.
（2）因为
则，
可得
令，则
设，令
则在上恒成立．
可知函数在上单调递增
当时，取得最大值为2，即的最大值为2．
1 / 1贵州省毕节市2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题
1．（2024高二下·毕节期末）已知向量，，若与共线，则t的值为（ ）
A．25 B．-25 C．-4 D．4
【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：若与共线，
则
所以，t=4.
故答案为：D.
【分析】由已知条件和向量平行的坐标表示，从而得出实数t的值.
2．（2024高二下·毕节期末）点到直线l：的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：点到直线l：的距离为.
故答案为：A.
【分析】由已知条件和点到直线的距离公式，从而得出点到直线l：的距离.
3．（2024高二下·毕节期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：依题意，结合对应幂、指数函数单调性，
知，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和指数函数的单调性、幂函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小.
4．（2024高二下·毕节期末）已知等比数列的各项均为正数，若，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为，
所以，
根据等比数列的性质，则，
所以，
则，
所以，
则.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和等比数列的下标性质，再结合对数的运算法则，从而得出的值.
5．（2024高二下·毕节期末）函数在一个周期内的图象如图所示，则函数的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由图象可知，函数最小正周期，
则，
所以图象上函数的一个对称中心为，
所以函数的对称中心为，，
当时，
则或，
当时，函数的一个对称中心为；
当时，函数的一个对称中心为.
故答案为：D.
【分析】由正弦型函数图象的最高点的纵坐标得出A的值，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出的值，再结合五点对应法得出的值，从而得出正弦型函数解析式，再结合换元法和正弦函数的图象的对称性，从而得出函数的一个对称中心.
6．（2024高二下·毕节期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，，且椭圆过点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由点在椭圆上，
则，
所以，
所以，
因为椭圆过点，
所以
所以椭圆方程为，
所以，椭圆C的离心率为.
故答案为：C.
【分析】根据椭圆的定义和椭圆过定点，从而建立方程组得出a，b的值，进而得出椭圆的标准方程，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式和椭圆的离心率公式，从而得出椭圆的离心率的值.
7．（2024高二下·毕节期末）若平面内三点O，M，N满足，，，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，
解得.
故答案为：B.
【分析】由题意可知，根据向量的模长公式结合数量积的运算律，从而得出的值.
8．（2024高二下·毕节期末）一个盒子中装有4个黑球和6个白球，每个球编有不同的号码，现从中任取2个球，已知一个球是白球，则另一个球也是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：任取两个球，设其中有一个球是白球为事件A，另一个球也是白球为事件B，
则，，
所以，一个球是白球，另一个球也是白球的概率为：
.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和条件概率公式，从而得出已知一个球是白球，则另一个球也是白球的概率.
9．（2024高二下·毕节期末）已知命题p：，，命题q：，，则（ ）
A．和q都是真命题 B．p和q都是假命题
C．p和都是假命题 D．和都是真命题
【答案】B,D
【知识点】复合命题的真假
【解析】【解答】解：因为，
解得或，
则命题p为假命题.
又因为，
所以，
但，则不存在这样的，
所以，命题q为假命题，
则和都是真命题.
故答案为：BD.
【分析】由一元二次不等式求解方法和对数不等式的求解方法，从而判断命题的真假，再由命题的否定与原命题的真假关系，从而找出正确的选项.
10．（2024高二下·毕节期末）设复数是虚数，复数是实数，则下列说法正确的是（ ）
A．的值为1 B．的实部的取值范围为
C．为纯虚数 D．的最小值为2
【答案】A,B,C
【知识点】函数的最大（小）值；复数的基本概念；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：设，，
则，
因为复数是虚数，复数是实数，
所以，
解得.
对于A：因为，故A正确；
对于B：因为，故B正确；
对于C：因为，
则为纯虚数，故C正确；
对于D：因为，
当时，，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由共轭复数的定义和复数的分类以及复数的运算法则，从而得出，再利用复数求模公式，则判断出选项A；利用复数的实部定义和不等式的基本性质，则判断出选项B；利用纯虚数判断方法和复数的运算法则，则判断出选项C；利用复数的运算法则和函数求最值的方法，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2024高二下·毕节期末）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，我们发现可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．的对称中心为
B．的对称中心为
C．类比上面推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数
D．类比上面推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数
【答案】B,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：设的对称中心为，
则为奇函数，
所以是奇函数，且设该函数为，
因为其在处有定义，所以，
得到，
又因为，
所以，
，
解得，
所以，的对称中心为，故A错误、B正确；
若函数为偶函数，
则，此时关于对称，
若关于对称，向左平移两个单位长度后得到函数关于轴对称，
则其是偶函数，故C正确、D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用已知定义判断出选项A和选项B；利用函数的图象平移和偶函数的定义，则判断出选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
12．（2024高二下·毕节期末）数据：，，，，，，，，，的第百分位数为 ．
【答案】
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将数据从小到大依次排列为，，，，，，，，，，
因为，
所以第百分位数为第三个数，即为.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和百分位数的定义，从而得出数据的第百分位数.
13．（2024高二下·毕节期末）如图，在长方体中，，则直线与平面所成角的正弦值为 ．
【答案】
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：设，则.
因为平面，
所以直线与平面所成角为，
则.
故答案为：.
【分析】由已知条件和勾股定理以及平面，从而得出直线与平面所成角为，再由正弦函数的定义得出直线与平面所成角的正弦值.
14．（2024高二下·毕节期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上，且，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：如图所示，由抛物线可知，，
过点作轴于点，
则，
，
为等腰直角三角形，
则也为等腰直角三角形，
所以，
则.
故答案为：.
【分析】根据抛物线的定义，可将转化为点M到准线的距离，从而可确定三角形形状，再结合三角形的面积公式得出的面积.
15．（2024高二下·毕节期末）某省采用“3+1+2”新高考模式，其中“3”为语文、数学和外语3门全国统考科目；“1”为考生在物理和历史中选择1门；“2”为考生在思想政治、地理、化学和生物4门中再选择2门．为了研究高一年级学生的选科类别是否与选生物有关联，在某中学高一年级的所有学生中随机抽取200人进行调查，整理得到如下列联表：
选科类别 是否选择生物 合计
选择生物 不选择生物
物理类 100 60 160
历史类 15 25 40
合计 115 85 200
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为选科类别与选择生物有关联
（2）现从选物理类的样本中，按分层随机抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人中再随机抽取3人参加生物竞赛，求这3人中，选择生物的人数的分布列和数学期望．
附：．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：零假设为：选科类别与选生物无关联，
计算
所以依据小概率值的独立性检验，推断选科类别与选生物有关联，
此推断犯错误的概率不超过.
（2）解：依题意，
选择生物的人抽取人，不选择生物的人抽取人，
则的可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以，X的数学期望为：
.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立性检验的方法，从而依据小概率值的独立性检验，推断选科类别与选生物有关联，此推断犯错误的概率不超过.
（2）依题意得出随机变量的可能取值，再利用组合数公式和古典概率公式，从而求出相应的概率，进而得到随机变量X的分布列，再根据随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（1）零假设为：选科类别与选生物无关联，
计算
所以依据小概率值的独立性检验，推断选科类别与选生物有关联，
此推断犯错误的概率不超过；
（2）依题意选择生物的人抽取人，不选择生物的人抽取人，
则的可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以数学期望.
16．（2024高二下·毕节期末）已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若函数在区间上的最大值为2，求t的取值范围．
【答案】（1）解：因为
由，，
解得，，
所以，函数的单调递增区间为，.
（2）解：由，得，
结合题意可知，解得，
则t的取值范围为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）由三角恒等变换化简函数的解析式，再由换元法和正弦函数的单调性，从而得出函数的单调递增区间.
（2）由结合正弦函数的性质，从而列出不等关系式，解不等式得出实数t的取值范围．
（1）解：因为
由，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，.
（2）由得
结合题意可知，解得，即t的取值范围为
17．（2024高二下·毕节期末）如图1，已知直角梯形AEFD中，，点B，C分别在AE，DF上，且，，，，将图1沿BC翻折，使平面平面BEFC得图2．
（1）在线段CF上是否存在一点M，使得A、E、M、D四点共面．若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由；
（2）当时，求平面AEF与平面CEF的夹角的正切值．
【答案】（1）解：存在，
理由如下：过E作交CF于点M，连接DM，
∵且，
∴，
∵，
∴，
∴A、E、M、D四点共面.
（2）解：因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
由（1）可知，
在中，，，
∴，则，
易知，，
∵，
∴，
以C为坐标原点，CB，CF，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
显然平面的法向量为
设平面AEF的法向量为，
∵，
∴，
令，∴，
∴，
设平面AEF与平面CEF的夹角为，
则，，
∴平面AEF与平面CEF的夹角的正切值为.
【知识点】共面向量定理；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）过E作交CF于点M，连接DM，利用平行传递性证出，从而证出A、E、M、D四点共面.
（2）利用面面垂直的性质定理证出线面垂直，再利用（1）可知，再结合已知条件建立如图所示的空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标以及平面的法向量，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面AEF的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式，从而得出平面AEF与平面CEF的夹角的正切值.
（1）解：存在，理由如下：过E作交CF于点M，连接DM，
∵且，∴
∵，∴，∴A、E、M、D四点共面
（2）因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，
由（1）可知，在中，，，∴
即，易知，，∵．∴
以C为坐标原点，CB，CF，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，显然平面的法向量为
设平面AEF的法向量为，∵，
∴，令，∴
∴
设平面AEF与平面CEF的夹角为，则，
∴平面AEF与平面CEF的夹角的正切值为.
18．（2024高二下·毕节期末）已知A，B两点的坐标分别为，．直线AM与BM交于点M，且它们的斜率之积是3．
（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
（2）过点的直线与点M的轨迹所在的曲线相交于C，D两点，P能否是线段CD的中点 为什么
【答案】（1）解：设点M的坐标为，
因为A，B两点的坐标分别为，，
所以直线AM的斜率为
所以直线BM的斜率为
由已知得，
化简得点M的轨迹方程为，
故点M的轨迹是除去，两点的双曲线.
（2）解：解法一：依题意易知，直线CD的斜率存在，
设直线CD的方程为，
联立，
消y得：，
由直线CD与双曲线相交于两点可得：，
设，，
则，
若是线段CD的中点，
则，解得：，
此时，与矛盾，
故不是线段CD的中点.
解法二：假设是线段CD的中点，
设，，
则，
∵C、D在双曲线上，
∴，
①-②整理可得：，则，
∴线段CD所在直线的方程是，即，
联立，消y得：，
则，
所以，
则不是线段CD的中点.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件和两点求斜率公式，从而得出点M的轨迹方程，再利用圆锥曲线的定义说明轨迹的形状.
（2）利用两种方法求解.
法一：联立直线CD与双曲线的方程，再结合韦达定理和中点坐标公式，再结合判别式法推出矛盾，从而判断出不是线段CD的中点.
法二：利用点差法得出直线方程，再与双曲线方程联立，再结合判别式法检验，从而判断出不是线段CD的中点.
（1）解：设点M的坐标为，
因为A，B两点的坐标分别为，，
所以直线AM的斜率为
所以直线BM的斜率为
由已知得，
化简得点M的轨迹方程为，
故点M的轨迹是除去，两点的双曲线
（2）解法一：依题意易知直线CD的斜率存在
设直线CD的方程为，
联立，消y得：，
由直线CD与双曲线相交于两点可得：，
设，，则，
若是线段CD的中点，则，解得：．
此时，与矛盾，
故不是线段CD的中点
解法二：假设是线段CD的中点，
设，，则，
∵C、D在双曲线上，∴，
①-②整理可得：，即，
∴线段CD所在直线，的方程是，即，
联立，消y得：，即，
，不是线段CD的中点.
19．（2024高二下·毕节期末）中国古建筑具有悠久的历史，屋顶的设计形式有硬山、悬山、攒尖、歇上、庑殿等，具有独特的线条美感，其曲线之美让人称奇．曲线的曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标，定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．
（1）若曲线与在处的曲率分别为，，求证：；
（2）求曲线曲率的平方的最大值．
【答案】（1）证明：因为，
则，．
所以，
可得曲线在处的曲率为
又因为，
则，．
所以，
可得曲线在处的曲率为：
，
因为，
所以.
（2）解：因为，
则，，
可得，
令，
则
设，
令，
则在上恒成立，
可知函数在上单调递增，
当时，取得最大值为2，
则的最大值为2．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）对求导，利用曲率公式求出处的曲率，从而比较出，大小，进而证出.
（2）由题意求出的曲率平方，再由换元法，令，，，再利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出的最大值.
（1）因为，则，．
即，
可得曲线在处的曲率为
又因为，则，．
即，
可得曲线在处的曲率为
，
因为，所以.
（2）因为
则，
可得
令，则
设，令
则在上恒成立．
可知函数在上单调递增
当时，取得最大值为2，即的最大值为2．
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