四川省广汉中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷（含详解）

四川省德阳市广汉市广汉中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若复数，则的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．在直角三角形中，，，，以边所在直线为旋转轴，将该直角三角形旋转一周，所得几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，某四边形的直观图是正方形，且，则原四边形的面积等于（ ）

A． B． C．4 D．
4．已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为（ ）
A．80米 B．100米 C．112米 D．120米
7．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ）
A．2 B．8 C．9 D．18
8．如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若a，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值 B．有最小值4
C．有最小值 D．有最小值
10．已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．在上单调递增
C．的解集为
D．将的图像向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
11．《九章算术》卷五《商功》中，记载了一种几何体“刍童”，这种几何体是上下底面为互相平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的六面体.如图，现有一高为2的“刍童”，其中，则（ ）
A．该“刍童”的所有侧棱的延长线交于一点
B．该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角的正弦值均为
C．该“刍童”外接球的表面积为
D．该“刍童”外接球表面上的点到平面的距离的最大值为
三、填空题
12．已知向量，若，则 .
13．已知函数是定义在上的奇函数，且当且仅当时，，则当时，的解析式为 .
14．在中，，在边上存在一点，满足，作，为垂足，若为的最小内角，则的取值范围是 ．
四、解答题
15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．
(1)求C的大小；
(2)求的面积．
16．已知复数，m为实数.
(1)若z是纯虚数，求m的值；
(2)若复数z在复平面上对应的点在第二象限，求m的取值范围；
(3)若，求的值.
17．在中，角，，的对边分别是，，，向量，向量，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若外接圆的半径是1，求当函数取最大值时的周长.
18．如图，在正方体中，E是的中点．
(1)求证：平面ACE；
(2)若，求三棱锥B—AEC的体积．
19．若函数（），非零向量，我们称为函数的“相伴向量”，为向量的“相伴函数”．
（1）已知函数，求的“相伴向量”；
（2）记向量的“相伴函数”为，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数，若，，求的值；
（3）对于函数，是否存在“相伴向量”？若存在，求出的“相伴向量”；若不存在，请说明理由．
四川省德阳市广汉市广汉中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B A D B C B ABC AC
题号 11
答案 BCD
1．A
【详解】，则，因此，的共轭复数的虚部为.
故选：A.
2．C
【详解】根据题意以及圆锥的定义可知，将该直角三角形旋转一周，所得几何体为圆锥，底面半径为，高为，所以其体积为.
故选：C．
3．B
【详解】因为直观图正方形满足，
故可得正方形边长为，
又由直观图可知在轴上，轴，
故如图所示，结合直观图定义可知：原图形且在轴上，轴且，

所以由图可知，原四边形的面积为.
故选：B.
4．A
【详解】，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：A
5．D
【详解】对于A中，若，则或，所以A不正确；
对于B中，若，则或与是异面直线，所以B不正确；
对于C中，如图所示，在正方体中，
设平面为平面，平面为平面，平面为平面，
此时满足，则，所以C不正确；
对于D中，由，可得，因为，所以，所以 D正确.
故选：D.
6．B
【详解】设，由题意得，而，
得到，在中，，，
由余弦定理得，解得，故B正确.
故选：B.
7．C
【详解】由题意，，又共线，则，
且，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为9.
故选：C
8．B
【详解】如图所示，取的中点，连接，，，
在正方体中，可得且，
因为，分别是棱的中点，则且，
所以四边形为平行四边形，则，
又因为平面，平面，所以平面，
同理可证：平面，
因为，且平面，所以平面平面，
又因为平面，当时，则平面，所以平面，所以点在侧面内的轨迹为线段，
因为正方体的边长为，可得，，
在中，可得，且，
则，所以的最小值为.
故选：B.
9．ABC
【详解】实数，且满足，
选项A：（当且仅当时等号成立）.
则有最大值，A正确；
选项B：，
当且仅当时等号成立，
则有最小值4，B正确；
选项C：，
当且仅当时等号成立，
所以有最小值，C正确；
选项D：由，
当且仅当时等号成立，
所以，即有最大值，D错误.
故选：ABC.
10．AC
【详解】解：由图可得，
，所以，所以，
所以，
将点代入得，，即，
又，所以，
所以，故A正确；
当，则，
所以函数在上不单调递，故B错误；
若，则，
所以，
即，
所以的解集为，故C正确；
将的图像向左平移个单位长度，
可得函数，
则函数为偶函数，关于轴对称，故D错误.
故选：AC.
11．BCD
【详解】对A：根据“刍童”的概念可知：“刍童”不是棱台，所以“刍童”的所有侧棱的延长线不会交于一点，故A错误；
对B：设在平面上的射影为、在直线上的射影为，如图：
易知，该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角均相等.
则,，,
所以，
可得，
设，则，故B正确；
对C：如图：
若该“刍童”的的外接球的球心在“刍童”外面，设其外接球半径为，，（）
则，
所以该“刍童”的的外接球的表面积为：.
若该“刍童”的的外接球的球心在“刍童”里面，设其外接球半径为，，（）
则，不合题意，故舍去.
所以该“刍童”的的外接球的表面积为：.故C正确；
对D：如图：
等腰梯形中，，，，所以，
即等腰梯形外接圆的半径.
所以该“刍童”的的外接球球心到平面的距离为：，
所以该“刍童”外接球表面上的点到平面的距离的最大值为，故D正确.
故选：BCD
12．-2
【详解】因为向量，且，
所以，
所以.
故答案为：-2.
13．.
【详解】解析：因为是奇函数，当时，，
所以当时，.
故答案为：.
14．
【详解】
由题意可知，，在中，由正弦定理可知，，
因为，，所以，
在中，由正弦定理有：，
两式相除有：，
因为是直角三角形，，所以，
所以，，，
即．
故答案为：.
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得，
因为，
所以,
所以，
因为，所以，
因为，所以
（2）由余弦定理得
，
所以，
所以，解得，
所以
16．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为复数是纯虚数，
即为纯虚数，
所以，解得.
（2）因为在复平面上对应的点在第二象限，
所以，即，
解得，
即m的取值范围为.
（3）当时，，
.
17．（1）；（2）.
【详解】（1）因为，，且，
所以，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
所以，
因为，
所以.
（2）由（1）知，
，
，
因为，所以，
所以当时，有最大值，
此时，.
故的周长是.
18．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为在正方体中，，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）设正方体的棱长为，因为，则
即正方体的棱长是，E是的中点，所以，
三角形ABC的面积，
三棱锥的体积.
19．（1）“相伴向量”；（2）；（3）不存在；理由见解析．
【详解】解：（1），则函数的“相伴向量”
（2）依题意，，
将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数
，再将所得的图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数
，
由，得
由，则，则
（3）若函数存在“相伴向量”，则存在，，使得
对任意都成立，
令，得，因此，即或
显然上式对任意不都成立，
所以，函数不存在“相伴向量”．