2．电势差
探究点一 电势差
1．定义：在电场中，两点之间电势的________叫作电势差，电势差也叫________．
2．公式：设电场中A点的电势为φA，B点的电势为
初位置减去末位置
φB，则它们之间的电势差可以表示为UAB＝φA－φB，也可以表示为UBA＝________．所以UAB＝．注意下标顺序
3．电势差的正负：电势差可以是________值，也可以是________值．
4．静电力做的功与电势差的关系：电荷q在电场中从A点移动到B点时，静电力做的功WAB等于电荷在A、B两点的电势能之差，故WAB＝EpA－EpB＝qφA－qφB＝q(φA－φB)＝qUAB，即UAB＝________．
【情境思考】
若对吊脚楼进行测量，如图所示．
问题：(1)如果测量起点改变，则吊脚楼上A点和B点的高度是否也相应改变？A、B两点的高度差h变化吗？
(2)同理，在电场中，选择不同的位置作为零电势点，电场中同一点的电势怎样变化？电场中两点间电势的差值怎样变化？
【思维提升】
1．电势差的理解
(1)电势差反映了电场的能的性质，决定于电场本身，与试探电荷无关．
(2)电势差可以是正值也可以是负值，电势差的正负表示两点电势的高低；UAB＝－UBA，与零电势点的选取无关．
(3)电场中某点的电势在数值上等于该点与零电势点之间的电势差．
2．电势和电势差的比较
题型1 电势差的理解
例1(多选)关于电势差UAB和电势φA、φB的理解，正确的是( )
A．电势与电势差均是相对量，均与零电势点的选取有关
B．UAB和UBA是不同的，它们存在关系：UAB＝－UBA
C．φA、φB都有正、负，所以电势是矢量
D．若φB＝0，则φA＝UAB
[解题心得]
题型2 电势差的计算
例2 如图所示，如果B板接地(取大地的电势为零，则与大地相连的导体的电势也为零)，则A板电势为8 V，M点电势为6 V，N点电势为2 V．求：
(1)M、N两点间的电势差；
(2)若改为A板接地，则B、M、N三点的电势和M、N两点间的电势差分别是多大？
[试答]
练1 在某电场中，A、B两点间的电势差UAB＝60 V，B、C两点间的电势差UBC＝－50 V，则A、B、C三点电势高低关系是( )
A．φA＞φB＞φC B．φA＜φC＜φB
C．φA＞φC＞φB D．φC＞φB＞φA
练2 一个电荷量为10－6 C的负电荷从电场中A点移到B点电场力要做功2×10－6 J，从C点移到D点要克服电场力做功7×10－6 J，若已知C点比B点电势高3 V，且A、B、C、D四点在同一条电场线上，则下列图中正确的是( )
探究点二 等势面
1．等势面：在电场中________的各点构成的面．
2．电场线与等势面的关系：电场线跟等势面______，并且由电势________的等势面指向电势________的等势面．
【情境思考】
(1)类比地图上的等高线，简述什么是等势面？
(2)当电荷从同一等势面上的A点沿等势面移到B点时，电荷的电势能是否变化？电场力做功情况如何？
【教材拓展】 阅读教材第33页“等势面”部分，这里利用反证法论证了“等势面与电场线的垂直关系”．利用反证法，你能论证“两个等势面不相交”吗？
【思维提升】
1．等势面的特点及应用
(1)在等势面上移动电荷时，静电力不做功．
(2)电场线跟等势面垂直，且由高电势指向低电势．
(3)两等势面一定不相交．
(4)两个相邻等势面间的电势差是相等的，这样的等势面叫做等差等势面．
(5)等差等势面密的地方场强大，等差等势面稀疏的地方场强小．
2．几种常见电场的等势面(如图所示)
(1)匀强电场的等势面
(2)正点电荷的等势面
(3)负点电荷的等势面
(4)等量同种正点电荷的等势面
(5)等量异种点电荷的等势面
例3 一对等量正点电荷产生的电场的电场线(实线)和等势面(虚线)如图所示，图中A、B两点电场强度分别是EA、EB，电势分别是φA、φB，负电荷q在A、B两点时的电势能分别是EpA、EpB，下列判断正确的是( )
A．EA>EB，φA>φB，EpAB．EA>EB，φA<φB，EpAC．EAφB，EpA>EpB
D．EAEpB
[解题心得]
题后反思
(1)E大处φ不一定高(低)；φ高处E不一定大(小)
(2)E为零处φ不一定为零；φ为零处E不一定为零
例4(多选)(2024·广东卷)污水中的污泥絮体经处理后带负电，可利用电泳技术对其进行沉淀去污，基本原理如图所示．涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极、金属圆盘置于底部、金属棒插入污水中，形成如图所示的电场分布，其中实线为电场线，虚线为等势面．M点和N点在同一电场线上，M点和P点在同一等势面上．下列说法正确的有( )
A．M点的电势比N点的低
B．N点的电场强度比P点的大
C．污泥絮体从M点移到N点，电场力对其做正功
D．污泥絮体在N点的电势能比其在P点的大
[解题心得]
练3 (2024·河北卷)我国古人最早发现了尖端放电现象，并将其用于生产生活，如许多古塔的顶端采用“伞状”金属饰物在雷雨天时保护古塔．雷雨中某时刻，一古塔顶端附近等势线分布如图所示，相邻等势线电势差相等，则a、b、c、d四点中电场强度最大的是( )
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
练4 点电荷Q1、Q2产生的静电场的等势面与纸面的交线如图中实线所示，图中标在等势面上的数值分别表示该等势面的电势，a、b、c、d、e、f等表示等势面上的点，下列说法正确的有( )
A．位于d点的点电荷不受静电力作用
B．a点的电场强度与b点的电场强度大小一定相等
C．把电荷量为q的正电荷先从b点移到d点，再从d点移到f点，静电力做的总功为零
D．把单位正电荷从e点移到c点过程中，静电力做的功等于2 kJ
探究点三 电场力做功和电势差的关系
【情境思考】
在如图所示的电场中有A、B两点，A、B两点的电势分别为φA、φB.
(1)A、B两点的电势差UAB是多少？若把某电荷q从A移到B，电荷的电势能变化了多少？
(2)根据电场力做功与电势能变化的关系，求电场力对该电荷做的功．
【思维提升】
1．公式UAB＝或WAB＝qUAB中符号的处理方法：
把电荷q的电性和电势差U的正负代入进行运算，功为正，说明静电力做正功，电荷的电势能减小；功为负，说明静电力做负功，电荷的电势能增大．
2．公式WAB＝qUAB适用于任何电场，其中WAB仅是电场力做的功，不包括从A到B移动电荷时其他力所做的功．
3．静电力做功的四种求法
(1)功的定义法：W＝FL cos θ或W＝qEL cos θ，适用匀强电场．
(2)电势差法：WAB＝qUAB.
(3)电势能变化法：WAB＝EpA－EpB.
(4)动能定理：W电＋W其他力＝ΔEk.
注意：方法(2)、(3)、(4)适用于任何电场．
题型1 电场力做功与电势差
例5 (2024·江苏扬州瓜洲中学质量检测)将电荷量为－1×10－9 C的负点电荷从电场中的A点移到B点，克服电场力做功为2×10－6 J；从A点移到C点，电场力做功为3×10－6 J．则B、C两点间的电势差为( )
A．1 000 V B．－1 000 V
C．5 000 V D．－5 000 V
[解题心得]
题型2 带电粒子在电场中的能量变化
例6图中虚线所示为静电场中的等势面1，2，3，4，相邻的等势面之间的电势差相等，其中等势面3的电势为0.一带正电的点电荷在静电力的作用下运动，经过a、b点时的动能分别为26 eV和5 eV.当这一点电荷运动到某一位置，其电势能变为－8 eV时，它的动能就为( )
A．8 eV B．15 eV
C．20 eV D．34 eV
[解题心得]
题后反思
静电场中功能关系问题的三种情况
(1)合力做功等于物体动能的变化量，即W合＝ΔEk.这里的W合指合外力做的功．
(2)电场力做功决定物体电势能的变化量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp.这与重力做功和重力势能变化之间的关系类似．
(3)只有电场力做功时，带电体电势能与动能的总量不变，即Ep1＋Ek1＝Ep2＋Ek2.这与只有重力做功时，物体的机械能守恒类似．
练5 (多选)一个带电小球在从空中a点运动到b点的过程中，重力做功3 J，电场力做功1 J，克服空气阻力做功0.5 J，则小球( )
A．在a点的重力势能比在b点的重力势能大3 J
B．在a点的动能比在b点的动能小3.5 J
C．在a点的电势能比在b点的电势能小1 J
D．在a点的机械能比在b点的机械能小0.5 J
练6 (多选)(2024·山东卷)如图所示，带电量为＋q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面．质量为m、带电量为＋q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零．已知AC间的距离为s，重力加速度大小为g，静电力常量为k，下列说法正确的是( )
A．OB的距离l＝
B．OB的距离l＝
C．从A到C，静电力对小滑块做功W＝－mgs
D．AC之间的电势差UAC＝－
1．关于电势差的下列说法中，正确的是( )
A．电势差与电势一样，是相对量，与零电势点的选取有关
B．电势差是标量，没有正值和负值之分
C．由于静电力做功跟移动电荷的路径无关，所以电势差也跟移动电荷的路径无关，只跟这两点的位置有关
D．A、B两点的电势差是恒定的，不随零电势点的改变而改变，所以UAB＝UBA
2．某带正电的导体周围的电场线和等势线的分布如图所示．用EA、φA和EB、φB分别表示A、B两点的电场强度大小和电势，下列关系式正确的是( )
A．EA>EB B．EA＝EB
C．φA>φB D．φA<φB
3．如图为避雷针周围等势面的分布情况，对于其中的M、N、P三点，有( )
A．M、N两点的电场强度相同
B．P点的电势比M点的电势高
C．P点电场强度的值大于N点电场强度的值
D．电子在P点的电势能大于在M点的电势能
4．(2024·黑吉辽卷)在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面(纸面)内运动．如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到与O点等高处的过程中( )
A．动能减小，电势能增大
B．动能增大，电势能增大
C．动能减小，电势能减小
D．动能增大，电势能减小
5．将一电荷量为－3×10－6 C的点电荷从电场中的A点移动到B点，克服电场力做了3×10－5 J的功，再将该电荷从B点移动到C点，电场力做了1.2×10－5 J的功，求：
(1)AB间、BC间、AC间电势差各为多少？
(2)从A点移到B点，再移到C点，电势能变化了多少？
2．电势差
导学 掌握必备知识 强化关键能力
探究点一
1．差值 电压
2．φB－φA
3．正 负
4．
情境思考
提示：(1)选择不同的测量起点时，同一地方的高度往往不同，但两个地方的高度差不会因测量起点的不同而变化．
(2)与此类似，在电场中零电势点的选取不同，同一点的电势会不同，但这两点间的电势差不会改变．电势差没有相对性，与零电势点位置无关．
[例1] 解析：电势差与零电势点的选取无关，A错误；UAB＝－UBA，B正确；电势虽有正、负之分，但电势是标量，C错误；由UAB＝φA－φB知，若φB＝0，则φA＝UAB，D正确．
答案：BD
[例2] 解析：(1)M、N两点间的电势差UMN＝φM－φN＝4 V.
(2)若B板接地UAB＝8 V，
若A板接地，则根据UAB＝φA－φB，得φB＝－UAB＝UBA＝－8 V；
同理，M、N两点的电势φM＝UMA＝－2 V，φN＝UNA＝－6 V，
UMN＝φM－φN＝4 V.
答案：(1)4 V (2)－8 V －2 V －6 V 4 V
练1 解析：因为UAB＝φA－φB＝60 V>0，所以φA>φB，又UBC＝φB－φC＝－50 V<0，所以φB<φC，又UAC＝UAB＋UBC＝60 V＋(－50 V)＝10 V>0，所以φA>φC，故φA>φC>φB，C正确．
答案：C
练2 解析：由UAB＝ V＝－2 V，则φA－φB＝－2 V；UCD＝ V＝7 V，则φC－φD＝7 V；由题意得φC－φB＝3 V，则φC＞φB＞φA＞φD，C正确．
答案：C
探究点二
1．电势相同
2．垂直 高 低
情境思考
提示：(1)电场中电势相等的各点构成的面．
(2)不发生变化，电场力不做功．
教材拓展
提示：假如两个等势面相交，过每一个交点，都有两条电场线分别与两个等势面垂直，即该点有两个电场方向，这与实际情况不符．
[例3] 解析：A处电场线比B处密集，故EA>EB；离正电荷越近电势越高，故φA>φB；负电荷在A、B处的电势能EpA答案：A
[例4] 解析：根据沿着电场线方向电势降低可知M点的电势比N点的低，污泥絮体带负电，根据Ep＝qφ可知，污泥絮体在M点的电势能比在N点的电势能大，污泥絮体从M点移到N点，电势能减小，电场力对其做正功，故A、C正确；根据电场线的疏密程度可知N点的电场强度比P点的小，故B错误；M点和P点在同一等势面上，则污泥絮体在M点的电势能与在P点的电势能相等，结合A、C选项分析可知污泥絮体在P点的电势能比其在N点的大，故D错误．
答案：AC
练3 解析：在静电场中，等差等势线的疏密程度反映电场强度的大小．图中c点的等差等势线相对最密集，故该点的电场强度最大．
答案：C
练4 解析：位于d点的位置电场线的方向垂直于等势面向左，电场强度不为零，所以点电荷受静电力作用，故A错误；a点处的等差等势面比b点处的等差等势面密，所以a点处的电场强度大，故B错误；从题图中可以看到b点的电势低于d点，d点的电势又低于f点的电势，所以把电荷量为q的正电荷先从b点移到d点，再从d点移到f点，静电力做负功，故C错误；从题图中可以看到Uec＝φe－φc＝1－(－1) kV＝2 kV，所以把单位正电荷从e点移到c点过程中，静电力做的功等于2 kJ，故D正确．
答案：D
探究点三
情境思考
提示：(1)UAB＝φA－φB，电势能的变化量为ΔEp＝EpB－EpA＝q(φB－φA)．
(2)WAB＝EpA－EpB＝qφA－qφB＝q(φA－φB)＝qUAB.
[例5] 解析：因负电荷从A点移到B点，克服电场力做功为2×10-6 J，则从B点移到A点电场力做功为2×10-6 J，即WBA＝2×10-6 J；而从A点到C点电场力做功为3×10-6 J，即WAC＝3×10-6 J，故从B点到C点电场力做功为WBC＝WBA＋WAC＝2×10-6 J＋3×10-6 J＝5×10-6 J，则B、C两点间的电势差为UBC＝ V＝－5 000 V，D正确．
答案：D
[例6] 解析：该电荷在各等势面间的电势能的差为ΔE＝＝7 eV，在静电力作用下，正电荷由a到b动能减小，电势能增大，等势面3为零势面，则该电荷在等势面4的电势能为7 eV.电势能与动能的和为7 eV＋5 eV＝12 eV，根据能量守恒，则有Ek－8 eV＝12 eV，解得Ek＝20 eV.故选C.
答案：C
练5 解析：重力做功等于重力势能的变化量，重力做功3 J，重力势能减小3 J，所以在a点重力势能比在b点大3 J，A正确；合力做功等于动能的变化量，合力做功等于各个分力做的总功，总功为3.5 J，故动能增加3.5 J，所以a点动能比b点小3.5 J，B正确；电场力做功等于电势能的变化量，电场力做功1 J，电势能减小1 J，所以a点电势能比b点大1 J，C错误；除重力外的各个力做的总功等于机械能的变化量，除重力外，电场力做功为1 J，克服空气阻力做功0.5 J，故机械能增加0.5 J，所以a点机械能比b点小0.5 J，D正确．
答案：ABD
练6 解析：由题意知小滑块在B点处的加速度为零，则根据受力分析有沿斜面方向mg sin 30°＝cos 30°，解得l＝ ，A正确，B错误；因为滑到C点时速度为零，小滑块从A到C的过程，静电力对小滑块做的功为W，根据动能定理有W＋mgs sin 30°＝0，解得W＝－，故C错误；根据电势差与电场力做功的关系可知AC之间的电势差UAC＝，故D正确．
答案：AD
导练 落实创新应用 提升学科素养
1．解析：电势差与零电势点的选取无关，与移动电荷的路径也无关，只跟这两点的位置有关，选项A错误，C正确；电势差是标量，但有正、负值之分，且UAB＝－UBA，选项B、D错误．
答案：C
2．解析：根据电场线的疏密程度表示电场强度大小，可知A、B两点的电场强度大小关系为EA答案：D
3．解析：由于等势面和电场线垂直，可知M、N两点电场强度方向不同，A错误；P点电势为6 kV，M点的电势为8 kV，因此P点的电势比M点的电势低，B错误；等差等势面越密集的地方，电场强度越大，可知N点电场强度的值大于P点电场强度的值，C错误；根据Ep＝qφ，由于电子带负电，在电势越低的地方电势能越大，因此电子在P点的电势能大于在M点的电势能，D正确．
答案：D
4．解析：根据题意可知，小球所受合力方向沿虚线向下，则其所受电场力方向水平向右，小球从O点运动到与O点等高处的过程做类平抛运动，小球的速度增大，动能增大，由于小球所受电场力与小球速度的夹角一直为锐角，则电场力做正功，小球的电势能减小，A、B、C错误，D正确．
答案：D
5．解析：(1)A、B间的电势差：UAB＝ V＝10 V，
B、C间的电势差：UBC＝ V＝－4 V，
A、C间的电势差：UAC＝UAB＋UBC＝10 V＋(－4 V)＝6 V.
(2)电荷从A点移动到B点再从B点移动到C点的过程中，电场力做的功：
WAC＝WAB＋WBC＝－3×10-5 J＋1.2×10-5 J＝－1.8×10-5 J，
电场力做负功，电荷的电势能增加了1.8×10-5 J.
答案：(1)10 V －4 V 6 V (2)增加了1.8×10-5 J
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2．电势差
核 心 素 养 学 习 目 标
物理观念 (1)知道电势差的概念．
(2)理解等势面的概念．
科学思维 (1)知道电势差的正负表示两点间电势的高低关系．
(2)会用公式WAB＝qUAB计算静电力所做的功．
(3)会画常见电场的等势面，体会反证法在推理过程中的应用．
科学探究 推导静电力做功跟电势差的关系式．
科学态度与责任 了解电势差的定义方法，培养良好的学习习惯．
差值
电压
φB－φA
3．电势差的正负：电势差可以是________值，也可以是________值．
4．静电力做的功与电势差的关系：电荷q在电场中从A点移动到B点时，静电力做的功WAB等于电荷在A、B两点的电势能之差，故WAB＝EpA－EpB＝qφA－qφB＝q(φA－φB)＝qUAB，即UAB＝________．
正
负
【情境思考】
若对吊脚楼进行测量，如图所示．
问题：(1)如果测量起点改变，则吊脚楼上A点和B点的高度是否也相应改变？A、B两点的高度差h变化吗？
提示：选择不同的测量起点时，同一地方的高度往往不同，但两个地方的高度差不会因测量起点的不同而变化．
(2)同理，在电场中，选择不同的位置作为零电势点，电场中同一点的电势怎样变化？电场中两点间电势的差值怎样变化？
提示：与此类似，在电场中零电势点的选取不同，同一点的电势会不同，但这两点间的电势差不会改变．电势差没有相对性，与零电势点位置无关．
【思维提升】
1．电势差的理解
(1)电势差反映了电场的能的性质，决定于电场本身，与试探电荷无关．
(2)电势差可以是正值也可以是负值，电势差的正负表示两点电势的高低；UAB＝－UBA，与零电势点的选取无关．
(3)电场中某点的电势在数值上等于该点与零电势点之间的电势差．
2．电势和电势差的比较
题型1 电势差的理解
例1(多选)关于电势差UAB和电势φA、φB的理解，正确的是( )
A．电势与电势差均是相对量，均与零电势点的选取有关
B．UAB和UBA是不同的，它们存在关系：UAB＝－UBA
C．φA、φB都有正、负，所以电势是矢量
D．若φB＝0，则φA＝UAB
答案：BD
解析：电势差与零电势点的选取无关，A错误；UAB＝－UBA，B正确；电势虽有正、负之分，但电势是标量，C错误；由UAB＝φA－φB知，若φB＝0，则φA＝UAB，D正确．
题型2 电势差的计算
例2 如图所示，如果B板接地(取大地的电势为零，则与大地相连的导体的电势也为零)，则A板电势为8 V，M点电势为6 V，N点电势为2 V．求：
(1)M、N两点间的电势差；
答案：4 V
解析：M、N两点间的电势差UMN＝φM－φN＝4 V.
(2)若改为A板接地，则B、M、N三点的电势和M、N两点间的电势差分别是多大？
解析：若B板接地UAB＝8 V，
若A板接地，则根据UAB＝φA－φB，得φB＝－UAB＝UBA＝－8 V；
同理，M、N两点的电势φM＝UMA＝－2 V，φN＝UNA＝－6 V，
UMN＝φM－φN＝4 V.
答案：－8 V －2 V －6 V 4 V
练1 在某电场中，A、B两点间的电势差UAB＝60 V，B、C两点间的电势差UBC＝－50 V，则A、B、C三点电势高低关系是( )
A．φA＞φB＞φC B．φA＜φC＜φB
C．φA＞φC＞φB D．φC＞φB＞φA
答案：C
解析：因为UAB＝φA－φB＝60 V>0，所以φA>φB，又UBC＝φB－φC＝－50 V<0，所以φB<φC，又UAC＝UAB＋UBC＝60 V＋(－50 V)＝10 V>0，所以φA>φC，故φA>φC>φB，C正确．
练2 一个电荷量为10－6 C的负电荷从电场中A点移到B点电场力要做功2×10－6 J，从C点移到D点要克服电场力做功7×10－6 J，若已知C点比B点电势高3 V，且A、B、C、D四点在同一条电场线上，则下列图中正确的是( )
答案：C
探究点二 等势面
1．等势面：在电场中__________的各点构成的面．
2．电场线与等势面的关系：电场线跟等势面______，并且由电势________的等势面指向电势________的等势面．
电势相同
垂直
高
低
【情境思考】
(1)类比地图上的等高线，简述什么是等势面？
提示：电场中电势相等的各点构成的面．
(2)当电荷从同一等势面上的A点沿等势面移到B点时，电荷的电势能是否变化？电场力做功情况如何？
提示：不发生变化，电场力不做功．
【教材拓展】 阅读教材第33页“等势面”部分，这里利用反证法论证了“等势面与电场线的垂直关系”．利用反证法，你能论证“两个等势面不相交”吗？
提示：假如两个等势面相交，过每一个交点，都有两条电场线分别与两个等势面垂直，即该点有两个电场方向，这与实际情况不符．
【思维提升】
1．等势面的特点及应用
(1)在等势面上移动电荷时，静电力不做功．
(2)电场线跟等势面垂直，且由高电势指向低电势．
(3)两等势面一定不相交．
(4)两个相邻等势面间的电势差是相等的，这样的等势面叫做等差等势面．
(5)等差等势面密的地方场强大，等差等势面稀疏的地方场强小．
2．几种常见电场的等势面(如图所示)
(1)匀强电场的等势面
(2)正点电荷的等势面
(3)负点电荷的等势面
(4)等量同种正点电荷的等势面
(5)等量异种点电荷的等势面
例3 一对等量正点电荷产生的电场的电场线(实线)和等势面(虚线)如图所示，图中A、B两点电场强度分别是EA、EB，电势分别是φA、φB，负电荷q在A、B两点时的电势能分别是EpA、EpB，下列判断正确的是( )
A．EA>EB，φA>φB，EpAB．EA>EB，φA<φB，EpAC．EAφB，EpA>EpB
D．EAEpB
答案：A
解析：A处电场线比B处密集，故EA>EB；离正电荷越近电势越高，故φA>φB；负电荷在A、B处的电势能EpA题后反思
(1)E大处φ不一定高(低)；φ高处E不一定大(小)
(2)E为零处φ不一定为零；φ为零处E不一定为零
例4(多选)(2024·广东卷)污水中的污泥絮体经处理后带负电，可利用电泳技术对其进行沉淀去污，基本原理如图所示．涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极、金属圆盘置于底部、金属棒插入污水中，形成如图所示的电场分布，其中实线为电场线，虚线为等势面．M点和N点在同一电场线上，M点和P点在同一等势面上．
下列说法正确的有( )
A．M点的电势比N点的低
B．N点的电场强度比P点的大
C．污泥絮体从M点移到N点，电场力对其做正功
D．污泥絮体在N点的电势能比其在P点的大
答案：AC
解析：根据沿着电场线方向电势降低可知M点的电势比N点的低，污泥絮体带负电，根据Ep＝qφ可知，污泥絮体在M点的电势能比在N点的电势能大，污泥絮体从M点移到N点，电势能减小，电场力对其做正功，故A、C正确；根据电场线的疏密程度可知N点的电场强度比P点的小，故B错误；M点和P点在同一等势面上，则污泥絮体在M点的电势能与在P点的电势能相等，结合A、C选项分析可知污泥絮体在P点的电势能比其在N点的大，故D错误．
练3 (2024·河北卷)我国古人最早发现了尖端放电现象，并将其用于生产生活，如许多古塔的顶端采用“伞状”金属饰物在雷雨天时保护古塔．雷雨中某时刻，一古塔顶端附近等势线分布如图所示，相邻等势线电势差相等，则a、b、c、d四点中电场强度最大的是( )
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
答案：C
解析：在静电场中，等差等势线的疏密程度反映电场强度的大小．图中c点的等差等势线相对最密集，故该点的电场强度最大．
练4 点电荷Q1、Q2产生的静电场的等势面与纸面的交线如图中实线所示，图中标在等势面上的数值分别表示该等势面的电势，a、b、c、d、e、f等表示等势面上的点.
下列说法正确的有( )
A．位于d点的点电荷不受静电力作用
B．a点的电场强度与b点的电场强度大小一定相等
C．把电荷量为q的正电荷先从b点移到d点，再从d点移到f点，静电力做的总功为零
D．把单位正电荷从e点移到c点过程中，静电力做的功等于2 kJ
答案：D
解析：位于d点的位置电场线的方向垂直于等势面向左，电场强度不为零，所以点电荷受静电力作用，故A错误；a点处的等差等势面比b点处的等差等势面密，所以a点处的电场强度大，故B错误；从题图中可以看到b点的电势低于d点，d点的电势又低于f点的电势，所以把电荷量为q的正电荷先从b点移到d点，再从d点移到f点，静电力做负功，故C错误；从题图中可以看到Uec＝φe－φc＝1－(－1) kV＝2 kV，所以把单位正电荷从e点移到c点过程中，静电力做的功等于2 kJ，故D正确．
探究点三 电场力做功和电势差的关系
【情境思考】
在如图所示的电场中有A、B两点，A、B两点的电势分别为φA、φB.
(1)A、B两点的电势差UAB是多少？若把某电荷q从A移到B，电荷的电势能变化了多少？
提示：UAB＝φA－φB，电势能的变化量为ΔEp＝EpB－EpA＝q(φB－φA)．
(2)根据电场力做功与电势能变化的关系，求电场力对该电荷做的功．
提示：WAB＝EpA－EpB＝qφA－qφB＝q(φA－φB)＝qUAB.
3．静电力做功的四种求法
(1)功的定义法：W＝FL cos θ或W＝qEL cos θ，适用匀强电场．
(2)电势差法：WAB＝qUAB.
(3)电势能变化法：WAB＝EpA－EpB.
(4)动能定理：W电＋W其他力＝ΔEk.
注意：方法(2)、(3)、(4)适用于任何电场．
题型1 电场力做功与电势差
例5 (2024·江苏扬州瓜洲中学质量检测)将电荷量为－1×10－9 C的负点电荷从电场中的A点移到B点，克服电场力做功为2×10－6 J；从A点移到C点，电场力做功为3×10－6 J．则B、C两点间的电势差为( )
A．1 000 V B．－1 000 V
C．5 000 V D．－5 000 V
答案：D
题型2 带电粒子在电场中的能量变化
例6图中虚线所示为静电场中的等势面1，2，3，4，相邻的等势面之间的电势差相等，其中等势面3的电势为0.一带正电的点电荷在静电力的作用下运动，经过a、b点时的动能分别为26 eV和5 eV.当这一点电荷运动到某一位置，其电势能变为－8 eV时，它的动能就为( )
A．8 eV B．15 eV
C．20 eV D．34 eV
答案：C
题后反思
静电场中功能关系问题的三种情况
(1)合力做功等于物体动能的变化量，即W合＝ΔEk.这里的W合指合外力做的功．
(2)电场力做功决定物体电势能的变化量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp.这与重力做功和重力势能变化之间的关系类似．
(3)只有电场力做功时，带电体电势能与动能的总量不变，即Ep1＋Ek1＝Ep2＋Ek2.这与只有重力做功时，物体的机械能守恒类似．
练5 (多选)一个带电小球在从空中a点运动到b点的过程中，重力做功3 J，电场力做功1 J，克服空气阻力做功0.5 J，则小球( )
A．在a点的重力势能比在b点的重力势能大3 J
B．在a点的动能比在b点的动能小3.5 J
C．在a点的电势能比在b点的电势能小1 J
D．在a点的机械能比在b点的机械能小0.5 J
答案：ABD
解析：重力做功等于重力势能的变化量，重力做功3 J，重力势能减小3 J，所以在a点重力势能比在b点大3 J，A正确；合力做功等于动能的变化量，合力做功等于各个分力做的总功，总功为3.5 J，故动能增加3.5 J，所以a点动能比b点小3.5 J，B正确；电场力做功等于电势能的变化量，电场力做功1 J，电势能减小1 J，所以a点电势能比b点大1 J，C错误；除重力外的各个力做的总功等于机械能的变化量，除重力外，电场力做功为1 J，克服空气阻力做功0.5 J，故机械能增加0.5 J，所以a点机械能比b点小0.5 J，D正确．
练6 (多选)(2024·山东卷)如图所示，带电量为＋q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面．质量为m、带电量为＋q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零．已知AC间的距离为s，重力加速度大小为g，静电力常量为k.
答案：AD
1．关于电势差的下列说法中，正确的是( )
A．电势差与电势一样，是相对量，与零电势点的选取有关
B．电势差是标量，没有正值和负值之分
C．由于静电力做功跟移动电荷的路径无关，所以电势差也跟移动电荷的路径无关，只跟这两点的位置有关
D．A、B两点的电势差是恒定的，不随零电势点的改变而改变，所以UAB＝UBA
答案：C
解析：电势差与零电势点的选取无关，与移动电荷的路径也无关，只跟这两点的位置有关，选项A错误，C正确；电势差是标量，但有正、负值之分，且UAB＝－UBA，选项B、D错误．
2．某带正电的导体周围的电场线和等势线的分布如图所示．用EA、φA和EB、φB分别表示A、B两点的电场强度大小和电势，下列关系式正确的是( )
A．EA>EB B．EA＝EB
C．φA>φB D．φA<φB
答案：D
解析：根据电场线的疏密程度表示电场强度大小，可知A、B两点的电场强度大小关系为EA3．如图为避雷针周围等势面的分布情况，对于其中的M、N、P三点，有( )
A．M、N两点的电场强度相同
B．P点的电势比M点的电势高
C．P点电场强度的值大于N点电场强度的值
D．电子在P点的电势能大于在M点的电势能
答案：D
解析：由于等势面和电场线垂直，可知M、N两点电场强度方向不同，A错误；P点电势为6 kV，M点的电势为8 kV，因此P点的电势比M点的电势低，B错误；等差等势面越密集的地方，电场强度越大，可知N点电场强度的值大于P点电场强度的值，C错误；根据Ep＝qφ，由于电子带负电，在电势越低的地方电势能越大，因此电子在P点的电势能大于在M点的电势能，D正确．
4．(2024·黑吉辽卷)在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面(纸面)内运动．如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到与O点等高处的过程中( )
A．动能减小，电势能增大
B．动能增大，电势能增大
C．动能减小，电势能减小
D．动能增大，电势能减小
答案：D
解析：根据题意可知，小球所受合力方向沿虚线向下，则其所受电场力方向水平向右，小球从O点运动到与O点等高处的过程做类平抛运动，小球的速度增大，动能增大，由于小球所受电场力与小球速度的夹角一直为锐角，则电场力做正功，小球的电势能减小，A、B、C错误，D正确．
5．将一电荷量为－3×10－6 C的点电荷从电场中的A点移动到B点，克服电场力做了3×10－5 J的功，再将该电荷从B点移动到C点，电场力做了1.2×10－5 J的功，求：
(1)AB间、BC间、AC间电势差各为多少？
答案：10 V －4 V 6 V
(2)从A点移到B点，再移到C点，电势能变化了多少？
答案：增加了1.8×10-5 J
解析：电荷从A点移动到B点再从B点移动到C点的过程中，电场力做的功：
WAC＝WAB＋WBC＝－3×10-5 J＋1.2×10-5 J＝－1.8×10-5 J，
电场力做负功，电荷的电势能增加了1.8×10-5 J.
1．下列选项描述的电场线与等势面之间的关系，实线表示电场线，虚线表示等势面，其中正确的是( )
答案：C
解析：等势面和电场线处处垂直，A、B、D三选项两者均不垂直，而C选项等势面和电场线处处垂直．
2．关于单位：电子伏特(eV)的理解，正确的是( )
A．是电压的单位
B．1 eV＝1.6×10－19 V
C．是功、能量的单位
D．1 J＝1.6×10－19 eV
答案：C
解析：电子伏特是电场力做功的单位，也是能量的单位，表示一个电子电势改变单位伏特时其能量的改变量，则1 eV＝1.6×10－19 J，可得1 J＝6.25×1018 eV，C正确．
3．(多选)如图所示，实线表示一簇关于x轴对称的等势面，在x轴上有A、B两点，则( )
A.A、B两点的场强方向与x轴同向
B．A、B两点的场强方向与x轴反向
C．A点的场强EA大于B点的场强EB
D．A点的场强EA小于B点的场强EB
答案：AD
解析：由电场线与等势面的关系可知，电场线一定与等势面垂直，由电势较高的等势面指向电势较低的等势面，作出相对应的电场线的分布，如图所示．
则可知A、B两点处的场强方向与x轴同向．由电场线的疏密可知，A点处的场强EA小于B点处的场强EB.故A、D正确．
4．在电场中，A、B两点间的电势差UAB＝100 V，B、C两点间的电势差UBC＝－160 V，则A、B、C三点电势高低关系为( )
A．φA>φB>φC B．φA<φC<φB
C．φC>φA>φB D．φC>φB>φA
答案：C
解析：由题意可知UAB＝φA－φB＝100 V，UBC＝φB－φC＝－160 V，则可知φA>φB，φC>φB，又UAC＝UAB＋UBC＝(100－160)V＝－60 V，则可知φC>φA，故φC>φA>φB.
5．如图所示，某电场中A、B两点的电势差UAB＝10 V．若将一电荷量q＝＋2×10－11 C的点电荷从B点移到A点，电场力做的功WBA为( )
A．2×10－12 J
B．－2×10－12 J
C．2×10－10 J
D．－2×10－10 J
答案：D
解析：根据电势差的性质，可得UBA＝－UAB＝－10 V，所以电场力做的功为WBA＝qUBA＝－2×10－10 J.
6．空间中P、Q两点处各固定一个点电荷，其中P点处为正电荷，P、Q两点附近电场的等势面分布如图所示，a、b、c、d为电场中的4个点．则( )
A．P、Q两点处的电荷等量同号
B．a点和b点的电场强度相同
C．c点的电势低于d点的电势
D．负电荷从a到c，电势能减少
答案：D
解析：根据题图可知，该电场是等量异种点电荷的电场，故A错误；根据电场的对称性，a、b两点的电场强度大小相等，但方向不同，故B错误；c点所在等势面距离P点(正电荷)比d点所在等势面距离P点近，c点的电势较高，故C错误；负电荷从a到c，静电力做正功，所以电势能减少，故D正确．
7．(多选)某静电场等势面如图中虚线所示，则( )
A. B点的场强比A点的大
B．A点的电势比C点的高
C．将电荷从A点移到B点电场力不做功
D．负电荷在C点的电势能小于零
答案：ABC
解析：B点的等势面比A点的等势面密，则B点的场强比A点的大，故A正确；A点的电势为0，C点的电势为－5 V，A点的电势比C点的高，故B正确；A点的电势与B点的电势相等，将电荷从A点移到B点电场力不做功，故C正确；C点的电势小于零，负电荷在C点的电势能大于零，故D错误．
8．如图(a)，某棵大树被雷电击中，此时以大树为中心的地面上形成了电场，该电场的等势面分布及电场中M、P两点的位置如图(b)所示，则( )
A．M点电势较低
B．电场线由P点指向M点
C．越靠近大树的地方电场强度越小
D．M、P两点间的电势差约为200 kV
答案：D
解析：由b图可知，φM＝－200 kV，φP＝－400 kV.则φM>φP，根据电场线由高电势指向低电势，可知电场线由大树(即表示等势面的同心圆的圆心)指向P点．根据等差等势面的疏密程度可以表示电场的强弱，易知越靠近大树的地方电场强度越大，故A、B、C错误；根据电势差的定义，可得UMP＝φM－φP＝200 kV，故D正确．
(1)求A、C间的电势差；
(2)若规定B点电势为零，求C点的电势．
10.(多选)(2024·湖北卷) 关于电荷和静电场，下列说法正确的是( )
A. 一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和保持不变
B．电场线与等势面垂直，且由电势低的等势面指向电势高的等势面
C．点电荷仅在电场力作用下从静止释放，该点电荷的电势能将减小
D．点电荷仅在电场力作用下从静止释放，将从高电势的地方向低电势的地方运动
答案：AC
11．(多选)某中学生助手在研究心脏电性质时，当兴奋在心肌传播，在人体的体表可以测出与之对应的电势变化，可等效为两等量电荷产生的电场．如图是人体表面的瞬时电势分布图，图中实线为等差等势面，标在等势面上的数值分别表示该等势面的电势，a、b、c、d为等势面上的点，a、b为两电荷连线上对称的两点，c、d为两电荷连线中垂线上对称的两点，则( )
A．a、b两点的电场强度相同
B．c、d两点的电场强度不相同
C．a、b两点的电势差Uab＝－3 mV
D．从c到d的直线上电场强度先变大后变小
答案：AD
解析：该瞬时电势分布图可等效为等量异种电荷产生的，等量异种电荷的电场线分布如图．
a、b为两电荷连线上对称的两点，所以a、b两点的电场强度大小、方向相同，故A正确；c、d为两电荷连线中垂线上对称的两点，c、d两点的电场强度大小与方向也相同，故B错误；a、b两点的电势差Uab＝φa－φb＝3 mV，故C错误；根据等势线的疏密程度可判断出从c到d的直线上电场强度先变大后变小，故D正确．
12．(多选)电缆周围的电场分布对电缆的电气化强度影响很大．如图所示为电缆终端周围的电场分布情况，图中虚线为等势线，实线为电场线.
下列说法正确的是( )
A．电场中b点的场强小于c点的电场强度
B．将一电子放在c点，电子的电势能为－30 eV
C．将一质子由a点经b点移至c点，电场力先做正功后做负功
D．在b点由静止释放一带正电的粒子，粒子将沿电场线运动
答案：AB
解析：电场线的疏密表示电场强度的大小，b点疏密程度小于c点疏密程度，所以b点的场强小于c点的电场强度，故A正确；根据Ep＝qφ，可知将一电子放在c点，电子的电势能为Ep＝－e×30 V＝－30 eV，故B正确；由图可知Uab<0，Ubc>0，可知将一质子由a点经b点移至c点，电场力先做负功后做正功，故C错误；由于b点电场线不是直线，所以在b点由静止释放一带正电的粒子，粒子并不会沿电场线运动，故D错误．
