四川省攀枝花市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
1.(2024高二下·攀枝花期末)已知随机变量服从正态分布,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解:已知随机变量服从正态分布,且,,
则,
所以.
故答案为:D
【分析】由题意可得利用正态分布可得,再利用对称性即可求解.
2.(2024高二下·攀枝花期末)已知等比数列满足,则首项( )
A. B. C.1 D.2
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解:设等比数列的公比为,
已知,则,
所以.
故答案为:C
【分析】利用等比数列的通项公式列出关于的方程组,解方程组即可求解.
3.(2024高二下·攀枝花期末)由这4个数字组成无重复数字的四位数且为偶数,则不同的排法种数为( )
A. B.12 C.18 D.24
【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解:当个位数字是0时,无重复数字的四位偶数的个数是,
当个位数字是2时,无重复数字的四位偶数的个数是,
所以不同的排法种数为.
故答案为:A
【分析】按个位数字是0和2分类,再利用排列即可求解.
4.(2024高二下·攀枝花期末)已知函数满足,则在处的导数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】导数的四则运算;简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解:函数,求导得,
,即,
所以.
故答案为:D
【分析】对求导可得,再把代入即可求解.
5.(2024高二下·攀枝花期末)函数的导函数的图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.在处取得最大值 B.在区间上单调递减
C.在处取得极大值 D.在区间上有2个极大值点
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解:由导函数的图象易知:
0 0 非负
递增 极大值 递减 极小值 递增
故答案为:C.
【分析】根据导函数的符号确定函数的单调性,确定函数的极值即可.
6.(2024高二下·攀枝花期末)设为同一个随机试验中的两个随机事件,若,则( )
A.0.2 B.0.3 C.0.5 D.0.6
【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件;条件概率
【解析】【解答】解:已知,则,
由,
得,所以.
故答案为:B
【分析】先利用对立事件概率可得,再利用全概率的公式即可求解.
7.(2024高二下·攀枝花期末)已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解:设,(),因为,
由;由.
所以函数在上递减,在上递增.
所以,
又,,所以.
再设,(),因为,
由;由.
所以函数在上递减,在上递增.
所以.
又,即.
故.
故答案为:A
【分析】设,求导可得利用单调性即可;设函数,;利用导函数可得函数单调性,即可.
8.(2024高二下·攀枝花期末)某人在次射击中击中目标的次数为,且,记,若是唯一的最大值,则的值为( )
A.5.6 B.6.4 C.7.2 D.8
【答案】B
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解:依题意,,
由是唯一的最大值,得,即,
则,整理得,解得,
而,因此,所以.
故答案为:B
【分析】利用二项分布列出不等式可得,再利用二项分布的期望公式即可求解.
9.(2024高二下·攀枝花期末)已知二项式的展开式中各项系数之和是,则下列说法正确的是( )
A.展开式共有6项 B.二项式系数最大的项是第4项
C.展开式的常数项为540 D.展开式的有理项共有3项
【答案】B,C
【知识点】二项式系数的性质;二项展开式的通项;二项式系数
【解析】【解答】解:二项式的展开式中各项系数之和是,
令时,则,解得,
A、展开式共7项,故A错误;
B、二项式系数最大的项是第4项,故B正确;
C、二项式展开式的通项:,
令,得,则展开式的常数项,故C正确;
D、由为整数,得,因此展开式的有理项共有4项,故D错误.
故答案为:BC
【分析】利用赋值法求出幂指数可得,再结合展开式的通项,逐项判断即可求解.
10.(2024高二下·攀枝花期末)甲乙两种品牌的手表,它们的日走时误差分别为和(单位:),其分布列为
甲品牌的走时误差分布列
0 1
0.1 0.8 0.1
乙品牌的走时误差分布列
0 1 2
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A,B,C
【知识点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解:A、,,故A正确;
B、,,故B正确;
C、,故C正确;
D、,故D错误.
故答案为:ABC
【分析】利用期望、方差的定义计算即可判断AD;利用期望、方差的性质计算即可判断CD.
11.(2024高二下·攀枝花期末)如图,棱长均为2的正三棱柱中,分别是的中点,则( )
A.平面
B.
C.到平面的距离为
D.直线与所成角的余弦值为
【答案】B,C,D
【知识点】向量方法证明线、面的位置关系定理;用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解:以中点为原点,建立空间直角坐标系如图所示:
则,,,,,,,.
所以,,,,.
设平面的法向量为:,
则:,
取.
A、因为,所以平面不成立,故A错误;
B、因为,所以成立,故B正确;
C、点到平面的距离为:,故C正确;
D、设直线与所成的角为,则,故D正确.
故答案为:BCD
【分析】建立空间直角坐标系, 平面的法向量为, 再利用空间向量判断个选项的准确性.
12.(2024高二下·攀枝花期末)若函数存在两个极值点,则( )
A.函数至少有一个零点 B.或
C. D.
【答案】A,C,D
【知识点】函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解:A、由,得是的一个零点,故A正确;
B、函数定义域为,
求导得,由存在两个极值,
得方程有两个不相等的正实根,即有两个变号零点,
因此,且,解得,故B错误;
C、由,,得,则,故C正确;
D、
,
令,求导得,
即在上单调递增,因此,
故D正确.
故答案为:ACD
【分析】求出零点即可判断A;利用题意可得导函数有两个不等的正零点即可判断B;利用一元二次方程根的分布即可判断C;计算并构造函数,求导可得,即可得函数的最小值即可判断D.
13.(2024高二下·攀枝花期末)已知,则正整数= .
【答案】4
【知识点】排列及排列数公式;组合及组合数公式
【解析】【解答】解:已知,
则,化简可得,解得,满足题意.
故答案为:4
【分析】利用组合数和排列数公式列方程即可求解.
14.(2024高二下·攀枝花期末)乡村振兴战略坚持农业农村优先发展,目标是按照产业兴旺 生态宜居 乡风文明 治理有效 生活富裕的总要求,建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系,加快推进农业农村现代化.某乡镇通过建立帮扶政策,使得该乡镇财政收入连年持续增长,具体数据如表所示:
第年 1 2 3 4 5
收入(单位:亿元) 3 8 10 14 15
由上表可得关于的近似回归方程为,则第6年该乡镇财政收入预计为 亿元.
【答案】19
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解:由题意可得,,由线性回归方程一定经过样本中心点,
可得:,所以,即.
当时,.
故答案为:19
【分析】先利用线性回归方程一定经过样本中心点(3,10),即可求,再利用回归方程进行预计即可求解.
15.(2024高二下·攀枝花期末)从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛,如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内,则不同的选法种数为 (用数字作答).
【答案】30
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解:若甲入选,乙没入选,从除了乙之外的5人选择3人,有种情况,
若乙入选,甲没入选,同理可得,有种情况,
若甲乙均入选,则从除甲乙外的5人中选择2人,有种情况,
综上,共有种情况.
故答案为:30
【分析】分甲入选,乙没入选,乙入选,甲没入选和甲乙均入选三种情况分别求出选法,再利用分类加法计算原理即可求解.
16.(2024高二下·攀枝花期末)已知函数(是自然对数的底数),则函数的最大值为 ;若关于的方程恰有3个不同的实数解,则实数的取值范围为 .
【答案】;
【知识点】利用导数研究函数最大(小)值
【解析】【解答】解:(1)的定义域为,,
故在上递增,在上递减,所以是的极大值也即是最大值.
(2)由(1)知在上递增,在上递减,最大值为.
当时,当时,,当时,.
由,即.
由上述分析可知有一个解.
故需有两个不同的解,
由上述分析可知,解得,
所以实数的取值范围是.
故答案为:(1);(2).
【分析】(1)先求导可得,再利用导数求得函数的单调区间,即可求解;
(2)对因式分解,将此方程有三个不同实数解,转化为,的解的个数来求解的取值范围即可求解.
17.(2024高二下·攀枝花期末)已知函数在处有极值.
(1)求的解析式;
(2)求在上的最大值和最小值.
【答案】(1)解:函数,求导得,
依题意,,解得,此时,
当或时,当时,,则在处取得极大值,因此,
,由,解得,
所以函数的解析式为.
(2)解:由(1)知,,且函数在上递增,在上递减,
当时,,,
所以函数在上的最大值是,最小值是.
【知识点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数最大(小)值
【解析】【分析】(1)先求导可得,利用导数和极值点、极值的关系建立方程求解并验证即可求解;
(2)由(1)求出函数的单调区间,再求出极值和端点值比较即可求解.
(1)函数,求导得,
依题意,,解得,此时,
当或时,当时,,则在处取得极大值,因此,
,由,解得,
所以函数的解析式为.
(2)由(1)知,,且函数在上递增,在上递减,
当时,,,
所以函数在上的最大值是,最小值是.
18.(2024高二下·攀枝花期末)近年来我国新能源汽车产业迅速发展,下表是某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表:
年份
销量(万台)
某机构调查了该地区位购车车主的性别与购车种类情况,得到的部分数据如下表所示:
购置传统燃油车 购置新能源车 总计
男性车主
女性车主
总计
(1)求新能源乘用车的销量关于年份的线性相关系数,并判断与之间的线性相关关系的强弱;(若,相关性较强;若,相关性一般;若,相关性较弱)
(2)请将上述列联表补充完整,根据小概率值的独立性检验,分析购车车主购置新能源乘用车与性别是否有关系?
①参考公式:相关系数;
②参考数据:;
③卡方临界值表:
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
其中,.
【答案】(1)解:由表格知:,,
所以,
,
,
由上,有,
所以与之间的线性相关性较强;
(2)解:依题意,完善表格如下:
购置传统燃油车 购置新能源车 总计
男性车主
女性车主
总计
则的观测值,
根据小概率值的独立性检验,我们认为购车车主购置新能源乘用车与性别是有关,此推断犯错误概率不大于.
【知识点】独立性检验的应用;样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】(1)先利用系数公式计算相关系数=0.96,再利用r的大小判断相关性强弱即可求解;
(2)完成联表,根据公式计算=,结合临界值表判断是否有关即可求解.
(1)由表格知:,,
所以,
,
,
由上,有,
所以与之间的线性相关性较强;
(2)依题意,完善表格如下:
购置传统燃油车 购置新能源车 总计
男性车主
女性车主
总计
则的观测值,
根据小概率值的独立性检验,我们认为购车车主购置新能源乘用车与性别是有关,此推断犯错误概率不大于.
19.(2024高二下·攀枝花期末)已知数列的前项和为,且满足,公差不为0的等差数列中,,且是与的等比中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)解:数列的前项和为,,当时,,
两式相减得,即,由,得,
因此数列是首项为2,公比为2的等比数列,;
由是与的等比中项,得,又,则,
整理得,又,解得,于是,
所以数列的通项公式分别为,.
(2)解:由(1)知,,
,
于是,
两式相减,
所以.
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】(1)先利用与的关系可得,再利用等比中项的定义求出=3,再利用通项公式即可求解;
(2)利用(1)的结论求出,再利用错位丰减法求和即可求解.
(1)数列的前项和为,,当时,,
两式相减得,即,由,得,
因此数列是首项为2,公比为2的等比数列,;
由是与的等比中项,得,又,则,
整理得,又,解得,于是,
所以数列的通项公式分别为,.
(2)由(1)知,,
,
于是,
两式相减得,
所以.
20.(2024高二下·攀枝花期末)如图,在四棱锥中,底面为矩形,点是棱上的一点,平面.
(1)求证:点是棱的中点;
(2)若平面与平面所成角的正切值为,求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明:连接交于点,连接,如图所示:
因为为矩形,所以点是是中点,
因为平面,平面,平面平面,
所以,因为点是是中点,
所以点是棱的中点;
(2)解:因为,所以,
因为平面,平面,所以,
因为为矩形,所以,
因为,平面,
所以平面,所以就是与平面所成的角,
可得,,
以为原点,所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示:
则,
,,
设是平面的一个法向量,
可得,所以,
令,可得,所以,
设是平面的一个法向量,
可得,所以,
令,可得,所以,
所以,
所以二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的性质;用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)连接交于点,利用线面平行的性质定理可得即可得证;
(2)利用线面垂直的判定定理可得就是与平面所成的角,求出,以为原点建立空间直角坐标系,可得平面的法向量和平面的一个法向量,再利用二面角的向量求法即可求解.
(1)
连接交于点,连接,
因为为矩形,所以点是是中点,
因为平面,平面,平面平面,
所以,因为点是是中点,
所以点是棱的中点;
(2)因为,所以,
因为平面,平面,所以,
因为为矩形,所以,
因为,平面,
所以平面,所以就是与平面所成的角,
可得,,
以为原点,所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系,
则,
,,
设是平面的一个法向量,
可得,所以,
令,可得,所以,
设是平面的一个法向量,
可得,所以,
令,可得,所以,
所以,
所以二面角的余弦值为.
21.(2024高二下·攀枝花期末)2023年第三十一届世界大学生夏季运动会在成都举行,中国运动员在赛场上挥洒汗水 挑战极限 实现梦想.最终,中国代表团以103枚金牌 40枚银牌 35枚铜牌,总计178枚奖牌的成绩,位列金牌榜和奖牌榜双第一,激发了大学生积极进行体育锻炼的热情.已知甲 乙两名大学生每天上午 下午都各用半个小时进行体育锻炼,近50天选择体育锻炼项目情况统计如下:
体育锻炼项目情况 (上午,下午) (足球,足球) (足球,羽毛球) (羽毛球,足球) (羽毛球,羽毛球)
甲 20天 10天
乙 10天 10天 5天 25天
假设甲 乙在上午 下午选择体育锻炼的项目相互独立,用频率估计概率.已知甲上午锻炼选择羽毛球的条件下,下午锻炼仍选择羽毛球的概率为.
(1)请将表格内容补充完整(写出计算过程);
(2)记为甲 乙在一天中选择体育锻炼项目的个数之差的绝对值.求的分布列和数学期望;
(3)已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为,并且当上午的室外温度低于20度时,甲去打羽毛球的概率为,若已知某天上午甲去打羽毛球,求这一天上午室外温度在20度以下的概率.
【答案】(1)解:设事件C为“甲上午选择羽毛球”,事件为“甲下午选择羽毛球”,设甲一天中锻炼情况为(羽毛球,足球)的天数为,
则,解得,
所以甲一天中锻炼情况为(足球,羽毛球)的天数为,
体育锻炼项目的情况(上午,下午) (足球,足球) (足球,羽毛球) (羽毛球,足球) (羽毛球,羽毛球)
甲 20天 15天 5天 10天
10天 10天 5天 25天
(2)解:依题意,甲上午 下午选择同一种球的概率为,选择两种球的概率为;
乙上午 下午选择同一种球的概率为,选择两种球的概率为.
记为甲 乙在一天中选择体育锻炼项目个数之差的绝对值,则的所有可能取值为,
,,
所以的分布列为:
所以.
(3)解:记事件为“上午室外温度在20度以下”,事件为“甲上午打羽毛球”,由题意知,
.
故若某天上午甲去打羽毛球,则这一天上午室外温度在20度以下的概率为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式;条件概率
【解析】【分析】(1)先利用条件概率的计算公式得到甲一天中锻炼情况为(羽毛球,足球)的天数为15天,再补充表格内容即可求解;
(2)先利用概率计算公式分别计算甲、乙上午、下午选择同一种球和两种球的概率,再确定的取值,求得每个值对应的概率,即可得分布列,再利用期望公式即可求解;
(3)利用条件概率的计算公式即可求解.
(1)设事件C为“甲上午选择羽毛球”,事件为“甲下午选择羽毛球”,
设甲一天中锻炼情况为(羽毛球,足球)的天数为,
则,解得,
所以甲一天中锻炼情况为(足球,羽毛球)的天数为,
体育锻炼项目的情况(上午,下午) (足球,足球) (足球,羽毛球) (羽毛球,足球) (羽毛球,羽毛球)
甲 20天 15天 5天 10天
10天 10天 5天 25天
(2)依题意,甲上午 下午选择同一种球的概率为,选择两种球的概率为;
乙上午 下午选择同一种球的概率为,选择两种球的概率为.
记为甲 乙在一天中选择体育锻炼项目个数之差的绝对值,则的所有可能取值为,
,,
所以的分布列为:
所以.
(3)记事件为“上午室外温度在20度以下”,事件为“甲上午打羽毛球”,
由题意知,
.
故若某天上午甲去打羽毛球,则这一天上午室外温度在20度以下的概率为.
22.(2024高二下·攀枝花期末)已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积;
(2)讨论函数的零点个数.
【答案】(1)解:当时,,求导得,则,而,
于是曲线在点处的切线为,即,
直线交轴于点,交于点,
所以曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积.
(2)解:函数的定义域为,
求导得,
当时,则,函数在上单调递减,
显然,当时,,,
则,,,
于是,因此函数有唯一零点;
若,由得,
当时,,当时,,
则在单调递减,在单调递增,,
显然函数在上单调递增,
当时,,函数无零点;
当时,,函数有唯一零点;
当时,,当时,,,
则,,,于是,函数在上有一个零点,
当时,显然,,
,
因此,令,求导得,
即在上单调递增,,于是,
从而函数在上有一个零点,
于是当时,函数有两个零点,
所以当或时,函数有1个零点;当时,有两个零点;当时,无零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程;函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)先把代入求导可得,再利用导数的几何意义可得k=3,出利用点斜式方程即可求解.
(2)先求导可得,再分,,,四类讨论函数的单调性,结合零点存在性定理及函数最值情况探讨零点即可求解.
(1)当时,,求导得,则,而,
于是曲线在点处的切线为,即,
直线交轴于点,交于点,
所以曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积.
(2)函数的定义域为,
求导得,
当时,则,函数在上单调递减,
显然,当时,,,
则,,,
于是,因此函数有唯一零点;
若,由得,
当时,,当时,,
则在单调递减,在单调递增,,
显然函数在上单调递增,
当时,,函数无零点;
当时,,函数有唯一零点;
当时,,当时,,,
则,,,于是,函数在上有一个零点,
当时,显然,,
,
因此,令,求导得,
即在上单调递增,,于是,
从而函数在上有一个零点,
于是当时,函数有两个零点,
所以当或时,函数有1个零点;当时,有两个零点;当时,无零点.
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1.(2024高二下·攀枝花期末)已知随机变量服从正态分布,且,则( )
A. B. C. D.
2.(2024高二下·攀枝花期末)已知等比数列满足,则首项( )
A. B. C.1 D.2
3.(2024高二下·攀枝花期末)由这4个数字组成无重复数字的四位数且为偶数,则不同的排法种数为( )
A. B.12 C.18 D.24
4.(2024高二下·攀枝花期末)已知函数满足,则在处的导数为( )
A. B. C. D.
5.(2024高二下·攀枝花期末)函数的导函数的图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.在处取得最大值 B.在区间上单调递减
C.在处取得极大值 D.在区间上有2个极大值点
6.(2024高二下·攀枝花期末)设为同一个随机试验中的两个随机事件,若,则( )
A.0.2 B.0.3 C.0.5 D.0.6
7.(2024高二下·攀枝花期末)已知,则( )
A. B. C. D.
8.(2024高二下·攀枝花期末)某人在次射击中击中目标的次数为,且,记,若是唯一的最大值,则的值为( )
A.5.6 B.6.4 C.7.2 D.8
9.(2024高二下·攀枝花期末)已知二项式的展开式中各项系数之和是,则下列说法正确的是( )
A.展开式共有6项 B.二项式系数最大的项是第4项
C.展开式的常数项为540 D.展开式的有理项共有3项
10.(2024高二下·攀枝花期末)甲乙两种品牌的手表,它们的日走时误差分别为和(单位:),其分布列为
甲品牌的走时误差分布列
0 1
0.1 0.8 0.1
乙品牌的走时误差分布列
0 1 2
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
11.(2024高二下·攀枝花期末)如图,棱长均为2的正三棱柱中,分别是的中点,则( )
A.平面
B.
C.到平面的距离为
D.直线与所成角的余弦值为
12.(2024高二下·攀枝花期末)若函数存在两个极值点,则( )
A.函数至少有一个零点 B.或
C. D.
13.(2024高二下·攀枝花期末)已知,则正整数= .
14.(2024高二下·攀枝花期末)乡村振兴战略坚持农业农村优先发展,目标是按照产业兴旺 生态宜居 乡风文明 治理有效 生活富裕的总要求,建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系,加快推进农业农村现代化.某乡镇通过建立帮扶政策,使得该乡镇财政收入连年持续增长,具体数据如表所示:
第年 1 2 3 4 5
收入(单位:亿元) 3 8 10 14 15
由上表可得关于的近似回归方程为,则第6年该乡镇财政收入预计为 亿元.
15.(2024高二下·攀枝花期末)从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛,如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内,则不同的选法种数为 (用数字作答).
16.(2024高二下·攀枝花期末)已知函数(是自然对数的底数),则函数的最大值为 ;若关于的方程恰有3个不同的实数解,则实数的取值范围为 .
17.(2024高二下·攀枝花期末)已知函数在处有极值.
(1)求的解析式;
(2)求在上的最大值和最小值.
18.(2024高二下·攀枝花期末)近年来我国新能源汽车产业迅速发展,下表是某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表:
年份
销量(万台)
某机构调查了该地区位购车车主的性别与购车种类情况,得到的部分数据如下表所示:
购置传统燃油车 购置新能源车 总计
男性车主
女性车主
总计
(1)求新能源乘用车的销量关于年份的线性相关系数,并判断与之间的线性相关关系的强弱;(若,相关性较强;若,相关性一般;若,相关性较弱)
(2)请将上述列联表补充完整,根据小概率值的独立性检验,分析购车车主购置新能源乘用车与性别是否有关系?
①参考公式:相关系数;
②参考数据:;
③卡方临界值表:
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
其中,.
19.(2024高二下·攀枝花期末)已知数列的前项和为,且满足,公差不为0的等差数列中,,且是与的等比中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
20.(2024高二下·攀枝花期末)如图,在四棱锥中,底面为矩形,点是棱上的一点,平面.
(1)求证:点是棱的中点;
(2)若平面与平面所成角的正切值为,求二面角的余弦值.
21.(2024高二下·攀枝花期末)2023年第三十一届世界大学生夏季运动会在成都举行,中国运动员在赛场上挥洒汗水 挑战极限 实现梦想.最终,中国代表团以103枚金牌 40枚银牌 35枚铜牌,总计178枚奖牌的成绩,位列金牌榜和奖牌榜双第一,激发了大学生积极进行体育锻炼的热情.已知甲 乙两名大学生每天上午 下午都各用半个小时进行体育锻炼,近50天选择体育锻炼项目情况统计如下:
体育锻炼项目情况 (上午,下午) (足球,足球) (足球,羽毛球) (羽毛球,足球) (羽毛球,羽毛球)
甲 20天 10天
乙 10天 10天 5天 25天
假设甲 乙在上午 下午选择体育锻炼的项目相互独立,用频率估计概率.已知甲上午锻炼选择羽毛球的条件下,下午锻炼仍选择羽毛球的概率为.
(1)请将表格内容补充完整(写出计算过程);
(2)记为甲 乙在一天中选择体育锻炼项目的个数之差的绝对值.求的分布列和数学期望;
(3)已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为,并且当上午的室外温度低于20度时,甲去打羽毛球的概率为,若已知某天上午甲去打羽毛球,求这一天上午室外温度在20度以下的概率.
22.(2024高二下·攀枝花期末)已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积;
(2)讨论函数的零点个数.
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解:已知随机变量服从正态分布,且,,
则,
所以.
故答案为:D
【分析】由题意可得利用正态分布可得,再利用对称性即可求解.
2.【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解:设等比数列的公比为,
已知,则,
所以.
故答案为:C
【分析】利用等比数列的通项公式列出关于的方程组,解方程组即可求解.
3.【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解:当个位数字是0时,无重复数字的四位偶数的个数是,
当个位数字是2时,无重复数字的四位偶数的个数是,
所以不同的排法种数为.
故答案为:A
【分析】按个位数字是0和2分类,再利用排列即可求解.
4.【答案】D
【知识点】导数的四则运算;简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解:函数,求导得,
,即,
所以.
故答案为:D
【分析】对求导可得,再把代入即可求解.
5.【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解:由导函数的图象易知:
0 0 非负
递增 极大值 递减 极小值 递增
故答案为:C.
【分析】根据导函数的符号确定函数的单调性,确定函数的极值即可.
6.【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件;条件概率
【解析】【解答】解:已知,则,
由,
得,所以.
故答案为:B
【分析】先利用对立事件概率可得,再利用全概率的公式即可求解.
7.【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解:设,(),因为,
由;由.
所以函数在上递减,在上递增.
所以,
又,,所以.
再设,(),因为,
由;由.
所以函数在上递减,在上递增.
所以.
又,即.
故.
故答案为:A
【分析】设,求导可得利用单调性即可;设函数,;利用导函数可得函数单调性,即可.
8.【答案】B
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解:依题意,,
由是唯一的最大值,得,即,
则,整理得,解得,
而,因此,所以.
故答案为:B
【分析】利用二项分布列出不等式可得,再利用二项分布的期望公式即可求解.
9.【答案】B,C
【知识点】二项式系数的性质;二项展开式的通项;二项式系数
【解析】【解答】解:二项式的展开式中各项系数之和是,
令时,则,解得,
A、展开式共7项,故A错误;
B、二项式系数最大的项是第4项,故B正确;
C、二项式展开式的通项:,
令,得,则展开式的常数项,故C正确;
D、由为整数,得,因此展开式的有理项共有4项,故D错误.
故答案为:BC
【分析】利用赋值法求出幂指数可得,再结合展开式的通项,逐项判断即可求解.
10.【答案】A,B,C
【知识点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解:A、,,故A正确;
B、,,故B正确;
C、,故C正确;
D、,故D错误.
故答案为:ABC
【分析】利用期望、方差的定义计算即可判断AD;利用期望、方差的性质计算即可判断CD.
11.【答案】B,C,D
【知识点】向量方法证明线、面的位置关系定理;用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解:以中点为原点,建立空间直角坐标系如图所示:
则,,,,,,,.
所以,,,,.
设平面的法向量为:,
则:,
取.
A、因为,所以平面不成立,故A错误;
B、因为,所以成立,故B正确;
C、点到平面的距离为:,故C正确;
D、设直线与所成的角为,则,故D正确.
故答案为:BCD
【分析】建立空间直角坐标系, 平面的法向量为, 再利用空间向量判断个选项的准确性.
12.【答案】A,C,D
【知识点】函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解:A、由,得是的一个零点,故A正确;
B、函数定义域为,
求导得,由存在两个极值,
得方程有两个不相等的正实根,即有两个变号零点,
因此,且,解得,故B错误;
C、由,,得,则,故C正确;
D、
,
令,求导得,
即在上单调递增,因此,
故D正确.
故答案为:ACD
【分析】求出零点即可判断A;利用题意可得导函数有两个不等的正零点即可判断B;利用一元二次方程根的分布即可判断C;计算并构造函数,求导可得,即可得函数的最小值即可判断D.
13.【答案】4
【知识点】排列及排列数公式;组合及组合数公式
【解析】【解答】解:已知,
则,化简可得,解得,满足题意.
故答案为:4
【分析】利用组合数和排列数公式列方程即可求解.
14.【答案】19
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解:由题意可得,,由线性回归方程一定经过样本中心点,
可得:,所以,即.
当时,.
故答案为:19
【分析】先利用线性回归方程一定经过样本中心点(3,10),即可求,再利用回归方程进行预计即可求解.
15.【答案】30
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解:若甲入选,乙没入选,从除了乙之外的5人选择3人,有种情况,
若乙入选,甲没入选,同理可得,有种情况,
若甲乙均入选,则从除甲乙外的5人中选择2人,有种情况,
综上,共有种情况.
故答案为:30
【分析】分甲入选,乙没入选,乙入选,甲没入选和甲乙均入选三种情况分别求出选法,再利用分类加法计算原理即可求解.
16.【答案】;
【知识点】利用导数研究函数最大(小)值
【解析】【解答】解:(1)的定义域为,,
故在上递增,在上递减,所以是的极大值也即是最大值.
(2)由(1)知在上递增,在上递减,最大值为.
当时,当时,,当时,.
由,即.
由上述分析可知有一个解.
故需有两个不同的解,
由上述分析可知,解得,
所以实数的取值范围是.
故答案为:(1);(2).
【分析】(1)先求导可得,再利用导数求得函数的单调区间,即可求解;
(2)对因式分解,将此方程有三个不同实数解,转化为,的解的个数来求解的取值范围即可求解.
17.【答案】(1)解:函数,求导得,
依题意,,解得,此时,
当或时,当时,,则在处取得极大值,因此,
,由,解得,
所以函数的解析式为.
(2)解:由(1)知,,且函数在上递增,在上递减,
当时,,,
所以函数在上的最大值是,最小值是.
【知识点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数最大(小)值
【解析】【分析】(1)先求导可得,利用导数和极值点、极值的关系建立方程求解并验证即可求解;
(2)由(1)求出函数的单调区间,再求出极值和端点值比较即可求解.
(1)函数,求导得,
依题意,,解得,此时,
当或时,当时,,则在处取得极大值,因此,
,由,解得,
所以函数的解析式为.
(2)由(1)知,,且函数在上递增,在上递减,
当时,,,
所以函数在上的最大值是,最小值是.
18.【答案】(1)解:由表格知:,,
所以,
,
,
由上,有,
所以与之间的线性相关性较强;
(2)解:依题意,完善表格如下:
购置传统燃油车 购置新能源车 总计
男性车主
女性车主
总计
则的观测值,
根据小概率值的独立性检验,我们认为购车车主购置新能源乘用车与性别是有关,此推断犯错误概率不大于.
【知识点】独立性检验的应用;样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】(1)先利用系数公式计算相关系数=0.96,再利用r的大小判断相关性强弱即可求解;
(2)完成联表,根据公式计算=,结合临界值表判断是否有关即可求解.
(1)由表格知:,,
所以,
,
,
由上,有,
所以与之间的线性相关性较强;
(2)依题意,完善表格如下:
购置传统燃油车 购置新能源车 总计
男性车主
女性车主
总计
则的观测值,
根据小概率值的独立性检验,我们认为购车车主购置新能源乘用车与性别是有关,此推断犯错误概率不大于.
19.【答案】(1)解:数列的前项和为,,当时,,
两式相减得,即,由,得,
因此数列是首项为2,公比为2的等比数列,;
由是与的等比中项,得,又,则,
整理得,又,解得,于是,
所以数列的通项公式分别为,.
(2)解:由(1)知,,
,
于是,
两式相减,
所以.
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】(1)先利用与的关系可得,再利用等比中项的定义求出=3,再利用通项公式即可求解;
(2)利用(1)的结论求出,再利用错位丰减法求和即可求解.
(1)数列的前项和为,,当时,,
两式相减得,即,由,得,
因此数列是首项为2,公比为2的等比数列,;
由是与的等比中项,得,又,则,
整理得,又,解得,于是,
所以数列的通项公式分别为,.
(2)由(1)知,,
,
于是,
两式相减得,
所以.
20.【答案】(1)证明:连接交于点,连接,如图所示:
因为为矩形,所以点是是中点,
因为平面,平面,平面平面,
所以,因为点是是中点,
所以点是棱的中点;
(2)解:因为,所以,
因为平面,平面,所以,
因为为矩形,所以,
因为,平面,
所以平面,所以就是与平面所成的角,
可得,,
以为原点,所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示:
则,
,,
设是平面的一个法向量,
可得,所以,
令,可得,所以,
设是平面的一个法向量,
可得,所以,
令,可得,所以,
所以,
所以二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的性质;用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)连接交于点,利用线面平行的性质定理可得即可得证;
(2)利用线面垂直的判定定理可得就是与平面所成的角,求出,以为原点建立空间直角坐标系,可得平面的法向量和平面的一个法向量,再利用二面角的向量求法即可求解.
(1)
连接交于点,连接,
因为为矩形,所以点是是中点,
因为平面,平面,平面平面,
所以,因为点是是中点,
所以点是棱的中点;
(2)因为,所以,
因为平面,平面,所以,
因为为矩形,所以,
因为,平面,
所以平面,所以就是与平面所成的角,
可得,,
以为原点,所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系,
则,
,,
设是平面的一个法向量,
可得,所以,
令,可得,所以,
设是平面的一个法向量,
可得,所以,
令,可得,所以,
所以,
所以二面角的余弦值为.
21.【答案】(1)解:设事件C为“甲上午选择羽毛球”,事件为“甲下午选择羽毛球”,设甲一天中锻炼情况为(羽毛球,足球)的天数为,
则,解得,
所以甲一天中锻炼情况为(足球,羽毛球)的天数为,
体育锻炼项目的情况(上午,下午) (足球,足球) (足球,羽毛球) (羽毛球,足球) (羽毛球,羽毛球)
甲 20天 15天 5天 10天
10天 10天 5天 25天
(2)解:依题意,甲上午 下午选择同一种球的概率为,选择两种球的概率为;
乙上午 下午选择同一种球的概率为,选择两种球的概率为.
记为甲 乙在一天中选择体育锻炼项目个数之差的绝对值,则的所有可能取值为,
,,
所以的分布列为:
所以.
(3)解:记事件为“上午室外温度在20度以下”,事件为“甲上午打羽毛球”,由题意知,
.
故若某天上午甲去打羽毛球,则这一天上午室外温度在20度以下的概率为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式;条件概率
【解析】【分析】(1)先利用条件概率的计算公式得到甲一天中锻炼情况为(羽毛球,足球)的天数为15天,再补充表格内容即可求解;
(2)先利用概率计算公式分别计算甲、乙上午、下午选择同一种球和两种球的概率,再确定的取值,求得每个值对应的概率,即可得分布列,再利用期望公式即可求解;
(3)利用条件概率的计算公式即可求解.
(1)设事件C为“甲上午选择羽毛球”,事件为“甲下午选择羽毛球”,
设甲一天中锻炼情况为(羽毛球,足球)的天数为,
则,解得,
所以甲一天中锻炼情况为(足球,羽毛球)的天数为,
体育锻炼项目的情况(上午,下午) (足球,足球) (足球,羽毛球) (羽毛球,足球) (羽毛球,羽毛球)
甲 20天 15天 5天 10天
10天 10天 5天 25天
(2)依题意,甲上午 下午选择同一种球的概率为,选择两种球的概率为;
乙上午 下午选择同一种球的概率为,选择两种球的概率为.
记为甲 乙在一天中选择体育锻炼项目个数之差的绝对值,则的所有可能取值为,
,,
所以的分布列为:
所以.
(3)记事件为“上午室外温度在20度以下”,事件为“甲上午打羽毛球”,
由题意知,
.
故若某天上午甲去打羽毛球,则这一天上午室外温度在20度以下的概率为.
22.【答案】(1)解:当时,,求导得,则,而,
于是曲线在点处的切线为,即,
直线交轴于点,交于点,
所以曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积.
(2)解:函数的定义域为,
求导得,
当时,则,函数在上单调递减,
显然,当时,,,
则,,,
于是,因此函数有唯一零点;
若,由得,
当时,,当时,,
则在单调递减,在单调递增,,
显然函数在上单调递增,
当时,,函数无零点;
当时,,函数有唯一零点;
当时,,当时,,,
则,,,于是,函数在上有一个零点,
当时,显然,,
,
因此,令,求导得,
即在上单调递增,,于是,
从而函数在上有一个零点,
于是当时,函数有两个零点,
所以当或时,函数有1个零点;当时,有两个零点;当时,无零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程;函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)先把代入求导可得,再利用导数的几何意义可得k=3,出利用点斜式方程即可求解.
(2)先求导可得,再分,,,四类讨论函数的单调性,结合零点存在性定理及函数最值情况探讨零点即可求解.
(1)当时,,求导得,则,而,
于是曲线在点处的切线为,即,
直线交轴于点,交于点,
所以曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积.
(2)函数的定义域为,
求导得,
当时,则,函数在上单调递减,
显然,当时,,,
则,,,
于是,因此函数有唯一零点;
若,由得,
当时,,当时,,
则在单调递减,在单调递增,,
显然函数在上单调递增,
当时,,函数无零点;
当时,,函数有唯一零点;
当时,,当时,,,
则,,,于是,函数在上有一个零点,
当时,显然,,
,
因此,令,求导得,
即在上单调递增,,于是,
从而函数在上有一个零点,
于是当时,函数有两个零点,
所以当或时,函数有1个零点;当时,有两个零点;当时,无零点.
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