综合·融通(二) 动量守恒定律的应用
通过本节课的学习应会解决某个方向上动量守恒问题,会利用动量守恒定律分析和解决多物体、多过程问题,会利用动量守恒定律解决临界问题。动量守恒定律不仅是本章的核心内容,也是整个高中物理的重点,学好本节内容对今后处理物理综合问题以及学习新的物理知识都是至关重要的。
主题(一) 某个方向上动量守恒问题
[知能融会通]
若系统受到的合外力不为零,则系统的动量不守恒。但若在某一方向上合外力为零,则系统在此方向上动量守恒。系统在某一方向动量守恒时,动量守恒表达式为(以水平方向动量守恒为例):m1v1x+m2v2x=m1v1x'+m2v2x'。
[典例] 如图所示,一个小孩将质量为m1的石头以大小为v0、仰角为θ的初速度抛入一个装有沙子的总质量为M的静止的沙车中,沙车与水平地面间的摩擦可以忽略。石头和沙车获得共同速度后,沙车底部出现一小孔,沙子从小孔中漏出,则 ( )
A.石头和沙车的共同速度v=
B.石头和沙车获得共同速度后漏沙过程中系统动量守恒
C.沙子漏出后做直线运动,水平方向的速度变小
D.当漏出质量为m2的沙子时,沙车的速度v'=
听课记录:
[题点全练清]
1.(2025·福建龙岩期末)如图所示,光滑的水平面上静止放置一个表面光滑的弧形槽、物块和滑板,小孩站在静止的滑板上将物块向弧形槽推出,物块滑上弧形槽后未冲出弧形槽的顶端,则 ( )
A.小孩推出物块过程,小孩和物块组成的系统动量守恒
B.物块在弧形槽上运动过程,物块和弧形槽组成的系统动量守恒
C.物块离开弧形槽时的速率比冲上弧形槽时的速率更大
D.物块离开弧形槽时,弧形槽、物块、小孩和滑板组成的系统总动量为0
2.如图所示,质量为m的人立于平板车上,人与车的总质量为M,人与车以速度v1在光滑水平面上向东运动。当此人相对于车以速度v2竖直跳起时,车的速度变为 ( )
A.,向东 B.,向东
C.,向东 D.v1,向东
主题(二) 应用动量守恒定律解决多物体、多过程问题
[知能融会通]
多个物体相互作用时,物理过程往往比较复杂,分析此类问题时应注意:
(1)正确进行研究对象的选取:有时对整体应用动量守恒定律,有时对部分物体应用动量守恒定律。研究对象的选取一是取决于系统是否满足动量守恒的条件,二是根据所研究问题的需要。
(2)正确进行研究过程的选取和分析:通常对全程进行分段分析,并找出联系各阶段的状态量。根据所研究问题的需要,列式时有时需分过程多次应用动量守恒定律,有时只需针对初、末状态建立动量守恒的关系式。
[典例] 如图所示,在光滑水平面上有两个并排静止放置的木块A、B,已知mA=0.5 kg,
mB=0.3 kg。现有质量m0=0.08 kg的小物块C以初速度v0=25 m/s在A表面沿水平方向向右滑动,由于C与A、B间均有摩擦,C最终停在B上,B、C最后的共同速度v=2.5 m/s。求:
(1)木块A的最终速度的大小;
(2)小物块C滑离木块A的瞬时速度的大小。
尝试解答:
[题点全练清]
1.某机车以速度v驶向停在平直铁轨上的三节车厢,与它们对接。机车先与第一节车厢相碰,紧接着又与第二节车厢相碰,之后再与第三节车厢相碰,每次碰后机车与车厢均会达到一个共同的速度。设机车和车厢的质量都相等,忽略铁轨的摩擦,则与最后一节车厢碰撞后整列车的速度为 ( )
A. B. C. D.
2.(2025·山东青岛期末)(多选)如图所示,三辆相同的平板小车a、b、c成一直线排列,静止在光滑水平地面上。c车上一个小孩跳到b车上,接着又立即从b车跳到a车上,小孩跳到b车和从b车跳离时对地的水平速度相同,他跳到a车上没有走动便相对a车保持静止,此后 ( )
A.a、b两车的运动速率相等
B.a、c两车的运动速率相等
C.三辆车的运动速率关系为vc>va>vb
D.a、c两车的运动方向一定相反
主题(三) 应用动量守恒定律解决临界问题
[知能融会通]
在动量守恒定律的应用中,常常出现相互作用的两物体相距最近(或最远)、恰好不相撞、弹簧最长(或最短)或物体开始反向运动等临界状态,其临界条件常常表现为两物体的相对速度关系或相对位移关系,这些特定关系的判断是求解这类问题的关键。
[典例] (2025·河南濮阳阶段检测)如图所示,一个小孩在光滑冰面上进行“滑车”练习,开始时,小孩站在A车前端与车以共同速度v0=9 m/s向右做匀速直线运动,在A车正前方有一辆静止的B车,为了避免两车相撞,在A车接近B车时,小孩迅速从A车跳上B车,又立即从B车跳回A车,此时A、B两车恰好不相撞。已知小孩的质量m=25 kg,A车和B车质量均为mA=mB=100 kg,若小孩跳离A车与跳离B车时对地的水平速度大小相等、方向相反,求:
(1)小孩跳回A车后,他和A车的共同速度大小;
(2)小孩跳离A车和B车时对地的水平速度大小;
(3)小孩跳离A车的过程中对A车的冲量大小。
答题区(面答面评,拍照上传,现场纠错品优)
[题点全练清]
1.如图所示,质量mB=1 kg的平板小车B在光滑水平面上以v1=1 m/s的速度向左匀速运动。当t=0时,质量mA=2 kg的小铁块A以v2=2 m/s的速度水平向右滑上小车,A与小车间的动摩擦因数为μ=0.2。若A最终没有滑出小车,重力加速度g取10 m/s2。则A在小车上相对小车停止运动时,小车的速度大小和方向分别为 ( )
A. m/s,向右 B. m/s,向左
C.1 m/s,向右 D.1 m/s,向左
2.(2025·重庆渝中阶段练习)(多选)如图所示,甲、乙两船的总质量(包括船、人和球)分别为30m0、10m0,两船沿同一直线相向运动,速度大小分别为2v0、v0。为避免两船相撞,甲船上的人不断地将质量为m0的球水平抛向乙船,且被乙船上的人接住,不计水的阻力。下列说法正确的是 ( )
A.若甲船上的人只抛一个球时两船刚好不相撞,乙船上的人接住球后,两船的速度大小为1.25v0
B.若甲船上的人只抛一个球,要避免相撞,球抛出时相对于地面的速度可能为20v0
C.若甲船上的人相对于地面以5v0的速度抛出球,要避免相撞,则至少要抛出4个球
D.若甲船上的人相对于地面以5v0的速度抛出球,要避免相撞,则至少要抛出6个球
综合·融通(二) 动量守恒定律的应用
主题(一)
[典例] 选A 石头与沙车组成的系统在水平方向所受合外力为零，系统在水平方向动量守恒，以水平向右为正方向，由动量守恒定律得m1v0cos θ＝(m1＋M)v，解得石头与沙车的共同速度v＝，故A正确；石头和沙车获得共同速度后漏沙过程中系统所受合外力不为零，系统动量不守恒，故B错误；沙子漏出后在水平方向有初速度，只受重力作用，沙子做平抛运动，水平方向的速度不变，故C错误；漏沙过程中，系统在水平方向所受合外力为零，系统在水平方向动量守恒，系统总质量不变，由动量守恒定律可知，系统在水平方向速度不变，即漏出质量为m2的沙子时，沙车的速度v′＝v＝，故D错误。
[题点全练清]
1．选D 小孩推出物块过程，小孩、滑板和物块组成的系统所受合外力为0，动量守恒，故A错误；物块在弧形槽上运动过程，物块和弧形槽组成的系统水平方向所受合外力为0，所以水平方向动量守恒，但系统动量不守恒，故B错误；物块在弧形槽上上滑和下滑过程，弧形槽对物块做负功，速度减小，物块离开弧形槽时的速率比冲上弧形槽时的速率小，故C错误；初始动量为0，物块离开弧形槽时，弧形槽、物块、小孩和滑板组成的系统总动量为0，故D正确。
2．选D 人和车组成的系统在水平方向上所受合外力为零，系统在水平方向上动量守恒。设向东为正方向，选地面为参考系，初态车和人的总动量为Mv1，末态车的动量为(M－m)v，因为人在水平方向上所受合外力为零，其水平动量保持不变，人在水平方向上相对地面的动量仍为mv1，则有Mv1＝(M－m)v＋mv1，解得v＝v1，故选D。
主题(二)
[典例] 解析：(1)取向右为正方向，设木块A的最终速度为v1，对A、B、C组成的系统，由动量守恒定律有m0v0＝mAv1＋(mB＋m0)v，解得v1＝2.1 m/s。
(2)设小物块C滑离A时的速度为v2，当小物块C滑离A后，对B、C组成的系统，由动量守恒定律有m0v2＋mBv1＝(mB＋m0)v，解得v2＝4 m/s。
答案：(1)2.1 m/s (2)4 m/s
[题点全练清]
1．选A 碰撞过程系统动量守恒，以机车的初速度方向为正方向，根据动量守恒定律，第一次碰撞有mv＝2mv1，解得v1＝v；第二次碰撞有2mv1＝3mv2，解得v2＝v；第三次碰撞有3mv2＝4mv3，解得v3＝v。故选A。
2．选CD 设车的质量为M，小孩的质量为m，小孩从c车上跳出时的水平速度为v，向左跳离c车时，他和c车组成的系统水平方向动量守恒，有mv＝Mvc，可得c车的速度方向向右，大小为vc＝；当小孩跳到b车又从b车跳离时，他和b车组成的系统水平方向动量守恒，小孩跳到b车和从b车跳离时对地的水平速度相同，可知小孩从b车上跳离后，b车速度是零；小孩跳到a车上时，他与a车组成的系统水平方向动量守恒，有mv＝va，可得a车的速度大小va＝，方向向左。由以上分析可知，三辆车的运动速率关系为vc>va>vb，a、c两车的运动方向一定相反，A、B错误，C、D正确。
主题(三)
[典例] 解析：(1)因为A、B两车恰好不相撞，则A、B两车最后具有相同的速度，整个过程中，把小孩、A车、B车看成一个系统，该系统水平方向所受合外力为零，水平方向动量守恒，由动量守恒定律得v0＝v，代入数据解得v＝5 m/s。
(2)规定向右为正方向，设该小孩跳离A车和B车时对地的水平速度大小为v′，则对小孩、B车组成的系统，根据动量守恒定律有mv′＝－mv′＋mBv，解得v′＝10 m/s。
(3)小孩跳离A车的过程，根据动量守恒定律有v0＝mv′＋mAvA′
解得小孩跳离A车时，A车的速度大小为vA′＝8.75 m/s
根据动量定理，可知小孩跳离A车的过程中对A车的冲量大小等于A车动量的变化量大小，即I＝|Δp|＝|mAvA′－mAv0|＝25 N·s。
答案：(1)5 m/s (2)10 m/s (3)25 N·s
[题点全练清]
1．选C A在小车上相对小车停止运动时，A、B将以共同的速度运动，设此时的速度为v，取v1的方向为正方向，由动量守恒定律得－mAv2＋mBv1＝(mA＋mB)v，代入数据解得v＝－1 m/s，负号表示v的方向与v1的方向相反，即向右。故C正确。
2．选AD 若甲船上的人只抛一个球且被乙船上的人接住后，刚好可保证两船不相撞，说明此时两船刚好速度相同，设为v，规定开始时甲船速度方向为正方向，根据动量守恒定律有30m0·2v0＝29m0v＋m0v′，m0v′－10m0v0＝11m0v，解得v＝1.25v0，v′＝23.75v0，故A正确，B错误；设甲船上的人抛出的球的总数至少为n，根据动量守恒定律有30m0·2v0＝m0v＋nm0·5v0，解得n＝6，故C错误，D正确。
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动量守恒定律的应用
综合 融通(二)
通过本节课的学习应会解决某个方向上动量守恒问题，会利用动量守恒定律分析和解决多物体、多过程问题，会利用动量守恒定律解决临界问题。动量守恒定律不仅是本章的核心内容，也是整个高中物理的重点，学好本节内容对今后处理物理综合问题以及学习新的物理知识都是至关重要的。
主题(一) 某个方向上动量守恒问题
主题(二) 应用动量守恒定律解决多物体、多过程问题
01
02
CONTENTS
目录
主题(三) 应用动量守恒定律解决临界问题
课时跟踪检测
03
04
主题(一)
某个方向上动量守恒问题
若系统受到的合外力不为零，则系统的动量不守恒。但若在某一方向上合外力为零，则系统在此方向上动量守恒。系统在某一方向动量守恒时，动量守恒表达式为(以水平方向动量守恒为例)：m1v1x+m2v2x=m1v1x'+m2v2x'。
知能融会通
[典例] 如图所示，一个小孩将质量为m1的石头以大小为v0、仰角为θ的初速度抛入一个装有沙子的总质量为M的静止的沙车中，沙车与水平地面间的摩擦可以忽略。石头和沙车获得共同速度后，沙车底部出现一小孔，沙子从小孔中漏出，则 ( )
A.石头和沙车的共同速度v=
B.石头和沙车获得共同速度后漏沙过程中系统动量守恒
C.沙子漏出后做直线运动，水平方向的速度变小
D.当漏出质量为m2的沙子时，沙车的速度v'=
√
[解析] 石头与沙车组成的系统在水平方向所受合外力为零，系统在水平方向动量守恒，以水平向右为正方向，由动量守恒定律得m1v0cos θ=(m1+M)v，解得石头与沙车的共同速度v=，故A正确;石头和沙车获得共同速度后漏沙过程中系统所受合外力不为零，系统动量不守恒，故B错误;沙子漏出后在水平方向有初速度，只受重力作用，沙子做平抛运动，水平方向的速度不变，故C错误;漏沙过程中，系统在水平方向所受合外力为零，系统在水平方向动量守恒，系统总质量不变，由动量守恒定律可知，系统在水平方向速度不变，即漏出质量为m2的沙子时，沙车的速度v'=v=，故D错误。
1.(2025·福建龙岩期末)如图所示，光滑的水平面上静止放置一个表面光滑的弧形槽、物块和滑板，小孩站在静止的滑板上将物块向弧形槽推出，物块滑上弧形槽后未冲出弧形槽的顶端，则 ( )
题点全练清
A.小孩推出物块过程，小孩和物块组成的系统动量守恒
B.物块在弧形槽上运动过程，物块和弧形槽组成的系统动量守恒
C.物块离开弧形槽时的速率比冲上弧形槽时的速率更大
D.物块离开弧形槽时，弧形槽、物块、小孩和滑板组成的系统总动量为0
√
解析：小孩推出物块过程，小孩、滑板和物块组成的系统所受合外力为0，动量守恒，故A错误;物块在弧形槽上运动过程，物块和弧形槽组成的系统水平方向所受合外力为0，所以水平方向动量守恒，但系统动量不守恒，故B错误;物块在弧形槽上上滑和下滑过程，弧形槽对物块做负功，速度减小，物块离开弧形槽时的速率比冲上弧形槽时的速率小，故C错误;初始动量为0，物块离开弧形槽时，弧形槽、物块、小孩和滑板组成的系统总动量为0，故D正确。
2.如图所示，质量为m的人立于平板车
上，人与车的总质量为M，人与车以速度v1
在光滑水平面上向东运动。当此人相对于车
以速度v2竖直跳起时，车的速度变为 ( )
A.，向东 B.，向东
C.，向东 D.v1，向东
√
解析：人和车组成的系统在水平方向上所受合外力为零，系统在水平方向上动量守恒。设向东为正方向，选地面为参考系，初态车和人的总动量为Mv1，末态车的动量为(M-m)v，因为人在水平方向上所受合外力为零，其水平动量保持不变，人在水平方向上相对地面的动量仍为mv1，则有Mv1=(M-m)v+mv1，解得v=v1，故选D。
主题(二) 应用动量守恒定律解决多物体、多过程问题
多个物体相互作用时，物理过程往往比较复杂，分析此类问题时应注意：
(1)正确进行研究对象的选取：有时对整体应用动量守恒定律，有时对部分物体应用动量守恒定律。研究对象的选取一是取决于系统是否满足动量守恒的条件，二是根据所研究问题的需要。
知能融会通
(2)正确进行研究过程的选取和分析：通常对全程进行分段分析，并找出联系各阶段的状态量。根据所研究问题的需要，列式时有时需分过程多次应用动量守恒定律，有时只需针对初、末状态建立动量守恒的关系式。
[典例] 如图所示，在光滑水平面上有两个并排静止放置的木块A、B，已知mA=0.5 kg，mB=0.3 kg。现有质量m0=0.08 kg的小物块C以初速度v0=25 m/s在A表面沿水平方向向右滑动，由于C与A、B间均有摩擦，C最终停在B上，B、C最后的共同速度v=2.5 m/s。求：
(1)木块A的最终速度的大小;
[答案] 2.1 m/s
[解析] 取向右为正方向，设木块A的最终速度为v1，对A、B、C组成的系统，由动量守恒定律有m0v0=mAv1+(mB+m0)v，解得v1=
2.1 m/s。
(2)小物块C滑离木块A的瞬时速度的大小。
[答案] 4 m/s
[解析] 设小物块C滑离A时的速度为v2，当小物块C滑离A后，对B、C组成的系统，由动量守恒定律有m0v2+mBv1=(mB+m0)v，解得v2= 4 m/s。
1.某机车以速度v驶向停在平直铁轨上的三节车厢，与它们对接。机车先与第一节车厢相碰，紧接着又与第二节车厢相碰，之后再与第三节车厢相碰，每次碰后机车与车厢均会达到一个共同的速度。设机车和车厢的质量都相等，忽略铁轨的摩擦，则与最后一节车厢碰撞后整列车的速度为 ( )
A. B. C. D.
题点全练清
√
解析：碰撞过程系统动量守恒，以机车的初速度方向为正方向，根据动量守恒定律，第一次碰撞有mv=2mv1，解得v1=v;第二次碰撞有2mv1=3mv2，解得v2=v;第三次碰撞有3mv2=4mv3，解得v3=v。故选A。
2.(2025·山东青岛期末)(多选)如图所示，三辆相同的平板小车a、b、c成一直线排列，静止在光滑水平地面上。c车上一个小孩跳到b车上，接着又立即从b车跳到a车上，小孩跳到b车和从b车跳离时对地的水平速度相同，他跳到a车上没有走动便相对a车保持静止，此后 ( )
A.a、b两车的运动速率相等
B.a、c两车的运动速率相等
C.三辆车的运动速率关系为vc>va>vb
D.a、c两车的运动方向一定相反
√
√
解析：设车的质量为M，小孩的质量为m，小孩从c车上跳出时的水平速度为v，向左跳离c车时，他和c车组成的系统水平方向动量守恒，有mv=Mvc，可得c车的速度方向向右，大小为vc=;当小孩跳到b车又从b车跳离时，他和b车组成的系统水平方向动量守恒，小孩跳到b车和从b车跳离时对地的水平速度相同，可知小孩从b车上跳离后，b车速度是零;小孩跳到a车上时，他与a车组成的系统水平方向动量守恒，有mv=va，可得a车的速度大小va=，方向向左。由以上分析可知，三辆车的运动速率关系为vc>va>vb，a、c两车的运动方向一定相反，A、B错误，C、D正确。
主题(三) 应用动量守恒 定律解决临界问题
在动量守恒定律的应用中，常常出现相互作用的两物体相距最近(或最远)、恰好不相撞、弹簧最长(或最短)或物体开始反向运动等临界状态，其临界条件常常表现为两物体的相对速度关系或相对位移关系，这些特定关系的判断是求解这类问题的关键。
知能融会通
[典例] (2025·河南濮阳阶段检测)如图所示，一个小孩在光滑冰面上进行“滑车”练习，开始时，小孩站在A车前端与车以共同速度v0=9 m/s向右做匀速直线运动，在A车正前方有一辆静止的B车，为了避免两车相撞，在A车接近B车时，小孩迅速从A车跳上B车，又立即从B车跳回A车，此时A、B两车恰好不相撞。已知小孩的质量m=25 kg，A车和B车质量均为mA=mB=100 kg，若小孩跳离A车与跳离B车时对地的水平速度大小相等、方向相反，求：
(1)小孩跳回A车后，他和A车的共同速度大小;
[答案] 5 m/s
[解析] 因为A、B两车恰好不相撞，则A、B两车最后具有相同的速度，整个过程中，把小孩、A车、B车看成一个系统，该系统水平方向所受合外力为零，水平方向动量守恒，由动量守恒定律得v0=v，代入数据解得v=5 m/s。
(2)小孩跳离A车和B车时对地的水平速度大小;
[答案] 10 m/s
[解析] 规定向右为正方向，设该小孩跳离A车和B车时对地的水平速度大小为v'，则对小孩、B车组成的系统，根据动量守恒定律有mv'=-mv'+mBv，解得v'=10 m/s。
(3)小孩跳离A车的过程中对A车的冲量大小。
[答案] 25 N·s
[解析] 小孩跳离A车的过程，根据动量守恒定律有v0=mv'+mAvA'
解得小孩跳离A车时，A车的速度大小为vA'=8.75 m/s
根据动量定理，可知小孩跳离A车的过程中对A车的冲量大小等于A车动量的变化量大小，即I=|Δp|=|mAvA'-mAv0|=25 N·s。
1.如图所示，质量mB=1 kg的平板小车B在光滑水平面上以v1= 1 m/s的速度向左匀速运动。当t=0时，质量mA=2 kg的小铁块A以v2= 2 m/s的速度水平向右滑上小车，A与小车间的动摩擦因数为μ=0.2。若A最终没有滑出小车，重力加速度g取10 m/s2。则A在小车上相对小车停止运动时，小车的速度大小和方向分别为 ( )
题点全练清
A. m/s，向右 B. m/s，向左
C.1 m/s，向右 D.1 m/s，向左
√
解析：A在小车上相对小车停止运动时，A、B将以共同的速度运动，设此时的速度为v，取v1的方向为正方向，由动量守恒定律得-mAv2+mBv1=(mA+mB)v，代入数据解得v=-1 m/s，负号表示v的方向与v1的方向相反，即向右。故C正确。
2.(2025·重庆渝中阶段练习)(多选)如图所示，甲、乙两船的总质量(包括船、人和球)分别为30m0、10m0，两船沿同一直线相向运动，速度大小分别为2v0、v0。为避免两船相撞，甲船上的人不断地将质量为m0的球水平抛向乙船，且被乙船上的人接住，不计水的阻力。下列说法正确的是 ( )
A.若甲船上的人只抛一个球时两船刚好不相撞，乙船上的人接住球后，两船的速度大小为1.25v0
B.若甲船上的人只抛一个球，要避免相撞，球抛出时相对于地面的速度可能为20v0
C.若甲船上的人相对于地面以5v0的速度抛出球，要避免相撞，则至少要抛出4个球
D.若甲船上的人相对于地面以5v0的速度抛出球，要避免相撞，则至少要抛出6个球
√
√
解析：若甲船上的人只抛一个球且被乙船上的人接住后，刚好可保证两船不相撞，说明此时两船刚好速度相同，设为v，规定开始时甲船速度方向为正方向，根据动量守恒定律有30m0·2v0=29m0v+m0v'，m0v'-10m0v0=11m0v，解得v=1.25v0，v'=23.75v0，故A正确，B错误;设甲船上的人抛出的球的总数至少为n，根据动量守恒定律有30m0·2v0=m0v+nm0·5v0，解得n=6，故C错误，D正确。
课时跟踪检测
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1.如图所示，在光滑水平面上放一个质量为M的斜面体，质量为m的物体沿斜面(斜面光滑)由静止开始自由下滑，
下列说法中正确的是 ( )
A.斜面体和物体组成的系统动量守恒，机械能也守恒
B.斜面体和物体组成的系统动量守恒，机械能不守恒
C.斜面体和物体组成的系统水平方向动量守恒，机械能也守恒
D.斜面体和物体组成的系统动量不守恒，机械能也不守恒
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解析：斜面体和物体组成的系统，在竖直方向上所受的合力不为零，系统动量不守恒;在水平方向上不受外力，水平方向上动量守恒;斜面与水平面光滑，只有重力做功，系统机械能守恒。故选C。
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2.(2025·黑龙江大庆阶段测评)如图所示，有A、B两个质量均为m的小车，在光滑的水平地面上以相等的速率v0在同一直线上相向运动，A车上有一质量为2m的人，他现在从A车跳到B车上，为了避免两车相撞，他跳离A车时的速率(相对地面)最小为 ( )
A.v0 B.v0 C.v0 D.3v0
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解析：当人以最小速率跳离A车时，两车与人最终有相同速度，方向均向右，此时两车刚好不相撞，以人跳离A车时的速度方向为正方向，对A车与人组成的系统，有v0=mv1+2mvmin，对B车与人组成的系统，有2mvmin-mv0=v1，解得vmin=v0，故选B。
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3.(多选)如图所示，装有一定质量沙子的小车静止在光滑的水平面上，将一个铁球从某一高度处以大小为v0的初速度水平抛出，小球落入车内并陷入沙中，最终与车一起向右匀速运动。不计空气阻力，则下列说法正确的是 ( )
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8
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10
2
3
4
A.小球陷入沙中越深，小车最终的速度越大
B.小球抛出时的高度越高，小车最终的速度越大
C.小球陷入沙中的过程，小球和沙、车组成的系统动量不守恒，机械能不守恒
D.若小车匀速运动后车上有一缝隙漏沙子，车上沙子越来越少，车子的速度保持不变
√
√
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4
解析：设小球与车、沙组成的系统的最终速度为v，系统在水平方向动量守恒，由mv0=v可知，小球陷入沙中的深浅、抛出时的高低与最终速度无关，故A、B错误;小球陷入沙中的过程，小球在竖直方向做变速运动，系统在竖直方向所受合力不为零，因此系统动量不守恒，由于小球与沙的摩擦损失机械能，因此系统机械能不守恒，故C正确;若小车匀速运动后车上有一缝隙漏沙子，漏出的沙子做平抛运动，水平方向速度不变，根据系统水平方向动量守恒可知，车的速度保持不变，故D正确。
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4.(2025·甘肃天水阶段练习)(多选)如图所示，将一光滑的半圆槽置于光滑水平面上，槽的左侧有一固定在水平面上的物块。现让一小球自左侧槽口A的正上方由静止开始下落，与半圆槽相切自A点进入槽内，并从C点飞出，则以下结论中正确的是 ( )
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A.小球在半圆槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B.小球在半圆槽内运动的全过程中，小球与半圆槽在水平方向动量守恒
C.小球自半圆槽的最低点B向C点运动的过程中，小球与半圆槽在水平方向动量守恒
D.小球离开C点以后，将做斜上抛运动
√
√
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解析：小球在半圆槽内由A向B运动时，由于半圆槽的左侧有一固定在水平面上的物块，半圆槽不会向左运动，则只有重力对小球做功，小球的机械能守恒;小球从A到B运动的过程，小球和半圆槽组成的系统在水平方向上所受的合外力不为零，水平方向动量不守恒;小球从B到C运动的过程中，半圆槽向右运动，系统在水平方向上所受的合外力为零，水平方向动量守恒，半圆槽的支持力对小球做功，小球的机械能不守恒，故A、B错误，C正确。小球离开C点时，既有竖直向上的分速度，又有水平分速度，小球做斜上抛运动，故D正确。
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5.(2025·河南洛阳阶段测评)(多选)如图所示，质量为M的滑块A放在光滑的水平面上，轻杆一端用活动铰链与A相连，另一端固定一个质量为m的小球B，开始时杆竖直，A、B均静止。给B一个小的扰动，使B从静止开始在竖直面内运动。若A固定在地面上，杆水平时B的速度大小为v1;若A不固定，杆水平时B的速度大小为v2，A的速度大小为v3。不计空气阻力，则下列判断正确的是 ( )
A.v1>v2 B.v1=v2
C.mv2=Mv3 D.v3=0
√
√
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解析：当A不固定时，初始时系统水平方向的总动量为零，当杆水平时，A、B水平方向速度相同，根据水平方向动量守恒可知，当杆水平时，A、B水平方向速度为零，即A的速度大小v3=0，B的速度竖直向下，D正确，C错误;根据机械能守恒定律可知，若A固定在地面上，有mgl=m，若A不固定在地面上，有mgl=m，即v1=v2，则B正确，A错误。
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6.(2025·贵州贵阳阶段练习)水平冰面上有一固定的竖直挡板，一滑冰运动员面对挡板静止在冰面上，他把一质量为4.0 kg的静止物块以大小为5.0 m/s的速度沿与挡板垂直的方向推向挡板，运动员获得退行速度;物块与挡板碰撞后速度大小不变、方向反向，追上运动员时，运动员又把物块推向挡板，使其再一次以大小为5.0 m/s的速度与挡板碰撞。总共经过8次这样推物块后，运动员退行速度的大小大于5.0 m/s，反弹的物块不能再追上运动员。不计冰面的摩擦力，该运动员的质量可能为 ( )
A.50 kg B.55 kg
C.65 kg D.70 kg
√
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解析：设运动员和物块的质量分别为m、m0，规定运动员运动的方向为正方向，运动员开始时静止，第一次将物块推出后，运动员和物块的速度大小分别为v1、v0，则根据动量守恒定律0=mv1-m0v0，解得v1=v0;物块与挡板撞击后，运动方向与运动员运动方向相同，当运动员再次推出物块时有mv1+m0v0=mv2-m0v0，解得v2=v0;第3次推出物块后有mv2+m0v0=mv3-m0v0，解得v3=v0;
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依次类推，第7次推出物块后，运动员的速度v7=v0，第8次推出物块后，运动员的速度v8=v0，根据题意可知v8=v0>5 m/s，v7=v0<5 m/s，解得52 kg1
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7.(2025·河南信阳期中)如图所示，质量分别为2m、m的木块A和B并排放在光滑水平面上，A上固定一竖直轻杆，轻杆上端的O点系一长为L的细线，细线另一端系一质量为m的小球C。现将小球拉起使细线水平伸直，并由静止释放小球，则 ( )
A.A、B、C组成的系统机械能不守恒
B.A、B、C组成的系统在竖直方向上动量守恒
C.A、B两木块分离时木块A的速度大小为
D.小球C第一次到最低点时的速度大小为
√
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解析：由题知水平面光滑，A、B、C组成的系统只有重力做功，机械能守恒，A错误;小球摆动过程，A、B、C组成的系统水平方向不受外力，水平方向动量守恒，但竖直方向动量不守恒，B错误;当小球C第一次到达最低点时两木块分离，设此时小球C的速度大小为vC、A的速度大小为vA，由动量守恒定律有mvC=3mvA，由机械能守恒定律有mgL=m+×3m，联立解得vA=，vC=，C正确，D错误。
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8.(8分)甲、乙两小孩各乘一辆小车在光滑水平面上匀速相向行驶，速度均为6 m/s。甲的车上有质量为m=1 kg的小球若干个，甲和他的车及所带小球的总质量为M1=50 kg，乙和他的车总质量为M2=30 kg。现为避免相撞，甲不断地将小球以相对地面16.5 m/s的水平速度抛向乙，且被乙接住。假设某一次甲将小球抛出且被乙接住后刚好可保证两车不相撞，此时：
(1)两车的速度大小各为多少 (4分)
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答案：1.5 m/s 1.5 m/s
解析：当甲和他的车与乙和他的车具有共同速度时，可保证刚好不相撞，设共同速度为v，以甲和他的车的初速度方向为正方向，则根据动量守恒定律有M1v0-M2v0=(M1+M2)v，解得v=1.5 m/s。
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(2)甲总共抛出了多少个小球 (4分)
答案：15
解析：以甲和他的车的初速度方向为正方向，对甲和他的车及所带的小球，由动量守恒定律得M1v0=(M1-nm)v+nmv'，解得甲总共抛出的小球的个数为n=15。
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9.(8分)如图所示，甲、乙两小孩各乘一辆冰车在光滑水平冰面上游戏，甲和他的冰车总质量为30 kg，乙和他的冰车总质量也为30 kg，游戏时甲推着一质量为10 kg的木箱，和他一起以v0=3.5 m/s的速度向右滑行，乙在甲的正前方相对地面静止，为避免碰撞，甲将木箱推给乙，使木箱与乙一起运动，则甲至少以相对冰面多大的速度将箱子推出才能避免与乙相撞
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答案：8 m/s
解析：设甲至少以速度v将箱子推出，推出箱子后甲的速度为v甲，乙获得的速度为v乙，取向右为正方向，以甲和箱子为系统，根据动量守恒定律，得(M甲+m)v0=M甲v甲+mv，
以箱子和乙为系统，得mv=(m+M乙)v乙，
当甲与乙恰好不相撞时v甲=v乙，
联立解得v=8 m/s。
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10.(10分)将两个完全相同的磁铁(磁性极强)分别固定在质量相等的小车上，水平面光滑。开始时甲车速度大小为3 m/s、方向向右，乙车速度大小为2 m/s、方向向左并与甲车速度方向在同一直线上，如图所示。
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(1)当乙车速度为零时，甲车的速度多大 方向如何 (5分)
解析：两个小车及磁铁组成的系统在水平方向不受外力作用，两磁铁之间的磁力是系统内力，系统动量守恒，设向右为正方向，v甲=3 m/s，v乙=-2 m/s。
根据动量守恒定律得mv甲+mv乙=mv甲'
解得v甲'=v甲+v乙=(3-2)m/s=1 m/s，
方向向右。
答案：1 m/s，方向向右
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(2)由于磁性极强，故两车不会相碰，那么两车的距离最近时，乙车的速度是多大 方向如何 (5分)
解析：两车的距离最近时，两车速度相同，设为v'，
由动量守恒定律得mv甲+mv乙=mv'+mv'
解得v'== m/s=0.5 m/s，
方向向右。
答案：0.5 m/s，方向向右课时跟踪检测(五) 动量守恒定律的应用
1.如图所示,在光滑水平面上放一个质量为M的斜面体,质量为m的物体沿斜面(斜面光滑)由静止开始自由下滑,下列说法中正确的是 ( )
A.斜面体和物体组成的系统动量守恒,机械能也守恒
B.斜面体和物体组成的系统动量守恒,机械能不守恒
C.斜面体和物体组成的系统水平方向动量守恒,机械能也守恒
D.斜面体和物体组成的系统动量不守恒,机械能也不守恒
2.(2025·黑龙江大庆阶段测评)如图所示,有A、B两个质量均为m的小车,在光滑的水平地面上以相等的速率v0在同一直线上相向运动,A车上有一质量为2m的人,他现在从A车跳到B车上,为了避免两车相撞,他跳离A车时的速率(相对地面)最小为 ( )
A.v0 B.v0
C.v0 D.3v0
3.(多选)如图所示,装有一定质量沙子的小车静止在光滑的水平面上,将一个铁球从某一高度处以大小为v0的初速度水平抛出,小球落入车内并陷入沙中,最终与车一起向右匀速运动。不计空气阻力,则下列说法正确的是 ( )
A.小球陷入沙中越深,小车最终的速度越大
B.小球抛出时的高度越高,小车最终的速度越大
C.小球陷入沙中的过程,小球和沙、车组成的系统动量不守恒,机械能不守恒
D.若小车匀速运动后车上有一缝隙漏沙子,车上沙子越来越少,车子的速度保持不变
4.(2025·甘肃天水阶段练习)(多选)如图所示,将一光滑的半圆槽置于光滑水平面上,槽的左侧有一固定在水平面上的物块。现让一小球自左侧槽口A的正上方由静止开始下落,与半圆槽相切自A点进入槽内,并从C点飞出,则以下结论中正确的是 ( )
A.小球在半圆槽内运动的全过程中,只有重力对它做功
B.小球在半圆槽内运动的全过程中,小球与半圆槽在水平方向动量守恒
C.小球自半圆槽的最低点B向C点运动的过程中,小球与半圆槽在水平方向动量守恒
D.小球离开C点以后,将做斜上抛运动
5.(2025·河南洛阳阶段测评)(多选)如图所示,质量为M的滑块A放在光滑的水平面上,轻杆一端用活动铰链与A相连,另一端固定一个质量为m的小球B,开始时杆竖直,A、B均静止。给B一个小的扰动,使B从静止开始在竖直面内运动。若A固定在地面上,杆水平时B的速度大小为v1;若A不固定,杆水平时B的速度大小为v2,A的速度大小为v3。不计空气阻力,则下列判断正确的是 ( )
A.v1>v2 B.v1=v2
C.mv2=Mv3 D.v3=0
6.(2025·贵州贵阳阶段练习)水平冰面上有一固定的竖直挡板,一滑冰运动员面对挡板静止在冰面上,他把一质量为4.0 kg的静止物块以大小为5.0 m/s的速度沿与挡板垂直的方向推向挡板,运动员获得退行速度;物块与挡板碰撞后速度大小不变、方向反向,追上运动员时,运动员又把物块推向挡板,使其再一次以大小为5.0 m/s的速度与挡板碰撞。总共经过8次这样推物块后,运动员退行速度的大小大于5.0 m/s,反弹的物块不能再追上运动员。不计冰面的摩擦力,该运动员的质量可能为 ( )
A.50 kg B.55 kg
C.65 kg D.70 kg
7.(2025·河南信阳期中)如图所示,质量分别为2m、m的木块A和B并排放在光滑水平面上,A上固定一竖直轻杆,轻杆上端的O点系一长为L的细线,细线另一端系一质量为m的小球C。现将小球拉起使细线水平伸直,并由静止释放小球,则 ( )
A.A、B、C组成的系统机械能不守恒
B.A、B、C组成的系统在竖直方向上动量守恒
C.A、B两木块分离时木块A的速度大小为
D.小球C第一次到最低点时的速度大小为
8.(8分)甲、乙两小孩各乘一辆小车在光滑水平面上匀速相向行驶,速度均为6 m/s。甲的车上有质量为m=1 kg的小球若干个,甲和他的车及所带小球的总质量为M1=50 kg,乙和他的车总质量为M2=30 kg。现为避免相撞,甲不断地将小球以相对地面16.5 m/s的水平速度抛向乙,且被乙接住。假设某一次甲将小球抛出且被乙接住后刚好可保证两车不相撞,此时:
(1)两车的速度大小各为多少 (4分)
(2)甲总共抛出了多少个小球 (4分)
9.(8分)如图所示,甲、乙两小孩各乘一辆冰车在光滑水平冰面上游戏,甲和他的冰车总质量为30 kg,乙和他的冰车总质量也为30 kg,游戏时甲推着一质量为10 kg的木箱,和他一起以v0=3.5 m/s的速度向右滑行,乙在甲的正前方相对地面静止,为避免碰撞,甲将木箱推给乙,使木箱与乙一起运动,则甲至少以相对冰面多大的速度将箱子推出才能避免与乙相撞
10.(10分)将两个完全相同的磁铁(磁性极强)分别固定在质量相等的小车上,水平面光滑。开始时甲车速度大小为3 m/s、方向向右,乙车速度大小为2 m/s、方向向左并与甲车速度方向在同一直线上,如图所示。
(1)当乙车速度为零时,甲车的速度多大 方向如何 (5分)
(2)由于磁性极强,故两车不会相碰,那么两车的距离最近时,乙车的速度是多大 方向如何 (5分)
课时跟踪检测(五)
1．选C 斜面体和物体组成的系统，在竖直方向上所受的合力不为零，系统动量不守恒；在水平方向上不受外力，水平方向上动量守恒；斜面与水平面光滑，只有重力做功，系统机械能守恒。故选C。
2．选B 当人以最小速率跳离A车时，两车与人最终有相同速度，方向均向右，此时两车刚好不相撞，以人跳离A车时的速度方向为正方向，对A车与人组成的系统，有v0＝mv1＋2mvmin，对B车与人组成的系统，有2mvmin－mv0＝v1，解得vmin＝v0，故选B。
3．选CD 设小球与车、沙组成的系统的最终速度为v，系统在水平方向动量守恒，由mv0＝v可知，小球陷入沙中的深浅、抛出时的高低与最终速度无关，故A、B错误；小球陷入沙中的过程，小球在竖直方向做变速运动，系统在竖直方向所受合力不为零，因此系统动量不守恒，由于小球与沙的摩擦损失机械能，因此系统机械能不守恒，故C正确；若小车匀速运动后车上有一缝隙漏沙子，漏出的沙子做平抛运动，水平方向速度不变，根据系统水平方向动量守恒可知，车的速度保持不变，故D正确。
4．选CD 小球在半圆槽内由A向B运动时，由于半圆槽的左侧有一固定在水平面上的物块，半圆槽不会向左运动，则只有重力对小球做功，小球的机械能守恒；小球从A到B运动的过程，小球和半圆槽组成的系统在水平方向上所受的合外力不为零，水平方向动量不守恒；小球从B到C运动的过程中，半圆槽向右运动，系统在水平方向上所受的合外力为零，水平方向动量守恒，半圆槽的支持力对小球做功，小球的机械能不守恒，故A、B错误，C正确。小球离开C点时，既有竖直向上的分速度，又有水平分速度，小球做斜上抛运动，故D正确。
5．选BD 当A不固定时，初始时系统水平方向的总动量为零，当杆水平时，A、B水平方向速度相同，根据水平方向动量守恒可知，当杆水平时，A、B水平方向速度为零，即A的速度大小v3＝0，B的速度竖直向下，D正确，C错误；根据机械能守恒定律可知，若A固定在地面上，有mgl＝mv12，若A不固定在地面上，有mgl＝mv22，即v1＝v2，则B正确，A错误。
6．选B 设运动员和物块的质量分别为m、m0，规定运动员运动的方向为正方向，运动员开始时静止，第一次将物块推出后，运动员和物块的速度大小分别为v1、v0，则根据动量守恒定律0＝mv1－m0v0，解得v1＝v0；物块与挡板撞击后，运动方向与运动员运动方向相同，当运动员再次推出物块时有mv1＋m0v0＝mv2－m0v0，解得v2＝v0；第3次推出物块后有mv2＋m0v0＝mv3－m0v0，解得v3＝v0；依次类推，第7次推出物块后，运动员的速度v7＝v0，第8次推出物块后，运动员的速度v8＝v0，根据题意可知v8＝v0>5 m/s，v7＝v0<5 m/s，解得52 kg7．选C 由题知水平面光滑，A、B、C组成的系统只有重力做功，机械能守恒，A错误；小球摆动过程，A、B、C组成的系统水平方向不受外力，水平方向动量守恒，但竖直方向动量不守恒，B错误；当小球C第一次到达最低点时两木块分离，设此时小球C的速度大小为vC、A的速度大小为vA，由动量守恒定律有mvC＝3mvA，由机械能守恒定律有mgL＝mvC2＋×3mvA2，联立解得vA＝，vC＝，C正确，D错误。
8．解析：(1)当甲和他的车与乙和他的车具有共同速度时，可保证刚好不相撞，设共同速度为v，以甲和他的车的初速度方向为正方向，则根据动量守恒定律有M1v0－M2v0＝(M1＋M2)v，解得v＝1.5 m/s。
(2)以甲和他的车的初速度方向为正方向，对甲和他的车及所带的小球，由动量守恒定律得M1v0＝(M1－nm)v＋nmv′，解得甲总共抛出的小球的个数为n＝15。
答案：(1)1.5 m/s 1.5 m/s (2)15
9．解析：设甲至少以速度v将箱子推出，推出箱子后甲的速度为v甲，乙获得的速度为v乙，取向右为正方向，以甲和箱子为系统，根据动量守恒定律，得(M甲＋m)v0＝M甲v甲＋mv，
以箱子和乙为系统，得mv＝(m＋M乙)v乙，
当甲与乙恰好不相撞时v甲＝v乙，
联立解得v＝8 m/s。
答案：8 m/s
10．解析：两个小车及磁铁组成的系统在水平方向不受外力作用，两磁铁之间的磁力是系统内力，系统动量守恒，设向右为正方向，v甲＝3 m/s，v乙＝－2 m/s。
(1)根据动量守恒定律得mv甲＋mv乙＝mv甲′
解得v甲′＝v甲＋v乙＝(3－2)m/s＝1 m/s，方向向右。
(2)两车的距离最近时，两车速度相同，设为v′，
由动量守恒定律得mv甲＋mv乙＝mv′＋mv′
解得v′＝＝ m/s＝0.5 m/s，方向向右。
答案：(1)1 m/s，方向向右 (2)0.5 m/s，方向向右
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