青海省海南藏族自治州高级中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷（含解析）

青海省海南藏族自治州高级中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．化简（ ）
A． B．0 C． D．
2．已知i为虚数单位，（ ）
A． B． C． D．
3．一球体的表面积为，该球体的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平行四边形中，，则 （ ）
A． B．
C． D．
5．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则的大小为（ ）
A．30°或150° B．60°或120° C．30° D．60°
6．已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（ ）
A．640元 B．512元 C．390元 D．347.5元
8．在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数，为虚数单位，其共轭复数为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的虚部为
C．对应的点位于复平面的第三象限 D．
10．已知向量，则（ ）
A．向量的夹角为
B．若，则
C．若，则
D．向量在向量上的投影向量为
11．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为
B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和
D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小
三、填空题
12．复数的模长为 ．
13．已知圆锥的底面半径为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的表面积为 .
14．已知一个球内切于正方体，且这个球的体积为，那么这个正方体的体积为 ．
四、解答题
15．已知复数，其中.
(1)若，求的值；
(2)若是纯虚数，求的值；
(3)若对应的点在第一象限，求的取值范围.
16．已知按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，．
（Ⅰ）画出的原图并求其面积：
（Ⅱ）若以的边BA为旋转轴旋转一周，求所得几何体的体积和表面积．
17．已知三内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求角；
(2)若，的面积为，求．
18．如图，在矩形和四分之一的拼接的平面图形中，，，将该图形绕所在直线旋转一周形成的面所围成的旋转体记为．
(1)求的体积；
(2)求的表面积．
19．如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km.
(1)求；
(2)求，之间的距离.
青海省海南藏族自治州高级中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B B C A B B CD AC
题号 11
答案 ABC
1．D
【详解】.
故选：D.
2．B
【详解】
故选：B
3．B
【详解】设球体半径为，则该球的表面积为，可得，
因此，该球的体积为.
故选：B.
4．B
【详解】根据向量的线性运算法则，可得.
故选：B.
5．C
【详解】由正弦定理得，即，解得，
又为三角形内角，所以或150°，
又因为，所以，即，
故选：C.
6．A
【详解】如图，在正四棱锥中，为四棱锥的高，为侧面的高，
因为正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，
所以，解得，
，
所以，
故选：A.
7．B
【详解】因为正四棱台中，，高为8cm，
则侧面的斜高为.
所以.
所以该四棱台的表面积为，
又每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，
所以该部件的防腐处理费用是元.
故选：B.
8．B
【详解】由于两两垂直,将该三棱锥放入正方体中，如图：
故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，
故该三棱锥外接球的半径.
所以外接球的体积.
故选：B
9．CD
【详解】因为，则.
对于A选项，，A错；
对于B选项，的虚部为，B错；
对于C选项，对应的点的坐标为，位于第三象限，C对；
对于D选项，，D对.
故选：CD.
10．AC
【详解】对于A，向量的夹角的余弦值为，即向量的夹角为，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，若，则存在实数，使得，
因为，所以不共线，所以，故C正确；
对于D，向量在向量上的投影向量为，故D错误.
故选：AC.
11．ABC
【详解】对于A：圆柱的侧面积为，所以A选项正确．
对于B：圆锥的侧面积为，所以B选项正确．
对于C：圆锥的体积为，圆柱的体积为，
球的体积为，所以圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和，所以C选项正确．
对于D：球的表面积为，圆柱的表面积为，
圆锥的表面积为，所以圆锥的表面积最小，故D错误.
故选：ABC.
12．5
【详解】根据题意，.
所以.
故答案为：5.
13．
【详解】设圆锥的母线为，因为底面半径，则，所以，
所以该圆锥的表面积.
故答案为：
14．64
【详解】设正方体的内切球半径为，则该正方体的棱长为，
，可得，则正方体的棱长为4，
这个正方体的体积为.
故答案为：64
15．(1)或.
(2)
(3)
【详解】（1）由，得，解得或.
（2）由是纯虚数，得，
解得，所以.
（3）由对应的点在第一象限，得，
解得且，
所以的取值范围为.
16．（Ⅰ）原图见解析，面积为8；（Ⅱ）体积为，表面积为.
【详解】解：（Ⅰ）由斜二测画法，原图中，，的原图如下：
；
（Ⅱ）以的边BA为旋转轴旋转一周所得几何体为：底面圆半径为4，高为4，母线长为的圆锥，故所得几何体的体积为，所得几何体的表面积为.
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
又，故．
∴，
即，
因为，
所以；
（2）在中由余弦定理得：，
代入，得：，即，
又∵，
∴，所以，解得（负值已舍去）．
18．(1)
(2)
【详解】（1）依题意得，旋转体的上方是一个半球体，下方是一个圆柱，如图所示．
，，
，
，
，
所以的体积为．
（2），，
，
，
．
所以的表面积为．
19．(1)
(2)15km
【详解】（1）由题意知：，，
在中，由余弦定理
因为,
所以
（2），,，
由题意知：
在中，由正弦定理得：，所以
由余弦定理得：，
即，
解得：或（舍）
，之间的距离为