广东省佛山市顺德区2025年中考二模数学试卷
1．（2025·顺德模拟）的绝对值是（ ）
A．2025 B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值是，
故答案为：A．
【分析】利用绝对值的定义解答即可．
2．（2025·顺德模拟）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，点在第四象限．
故选：D.
【分析】本题考查了平面直角坐标系每一个象限点的坐标特征，其中第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负，据此解答，即可求解．
3．（2025·顺德模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；负整数指数幂；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断B选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式（首平方、尾平方，积的2倍放中央）可判断C选项；由负整数指数幂的性质“”可判断D选项.
4．（2025·顺德模拟）如图，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图：
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据对顶角相等得到，再由两直线平行同旁内角互补得到，从而代值计算可得答案.
5．（2025·顺德模拟）若点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵在一次函数中，自变量系数，
∴在一次函数中，y随x的增大而减小，
∵点，在一次函数的图象上，且，
∴，
故答案为：A．
【分析】在一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)中，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小，据此结合题意判断A、B两点横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系.
6．（2025·顺德模拟）若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．7 C．10 D．12
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据多边形内角和定理得，
，
解得．
故答案为：D．
【分析】根据n边形内角和为，列方程解即可．
7．（2025·顺德模拟）学校组织研学活动，提供了3处研学地方，小芳和小亮选择同一个地方研学的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：用A、B、C分别表示3处研学地方，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小芳和小亮选择同一个地方研学的有3种情况，
∴小芳和小亮选择同一个地方研学的概率为．
故答案为：C．
【分析】首先用A、B、C分别表示3处研学地方，此题是抽取放回类型，根据题意画树状图，由树状图可知共有9种等可能的结果，小芳和小亮选择同一个地方研学的有3种情况，然后利用概率公式求解即可．
8．（2025·顺德模拟）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足为E．若，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C． D．9
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，，
，
∵
设，则
∴
∴
∴
，
∵，
，
，
即是等边三角形，
∴
∵
∴
∴．
故答案为：B．
【分析】由矩形的对角线相等且互相平分可得，，，根据已知可推出BE=EO，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，可由三边相等的三角形是等边三角形得△OAB是等边三角形，由等边三角形的每一个内角都是60°得到，由直角三角形量锐角互余得∠ADB=30°，进而根据含30°角直角三角形的性质得到．
9．（2025·顺德模拟）某公司办公大楼共4层，公司要召开会议，从1层到4层每层参会人数分别为2、2、1、2，每层楼之间爬楼距离相等．如果要使所有参会人员到会议室地点爬楼的距离之和最短，那么会议室地点应设在（ ）
A．4层 B．3层 C．2层 D．1层
【答案】C
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：设每层的距离为x，
∵从1层到4层每层参会人数分别为2、2、1、2，
∴到1层开会的总距离为：，
到2层开会的总距离为：，
到3层开会的总距离为：，
到4层开会的总距离为：，
∵
∴要使所有参会人员到会议地点爬楼的距离之和最短，会议应设在2层．
故答案为：C.
【分析】设每层的距离为x，每个楼层的参会人数不同，将每层人数作为权重，需计算每个候选楼层作为会议室时，所有参会者爬楼距离的总和，比较四个选项的总距离，选择最小值对应的楼层.
10．（2025·顺德模拟）如图，正方形的边长为，点在的延长线上，以为边，在上方构造正方形，连接与，分别交于点和点．若，则的长是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长FG交AB于点H，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴，
故答案为：B．
【分析】延长FG交AB于点H，由正方形的性质得，，，，由二直线平行，同位角相等得∠AHF=∠ABC=90°，从而由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形是矩形，由矩形的对边相等得，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似，进而根据相似三角形对应边上的高之比等于相似比建立方程，求解可得答案.
11．（2025·顺德模拟）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
12．（2025·顺德模拟）在平面直角坐标系中，把点向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点N．若点N在反比例函数的图象上，则 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：把点向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点，
∵点N在反比例函数的图象上，
∴．
故答案为：-1．
【分析】根据点的坐标平移规律“横坐标左移减右移加，纵坐标上移加下移减”得出点N的坐标，进而将点N的坐标代入即可算出k的值.
13．（2025·顺德模拟）新定义：．若，则的值为 ．
【答案】3或-1
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，，
，即，
，
解得：或，
故答案为：3或-1．
【分析】根据新定义运算法则列出一元二次方程，把“x-1”看成一个整体，此题缺一次项，故利用直接开平方法求解该方程即可得出x的值.
14．（2025·顺德模拟）如图，在中，，，将沿方向平移得到，与交于点G．在不添加字母和辅助线的情况下，写出三个不同类型的结论 ．
【答案】，，（答案不唯一）
【知识点】平移的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵将沿方向平移得到，
∴，，，
∴，，
∴，
故答案为：，，（答案不唯一）．
【分析】由等腰直角三角形的性质得∠A=∠ABC=45°，由平移前后图形中对应边相等，对应角相等，对应线段平行或在同一直线上可得结论.
15．（2025·顺德模拟）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式，
当时，原式．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先算括号内的异分母分数的加法，同时计算开方和乘方，然后计算乘法，最后计算加减法即可；
（2）将除式的分子利用平方差公式分解因式，分母利用提取公因式法分解因式，同时根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将分式除法转变为分式乘法，进而计算分式乘法，约分化简，接着把“1”看成，进行同分母的减法运算，最后将a的值代入化简后的式子分母合并后再进行分母有理化即可．
16．（2025·顺德模拟）解不等式组
【答案】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据解不等式的步骤分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同小取小”确定不等式组的解集即可．
17．（2025·顺德模拟）如图，四边形是平行四边形．
（1）尺规作图：作线段，且点在边上，作的平分线交延长线于点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接．证明：四边形是菱形．
【答案】（1）解：如图，、为所求作；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
且，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）以点A为圆心，AD的长为半径画弧交CB于点E，连接AE，再分别以点D、E为圆心，大于DE的长度为半径画弧，两弧在∠DAE内部相交于点，然后过点A及两弧的交点作射线交BC的延长线于点F，AE、AF就是所求的线段；
（2）由平行四边形的对边平行得AD∥BC，由平行线的性质及角平分线的定义可推出∠EAF=∠EFA，由等角对等边得AE=EF，再根据一组对边平行且相等得四边形是平行四边形得四边形ADFE是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论成立．
（1）解：如图，、为所求作；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
且，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
18．（2025·顺德模拟）某超市打算购进一批苹果．现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm）如下：
苹果编号 供应商 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 76 83 80 77 80 79 81 78 83 83
乙 81 79 83 76 80 75 86 76 88 76
任务：为更好地包装出售，超市要从甲、乙两个供应商中挑选一个合作商，根据所学统计知识作出更加合理的选择，说明理由．
【答案】解：甲供应商的苹果直径平均数为：
，
乙供应商的苹果直径平均数为：
，
甲供应商的苹果直径方差为：
，
乙供应商的苹果直径方差为：
，
选择甲供应商作为合作商，理由如下：
甲和乙的平均数相同，从方差角度上看，甲供应商的方差为5.8，小于乙供应商的方差18.4，所以甲供应商的苹果大小更整齐，更易于包装出售，因此选取甲供应商作为合作商．
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，然后比较平均数的大小及结合“方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好”进行说明即可.
19．（2025·顺德模拟）【项目主题】测量距离
【项目背景】在一次数学项目式学习活动中，老师带领同学们测量池塘两点间的距离（A、B两点距离不可直接测得）．
【实践工具】皮尺，测角仪等工具．
【实践操作】
方案一：如图1，一位同学在离池塘边B点不远处的C点站立，A、B、C三点在同一条直线上．调整帽子，使得视线通过帽檐正好观测到池塘对面的A点．该同学保持刚才的姿势，转过，这时视线刚好落在点E处．利用皮尺测得，．
同学们还设计了方案二、方案三……
【问题解决】
（1）根据方案一，求、两点间的距离；
（2）尝试设计与方案一不同的方案，在图2中画出几何图形，并求、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）．
【答案】（1）解：在和中，
∵，，，
∴．
∴．
∴．
（2）解：方案如下：如图，
①在池塘边上确定点C；
②测量与的长度，取两边点D、E，使得，且的长度皮尺可测量；
③测量的长度；
④由，，可得，
∴，
∴．
【知识点】全等三角形的应用；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由题意可得∠ADC=∠EDC，DC=DC，∠ACD=∠ECD=90°，从而用ASA判断出△DC≌△EDC，由全等三角形的对应边相等得CE=AC，最后根据AB=AC-BC可得答案；
（2）利用相似三角形的性质涉及含AB的两个相似三角形即可.
（1）解：在和中，
∵，，，
∴．
∴．
∴．
（2）解：方案如下：如图，
①在池塘边上确定点C；
②测量与的长度，取两边点D、E，使得，且的长度皮尺可测量；
③测量的长度；
④由，，可得，
∴，
∴．
20．（2025·顺德模拟）线段是的一条弦，动点是上方圆弧上一点，点是的中点．连接、、，且．
（1）如图，当经过圆心时，证明：；
（2）如图，当不经过圆心时，是否还成立？说明理由．
【答案】（1）证明：如图，连接、．
∵点是的中点，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∵是的直径，
∴．
∴．
∴；
（2）解：成立，理由如下：
如图，连接，，过点作，垂足为点，过点作，交的延长线于点．
由（）得，，
∴．
∵，
∴（）．
∴，．
∴．
∴．
在中，，
．
.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接BD、CD，由等弧所对圆周角相等得∠BAD=∠CAD=30°，由直径所对圆周角是直角得∠ABD=∠ACD=90°，利用∠BAD的余弦函数及特殊锐角三角函数值可用含AD的式子表示出AB、AC，进而再求AB、AC的和即可；
（2）如图2，连接BD，CD，过点D作DM⊥AB，垂足为点M，过点D作DN⊥AC，交AC的延长线于点N，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DM=DN，从而用HL判断出Rt△DMN≌Rt△DNC，由全等三角形的对应边相等得BM=CN，AM=AN，由线段的和差及等量代换得出AB+AC=2AM，在Rt△AMD中由∠MAD的余弦函数用含AD的式子表示出AM，从而即可得解．
（1）解：如图，连接、．
∵点是的中点，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∵是的直径，
∴．
∴．
∴．
（2）解：成立，理由如下：
如图，连接，，过点作，垂足为点，过点作，交的延长线于点．
由（）得．，
∴．
∵，
∴（）．
∴，．
∴．
∴．
在中，，
．
21．（2025·顺德模拟）现有抛物线．
（1）下表所列的点均在抛物线上．
0 1 2 3
3
①求抛物线的解析式；
②若点在抛物线上，且满足，直接写出的取值范围；
（2）和是抛物线上的两点．当，时，对于，，均有，求的取值范围．
【答案】（1）解：①由表格可知，抛物线的顶点为，过点，
设抛物线的解析式为，将点代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式为；
②令，
解得，，
∵，
∴若点在抛物线上，且满足，则；
（2）解：解法1：当，时，，对称轴，令，得，
解得或，
抛物线与轴的两个交点为，，
当时，，
，，
，
当时，如图1，
对于，，均有，
，
解得，
当时，如图2，点和关于对称，
对于，，均有，
，
解得，
综上所述，；
解法2：，
对于，，均有，
，即，
当时，，符合题意；
当时，，
，
，
，
解得；
当时，，
，
，
，
解得，
综上所述，；
解法3：抛物线的开口向上，对称轴是，
，，
，
对于，，均有，
点靠近对称轴，
当，即时，的中点在对称轴右侧，如图3
，
解得，
，且，
解得；
当，即时，的中点在对称轴左侧，如图4，
，
解得，
，且，
解得，且，
满足条件的不存在，
综上所述，；
解法4：抛物线的对称轴是，
当时，如图5，点和关于对称，
∵对于，，均有，
∴，
解得；
当时，如图6，点和关于对称，
∵对于，，均有，
∴，
解得，且，
满足条件的不存在，
综上所述，；
解法5：，，
∵对于，，均有，
∴，即对所有成立，
令（），对称轴是，
当，即时，当时，随的增大而增大，
所以，
由，解得，
当，即时，
，
所以不符合要求；
当，即时，
当时，随的增大而减小，
所以，
由，解得，不符合要求．
综上所述，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）①由表格可知，根据抛物线的对称性可得抛物线的顶点为（1，-1），过点（3，3），故求抛物线的解析式时，设出其顶点式，然后代入顶点坐标及点（3，3）求解即可；
②令①所求函数解析式中的y=3，算出对应的x的值，再由已知条件结合二次函数的开口方向求解即可；
（2）解法1：由已知得对称轴，抛物线与轴的两个交点为，，根据b与0的大小关系，分别讨论求解即可；
解法2：求出y1-y2的差，结合已知条件可得y1-y2＜0，根据b与0的大小关系，分别讨论求解即可；
解法3：根据不等式性质得，由于抛物线开口向上，故抛物线上点离对称轴越近，其函数值越小，据此判断出点靠近对称轴，然后根据x1与x2的大小关系，分类讨论求解即可；
解法4：当时，如图5，点和关于对称，当时，如图6，点和关于对称，结合已知分别列出不等式，求解即可；
解法5：易得，，结合已知得，即对所有成立，然后分当，当，当，三种情况，根据函数的增减性，求解即可.
（1）解：①由表格可知，抛物线的顶点为，过点，
设抛物线的解析式为，将点代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式为；
②令，
解得，，
∵，
∴若点在抛物线上，且满足，则；
（2）解：解法1：当，时，，对称轴，
令，得，
解得或，
抛物线与轴的两个交点为，，
当时，，
，，
，
当时，如图1，
对于，，均有，
，
解得，
当时，如图2，点和关于对称，
对于，，均有，
，
解得，
综上所述，；
解法2：，
对于，，均有，
，即，
当时，，符合题意；
当时，，
，
，
，
解得；
当时，，
，
，
，
解得，
综上所述，；
解法3：抛物线的开口向上，对称轴是，
，，
，
对于，，均有，
点靠近对称轴，
当，即时，的中点在对称轴右侧，如图3
，
解得，
，且，
解得；
当，即时，的中点在对称轴左侧，如图4，
，
解得，
，且，
解得，且，
满足条件的不存在，
综上所述，；
解法4：抛物线的对称轴是，
当时，如图5，点和关于对称，
∵对于，，均有，
∴，
解得；
当时，如图6，点和关于对称，
∵对于，，均有，
∴，
解得，且，
满足条件的不存在，
综上所述，；
解法5：，，
∵对于，，均有，
∴，即对所有成立，
令（），对称轴是，
当，即时，当时，随的增大而增大，
所以，
由，解得，
当，即时，
，
所以不符合要求；
当，即时，
当时，随的增大而减小，
所以，
由，解得，不符合要求．
综上所述，．
22．（2025·顺德模拟）如图1，在中，，，点是边上一点，过点作，垂足为点．连接，点是的中点，连接，．
（1）探究与的关系，并证明；
（2）将图1中的绕点逆时针旋转，如图2，题（1）中的结论是否还成立？说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，求的最小值．
【答案】（1）解：，且．理由如下：
，点是的中点，
．
同理．
．
，
．
．
同理．
，，
．
．
；
（2）解：，且，理由如下：
如图，延长至点，使得，连接，，，交于点，记交于点．
，，，
．
，．
，．
．
，，
．
，，
．
．
，．
．
，且；
（3）解：如图，分别过点B，G作的平行线，两平行线交于点M，连接，则四边形是平行四边形，．
∴．
∴．
当C，G，M三点共线时，最小．
此时．
∴的最小值为．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，则，由等边对等角及三角形的外角性质得到，，由等腰直角三角形的性质可得，进而根据角的构成及等量代换即可得出∠CFE=90°，从而根据垂直定义得CF⊥EF；
（2）延长CF至点G，使得FG=CF，连接CE，EG，DG，DG交BC于点H，记DE交BC于点K，利用SAS判断出△AFC≌△DFG，由全等三角形的对应边相等（对应角相等）可得AC=DG，∠CAF=∠GDF，则BC=DG，由内错角相等，两直线平行，得AC∥DG，由二直线平行，同位角相等得∠GHB=∠ACB=90°，由三角形的内角和定理推出∠KDH=∠KBE，由等腰直角三角形的性质得BE=DE，从而由AAS判断出△BCE≌△DGE，由全等三角形的对应边相等（对应角相等）得出CE=GE，∠CEB=∠GED，根据角的构成由等式性质推出∠CEG=∠DEB=90°，从而即可得出结论；
（3）分别过点B，G作BG、BD的平行线，两平行线交于点M，连接CM，则四边形BDGM是平行四边形，∠CBG=90°，由平行四边形的对边相等得BM=DG=BC，BD=GM，可得2CF+BD=CG+GM，从而得到当C，G，M三点共线时，CG+GM=CM最小，进而根据等腰直角是哪些的性质可得最小值.
（1）解：，且．理由：
，点是的中点，
．
同理．
．
，
．
．
同理．
，，
．
．
；
（2）解：，且．理由：
如图，延长至点，使得，连接，，，交于点，记交于点．
，，，
．
，．
，．
．
，，
．
，，
．
．
，．
．
，且．
（3）解：如图，分别过点B，G作的平行线，两平行线交于点M，连接，则四边形是平行四边形，．
∴．
∴．
当C，G，M三点共线时，最小．
此时．
∴的最小值为．
1 / 1广东省佛山市顺德区2025年中考二模数学试卷
1．（2025·顺德模拟）的绝对值是（ ）
A．2025 B． C． D．
2．（2025·顺德模拟）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2025·顺德模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·顺德模拟）如图，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·顺德模拟）若点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·顺德模拟）若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．7 C．10 D．12
7．（2025·顺德模拟）学校组织研学活动，提供了3处研学地方，小芳和小亮选择同一个地方研学的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·顺德模拟）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足为E．若，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C． D．9
9．（2025·顺德模拟）某公司办公大楼共4层，公司要召开会议，从1层到4层每层参会人数分别为2、2、1、2，每层楼之间爬楼距离相等．如果要使所有参会人员到会议室地点爬楼的距离之和最短，那么会议室地点应设在（ ）
A．4层 B．3层 C．2层 D．1层
10．（2025·顺德模拟）如图，正方形的边长为，点在的延长线上，以为边，在上方构造正方形，连接与，分别交于点和点．若，则的长是（ ）
A． B． C．1 D．
11．（2025·顺德模拟）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（2025·顺德模拟）在平面直角坐标系中，把点向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点N．若点N在反比例函数的图象上，则 ．
13．（2025·顺德模拟）新定义：．若，则的值为 ．
14．（2025·顺德模拟）如图，在中，，，将沿方向平移得到，与交于点G．在不添加字母和辅助线的情况下，写出三个不同类型的结论 ．
15．（2025·顺德模拟）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
16．（2025·顺德模拟）解不等式组
17．（2025·顺德模拟）如图，四边形是平行四边形．
（1）尺规作图：作线段，且点在边上，作的平分线交延长线于点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接．证明：四边形是菱形．
18．（2025·顺德模拟）某超市打算购进一批苹果．现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm）如下：
苹果编号 供应商 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 76 83 80 77 80 79 81 78 83 83
乙 81 79 83 76 80 75 86 76 88 76
任务：为更好地包装出售，超市要从甲、乙两个供应商中挑选一个合作商，根据所学统计知识作出更加合理的选择，说明理由．
19．（2025·顺德模拟）【项目主题】测量距离
【项目背景】在一次数学项目式学习活动中，老师带领同学们测量池塘两点间的距离（A、B两点距离不可直接测得）．
【实践工具】皮尺，测角仪等工具．
【实践操作】
方案一：如图1，一位同学在离池塘边B点不远处的C点站立，A、B、C三点在同一条直线上．调整帽子，使得视线通过帽檐正好观测到池塘对面的A点．该同学保持刚才的姿势，转过，这时视线刚好落在点E处．利用皮尺测得，．
同学们还设计了方案二、方案三……
【问题解决】
（1）根据方案一，求、两点间的距离；
（2）尝试设计与方案一不同的方案，在图2中画出几何图形，并求、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）．
20．（2025·顺德模拟）线段是的一条弦，动点是上方圆弧上一点，点是的中点．连接、、，且．
（1）如图，当经过圆心时，证明：；
（2）如图，当不经过圆心时，是否还成立？说明理由．
21．（2025·顺德模拟）现有抛物线．
（1）下表所列的点均在抛物线上．
0 1 2 3
3
①求抛物线的解析式；
②若点在抛物线上，且满足，直接写出的取值范围；
（2）和是抛物线上的两点．当，时，对于，，均有，求的取值范围．
22．（2025·顺德模拟）如图1，在中，，，点是边上一点，过点作，垂足为点．连接，点是的中点，连接，．
（1）探究与的关系，并证明；
（2）将图1中的绕点逆时针旋转，如图2，题（1）中的结论是否还成立？说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值是，
故答案为：A．
【分析】利用绝对值的定义解答即可．
2．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，点在第四象限．
故选：D.
【分析】本题考查了平面直角坐标系每一个象限点的坐标特征，其中第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负，据此解答，即可求解．
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；负整数指数幂；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断B选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式（首平方、尾平方，积的2倍放中央）可判断C选项；由负整数指数幂的性质“”可判断D选项.
4．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图：
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据对顶角相等得到，再由两直线平行同旁内角互补得到，从而代值计算可得答案.
5．【答案】A
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵在一次函数中，自变量系数，
∴在一次函数中，y随x的增大而减小，
∵点，在一次函数的图象上，且，
∴，
故答案为：A．
【分析】在一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)中，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小，据此结合题意判断A、B两点横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系.
6．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据多边形内角和定理得，
，
解得．
故答案为：D．
【分析】根据n边形内角和为，列方程解即可．
7．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：用A、B、C分别表示3处研学地方，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小芳和小亮选择同一个地方研学的有3种情况，
∴小芳和小亮选择同一个地方研学的概率为．
故答案为：C．
【分析】首先用A、B、C分别表示3处研学地方，此题是抽取放回类型，根据题意画树状图，由树状图可知共有9种等可能的结果，小芳和小亮选择同一个地方研学的有3种情况，然后利用概率公式求解即可．
8．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，，
，
∵
设，则
∴
∴
∴
，
∵，
，
，
即是等边三角形，
∴
∵
∴
∴．
故答案为：B．
【分析】由矩形的对角线相等且互相平分可得，，，根据已知可推出BE=EO，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，可由三边相等的三角形是等边三角形得△OAB是等边三角形，由等边三角形的每一个内角都是60°得到，由直角三角形量锐角互余得∠ADB=30°，进而根据含30°角直角三角形的性质得到．
9．【答案】C
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：设每层的距离为x，
∵从1层到4层每层参会人数分别为2、2、1、2，
∴到1层开会的总距离为：，
到2层开会的总距离为：，
到3层开会的总距离为：，
到4层开会的总距离为：，
∵
∴要使所有参会人员到会议地点爬楼的距离之和最短，会议应设在2层．
故答案为：C.
【分析】设每层的距离为x，每个楼层的参会人数不同，将每层人数作为权重，需计算每个候选楼层作为会议室时，所有参会者爬楼距离的总和，比较四个选项的总距离，选择最小值对应的楼层.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长FG交AB于点H，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴，
故答案为：B．
【分析】延长FG交AB于点H，由正方形的性质得，，，，由二直线平行，同位角相等得∠AHF=∠ABC=90°，从而由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形是矩形，由矩形的对边相等得，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似，进而根据相似三角形对应边上的高之比等于相似比建立方程，求解可得答案.
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
12．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：把点向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点，
∵点N在反比例函数的图象上，
∴．
故答案为：-1．
【分析】根据点的坐标平移规律“横坐标左移减右移加，纵坐标上移加下移减”得出点N的坐标，进而将点N的坐标代入即可算出k的值.
13．【答案】3或-1
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，，
，即，
，
解得：或，
故答案为：3或-1．
【分析】根据新定义运算法则列出一元二次方程，把“x-1”看成一个整体，此题缺一次项，故利用直接开平方法求解该方程即可得出x的值.
14．【答案】，，（答案不唯一）
【知识点】平移的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵将沿方向平移得到，
∴，，，
∴，，
∴，
故答案为：，，（答案不唯一）．
【分析】由等腰直角三角形的性质得∠A=∠ABC=45°，由平移前后图形中对应边相等，对应角相等，对应线段平行或在同一直线上可得结论.
15．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式，
当时，原式．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先算括号内的异分母分数的加法，同时计算开方和乘方，然后计算乘法，最后计算加减法即可；
（2）将除式的分子利用平方差公式分解因式，分母利用提取公因式法分解因式，同时根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将分式除法转变为分式乘法，进而计算分式乘法，约分化简，接着把“1”看成，进行同分母的减法运算，最后将a的值代入化简后的式子分母合并后再进行分母有理化即可．
16．【答案】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据解不等式的步骤分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同小取小”确定不等式组的解集即可．
17．【答案】（1）解：如图，、为所求作；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
且，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）以点A为圆心，AD的长为半径画弧交CB于点E，连接AE，再分别以点D、E为圆心，大于DE的长度为半径画弧，两弧在∠DAE内部相交于点，然后过点A及两弧的交点作射线交BC的延长线于点F，AE、AF就是所求的线段；
（2）由平行四边形的对边平行得AD∥BC，由平行线的性质及角平分线的定义可推出∠EAF=∠EFA，由等角对等边得AE=EF，再根据一组对边平行且相等得四边形是平行四边形得四边形ADFE是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论成立．
（1）解：如图，、为所求作；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
且，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
18．【答案】解：甲供应商的苹果直径平均数为：
，
乙供应商的苹果直径平均数为：
，
甲供应商的苹果直径方差为：
，
乙供应商的苹果直径方差为：
，
选择甲供应商作为合作商，理由如下：
甲和乙的平均数相同，从方差角度上看，甲供应商的方差为5.8，小于乙供应商的方差18.4，所以甲供应商的苹果大小更整齐，更易于包装出售，因此选取甲供应商作为合作商．
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，然后比较平均数的大小及结合“方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好”进行说明即可.
19．【答案】（1）解：在和中，
∵，，，
∴．
∴．
∴．
（2）解：方案如下：如图，
①在池塘边上确定点C；
②测量与的长度，取两边点D、E，使得，且的长度皮尺可测量；
③测量的长度；
④由，，可得，
∴，
∴．
【知识点】全等三角形的应用；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由题意可得∠ADC=∠EDC，DC=DC，∠ACD=∠ECD=90°，从而用ASA判断出△DC≌△EDC，由全等三角形的对应边相等得CE=AC，最后根据AB=AC-BC可得答案；
（2）利用相似三角形的性质涉及含AB的两个相似三角形即可.
（1）解：在和中，
∵，，，
∴．
∴．
∴．
（2）解：方案如下：如图，
①在池塘边上确定点C；
②测量与的长度，取两边点D、E，使得，且的长度皮尺可测量；
③测量的长度；
④由，，可得，
∴，
∴．
20．【答案】（1）证明：如图，连接、．
∵点是的中点，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∵是的直径，
∴．
∴．
∴；
（2）解：成立，理由如下：
如图，连接，，过点作，垂足为点，过点作，交的延长线于点．
由（）得，，
∴．
∵，
∴（）．
∴，．
∴．
∴．
在中，，
．
.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接BD、CD，由等弧所对圆周角相等得∠BAD=∠CAD=30°，由直径所对圆周角是直角得∠ABD=∠ACD=90°，利用∠BAD的余弦函数及特殊锐角三角函数值可用含AD的式子表示出AB、AC，进而再求AB、AC的和即可；
（2）如图2，连接BD，CD，过点D作DM⊥AB，垂足为点M，过点D作DN⊥AC，交AC的延长线于点N，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DM=DN，从而用HL判断出Rt△DMN≌Rt△DNC，由全等三角形的对应边相等得BM=CN，AM=AN，由线段的和差及等量代换得出AB+AC=2AM，在Rt△AMD中由∠MAD的余弦函数用含AD的式子表示出AM，从而即可得解．
（1）解：如图，连接、．
∵点是的中点，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∵是的直径，
∴．
∴．
∴．
（2）解：成立，理由如下：
如图，连接，，过点作，垂足为点，过点作，交的延长线于点．
由（）得．，
∴．
∵，
∴（）．
∴，．
∴．
∴．
在中，，
．
21．【答案】（1）解：①由表格可知，抛物线的顶点为，过点，
设抛物线的解析式为，将点代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式为；
②令，
解得，，
∵，
∴若点在抛物线上，且满足，则；
（2）解：解法1：当，时，，对称轴，令，得，
解得或，
抛物线与轴的两个交点为，，
当时，，
，，
，
当时，如图1，
对于，，均有，
，
解得，
当时，如图2，点和关于对称，
对于，，均有，
，
解得，
综上所述，；
解法2：，
对于，，均有，
，即，
当时，，符合题意；
当时，，
，
，
，
解得；
当时，，
，
，
，
解得，
综上所述，；
解法3：抛物线的开口向上，对称轴是，
，，
，
对于，，均有，
点靠近对称轴，
当，即时，的中点在对称轴右侧，如图3
，
解得，
，且，
解得；
当，即时，的中点在对称轴左侧，如图4，
，
解得，
，且，
解得，且，
满足条件的不存在，
综上所述，；
解法4：抛物线的对称轴是，
当时，如图5，点和关于对称，
∵对于，，均有，
∴，
解得；
当时，如图6，点和关于对称，
∵对于，，均有，
∴，
解得，且，
满足条件的不存在，
综上所述，；
解法5：，，
∵对于，，均有，
∴，即对所有成立，
令（），对称轴是，
当，即时，当时，随的增大而增大，
所以，
由，解得，
当，即时，
，
所以不符合要求；
当，即时，
当时，随的增大而减小，
所以，
由，解得，不符合要求．
综上所述，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）①由表格可知，根据抛物线的对称性可得抛物线的顶点为（1，-1），过点（3，3），故求抛物线的解析式时，设出其顶点式，然后代入顶点坐标及点（3，3）求解即可；
②令①所求函数解析式中的y=3，算出对应的x的值，再由已知条件结合二次函数的开口方向求解即可；
（2）解法1：由已知得对称轴，抛物线与轴的两个交点为，，根据b与0的大小关系，分别讨论求解即可；
解法2：求出y1-y2的差，结合已知条件可得y1-y2＜0，根据b与0的大小关系，分别讨论求解即可；
解法3：根据不等式性质得，由于抛物线开口向上，故抛物线上点离对称轴越近，其函数值越小，据此判断出点靠近对称轴，然后根据x1与x2的大小关系，分类讨论求解即可；
解法4：当时，如图5，点和关于对称，当时，如图6，点和关于对称，结合已知分别列出不等式，求解即可；
解法5：易得，，结合已知得，即对所有成立，然后分当，当，当，三种情况，根据函数的增减性，求解即可.
（1）解：①由表格可知，抛物线的顶点为，过点，
设抛物线的解析式为，将点代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式为；
②令，
解得，，
∵，
∴若点在抛物线上，且满足，则；
（2）解：解法1：当，时，，对称轴，
令，得，
解得或，
抛物线与轴的两个交点为，，
当时，，
，，
，
当时，如图1，
对于，，均有，
，
解得，
当时，如图2，点和关于对称，
对于，，均有，
，
解得，
综上所述，；
解法2：，
对于，，均有，
，即，
当时，，符合题意；
当时，，
，
，
，
解得；
当时，，
，
，
，
解得，
综上所述，；
解法3：抛物线的开口向上，对称轴是，
，，
，
对于，，均有，
点靠近对称轴，
当，即时，的中点在对称轴右侧，如图3
，
解得，
，且，
解得；
当，即时，的中点在对称轴左侧，如图4，
，
解得，
，且，
解得，且，
满足条件的不存在，
综上所述，；
解法4：抛物线的对称轴是，
当时，如图5，点和关于对称，
∵对于，，均有，
∴，
解得；
当时，如图6，点和关于对称，
∵对于，，均有，
∴，
解得，且，
满足条件的不存在，
综上所述，；
解法5：，，
∵对于，，均有，
∴，即对所有成立，
令（），对称轴是，
当，即时，当时，随的增大而增大，
所以，
由，解得，
当，即时，
，
所以不符合要求；
当，即时，
当时，随的增大而减小，
所以，
由，解得，不符合要求．
综上所述，．
22．【答案】（1）解：，且．理由如下：
，点是的中点，
．
同理．
．
，
．
．
同理．
，，
．
．
；
（2）解：，且，理由如下：
如图，延长至点，使得，连接，，，交于点，记交于点．
，，，
．
，．
，．
．
，，
．
，，
．
．
，．
．
，且；
（3）解：如图，分别过点B，G作的平行线，两平行线交于点M，连接，则四边形是平行四边形，．
∴．
∴．
当C，G，M三点共线时，最小．
此时．
∴的最小值为．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，则，由等边对等角及三角形的外角性质得到，，由等腰直角三角形的性质可得，进而根据角的构成及等量代换即可得出∠CFE=90°，从而根据垂直定义得CF⊥EF；
（2）延长CF至点G，使得FG=CF，连接CE，EG，DG，DG交BC于点H，记DE交BC于点K，利用SAS判断出△AFC≌△DFG，由全等三角形的对应边相等（对应角相等）可得AC=DG，∠CAF=∠GDF，则BC=DG，由内错角相等，两直线平行，得AC∥DG，由二直线平行，同位角相等得∠GHB=∠ACB=90°，由三角形的内角和定理推出∠KDH=∠KBE，由等腰直角三角形的性质得BE=DE，从而由AAS判断出△BCE≌△DGE，由全等三角形的对应边相等（对应角相等）得出CE=GE，∠CEB=∠GED，根据角的构成由等式性质推出∠CEG=∠DEB=90°，从而即可得出结论；
（3）分别过点B，G作BG、BD的平行线，两平行线交于点M，连接CM，则四边形BDGM是平行四边形，∠CBG=90°，由平行四边形的对边相等得BM=DG=BC，BD=GM，可得2CF+BD=CG+GM，从而得到当C，G，M三点共线时，CG+GM=CM最小，进而根据等腰直角是哪些的性质可得最小值.
（1）解：，且．理由：
，点是的中点，
．
同理．
．
，
．
．
同理．
，，
．
．
；
（2）解：，且．理由：
如图，延长至点，使得，连接，，，交于点，记交于点．
，，，
．
，．
，．
．
，，
．
，，
．
．
，．
．
，且．
（3）解：如图，分别过点B，G作的平行线，两平行线交于点M，连接，则四边形是平行四边形，．
∴．
∴．
当C，G，M三点共线时，最小．
此时．
∴的最小值为．
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