广东省广州市荔湾区广雅中学2025年中考二模考试数学试卷
1．（2025·荔湾模拟）氢、氧、碳、氮是重要的化学元素，下列选项中分别是它们的元素符号，其中可以看作是中心对称图形，但不能看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·荔湾模拟）某科研团队通过电子显微镜测得人体红细胞的平均直径为米，该数据用科学记数法表示为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
3．（2025·荔湾模拟）下列图形中，由，能得到的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．（2025·荔湾模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·荔湾模拟）对于实数、，定义一种运算“”：，那么不等式组，的解在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·荔湾模拟）下列命题是真命题的是（ ）
A．若中，，则
B．二次函数的图象与坐标轴有两个交点
C．与是同类二次根式
D．已知，则
7．（2025·荔湾模拟）为弘扬广府饮食文化，某校开展“广东点心制作”实践活动．已知甲组同学平均每小时比乙组多做个虾饺，甲组制作个虾饺所用的时间与乙组制作个虾饺所用的时间相同．求甲、乙两组同学平均每小时各做多少个虾饺．若设乙组每小时做个虾饺，可列出关于的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·荔湾模拟）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都是格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·荔湾模拟）在建筑设计的实践中，常常会遇到四边形结构的建筑框架．现有一个四边形建筑框架，其中和是两条相互平行的建筑边线，、作为两条交叉的支撑结构线，于点交汇，为整个建筑框架提供稳固的支撑．设计师在进行建筑材料分配以及装饰设计规划时，需要精准把握各个三角形区域的面积比例．已知，则当（ ）时，才能使与的面积之比为，以便为后续的建筑设计工作提供精确的数据支持．
A． B． C． D．
10．（2025·荔湾模拟）如图，边长为1的正方形中，、为线段、上的动点，且，小明用信息技术软件开展研究，当拖动点时，发现线段与线段、、和之间存在相互变化关系，设长度为，、、和的长度分别为、、、，在平面直角坐标系中画出点、、和的轨迹，则平面直角坐标系中这四个轨迹分别对应的图象是（ ）．
A．④③①② B．③④①② C．③④②① D．④③②①
11．（2025·荔湾模拟）在平面直角坐标系中，已知点，则点在第 象限．
12．（2025·荔湾模拟）因式分解：
13．（2025·荔湾模拟）如图，在中，平分，且于点，交于点，，．那么的周长为 ．
14．（2025·荔湾模拟）受台风“摩羯”外围环流影响，珠江口某大型水库水位持续上升，防汛部门监测到近小时内水位将保持上涨趋势．下表记录了台风影响初期3小时内5个时间点的水位数据，其中表示时间（单位：小时），表示水位高度（单位：米）请根据表中数据，写出关于的函数解析式 ，用于合理预估台风影响下的水位变化规律（不写自变量取值范围）．
（小时） 0 1 3
（米）
15．（2025·荔湾模拟）如图，的直径为4，、、在上，与交于点，若，，则劣弧的长为 （结果保留π）．
16．（2025·荔湾模拟）直线与轴、轴分别交于、两点，以为底作顶角为的等腰三角形，则点的横坐标为 ．
17．（2025·荔湾模拟）解方程组：．
18．（2025·荔湾模拟）如图， 在中，，为的中点，，．求证：四边形是菱形．
19．（2025·荔湾模拟）已知为整式，，化简后，．
（1）求整式；
（2）若是方程的根，求的值．
20．（2025·荔湾模拟）为了丰富校园文化生活，培养学生的创新精神和实践能力，学校举办了一场精彩纷呈的校园科技节．在科技节中，设置了多个比赛项目，每个学生需要参与四个项目的角逐，其中项目、、为固定必选项目，项目和中随机抽取一个．
（1）在参与科技节的众多学生中，有一个小组的8名同学抽到了项目．他们在该项目中的表现成绩如下：7，6，8，9，10，5，8，7．这组成绩的中位数是________，平均数是________；
（2）某班有50名学生，下表是各项目成绩统计，则该班此次科技节的平均成绩为________；
项目
测试人数（人） 50 50 50 30 20
单科平均成绩（分） 9 8 7 8 9
（3）诗诗和妍妍是该班级的两位同学，请用列表法或画树状图法，求她俩参赛的四个项目不完全相同的概率．
21．（2025·荔湾模拟）某中学开展“莲韵文化”手工实践活动，同学们制作不同工艺等级的莲花灯．基础款为第1级，每盏利润10元，每天可制作50盏．每提升1个工艺等级，单盏利润增加2元，日产量减少4盏．
（1）若某天手工社团获得总利润588元请问他们制作的是第几个工艺等级的莲花灯（工艺等级从第1级开始依次递增）？
（2）若社团希望获得最大日利润，应选择第几工艺等级？此时最大日利润是多少元？
22．（2025·荔湾模拟）如图，矩形中，，，连接，为线段上一点，于点．
（1）利用尺规在上作一点，使得沿翻折后点的对称点刚好落在射线上（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接，与线段交于点，求线段的长．
23．（2025·荔湾模拟）如图，双曲线与直线在第一象限交于点，直线与轴交于点，过作轴于点，．
（1）当，时，求的值；
（2）连接，若时，求的值．
24．（2025·荔湾模拟）如图，中，，，，点是线段上的一个动点，点在的延长线上且满足连接，以为直径作，交于点，交于点．
（1）证明：；
（2）连接，若和相切，求线段的长；
（3）点在线段上运动的过程中，当线段长度最小时，求四边形的面积．
25．（2025·荔湾模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点为抛物线上不与顶点重合的动点，把抛物线绕点顺时针旋转得到新的图象，点在图象上的对应点为．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当以为直径的有且只有一个与轴相切时，求点坐标；
（3）已知，原抛物线图象与旋转后图象的其中一个公共点为，当点在点左侧，求点的横坐标取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、“H”是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、“O”是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、“C”是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、“N”不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：米米，
故答案为：D．
【分析】用科学记数法表示大于0且小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，据此解答即可.
3．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、由得到，故此选项不符合题意；
B、由不能确定直线平行，故此选项不符合题意；
C、如图，由，得到，即可根据同位角相等，两直线平行得到，故此选项符合题意；
D、由不能判定两直线平行，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】∠1与∠2是AD、BC被AC所截的一对内错角，如果∠1=∠2，则AD∥BC，据此可判断A选项；∠1与∠2是AB、CD被第三条直线所截的一对同旁内角，只有当∠1+∠2=180°时，AB与CD才会平行，据此可判断B选项；由对顶角相等及等量代换可得∠2=∠3，∠2与∠3是AB、CD被第三条直线所截得一对同位角，当∠2=∠3时，AB∥CD，据此可判断C选项；∠2与∠1不是两条直线被第三条直线所截得一对角，即使相等，也判断不出两直线平行，据此可判断D选项.
4．【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据单项式乘以多项式法则“单项式乘以多项式，就是用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加”进行计算可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断B选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断C选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断D选项.
5．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，不等式组即为不等式组，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
，
故答案为：A．
【分析】根据新定义可得不等式组，根据解不等式的步骤分别求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
6．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；同类二次根式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；含30°角的直角三角形；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、若中，，则或，原命题是假命题，不符合题意；
B、对于，，当时，，故二次函数的图象与轴有两个交点，与轴有一个交点，故原命题为假命题，不符合题意；
C、与是同类二次根式，是真命题，符合题意；
D、∵，∴，原命题为假命题，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半，由于没有明确告知直角，故可能存在两种情况，据此可判断A选项；函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)，当△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个不同的交点，据此判断出抛物线y=x2+3ax-1与x轴交点的个数，进而再找出其与y轴交点，即可判断B选项；将二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数完全相同，则这几个二次根式就是同类二次根式，据此可判断C选项；将已知等式两边同时平方，再展开整理即可判断D选项.
7．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙组每小时做x个虾饺，则甲组同学平均每小时做(x+15)个虾饺，
根据题意，得，
故答案为： A．
【分析】设乙组每小时做x个虾饺，则甲组同学平均每小时做(x+15)个虾饺，根据工作总量除以工作效率等于工作时间及“ 甲组制作180个虾饺所用的时间与乙组制作150个虾饺所用的时间相同 ”列出方程即可.
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：作于点，
由勾股定理，得：，
∵，
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】利用方格纸的特点及勾股定理求出AB、AC的长，作CD⊥AB于点D，利用割补法由△ABC所在直角梯形的面积分别减去△ABC周围两个直角三角形的面积可算出△ABC，根据三角形面积计算公式求出CD，再利用正弦函数的定义，进行求解即可．
9．【答案】A
【知识点】A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵与的面积之比为，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴
∵，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AOD∽△COB，由相似三角形面积之比等于相似比的平方得出，再根据同高三角形的面积之比等于对应底之比得，设S△AOD=k，则，，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ODC∽△CDB，进而再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解即可.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；动点问题的函数图象；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形为正方形，
∴，，
设长度为，则，
∵、、和的长度分别为、、、，
∴，
∴当时，取最大值，当时，取最小值1，
∴图象③为点的轨迹；
∵，
当时，取最小值1，当时，取最大值，
延长，取，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
∴当时，，当时，，
∴图象④为点的轨迹；
∵，
∴当时，取最小值1，当时，取最大值，
∵，，
∴
，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，点的轨迹在点的轨迹上面，
∴图象②为点的轨迹；图象①为点的轨迹；
综上分析可知：在平面直角坐标系中，点、、和的轨迹分别对应的图象是③④②①．
故答案为：C．
【分析】根据正方形的性质得出，，设长度为，则，利用勾股定理表示出，求出y1的最大与最小值可得图象③为点的轨迹；延长BA，取AG=CF，连接DG，首先利用SAS判断出△ADG≌△CDF，得DG=DF，∠CDF=∠ADG，进而可推出∠GDE=∠FDE，再用SAS判断出△GDE≌△FDE，得EF=GE=AE+AG=AE+FC，设FC=m，则BF=1-m（0≤m≤1），EF=x+m，利用勾股定理建立方程可用含x的式子表示出m，从而可得，求出y2的最大与最小值可得图象④为点的轨迹；用勾股定理表示出，，分别求出其最大最小值，然后比较出EB与CF的大小，即可得出当时，点的轨迹在点的轨迹上面，故图象②为点的轨迹；图象①为点的轨迹.
11．【答案】四
【知识点】偶次方的非负性；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴点的横坐标为正，纵坐标为负，
∴点P在第四象限，
故答案为：四．
【分析】由偶数次幂的非负性可判断出a2+2＞0，然后根据点的坐标符号与象限的关系：第一象限的点（+，+），第二象限的点（-，+），第三象限的点（-，-），第四象限的点（+，-）即可判断得出答案.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解；
，
故答案为：．
【分析】先提取各项的公因式2b，再利用完全平方公式继续分解到每一个因式都不能再分解为止.
13．【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：平分，
，
于，
，
，
，
又，
，，
，
，，
，，
，，
，
的周长，
故答案为：．
【分析】由角平分线定义、垂直定义及三角形内角和定理可推出∠A=∠B，由等角对等边得BC=AC=4cm，由等腰三角形的三线合一得AD=1.5cm，由二直线平行，同位角相等（内错角相等）得出∠EDC=∠BCD，∠ADE=∠B，则∠EDC=∠ACD，∠A=∠ADE，由等角对等边得CE=AE=DE=2cm，从而根据三角形周长计算方法可算出答案.
14．【答案】
【知识点】用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由表格可知，x每增加，y就增加，
，
故答案为：．
【分析】根据表格提供的x与y之间的变化关系可得：x每增加0.5，y就增加0.2，从而根据最终水位等于原来水位加上增加的水位，即可写出y关于x的函数关系式.
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
的直径为4，
劣弧的长，
故答案为：．
【分析】连接OD、OE、BD，由圆内接四边形的对角互补求出，由等边对等角及三角形的内角和定理求出∠BOD=70°，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出，进而再根据等边对等角及三角形的内角和定理得出，由角的和差算出∠DOE=105°，最后根据弧长计算公式“”计算即可．
16．【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：对于直线，当时，；
当时，，
，
如下图：①当点C在直线左侧时，作轴于点E，作轴于点F，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
在中，设，
，
，
，
解得：，
，
则点的横坐标为；
②当点C在直线右侧时，作C'I⊥x轴，作BI⊥c'i于点I，作C'H⊥y轴，作AH⊥C'H轴于点H，
同理，
，
在中，设，
，
，
，
，
解得：，
则点的横坐标为；
故答案为：或．
【分析】 根据直线与坐标轴交点的坐标特点，分别令直线y=x+2中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，得点A(-2，0)，B(0，2)，则OA=OB=2，由等边对对等角及三角形的内角和定理得出∠OAB=∠OBA=45°；分两种情况：当点C在直线AB左侧时，作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F；由等边对等角及三角形内角和定理可推出∠CAB=∠CBA=75°，由平角定义得出∠CAE=∠CBF=45°，从而用AAS判断出△CAE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等得CE=CF；设AE=a，在Rt△ACE中，由∠CAE的正切函数及特殊锐角三角函数值表示出CE=a，则CF=a，然后根据OE=a+2建立方程可求出a的值，进而即可得出点C的横坐标；当点C在直线AB右侧时，作C'I⊥x轴，作BI⊥c'i于点I，作C'H⊥y轴，作AH⊥C'H轴于点H，同理求解即可.
17．【答案】解：，
由①，得：③；
把③代入②，得：，解得：；
把代入③，得：；
∴方程组的解为：．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】由于①方程未知数y的系数为“-1”，故此方程利用代入消元法求解较为简单；首先由①方程变形为用含x的式子表示y的形式得到③方程，然后将方程③代入②方程消去y求出x的值，进而将x的值代入③方程求出y的值，从而得出原方程组的解.
18．【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，为的中点，
，
四边形是菱形 ．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得出四边形BCDE是平行四边形，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BE=ED，从而根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得结论.
19．【答案】（1）解：
，
∵，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得：，，
∵分式有意义，
∴，，，，
当时，
原式.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）将第一个等式右边第一个分式的分子利用提取公因式法分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，同时根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后计算分式乘法，约分化简，最后再与题干给出的结果比较可得A的结果；
（2）先解一元二次方程求出x的值（把x-2看成一个整体，将方程右边利用提取公因式法分解因式后整体移到方程的左边，然后将方程的左边合并同类项化简，进而根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程求出x的值，即可得到原方程的解），再结合分式有意义的条件把x=2代入化简后的代数式计算即可.
（1）解：
，
∵，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得：，，
∵分式有意义，
∴，，，，
当时，
原式.
20．【答案】（1），
（2）
（3）解：设项目D、E，诗诗选项目有2种可能（选D或选E），妍妍选项目也有2种可能（选D或选E）．用列表法：
诗诗 妍妍 D E
D
E
总情况数种，她俩参赛的四个项目不完全相同的情况有、，共种．
∴她俩参赛的四个项目不完全相同的概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】（1）解：将成绩5，6，7，7，8，8，9，10从小到大排序．
∵数据个数为偶数，
∴中位数是中间两个数7和8的平均数，即
根据平均数公式
故答案为：，；
（2）解：总人数为50人． 项目A的加权分为；
项目B的加权分为；
项目C的加权分为；
项目D的加权分为；
项目E的加权分为
∴平均成绩
故答案为：32.4；
【分析】（1）中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；据此结合题意求解即可；运用平均数公式，将所有数据相加再除以数据个数即可；
（2）根据加权平均数公式（其中是第i组数据的数值，是第i组数据的频数）来计算；
（3）用列表法列出诗诗和妍妍选择项目的所有可能情况，由表可知，所有等可能的情况数共有4种，其中她俩参赛的四个项目不完全相同的情况有，最后根据概率公式（n是总情况数，m是事件A发生的情况数）计算概率．
（1）解：将成绩5，6，7，7，8，8，9，10从小到大排序．
∵数据个数为偶数，
∴中位数是中间两个数7和8的平均数，即
根据平均数公式
故答案为：，；
（2）解：总人数为50人． 项目A的加权分为；项目B的加权分为；项目C的加权分为；项目D的加权分为；项目E的加权分为
∴平均成绩
（3）解：设项目D、E，诗诗选项目有2种可能（选D或选E），妍妍选项目也有2种可能（选D或选E）．
用列表法：
诗诗 妍妍 D E
D
E
总情况数种，她俩参赛的四个项目不完全相同的情况有、，共种．
∴她俩参赛的四个项目不完全相同的概率
21．【答案】（1）解：设他们制作的是第个工艺等级的莲花灯，由题意，得：
，
解得：或（不合题意，舍去）；
答：他们制作的是第个工艺等级的莲花灯；
（2）解：设总利润为，选择第个工艺等级，
由题意，得：，
∴当时，函数取的最大值，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵为整数，
∴时，；
时，；
故社团希望获得最大日利润，应选择第5工艺等级，最大利润为612元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设他们制作的是第x个工艺等级的莲花灯，则每天制作的莲花灯得数量为{50-4x-1)}盏，每个莲花灯的利润为{10+2(x-1)]元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可；
（2）设总利润为w，选择第m个工艺等级，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，利用二次函数性质结合m为整数，求最值即可．
（1）解：设他们制作的是第个工艺等级的莲花灯，由题意，得：
，
解得：或（不合题意，舍去）；
答：他们制作的是第个工艺等级的莲花灯；
（2）设总利润为，选择第个工艺等级，由题意，得：
，
∴当时，函数取的最大值，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵为整数，
∴时，；
时，；
故社团希望获得最大日利润，应选择第5工艺等级，最大利润为612元．
22．【答案】（1）解：如图所示，作的角平分线交于P，则点P即为所求；
由折叠的性质可得，则平分；
（2）解：如图所示，过点G作于T，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∵平分，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）利用尺规作角平分线的方法，作∠CDE的角平分线交BC于P，则点P即为所求；
（2）过点G作GT⊥CD于T，由矩形的性质可得，在Rt△ACD中利用勾股定理算出AC，由正弦与余弦函数的定义分别求出∠ACD的余弦函数值及正弦函数值；在Rt△CDH中，由∠DCH的余弦函数可求出CH的长，由角平分线的上的点到角两边的距离相等得GH=GT，在Rt△CTG中，由∠TCG的正弦函数用含CG的式子表示出GT，然后根据CH=GH+CG，建立方程，进而解方程即可求出CG的长.
（1）解：如图所示，作的角平分线交于P，则点P即为所求；
由折叠的性质可得，则平分；
（2）解：如图所示，过点G作于T，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∵平分，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴；
23．【答案】（1）解：当，时，，反比例函数为：
设其中，
∴AC=，OC=a，
将点A的坐标代入
∴
∴
令y=x+b中的x=0可得y=b，
∴B（0，）
∴0B=，
∴
解得：（负值舍去）
∴；
（2）解：如图，
∵轴，
∴
∵
∴
在中，
∴
∴，
∴，
将，代入
得
∴，
∴
∴
∴
解得：.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）由已知易得反比例函数的解析式及四边形ABOC的面积，根据反比例函数图象上点的坐标特点，设，将点A的坐标代入一次函数解析式可用含a的式子表示出b，进而表示出梯形ACOB的面积，建立方程，解方程，即可求解；
（2）由二直线平行，内错角相等，得出∠OAC=∠AOB=30°，进而根据含30°角的直角三角形的性质，得出OC=AO，在根据勾股定理用含OC的式子表示出AC，则可表示出A点坐标，同（1）的方法，表示出梯形ACOB的面积，建立方程，解方程，即可求解．
（1）解：当，时，
反比例函数为：
设其中，代入
∴
∴
∴
解得：（负值舍去）
∴
（2）解：如图，
∵轴，
∴
∵
∴
在中，
∴
∴，
∴，
将，代入
得
∴，
∴
∴
∴
解得：
24．【答案】（1）证明：∵为的直径，
∴，
∵∠B=60°，
∴∠BEP=90°-∠B=30°，
∴；
（2）解：设，
∴，
∵和相切，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴是的中位线，
∴；
（3）解：过点作于点，
设，
∴，，
由（1）得，
∴，，
∴，，
∵，
∴OH∥PE，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，开口向上，
∴当时，有最小值，即有最小值，
此时，，，，，，，
∴，
连接，作于点，
则四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的面积．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；切线的性质；圆的综合题；A字型相似模型
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角得，由直角三角形两锐角互余，再利用30度角的直角三角形的性质即可证明；
（2）设，则，由圆的切线垂直经过切点的半径得∠BEG=90°，由直角三角形两锐角互余求得∠BGE=30°，由含30°角直角三角形的性质求得，BC=4，则，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等建立方程，求得；从而可得BC=CG=4，BE=4，由三角形中位线定理求解即可；
（3）过点O作OH⊥BG于点H，设CG=AE=x，则BE=8-x，BG=4+x，由∠BEP的正弦和余弦函数可表示出BP、EP；由同位角相等，两直线平行，得OH∥PE，由平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△GOH∽△GEP，由相似三角形对应边成比例建立方程表示出OH，进而表示出PG、HG，CH、再利用勾股定理得到，利用二次函数的性质求得当时，有最小值，利用勾股定理求得，连接ON，作OM⊥AC于点M，由三个内角为直角的四边形是矩形得四边形OMCH是矩形，由矩形的对百年相等、利用垂径定理和勾股定理求得，推出，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形AEPN是平行四边形，利用平行四边形的面积公式即可求解．
（1）证明：∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设，
∴，
∵和相切，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴是的中位线，
∴；
（3）解：过点作于点，
设，
∴，，
由（1）得，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，开口向上，
∴当时，有最小值，即有最小值，
此时，，，，，，，
∴，
连接，作于点，
则四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的面积．
25．【答案】（1）解：抛物线，
抛物线的对称轴为直线，
即抛物线的对称轴为直线．
（2）解：设点坐标为，
点在抛物线上，
，
由题意得，点绕点顺时针旋转得到点，
点坐标为，，
以为直径的，
点在上，点是的中点，
点坐标为，
有且只有一个与轴相切，
轴，
，即，
有两个相等的实数根，
整理得：，
，
解得：，，
当，此时，
当，此时，
点坐标为或；
（3）解：令，则，
点坐标为，
点绕点顺时针旋转得到点，则点坐标为，
在图象上，
点与点重合，
，
代入到，得，
解得：，
抛物线的解析式为，
设点坐标为，
点在抛物线上，
，
由（2）得，点坐标为，
点在点左侧，
，即，
解得：，
，
当时，有最大值；当时，有最小值；
，
点的横坐标取值范围为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；切线的性质；坐标与图形变化﹣旋转；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式即可求解；
（2）设点坐标为，将点P坐标代入抛物线的解析式得到，根据旋转的性质得到点坐标为，，根据中点坐标公式得点坐标为，根据圆周角定理和切线的性质定理得到轴，到，整理得到方程有两个相等的实数根，利用求出和的值，即可解答；
（3）令抛物线解析式中的x=0算出对应的函数值可得点，得出点旋转后的对应点，根据题意可知点与点重合，则有，代入得到抛物线的解析式为，设点坐标为，根据抛物线上点的坐标特点有，点坐标为，结合点在点左侧求出的范围，再利用二次函数的性质即可解答．
（1）解：抛物线，
抛物线的对称轴为直线，
即抛物线的对称轴为直线．
（2）解：设点坐标为，
点在抛物线上，
，
由题意得，点绕点顺时针旋转得到点，
点坐标为，，
以为直径的，
点在上，点是的中点，
点坐标为，
有且只有一个与轴相切，
轴，
，即，
有两个相等的实数根，
整理得：，
，
解得：，，
当，此时，
当，此时，
点坐标为或．
（3）解：令，则，
点坐标为，
点绕点顺时针旋转得到点，则点坐标为，
在图象上，
点与点重合，
，
代入到，得，
解得：，
抛物线的解析式为，
设点坐标为，
点在抛物线上，
，
由（2）得，点坐标为，
点在点左侧，
，即，
解得：，
，
当时，有最大值；当时，有最小值；
，
点的横坐标取值范围为．
1 / 1广东省广州市荔湾区广雅中学2025年中考二模考试数学试卷
1．（2025·荔湾模拟）氢、氧、碳、氮是重要的化学元素，下列选项中分别是它们的元素符号，其中可以看作是中心对称图形，但不能看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、“H”是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、“O”是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、“C”是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、“N”不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．（2025·荔湾模拟）某科研团队通过电子显微镜测得人体红细胞的平均直径为米，该数据用科学记数法表示为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：米米，
故答案为：D．
【分析】用科学记数法表示大于0且小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，据此解答即可.
3．（2025·荔湾模拟）下列图形中，由，能得到的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、由得到，故此选项不符合题意；
B、由不能确定直线平行，故此选项不符合题意；
C、如图，由，得到，即可根据同位角相等，两直线平行得到，故此选项符合题意；
D、由不能判定两直线平行，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】∠1与∠2是AD、BC被AC所截的一对内错角，如果∠1=∠2，则AD∥BC，据此可判断A选项；∠1与∠2是AB、CD被第三条直线所截的一对同旁内角，只有当∠1+∠2=180°时，AB与CD才会平行，据此可判断B选项；由对顶角相等及等量代换可得∠2=∠3，∠2与∠3是AB、CD被第三条直线所截得一对同位角，当∠2=∠3时，AB∥CD，据此可判断C选项；∠2与∠1不是两条直线被第三条直线所截得一对角，即使相等，也判断不出两直线平行，据此可判断D选项.
4．（2025·荔湾模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据单项式乘以多项式法则“单项式乘以多项式，就是用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加”进行计算可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断B选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断C选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断D选项.
5．（2025·荔湾模拟）对于实数、，定义一种运算“”：，那么不等式组，的解在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，不等式组即为不等式组，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
，
故答案为：A．
【分析】根据新定义可得不等式组，根据解不等式的步骤分别求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
6．（2025·荔湾模拟）下列命题是真命题的是（ ）
A．若中，，则
B．二次函数的图象与坐标轴有两个交点
C．与是同类二次根式
D．已知，则
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；同类二次根式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；含30°角的直角三角形；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、若中，，则或，原命题是假命题，不符合题意；
B、对于，，当时，，故二次函数的图象与轴有两个交点，与轴有一个交点，故原命题为假命题，不符合题意；
C、与是同类二次根式，是真命题，符合题意；
D、∵，∴，原命题为假命题，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半，由于没有明确告知直角，故可能存在两种情况，据此可判断A选项；函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)，当△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个不同的交点，据此判断出抛物线y=x2+3ax-1与x轴交点的个数，进而再找出其与y轴交点，即可判断B选项；将二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数完全相同，则这几个二次根式就是同类二次根式，据此可判断C选项；将已知等式两边同时平方，再展开整理即可判断D选项.
7．（2025·荔湾模拟）为弘扬广府饮食文化，某校开展“广东点心制作”实践活动．已知甲组同学平均每小时比乙组多做个虾饺，甲组制作个虾饺所用的时间与乙组制作个虾饺所用的时间相同．求甲、乙两组同学平均每小时各做多少个虾饺．若设乙组每小时做个虾饺，可列出关于的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙组每小时做x个虾饺，则甲组同学平均每小时做(x+15)个虾饺，
根据题意，得，
故答案为： A．
【分析】设乙组每小时做x个虾饺，则甲组同学平均每小时做(x+15)个虾饺，根据工作总量除以工作效率等于工作时间及“ 甲组制作180个虾饺所用的时间与乙组制作150个虾饺所用的时间相同 ”列出方程即可.
8．（2025·荔湾模拟）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都是格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：作于点，
由勾股定理，得：，
∵，
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】利用方格纸的特点及勾股定理求出AB、AC的长，作CD⊥AB于点D，利用割补法由△ABC所在直角梯形的面积分别减去△ABC周围两个直角三角形的面积可算出△ABC，根据三角形面积计算公式求出CD，再利用正弦函数的定义，进行求解即可．
9．（2025·荔湾模拟）在建筑设计的实践中，常常会遇到四边形结构的建筑框架．现有一个四边形建筑框架，其中和是两条相互平行的建筑边线，、作为两条交叉的支撑结构线，于点交汇，为整个建筑框架提供稳固的支撑．设计师在进行建筑材料分配以及装饰设计规划时，需要精准把握各个三角形区域的面积比例．已知，则当（ ）时，才能使与的面积之比为，以便为后续的建筑设计工作提供精确的数据支持．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵与的面积之比为，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴
∵，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AOD∽△COB，由相似三角形面积之比等于相似比的平方得出，再根据同高三角形的面积之比等于对应底之比得，设S△AOD=k，则，，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ODC∽△CDB，进而再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解即可.
10．（2025·荔湾模拟）如图，边长为1的正方形中，、为线段、上的动点，且，小明用信息技术软件开展研究，当拖动点时，发现线段与线段、、和之间存在相互变化关系，设长度为，、、和的长度分别为、、、，在平面直角坐标系中画出点、、和的轨迹，则平面直角坐标系中这四个轨迹分别对应的图象是（ ）．
A．④③①② B．③④①② C．③④②① D．④③②①
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；动点问题的函数图象；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形为正方形，
∴，，
设长度为，则，
∵、、和的长度分别为、、、，
∴，
∴当时，取最大值，当时，取最小值1，
∴图象③为点的轨迹；
∵，
当时，取最小值1，当时，取最大值，
延长，取，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
∴当时，，当时，，
∴图象④为点的轨迹；
∵，
∴当时，取最小值1，当时，取最大值，
∵，，
∴
，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，点的轨迹在点的轨迹上面，
∴图象②为点的轨迹；图象①为点的轨迹；
综上分析可知：在平面直角坐标系中，点、、和的轨迹分别对应的图象是③④②①．
故答案为：C．
【分析】根据正方形的性质得出，，设长度为，则，利用勾股定理表示出，求出y1的最大与最小值可得图象③为点的轨迹；延长BA，取AG=CF，连接DG，首先利用SAS判断出△ADG≌△CDF，得DG=DF，∠CDF=∠ADG，进而可推出∠GDE=∠FDE，再用SAS判断出△GDE≌△FDE，得EF=GE=AE+AG=AE+FC，设FC=m，则BF=1-m（0≤m≤1），EF=x+m，利用勾股定理建立方程可用含x的式子表示出m，从而可得，求出y2的最大与最小值可得图象④为点的轨迹；用勾股定理表示出，，分别求出其最大最小值，然后比较出EB与CF的大小，即可得出当时，点的轨迹在点的轨迹上面，故图象②为点的轨迹；图象①为点的轨迹.
11．（2025·荔湾模拟）在平面直角坐标系中，已知点，则点在第 象限．
【答案】四
【知识点】偶次方的非负性；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴点的横坐标为正，纵坐标为负，
∴点P在第四象限，
故答案为：四．
【分析】由偶数次幂的非负性可判断出a2+2＞0，然后根据点的坐标符号与象限的关系：第一象限的点（+，+），第二象限的点（-，+），第三象限的点（-，-），第四象限的点（+，-）即可判断得出答案.
12．（2025·荔湾模拟）因式分解：
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解；
，
故答案为：．
【分析】先提取各项的公因式2b，再利用完全平方公式继续分解到每一个因式都不能再分解为止.
13．（2025·荔湾模拟）如图，在中，平分，且于点，交于点，，．那么的周长为 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：平分，
，
于，
，
，
，
又，
，，
，
，，
，，
，，
，
的周长，
故答案为：．
【分析】由角平分线定义、垂直定义及三角形内角和定理可推出∠A=∠B，由等角对等边得BC=AC=4cm，由等腰三角形的三线合一得AD=1.5cm，由二直线平行，同位角相等（内错角相等）得出∠EDC=∠BCD，∠ADE=∠B，则∠EDC=∠ACD，∠A=∠ADE，由等角对等边得CE=AE=DE=2cm，从而根据三角形周长计算方法可算出答案.
14．（2025·荔湾模拟）受台风“摩羯”外围环流影响，珠江口某大型水库水位持续上升，防汛部门监测到近小时内水位将保持上涨趋势．下表记录了台风影响初期3小时内5个时间点的水位数据，其中表示时间（单位：小时），表示水位高度（单位：米）请根据表中数据，写出关于的函数解析式 ，用于合理预估台风影响下的水位变化规律（不写自变量取值范围）．
（小时） 0 1 3
（米）
【答案】
【知识点】用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由表格可知，x每增加，y就增加，
，
故答案为：．
【分析】根据表格提供的x与y之间的变化关系可得：x每增加0.5，y就增加0.2，从而根据最终水位等于原来水位加上增加的水位，即可写出y关于x的函数关系式.
15．（2025·荔湾模拟）如图，的直径为4，、、在上，与交于点，若，，则劣弧的长为 （结果保留π）．
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
的直径为4，
劣弧的长，
故答案为：．
【分析】连接OD、OE、BD，由圆内接四边形的对角互补求出，由等边对等角及三角形的内角和定理求出∠BOD=70°，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出，进而再根据等边对等角及三角形的内角和定理得出，由角的和差算出∠DOE=105°，最后根据弧长计算公式“”计算即可．
16．（2025·荔湾模拟）直线与轴、轴分别交于、两点，以为底作顶角为的等腰三角形，则点的横坐标为 ．
【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：对于直线，当时，；
当时，，
，
如下图：①当点C在直线左侧时，作轴于点E，作轴于点F，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
在中，设，
，
，
，
解得：，
，
则点的横坐标为；
②当点C在直线右侧时，作C'I⊥x轴，作BI⊥c'i于点I，作C'H⊥y轴，作AH⊥C'H轴于点H，
同理，
，
在中，设，
，
，
，
，
解得：，
则点的横坐标为；
故答案为：或．
【分析】 根据直线与坐标轴交点的坐标特点，分别令直线y=x+2中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，得点A(-2，0)，B(0，2)，则OA=OB=2，由等边对对等角及三角形的内角和定理得出∠OAB=∠OBA=45°；分两种情况：当点C在直线AB左侧时，作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F；由等边对等角及三角形内角和定理可推出∠CAB=∠CBA=75°，由平角定义得出∠CAE=∠CBF=45°，从而用AAS判断出△CAE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等得CE=CF；设AE=a，在Rt△ACE中，由∠CAE的正切函数及特殊锐角三角函数值表示出CE=a，则CF=a，然后根据OE=a+2建立方程可求出a的值，进而即可得出点C的横坐标；当点C在直线AB右侧时，作C'I⊥x轴，作BI⊥c'i于点I，作C'H⊥y轴，作AH⊥C'H轴于点H，同理求解即可.
17．（2025·荔湾模拟）解方程组：．
【答案】解：，
由①，得：③；
把③代入②，得：，解得：；
把代入③，得：；
∴方程组的解为：．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】由于①方程未知数y的系数为“-1”，故此方程利用代入消元法求解较为简单；首先由①方程变形为用含x的式子表示y的形式得到③方程，然后将方程③代入②方程消去y求出x的值，进而将x的值代入③方程求出y的值，从而得出原方程组的解.
18．（2025·荔湾模拟）如图， 在中，，为的中点，，．求证：四边形是菱形．
【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，为的中点，
，
四边形是菱形 ．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得出四边形BCDE是平行四边形，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BE=ED，从而根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得结论.
19．（2025·荔湾模拟）已知为整式，，化简后，．
（1）求整式；
（2）若是方程的根，求的值．
【答案】（1）解：
，
∵，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得：，，
∵分式有意义，
∴，，，，
当时，
原式.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）将第一个等式右边第一个分式的分子利用提取公因式法分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，同时根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后计算分式乘法，约分化简，最后再与题干给出的结果比较可得A的结果；
（2）先解一元二次方程求出x的值（把x-2看成一个整体，将方程右边利用提取公因式法分解因式后整体移到方程的左边，然后将方程的左边合并同类项化简，进而根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程求出x的值，即可得到原方程的解），再结合分式有意义的条件把x=2代入化简后的代数式计算即可.
（1）解：
，
∵，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得：，，
∵分式有意义，
∴，，，，
当时，
原式.
20．（2025·荔湾模拟）为了丰富校园文化生活，培养学生的创新精神和实践能力，学校举办了一场精彩纷呈的校园科技节．在科技节中，设置了多个比赛项目，每个学生需要参与四个项目的角逐，其中项目、、为固定必选项目，项目和中随机抽取一个．
（1）在参与科技节的众多学生中，有一个小组的8名同学抽到了项目．他们在该项目中的表现成绩如下：7，6，8，9，10，5，8，7．这组成绩的中位数是________，平均数是________；
（2）某班有50名学生，下表是各项目成绩统计，则该班此次科技节的平均成绩为________；
项目
测试人数（人） 50 50 50 30 20
单科平均成绩（分） 9 8 7 8 9
（3）诗诗和妍妍是该班级的两位同学，请用列表法或画树状图法，求她俩参赛的四个项目不完全相同的概率．
【答案】（1），
（2）
（3）解：设项目D、E，诗诗选项目有2种可能（选D或选E），妍妍选项目也有2种可能（选D或选E）．用列表法：
诗诗 妍妍 D E
D
E
总情况数种，她俩参赛的四个项目不完全相同的情况有、，共种．
∴她俩参赛的四个项目不完全相同的概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】（1）解：将成绩5，6，7，7，8，8，9，10从小到大排序．
∵数据个数为偶数，
∴中位数是中间两个数7和8的平均数，即
根据平均数公式
故答案为：，；
（2）解：总人数为50人． 项目A的加权分为；
项目B的加权分为；
项目C的加权分为；
项目D的加权分为；
项目E的加权分为
∴平均成绩
故答案为：32.4；
【分析】（1）中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；据此结合题意求解即可；运用平均数公式，将所有数据相加再除以数据个数即可；
（2）根据加权平均数公式（其中是第i组数据的数值，是第i组数据的频数）来计算；
（3）用列表法列出诗诗和妍妍选择项目的所有可能情况，由表可知，所有等可能的情况数共有4种，其中她俩参赛的四个项目不完全相同的情况有，最后根据概率公式（n是总情况数，m是事件A发生的情况数）计算概率．
（1）解：将成绩5，6，7，7，8，8，9，10从小到大排序．
∵数据个数为偶数，
∴中位数是中间两个数7和8的平均数，即
根据平均数公式
故答案为：，；
（2）解：总人数为50人． 项目A的加权分为；项目B的加权分为；项目C的加权分为；项目D的加权分为；项目E的加权分为
∴平均成绩
（3）解：设项目D、E，诗诗选项目有2种可能（选D或选E），妍妍选项目也有2种可能（选D或选E）．
用列表法：
诗诗 妍妍 D E
D
E
总情况数种，她俩参赛的四个项目不完全相同的情况有、，共种．
∴她俩参赛的四个项目不完全相同的概率
21．（2025·荔湾模拟）某中学开展“莲韵文化”手工实践活动，同学们制作不同工艺等级的莲花灯．基础款为第1级，每盏利润10元，每天可制作50盏．每提升1个工艺等级，单盏利润增加2元，日产量减少4盏．
（1）若某天手工社团获得总利润588元请问他们制作的是第几个工艺等级的莲花灯（工艺等级从第1级开始依次递增）？
（2）若社团希望获得最大日利润，应选择第几工艺等级？此时最大日利润是多少元？
【答案】（1）解：设他们制作的是第个工艺等级的莲花灯，由题意，得：
，
解得：或（不合题意，舍去）；
答：他们制作的是第个工艺等级的莲花灯；
（2）解：设总利润为，选择第个工艺等级，
由题意，得：，
∴当时，函数取的最大值，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵为整数，
∴时，；
时，；
故社团希望获得最大日利润，应选择第5工艺等级，最大利润为612元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设他们制作的是第x个工艺等级的莲花灯，则每天制作的莲花灯得数量为{50-4x-1)}盏，每个莲花灯的利润为{10+2(x-1)]元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可；
（2）设总利润为w，选择第m个工艺等级，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，利用二次函数性质结合m为整数，求最值即可．
（1）解：设他们制作的是第个工艺等级的莲花灯，由题意，得：
，
解得：或（不合题意，舍去）；
答：他们制作的是第个工艺等级的莲花灯；
（2）设总利润为，选择第个工艺等级，由题意，得：
，
∴当时，函数取的最大值，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵为整数，
∴时，；
时，；
故社团希望获得最大日利润，应选择第5工艺等级，最大利润为612元．
22．（2025·荔湾模拟）如图，矩形中，，，连接，为线段上一点，于点．
（1）利用尺规在上作一点，使得沿翻折后点的对称点刚好落在射线上（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接，与线段交于点，求线段的长．
【答案】（1）解：如图所示，作的角平分线交于P，则点P即为所求；
由折叠的性质可得，则平分；
（2）解：如图所示，过点G作于T，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∵平分，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）利用尺规作角平分线的方法，作∠CDE的角平分线交BC于P，则点P即为所求；
（2）过点G作GT⊥CD于T，由矩形的性质可得，在Rt△ACD中利用勾股定理算出AC，由正弦与余弦函数的定义分别求出∠ACD的余弦函数值及正弦函数值；在Rt△CDH中，由∠DCH的余弦函数可求出CH的长，由角平分线的上的点到角两边的距离相等得GH=GT，在Rt△CTG中，由∠TCG的正弦函数用含CG的式子表示出GT，然后根据CH=GH+CG，建立方程，进而解方程即可求出CG的长.
（1）解：如图所示，作的角平分线交于P，则点P即为所求；
由折叠的性质可得，则平分；
（2）解：如图所示，过点G作于T，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∵平分，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴；
23．（2025·荔湾模拟）如图，双曲线与直线在第一象限交于点，直线与轴交于点，过作轴于点，．
（1）当，时，求的值；
（2）连接，若时，求的值．
【答案】（1）解：当，时，，反比例函数为：
设其中，
∴AC=，OC=a，
将点A的坐标代入
∴
∴
令y=x+b中的x=0可得y=b，
∴B（0，）
∴0B=，
∴
解得：（负值舍去）
∴；
（2）解：如图，
∵轴，
∴
∵
∴
在中，
∴
∴，
∴，
将，代入
得
∴，
∴
∴
∴
解得：.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）由已知易得反比例函数的解析式及四边形ABOC的面积，根据反比例函数图象上点的坐标特点，设，将点A的坐标代入一次函数解析式可用含a的式子表示出b，进而表示出梯形ACOB的面积，建立方程，解方程，即可求解；
（2）由二直线平行，内错角相等，得出∠OAC=∠AOB=30°，进而根据含30°角的直角三角形的性质，得出OC=AO，在根据勾股定理用含OC的式子表示出AC，则可表示出A点坐标，同（1）的方法，表示出梯形ACOB的面积，建立方程，解方程，即可求解．
（1）解：当，时，
反比例函数为：
设其中，代入
∴
∴
∴
解得：（负值舍去）
∴
（2）解：如图，
∵轴，
∴
∵
∴
在中，
∴
∴，
∴，
将，代入
得
∴，
∴
∴
∴
解得：
24．（2025·荔湾模拟）如图，中，，，，点是线段上的一个动点，点在的延长线上且满足连接，以为直径作，交于点，交于点．
（1）证明：；
（2）连接，若和相切，求线段的长；
（3）点在线段上运动的过程中，当线段长度最小时，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵为的直径，
∴，
∵∠B=60°，
∴∠BEP=90°-∠B=30°，
∴；
（2）解：设，
∴，
∵和相切，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴是的中位线，
∴；
（3）解：过点作于点，
设，
∴，，
由（1）得，
∴，，
∴，，
∵，
∴OH∥PE，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，开口向上，
∴当时，有最小值，即有最小值，
此时，，，，，，，
∴，
连接，作于点，
则四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的面积．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；切线的性质；圆的综合题；A字型相似模型
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角得，由直角三角形两锐角互余，再利用30度角的直角三角形的性质即可证明；
（2）设，则，由圆的切线垂直经过切点的半径得∠BEG=90°，由直角三角形两锐角互余求得∠BGE=30°，由含30°角直角三角形的性质求得，BC=4，则，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等建立方程，求得；从而可得BC=CG=4，BE=4，由三角形中位线定理求解即可；
（3）过点O作OH⊥BG于点H，设CG=AE=x，则BE=8-x，BG=4+x，由∠BEP的正弦和余弦函数可表示出BP、EP；由同位角相等，两直线平行，得OH∥PE，由平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△GOH∽△GEP，由相似三角形对应边成比例建立方程表示出OH，进而表示出PG、HG，CH、再利用勾股定理得到，利用二次函数的性质求得当时，有最小值，利用勾股定理求得，连接ON，作OM⊥AC于点M，由三个内角为直角的四边形是矩形得四边形OMCH是矩形，由矩形的对百年相等、利用垂径定理和勾股定理求得，推出，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形AEPN是平行四边形，利用平行四边形的面积公式即可求解．
（1）证明：∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设，
∴，
∵和相切，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴是的中位线，
∴；
（3）解：过点作于点，
设，
∴，，
由（1）得，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，开口向上，
∴当时，有最小值，即有最小值，
此时，，，，，，，
∴，
连接，作于点，
则四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的面积．
25．（2025·荔湾模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点为抛物线上不与顶点重合的动点，把抛物线绕点顺时针旋转得到新的图象，点在图象上的对应点为．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当以为直径的有且只有一个与轴相切时，求点坐标；
（3）已知，原抛物线图象与旋转后图象的其中一个公共点为，当点在点左侧，求点的横坐标取值范围．
【答案】（1）解：抛物线，
抛物线的对称轴为直线，
即抛物线的对称轴为直线．
（2）解：设点坐标为，
点在抛物线上，
，
由题意得，点绕点顺时针旋转得到点，
点坐标为，，
以为直径的，
点在上，点是的中点，
点坐标为，
有且只有一个与轴相切，
轴，
，即，
有两个相等的实数根，
整理得：，
，
解得：，，
当，此时，
当，此时，
点坐标为或；
（3）解：令，则，
点坐标为，
点绕点顺时针旋转得到点，则点坐标为，
在图象上，
点与点重合，
，
代入到，得，
解得：，
抛物线的解析式为，
设点坐标为，
点在抛物线上，
，
由（2）得，点坐标为，
点在点左侧，
，即，
解得：，
，
当时，有最大值；当时，有最小值；
，
点的横坐标取值范围为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；切线的性质；坐标与图形变化﹣旋转；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式即可求解；
（2）设点坐标为，将点P坐标代入抛物线的解析式得到，根据旋转的性质得到点坐标为，，根据中点坐标公式得点坐标为，根据圆周角定理和切线的性质定理得到轴，到，整理得到方程有两个相等的实数根，利用求出和的值，即可解答；
（3）令抛物线解析式中的x=0算出对应的函数值可得点，得出点旋转后的对应点，根据题意可知点与点重合，则有，代入得到抛物线的解析式为，设点坐标为，根据抛物线上点的坐标特点有，点坐标为，结合点在点左侧求出的范围，再利用二次函数的性质即可解答．
（1）解：抛物线，
抛物线的对称轴为直线，
即抛物线的对称轴为直线．
（2）解：设点坐标为，
点在抛物线上，
，
由题意得，点绕点顺时针旋转得到点，
点坐标为，，
以为直径的，
点在上，点是的中点，
点坐标为，
有且只有一个与轴相切，
轴，
，即，
有两个相等的实数根，
整理得：，
，
解得：，，
当，此时，
当，此时，
点坐标为或．
（3）解：令，则，
点坐标为，
点绕点顺时针旋转得到点，则点坐标为，
在图象上，
点与点重合，
，
代入到，得，
解得：，
抛物线的解析式为，
设点坐标为，
点在抛物线上，
，
由（2）得，点坐标为，
点在点左侧，
，即，
解得：，
，
当时，有最大值；当时，有最小值；
，
点的横坐标取值范围为．
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