第十一章 不等式与不等式组 章末复习教学设计 人教版（2024）数学七年级下册

第十一章 不等式与不等式组
章末复习
　　1．结合具体问题，了解不等式的意义，掌握不等式的基本性质．
　　2．能解一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集．
　　3．能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式（组），解决简单的问题．
　　掌握解一元一次不等式的一般步骤；能利用一元一次不等式解决实际问题．
　　解复杂的不等式（组）；列不等式（组）解决复杂的实际问题．
复习导入
　　请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！
　　1．总结不等式的性质，并与等式的性质进行比较．
　　2．总结一元一次不等式的解法，并与一元一次方程的解法进行比较，结合例子说明：解未知数为x的不等式，就是依据不等式的性质，将不等式逐步化为x＜m（x≤m）或x＞m（x≥m）的形式．
　　3．如何解一元一次不等式组？结合具体例子说明：解不等式组就是求相关不等式的解集的公共部分．
　　4．举例说明数轴在解不等式（组）中的作用．
　　5．结合实例体会运用不等式解决实际问题的过程．
　　【设计意图】以问题串的形式创设情境，引导学生复习回顾已学知识，通过学生回答，检查学生对知识的掌握情况，加深学生对知识的理解，提高学生灵活运用知识的能力．
要点复习
考点一　不等式的性质
　　【例1】如果a＞b，c≠0，那么下列不等式一定成立的是（　　）．
　　A．a－c＞b－c B．c－a＞c－b C．ac＞bc D．＞
　　【师生活动】学生口述解题过程，教师进行指导．
　　【答案】A
　　【解析】选项A：不等式的两边减同一个数，不等号的方向不变，故正确；
　　选项B：不等式的两边乘同一个负数，不等号的方向改变，且不等式的两边加同一个数，不等号的方向不变，故错误；
　　选项C：当c＜0时，不等号的方向改变，故错误；
　　选项D：当c＜0时，不等号的方向改变，故错误．
　　【归纳】应用不等式的基本性质解题时的两点注意：
　　（1）当不等式两边同乘（或除以）一个负数时，不等号的方向要改变；
　　（2）挖掘不等式中的隐含条件，如由am2＞bm2得到a＞b，其中隐含的条件是m≠0．
　　【设计意图】通过例1，考查学生能否正确判断不等号的方向是否改变．通过学生练习和教师讲解，加深学生对不等式的性质的理解．
　　【跟踪训练1】实数a，b，c满足a＞b，且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（　　）．
　　A． B．
　　C． D．
　　【答案】A
　　【解析】因为a＞b，且ac＜bc，所以c＜0．
　　选项A符合a＞b，c＜0的条件，故符合题意．
　　选项B不满足a＞b，选项C，D不满足c＜0，故选项B，C，D不符合题意．
考点二　一元一次不等式的解法
　　【例2】解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
　　（1）3(x－1)＞2x＋2；
　　（2）≥x＋1．
　　【师生活动】学生独立完成，选两名学生代表板演，教师讲评．
　　【答案】解：（1）去括号，得3x－3＞2x＋2．
　　移项，得3x－2x＞2＋3．
　　合并同类项，得x＞5．
　　这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
　　（2）去分母，得3x－1≥4(x＋1)．
　　去括号，得3x－1≥4x＋4．
　　移项，得3x－4x≥4＋1．
　　合并同类项，得－x≥5．
　　系数化为1，得x≤－5．
　　这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
　　【归纳】解不等式时应注意的问题：
　　（1）去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
　　（2）去括号时，若括号前面有负号，括号里的每一项都要变号；
　　（3）移项时不要忘记变号；
　　（4）不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变．
　　【设计意图】通过例2，考查学生能否根据具体的不等式，选择恰当的步骤获得解集，能否用数轴正确表示解集，巩固解一元一次不等式的一般步骤．
　　【跟踪训练2】解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
　　（1）2－5x≥8－2x；
　　（2）－1＜．
　　【答案】解：（1）移项，得－5x＋2x≥8－2．
　　合并同类项，得－3x≥6．
　　系数化为1，得x≤－2．
　　这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
　　（2）去分母，得x＋5－2＜3x＋2．
　　移项，得x－3x＜2＋2－5．
　　合并同类项，得－2x＜－1．
　　系数化为1，得x＞．
　　这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
考点三　一元一次不等式组的解法
　　【例3】解不等式组
　　【师生活动】学生独立解答，小组内部交流纠错，教师进行指导．
　　【答案】解：
　　解不等式①，得x＜2．
　　解不等式②，得x≥－1．
　　把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
　　由图可知，不等式组的解集是－1≤x＜2．
　　【归纳】解一元一次不等式组的关键是掌握确定各不等式解集公共部分的规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找．
　　【设计意图】通过例3，检测学生对解一元一次不等式组的掌握情况，通过实践，让学生能熟练地用数轴确定不等式组的解集．
　　【跟踪训练3】解不等式组
　　【答案】解：
　　解不等式①，得x＜2．
　　解不等式②，得x＜4．
　　把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
　　由图可知，不等式组的解集是x＜2．
考点四　不等式（组）的特殊解及求字母的取值（范围）问题
　　【例4】已知关于x的不等式组的整数解只有3个，求a的取值范围．
　　【师生活动】学生独立思考作答，教师根据学生的作答情况补充说明．
　　【分析】先求出不等式组的解集，用含有a的式子表示出来，再根据整数解的个数，确定a的取值范围．
　　【答案】解：解不等式①，得x≤－a．
　　解不等式②，得x＞1．
　　所以原不等式组的解集为1＜x≤－a．
　　因为其整数解只有3个，即2，3，4，所以－a的取值范围为4≤－a＜5．
　　所以a的取值范围为－5＜a≤－4．
　　【归纳】求不等式（组）中的字母取值（范围）的一般思路：
　　对于求不等式（组）中的字母取值（范围）问题，一般根据已知的解集的情况，构成新的相等关系或不等关系，再利用方程（组）或不等式来确定字母的取值（范围）．
　　【设计意图】通过解答本题，让学生学会解决不等式（组）的特殊解及字母取值（范围）问题，培养学生分析问题、解决问题的能力．
　　【跟踪训练4】若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是（　　）．
　　A．m＜4 B．m＞4 C．m＜－4 D．m＞－4
　　【答案】A
　　【解析】解不等式2x－6＋m＜0，得x＜．
　　解不等式4x－m＞0，得x＞．
　　因为不等式组有解，所以＜．解得m＜4．
考点五　一元一次不等式（组）的应用
　　【例5】为支援某地震灾区，某市民政局组织募捐了240 t救灾物资，现准备租用甲、乙两种货车，将这批救灾物资一次性全部运往灾区，它们的载货量和租金如下表所示．如果计划租用6辆货车，且租车的总费用不超过2 300元，则该公司有哪几种租车方案？选择哪种方案运费最少？最少运费是多少？
货车种类 甲种货车 乙种货车
载货量/(吨/辆) 45 30
租金/(元/辆) 400 300
　　【师生活动】学生独立思考，尝试解答，教师进行指导．
　　【答案】解：设租用甲种货车x辆，则租用乙种货车(6－x)辆．
　　由题意，得
　　解得4≤x≤5．
　　因为x为正整数，所以共有两种租车方案．
　　方案一：甲种货车4辆，乙种货车2辆；方案二：甲种货车5辆，乙种货车1辆．
　　方案一总费用：4×400＋2×300＝2 200（元）；
　　方案二总费用：5×400＋1×300＝2 300（元）．
　　因为2 200＜2 300，所以选择方案一，即租用甲种货车4辆，乙种货车2辆时运费最少，最少运费是2 200元．
　　【归纳】列不等式（组）解应用题的一般步骤：
　　（1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中的不等关系，要抓住题设中的关键字眼，如“大于”“小于”“不大于”“不小于”“至少”“不低于”“超过”“至多”等；
　　（2）设：设出适当的未知量；
　　（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式（组）；
　　（4）解：解出所列不等式（组）的解集；
　　（5）验：检验解（或解集）是否符合实际意义；
　　（6）答：写出答案．
　　【设计意图】通过分析具体问题中的不等关系，列出一元一次不等式组，巩固列不等式（组）解应用题的一般步骤．
　　【跟踪训练5】某城市平均每天产生垃圾700 t，由甲、乙两个垃圾处理厂处理．已知甲厂每小时可处理垃圾55 t，需要费用550元；乙厂每小时可处理垃圾45 t，需要费用495元．如果规定该城市每天用于垃圾处理的费用不得超过7 370元，那么甲厂每天处理垃圾至少需要多少小时？
　　【答案】解：设甲厂每天处理垃圾x t．550÷55＝10（元），495÷45＝11（元）．
　　所以甲、乙两厂处理每吨垃圾的费用分别为10元、11元．
　　由题意，得10x＋11(700－x)≤7 370．解得x≥330．
　　所以甲厂每天处理垃圾至少需要330÷55＝6（h）．
　　答：甲厂每天处理垃圾至少需要6 h．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第144页复习题11第1～5题．