中小学教育资源及组卷应用平台
【真题汇编·50道综合题专练】浙教版数学七年级下册期末总复习
1．（2024七下·徐闻期末）今年春季，蔬菜种植场在15亩的大棚地里分别种植了茄子和西红柿，总投入是26万元，其中，种植茄子和西红柿每亩地的投入分别为2万元和1万元．请解答下列问题：
（1）求出茄子和西红柿的种植面积各为多少亩？
（2）如果茄子和西红柿每亩地的利润分别为1.4万元和1.6万元，那么种植场在这一季共获利多少万元？
2．（2024七下·厦门期末）某校为了解本校七年级女生体育项目跳绳的训练情况，随机抽查了该年级若干名女生，进行了1分钟跳绳测试．这些同学的测试结果分为“优秀”“良好”“及格”“不及格”四个等级，并将统计结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
等级 跳绳个数 人数
优秀 a
良好 26
及格
不及格 3
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次共测试了 名女生， ；
（2）等级为“及格”所在扇形的圆心角的度数为 度；
（3）若该年级有450名女生，请你估计该年级女生中1分钟“跳绳”测试中不及格的人数是多少．
3．（2024七下·余姚期末）为了鼓励市民节约用水，某市水费实行阶梯式计量水价：每户每月用水量不超过25吨享受基本价格：超出25吨的部分实行加价收费.为了更好地决策，自来水公随机抽取部分用户的用水量，并绘制了如下不完整的统计图（每组数据包括右端点不包括左端点），请根据统计图解决以下问题：
（1）这次调查抽取了多少用户的用水量数据？
（2）补全频数分布直方图，求扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角的度数；
（3）估计该地30万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？
4．（2024七下·广州期末）如图，在平面直角坐标系 中， 的三个顶点的坐标分别是 ， ， ．将 向上平移5个单位长度，再向右平移8个单位长度，得到 ．
（1）在平面直角坐标系 中画出 ；
（2）直接写出点 ， ， 的坐标；
（3）求 的面积 ．
5．（2019七下·潮阳期末）已知方程组 的解满足 为非正数， 为负数．
（1）求 的取值范围．
（2）在 的取值范围内，当 为何整数时，不等式 的解为 ．
6．（2017七下·乌海期末）已知：如图，AB∥DC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1=∠A．
（1）求证：FE∥OC；
（2）若∠B=40°，∠1=60°，求∠OFE的度数．
7．（2023七下·天津市期末）为了丰富同学们的课余生活．某校举行了“阅读红色经典，汲取青春能量”诗歌朗诵活动，准备购买笔记本和夹子两种文具，奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买2个笔记本和3个夹子共需45元；购买1个笔记本和2个夹子共需25元．
（1）求购买一个笔记本和一个夹子各需要多少元？
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，并且投入资金不多于1000元，则最多可购买多少个笔记本？
8．（2023七下·红桥期末）某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元、40元．商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元．（利润＝销售价格-进货价格）
（1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（列方程或方程组解决）
（2）商场推出两种优惠套餐供顾客选择：
套餐一：A、B两种型号计算器均打八折出售；
套餐二：A型号计算器打九折出售，B型号计算器打七折出售．
现学校需要购买A、B两种型号计算器共420台，学校选择哪个优惠套餐购买更划算？
9．（2023七下·临沂期末）已知关于x，y的方程组的解满足，．
（1）解方程组；
（2）求实数a的取值范围．
10．（2023七下·临沂期末）计算
（1）
（2）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．
11．（2023七下·即墨期末）
（1）计算：
①
②
（2）化简求值：，其中，．
12．（2023七下·南沙期末）某校为了解七年级学生体育测试成绩情况，现从中随机抽取部分学生的体育成绩统计如下，其中扇形统计图中的圆心角为．
请根据图表中提供的信息，回答下列问题：
体育成绩（分） 人数（人） 百分比（％）
26 7
27 4 5
28
29 25
30
（1）这个样本的样本容量是 ；
（2）求出统计表中m的值；
（3）已知该校七年级共有400名学生，如果体育成绩等级划分如下表：
成绩（P）
等级 E D C B A
请估计该校七年级学生体育成绩达到A等级的总人数．
13．（2023七下·榆树期末）如图，沿着的方向平移至，，．
（1）求的度数；
（2）若的周长为，平移距离为则四边形的周长为 ．
14．（2023七下·天河期末）对于两个数，我们定义：①表示这两个数的平均数，例如；
②表示这两个数中更大的数，当时，；当时，；例如：．根据以上材料，解决下列问题：
（1）填空： ， ；
（2）已知，求的取值范围；
（3）已知，求和的值．
15．（2022七下·大兴期末）如图，已知，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE．
（1）猜想，，的数量关系，并证明；
（2）作∠ABE，∠CDE的角平分线BF，DF交于点F．
①依题意补全图形；
②直接用等式表示∠BFD与∠BED的数量关系．
16．（2022七下·淮北期末）如图，已知，．
（1）判断BD与CE的位置关系，并说明理由；
（2）若，则的度数为 ．
17．（2021七下·大余期末）我市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．
（1）A、B两种奖品每件各多少元？
（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？
18．（2021七下·恩平期末）若关于x、y的二元一次方程组 的解都为正数．
（1）求a的取值范围；
（2）化简|a+1|﹣|a﹣1|；
（3）若上述二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和一条底边的长，且这个等腰三角形的周长为9，求a的值．
19．（2023七下·长沙期末）对a，b定义一种新运算T，规定：T（a，b）＝（a+2b）（ax+by）（其中x，y均为非零实数）．例如：T（1，1）＝3x+3y．
（1）已知T（1，-1）＝0，T（0，2）＝8，求x，y的值；
（2）已知关于x，y的方程组，若a≥-2，求x+y的取值范围；
（3）在（2）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A（x，y）落在坐标轴上，将线段OA沿x轴向右平移2个单位，得线段O′A′，坐标轴上有一点B满足三角形BOA′的面积为9，请直接写出点B的坐标．
20．（2023七下·惠城期末）中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务，成立一百周年之际，各中学开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育：D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可任选一项参加．为了解学生参与情况，某校进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了幅不完整的统计图．
（1）在这次调查中，一共抽取了 名学生：
（2）补全条形统计图；
（3）A所占的圆心角是 ；
（4）若该校共有学生1200名，请估计参加B项活动的学生数．
21．（2023七下·洪洞期末）
（1）解一元一次方程：
（2）解方程组：
（3）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来．
22．（2022七下·官渡期末）近日教育部正式印发《义务教育课程方案》并发布《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，今秋开学起，劳动将正式成为中小学的一门独立课程．为更好的开展劳动教育，某校想了解学生现阶段每月的劳动时间．学校随机抽取一部分学生，对学生每月的劳动时间（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图：
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）m= ，组对应的圆心角度数为 度；
（2）补全频数分布直方图；
（3）请估计该校2000名学生中每月的劳动时间不少于6小时的人数．
23．（2021七下·曲靖期末）某市举行“展运动风采，扬工匠精神”为主题的体育活动，并开展了以下体育项目：足球，乒乓球，篮球和羽毛球，要求参加的市民只能选择一项体育项目．为了了解选择各项体育活动的人数，随机抽取了部分参加体育项目的市民进行调查，并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答问题：
（1）这次活动一共调查了 名市民；
（2）请补全条形统计图；
（3）羽毛球项目的人数在扇形统计图中所占扇形圆心角的度数是多少度？
（4）若该市有2500人参加了这次主题活动，请你估计选择乒乓球项目的市民人数约是多少人？
24．（2021七下·临沧期末）云南省新一轮退耕还林的通知已经下达，某乡政府为了贯彻落实这一政策，需要购买A、B两种树苗进行种植．已知购买A种树苗800棵，B种树苗300棵，需要950元；购买A种树苗500棵，B种树苗600棵，需要800元．（树苗只能整百购买）
（1）求购买A、B两种树苗每棵各需多少元？
（2）考虑到退耕还林的面积和资金周转，购进A种树苗不能少于5200棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共10000棵，则有哪几种购买方案？
（3）乡政府组织农民承包种植任务，若种好100棵A种树苗可获得工钱30元，种好100棵B种树苗可获得工钱20元，在第（2）问的购买方案中，种好这10000棵树苗，哪一种购买方案所支付的工钱最少？最少工钱是多少元？
25．（2021七下·华坪期末）如图所示，在方格纸中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，三个顶点的坐标分别是，，，先将向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到．
（1）在图中画出，并写出点的坐标；
（2）求的面积．
（3）在图中连接与，这两条线段之间有什么样关系？（直接回答，不需要说理由）
26．（2024七下·海门期末）某花卉基地有、两种花卉，甲、乙两家种植户．
信息一：种植面积与收入如下表．（假设甲、乙种植同一种花卉每亩收入相等）
种植户 种植面积（亩） 种植面积（亩） 收入（万元）
甲 4 2
乙 3 4 3
信息二：花卉基地对种植给予补贴，种植面积不超过15亩的部分，每亩补贴100元；超过15亩但不超过20亩的部分，每亩补贴200元；超过20亩的部分每亩补贴300元．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求，两种花卉每亩的收入各是多少？
（2）若甲、乙种植户计划合租30亩用来种植和，且的种植面积大于的种植面积（两种花卉的种植面积均为整数亩），为了使甲乙总收入不低于万元，试确定共有几种种植方案．
27．（2024七下·邵东期末）如图，有一副三角板，和，，，，，在同一直线上．
（1）如图1，与点重合．将绕点按顺时针方向进行旋转，当与首次平行，求此时的度数；
（2）如图2，若点在边上（不与、重合），再将绕点按顺时针方向进行旋转（如图3），边交边于，当时，求边旋转的度数；
（3）将从图2初始位置开始，绕点顺时针方向以每秒的速度进行旋转，当第一次与直线平行时停止运动．设运动时间为秒，当线段与的一条边平行，求满足条件的的值（请直接写出结果）．
28．（2022七下·延庆期末）已知：如图，BD⊥AC于点D，点E是线段BC上的任意一点（不与点B，C重合），过点E作EF⊥AC于点F，过点D作DGBC交AB于点G．
（1）①请补全图形；
②求证：BDEF；
（2）用等式表示∠GDB与∠C的数量关系，并证明你的结论．
29．（2021七下·宣化期末）计算：
（1）解不等式组： ，并把解集表示在数轴上；
（2）因式分解： ．
30．（2021七下·永年期末）已知如图，点E在△ABC的边BC上，AD∥BC，∠DAE＝∠BAC，∠1＝∠2．
（1）说明：AB∥DE；
（2）若已知AE平分∠BAC，∠C＝35°，求∠2的度数．
31．（2019七下·南浔期末）你知道数学中的整体思想吗 解题中，若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体加减，能使问题迅速获解.
例题：已知x2+xy=4，xy+y2=-1.求代数式x2-y2的值.
解：将两式相减，得(x2+xy)-(xy+y2)=4-(-1)，即x2-y2=5；请用整体思想解答下列问题：
（1）在例题的基础上求(x+y)2的值；
（2）若关于x、y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程x+y=6的解，求k的值.
32．（2024七下·陕西期末）质量就是生命！某工厂全体员工将质量至上的理念铭记在心，齐心协力打造卓越品质，工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格：
抽取件数（件）
合格频数
合格频率
（1）表格中m的值为________，n的值为________；
（2）估计任抽一件该产品是不合格品的概率．（结果保留两位小数）
33．（2024七下·资阳期末）对于实数x，y定义一种新运算“”：（其中m，n均为非零常数），这里等式的右边是通常的四则运算．例如：．已知，．
（1）求m，n的值．
（2）若关于a的不等式组恰好有2个整数解，求实数b的取值范围．
34．（2023七下·固始期末）已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
（1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；
（2）判断BE与CD的位置关系，并证明你的猜想．
35．（2023七下·东莞期末）旅居海外的熊猫“丫丫”的健康牵动着亿万中国人的心．据报道，不少热心网友为丫丫送去了竹子．大熊猫常吃的竹子有笻（qióng）竹和箭竹．若购买4根笻竹和2根箭竹共需70元，购买2根笻竹和3根箭竹共需65元．
（1）购买1根笻竹、1根箭竹各需多少元？
（2）在丫丫回国路上，某公益机构计划为丫丫准备30根竹子．要求购买笻竹和箭竹的总费用不超过400元，最少可以购买多少根笻竹？
36．（2023七下·贵池期末）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．
（1）将经过平移后得到，图中标出了点的对应点，补全；
（2）在图中画出的高；
（3）若连接、，则这两条线段之间的关系是 ；四边形的面积为 ．
37．（2023七下·衡阳期末）定义一种新运算，观察下列各式：
； ；
； ；……
（1）请你想一想：用代数式表示的结果为 ；
（2）若，请计算的值．
38．（2022七下·突泉期末）【发现问题】已知，求的值.
方法一：先解方程组，得出，的值，再代入，求出的值.
方法二：将①②，求出的值.
【提出问题】怎样才能得到方法二呢？
【分析问题】
为了得到方法二，可以将①②，可得.
令等式左边，比较系数可得，求得.
【解决问题】
（1）请你选择一种方法，求的值；
（2）对于方程组利用方法二的思路，求的值；
（3）【迁移应用】
已知，求的范围.
39．（2021七下·绵阳期末）夕阳红街道办事处为给社区干净整洁的社区环境，加入环境保洁队伍，需要购置一批保洁用具，已知1把扫帚和3把拖把共需26元；3把扫帚和2把拖把共需29元.
（1）求一把扫帚和一把拖把的售价各是多少元；
（2）办事处准备购进这两种保洁工具共50把，并且扫帚的数量不多于拖把数量的3倍，不少于拖把数量的2倍，哪种方案最省钱？说明理由.
40．（2022七下·乐亭期末）如图1，在一个边长为 的正方形中，剪去一个边长为 的小正方形，再将余下的部分拼成如图2所示的长方形．
（1）（观察）
比较两图中阴影部分的面积，可以得到等式： （用字母 ， 表示）；
（2）（应用）
计算： ；
（3）（拓展）
已知 ， ，求 的值．
41．（2023七下·惠阳期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图所示的长方形和正方形纸板长方形的宽与正方形的边长相等加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）
（1）若该厂购进正方形纸板张，长方形纸板张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
（2）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值．
42．（2022七下·万州期末）把20根长度相等的木条分成三部分，分别用其中两部分木条首尾相连做成两个边数相等的多边形，再用剩下的一部分木条首尾相连做成一个多边形．
（1）求这三个多边形的内角和；
（2）如果前两个多边形的边数和大于后一个多边形的边数，求这三个多边形的边数．
43．（2022七下·自贡期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，3），C（2，0），且满足，线段AB交y轴于点F．
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）如图1，在x轴上是否存在点P，使得△ABP的面积与△ABC的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点D为y轴正半轴上一点，，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，AM交y轴于点P，求∠AMD度数．
44．（2022七下·万州期末）在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①得：③，由②得：④．
③＋④得：⑤．
当时，
即，解得．
∴①②，得．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）若有理数a、b满足，求a、b的值；
（2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
45．（2024七下·龙湖期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，且实数a、b满足．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）如图1，已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从A点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度向点O匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AB的中点C的坐标是，设运动时间为t秒．是否存在这样的t，使得的面积等于面积的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，若，点G是第二象限中一点，并且y轴平分．点E是线段OB上一动点，连接AE交OC于点H，当点E在线段OB上运动的过程中，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．
46．（2021七下·青山期末）某商场计划采购 、 两种商品共 件，已知购进 件A商品和 件 商品需要 元，购进 件 商品和 件 商品需要 元.
（1）求 、 两种商品每件的进价分别为多少元？
（2）若采购费用不低于 元，不高于 元，请求出该商场有几种采购方案？
（3）在（2）的条件下， 商品每件加价 元销售， 商品每件加价 元销售， 件商品全部售出的最大利润为 元，请直接写出 的值.
47．（2022七下·拱墅期末）如图，在正方形中放入两张边长分别为和的正方形纸片，已知，正方形的面积记为，阴影部分面积分别记为，.
（1）用含，，的代数式分别表示，；
（2）若，且，求的值；
（3）若，试说明是完全平方式.
48．（2021七下·河西期末）为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图①中m的值为 。
（2）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（3）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买37号运动鞋多少双？
49．（2023七下·长沙期末）在直角坐标系中，已知点，，，a是的立方根，方程是关于x，y的二元一次方程，d为不等式组的最大整数解．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）如图1，若D为y轴负半轴上的一个动点，当时，与的平分线交于M点，求的度数；
（3）如图2，若D为y轴负半轴上的一个动点，连BD交x轴于点E，问是否存在点D，使？若存在，请求出D的纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
50．（2023七下·滨江期末）已知是常数， ．
（1）若，，求；
（2）试将等式变形成“”形式，其中，表示关于，，的整式；
（3）若的取值与无关，请说明．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【真题汇编·50道综合题专练】浙教版数学七年级下册期末总复习
1．（2024七下·徐闻期末）今年春季，蔬菜种植场在15亩的大棚地里分别种植了茄子和西红柿，总投入是26万元，其中，种植茄子和西红柿每亩地的投入分别为2万元和1万元．请解答下列问题：
（1）求出茄子和西红柿的种植面积各为多少亩？
（2）如果茄子和西红柿每亩地的利润分别为1.4万元和1.6万元，那么种植场在这一季共获利多少万元？
【答案】（1）解：设茄子和西红柿的种植面积各为亩，亩，得：
，
解得：，
答：茄子和西红柿的种植面积各为11亩，4亩；
（2）解：（万元），
答：种植场在这一季共获利21.8万元．
【解析】【分析】
（1）设茄子和西红柿的种植面积各为x亩，y亩，根据蔬菜种植场在15亩的大棚地里分别种植了茄子和西红柿，总投入是26万元，其中，种植茄子和西红柿每亩地的投入分别为2万元和1万元，列出方程组求解即可；
（2）根据利润等于面积亩数乘以每亩的利润 ，列式计算即可．
2．（2024七下·厦门期末）某校为了解本校七年级女生体育项目跳绳的训练情况，随机抽查了该年级若干名女生，进行了1分钟跳绳测试．这些同学的测试结果分为“优秀”“良好”“及格”“不及格”四个等级，并将统计结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
等级 跳绳个数 人数
优秀 a
良好 26
及格
不及格 3
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次共测试了 名女生， ；
（2）等级为“及格”所在扇形的圆心角的度数为 度；
（3）若该年级有450名女生，请你估计该年级女生中1分钟“跳绳”测试中不及格的人数是多少．
【答案】（1）50，6
（2）
（3）27
3．（2024七下·余姚期末）为了鼓励市民节约用水，某市水费实行阶梯式计量水价：每户每月用水量不超过25吨享受基本价格：超出25吨的部分实行加价收费.为了更好地决策，自来水公随机抽取部分用户的用水量，并绘制了如下不完整的统计图（每组数据包括右端点不包括左端点），请根据统计图解决以下问题：
（1）这次调查抽取了多少用户的用水量数据？
（2）补全频数分布直方图，求扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角的度数；
（3）估计该地30万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？
【答案】（1）解：∵10÷10%=100（户），
∴此次调查抽取了100户用户的用水量数据.
（2）解：∵用水“15吨～20吨”部分的户数为100﹣10﹣40﹣25﹣5=100﹣80=20（户），
∴据此补全频数分布直方图如图：
扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数为 ；
（3）解：∵被抽查的100户中不超过25吨用水量的户数为： （户），
∴ （万户）.
∴该地30万用户中约有21万户居民的用水全部享受基本价格.
【解析】【分析】（1）利用扇形统计图和频数分布直方图，利用10吨～15的频数÷ 10吨～15的所占的百分比，列式计算可求出结果.
（2）先求出用水“15吨～20吨”部分的户数，再补全频数分布直方图.
（3）先求出被抽查的100户中不超过25吨用水量的户数，再列式计算可求出结果.
4．（2024七下·广州期末）如图，在平面直角坐标系 中， 的三个顶点的坐标分别是 ， ， ．将 向上平移5个单位长度，再向右平移8个单位长度，得到 ．
（1）在平面直角坐标系 中画出 ；
（2）直接写出点 ， ， 的坐标；
（3）求 的面积 ．
【答案】（1）解：如图所示，△ 即为所求．
（2）解：由图知， ， ，
（3）解：△ 的面积为
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作三角形即可；
（2）根据平面直角坐标系求出点的坐标即可；
（3）根据三角形的面积公式进行计算求解即可。
5．（2019七下·潮阳期末）已知方程组 的解满足 为非正数， 为负数．
（1）求 的取值范围．
（2）在 的取值范围内，当 为何整数时，不等式 的解为 ．
【答案】（1）解：解方程组 ，得： ，
根据题意，得： ，
解得
（2）解：由 的解为 知 ，
解得 ，
则在 中整数 正确．
【解析】【分析】（1）解方程组得出 、 ，由 为非正数， 为负数列出不等式组，解之可得；（2）由不等式的性质求出 的范围，结合（1）中所求范围可得答案．
6．（2017七下·乌海期末）已知：如图，AB∥DC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1=∠A．
（1）求证：FE∥OC；
（2）若∠B=40°，∠1=60°，求∠OFE的度数．
【答案】（1）证明：∵AB∥DC(已知)，∴∠A=∠C（两直线平行，内错角相等），∵∠1=∠A(已知)，
∴∠1=∠C(等量代换)，
∴FE∥OC(同位角相等，两直线平行).
（2）解：∵AB∥DC，∴∠D=∠B，
∵∠B=40°，
∴∠D=40°，
∵∠OFE是△DEF的外角，
∴∠OFE=∠D+∠1，
∵∠1=60°，
∴∠OFE=40°+60°=100°.
【解析】【分析】（1）已知AB∥DC，根据两直线平行，内错角相等得出∠A=∠C，又知∠1=∠A，运用等量代换则∠1=∠C，再根据同位角相等，两直线平行证明FE∥OC；（2）已知AB∥DC，根据两直线平行，内错角相等得出∠D=∠B=40°，∠OFE是△DEF的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的2个内角和，则∠OFE=∠D+∠1=100°.
7．（2023七下·天津市期末）为了丰富同学们的课余生活．某校举行了“阅读红色经典，汲取青春能量”诗歌朗诵活动，准备购买笔记本和夹子两种文具，奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买2个笔记本和3个夹子共需45元；购买1个笔记本和2个夹子共需25元．
（1）求购买一个笔记本和一个夹子各需要多少元？
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，并且投入资金不多于1000元，则最多可购买多少个笔记本？
【答案】（1）解：设购买一个笔记本需要x元，购买一个夹子需要y元，
由题意得，
解得，
答：购买一个笔记本需要15元，购买一个夹子需要5元．
（2）解：设购买笔记本m个，则购买夹子个，
根据题意得，
解得，
∴最多可购买40个笔记本．
【解析】【分析】（1）设购买一个笔记本需要x元，购买一个夹子需要y元，根据题意列出二元一次方程组并解该方程组即可得出答案；
（2）设购买笔记本m个，则购买夹子（120-m）个，根据题意列出一元一次不等式组并解不等式组即可得出答案。
8．（2023七下·红桥期末）某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元、40元．商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元．（利润＝销售价格-进货价格）
（1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（列方程或方程组解决）
（2）商场推出两种优惠套餐供顾客选择：
套餐一：A、B两种型号计算器均打八折出售；
套餐二：A型号计算器打九折出售，B型号计算器打七折出售．
现学校需要购买A、B两种型号计算器共420台，学校选择哪个优惠套餐购买更划算？
【答案】（1）解：设型号的计算器的销售价格分别是元和元，
依题意得 ，
解得 ，
答：两种型号计算器的销售价格分别为42元，56元；
（2）解：设学校购买A型号计算器台，
若学校选套餐一购买计算器，则需支付元；
若学校选套餐二购买计算器，则需支付元；
①若选择套餐一购买更划算，则
，
解得， ，
即学校购买A型号计算器多于240台时，选择套餐一购买更划算；
②若选择套餐二购买更划算，则
解得，，
即学校购买A型号计算器少于240台时，选择套餐二购买更划算；
③若两种套餐一样划算，则
解得，，
即学校购买A型号计算器等于240台时，选择套餐一和选择套餐二购买一样划算．
【解析】【分析】（1）设A、B型号的计算器的销售价格分别是a元和b元，根据题意列出方程组，解方程组即可；
（2）设学校购买A型号计算器x台，则购买B种型号计算器（420-x）台，根据题意表示出两种套餐的总价，分①选择套餐一购买更划算 ，②选择套餐二购买更划算 ，③两种套餐一样划算三种情况分别列出不等式和方程即可求解。
9．（2023七下·临沂期末）已知关于x，y的方程组的解满足，．
（1）解方程组；
（2）求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
所以方程组的解为：
（2）解：∵，，
∴，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴实数a的取值范围为：
【解析】【分析】（1）由得，把代入①中得 ， 即得结论；
（2） 由，建立关于a的不等式组，解之即可.
10．（2023七下·临沂期末）计算
（1）
（2）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
故方程组的解为
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
故不等式组的解集为：，
将解集在数轴上表示出来如图：
【解析】【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集，再利用数轴画出解集即可.
11．（2023七下·即墨期末）
（1）计算：
①
②
（2）化简求值：，其中，．
【答案】（1）解：①
；
②
；
（2）解：
；
当，时，
原式
【解析】【分析】(1)①根据幂的运算法则进行计算，重点要注意积的乘方和幂的乘方的计算方法。
②根据整式的乘法法则进行计算即可，也可以整理成(a-b)(a+b)的形式。再运用平方差公式进行计算即可。
(2)根据整式的运算法则和乘法公式计算即可，重点要注意运算顺序，去括号、合并同类项等几个方面。
12．（2023七下·南沙期末）某校为了解七年级学生体育测试成绩情况，现从中随机抽取部分学生的体育成绩统计如下，其中扇形统计图中的圆心角为．
请根据图表中提供的信息，回答下列问题：
体育成绩（分） 人数（人） 百分比（％）
26 7
27 4 5
28
29 25
30
（1）这个样本的样本容量是 ；
（2）求出统计表中m的值；
（3）已知该校七年级共有400名学生，如果体育成绩等级划分如下表：
成绩（P）
等级 E D C B A
请估计该校七年级学生体育成绩达到A等级的总人数．
【答案】（1）80
（2）解：得26分的人数占比：，
得30分的人数占比：，
即：，
∴，
（3）解：（人），
答：校七年级学生体育成绩达到A等级的总人数人．
【解析】【解答】解：（1） 这个样本的样本容量是4÷5%=80；
故答案为：80.
【分析】（1）利用体育成绩是27分的人数除以其百分比即得样本容量；
（2）先分别求出体育成绩是26分、30分人数的百分比，再根据各部分百分比之和等于1接即可求出m%，即得m值；
（3）利用样本中28分、29分、30分的百分比之和，乘以七年级总人数即得结论.
13．（2023七下·榆树期末）如图，沿着的方向平移至，，．
（1）求的度数；
（2）若的周长为，平移距离为则四边形的周长为 ．
【答案】（1）解：，，
，
，
沿着的方向平移至，
（2）19
【解析】【解答】解：（2）∵△ABC的周长为 15，
∴AB+BC+AC=15，
∵△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，平移距离为2，
∴DF=AC，AD=CF=2，
∴四边形ABFD的周长=AB+BF+DF+AD
=AB+BC+CF+AC+AD
=15+2+2
=19，
故答案为：19.
【分析】（1）根据平行线的性质求出∠ACB=40°，再利用三角形的内角和求出∠BAC=80°，最后根据平移的性质计算求解即可；
（2）根据三角形的周长求出AB+BC+AC=15，再根据平移的性质求出DF=AC，AD=CF=2，最后求解即可。
14．（2023七下·天河期末）对于两个数，我们定义：①表示这两个数的平均数，例如；
②表示这两个数中更大的数，当时，；当时，；例如：．根据以上材料，解决下列问题：
（1）填空： ， ；
（2）已知，求的取值范围；
（3）已知，求和的值．
【答案】（1）2023；2024
（2）解：由表示这两个数中更大的数，当时，；当时，；及，
，解得；
（3）解：根据材料中的定义，结合，
，，
，
，，
，即，
联立方程组得，
解得．
【解析】【解答】解：（1）；
∵2023＜2024，
∴2024；
故答案为：2023，2024.
【分析】（1）直接利用新定义求解即可；
（2） 由，根据新定义可得，解之即可；
（3）根据新定义及已知可得关于x、y的方程组，解之即可.
15．（2022七下·大兴期末）如图，已知，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE．
（1）猜想，，的数量关系，并证明；
（2）作∠ABE，∠CDE的角平分线BF，DF交于点F．
①依题意补全图形；
②直接用等式表示∠BFD与∠BED的数量关系．
【答案】（1）解：∠B＋∠BED＋∠D＝360°，理由如下：
过点E作．
∴∠B＋∠BEG＝180°．
∵AB//CD，
∴EG//CD．
∴∠DEG＋∠D＝180°．
∴∠B＋∠BEG＋∠DEG＋∠D＝180°＋180°．即∠B＋∠BED＋∠D＝360°．
（2）解：①如图，
②，理由如下：
∵BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，
∴∠ABE =2∠EBF，∠CDE =2∠EDF，
由（1）知，∠ABE＋∠BED＋∠CDE＝360°，
∴2∠EBF＋∠BED＋2∠EDF＝360°，
∴∠BBF+∠EDF=180°-∠BED．
∵∠BED+∠BFD+∠EBF+∠EDF=360°，
∴∠BED+∠BFD+180°-∠BED =360°，
∴．
【解析】【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质可得∠B＋∠BEG＝180°，∠DEG＋∠D＝180°，即可得到∠B＋∠BEG＋∠DEG＋∠D＝180°＋180°．即∠B＋∠BED＋∠D＝360°；
（2）①根据要求作出图象即可；
②利用角平分线的定义可得∠ABE =2∠EBF，∠CDE =2∠EDF，再利用∠ABE＋∠BED＋∠CDE＝360°和等量代换可得∠BBF+∠EDF=180°-∠BED，再求出∠BED+∠BFD+180°-∠BED =360°，即可得到。
16．（2022七下·淮北期末）如图，已知，．
（1）判断BD与CE的位置关系，并说明理由；
（2）若，则的度数为 ．
【答案】（1）解：，理由如下，如图，
，
，
．
，
；
（2）50
【解析】【解答】解：（2），，
，
故答案为：50．
【分析】两直线平行同位角相等，利用三角形内角和即可求得.
17．（2021七下·大余期末）我市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．
（1）A、B两种奖品每件各多少元？
（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？
【答案】（1）解：设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，
根据题意得： ，
解得： ，
答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元
（2）解：设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，
根据题意得：16a+4（100﹣a）≤900，
解得：a≤ ，
∵a为整数，
∴a≤41，
答：A种奖品最多购买41件．
【解析】【分析】（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据“如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过900元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．
18．（2021七下·恩平期末）若关于x、y的二元一次方程组 的解都为正数．
（1）求a的取值范围；
（2）化简|a+1|﹣|a﹣1|；
（3）若上述二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和一条底边的长，且这个等腰三角形的周长为9，求a的值．
【答案】（1）解：解 得∴ ，
∵若关于x、y的二元一次方程组 的解都为正数，
∴a＞1
（2）解：∵a＞1，∴|a+1|﹣|a﹣1|=a+1﹣a+1=2
（3）解：∵二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和一条底边的长，这个等腰三角形的周长为9，
∴2（a﹣1）+a+2=9，
解得：a=3，
∴x=2，y=5，不能组成三角形，
∴2（a+2）+a﹣1=9，
解得：a=2，
∴x=1，y=4，能组成等腰三角形，
∴a的值是2．
【解析】【分析】（1）先解方程组用含a的代数式表示x，y的值，再代入有关x，y的不等关系得到关于a的不等式求解即可；（2）根据绝对值的定义即可得到结论；（3）首先用含m的式子表示x和y，由于x、y的值是一个等腰三角形两边的长，所以x、y可能是腰也可能是底，依次分析即可解决，注意应根据三角形三边关系验证是否能组成三角形．
19．（2023七下·长沙期末）对a，b定义一种新运算T，规定：T（a，b）＝（a+2b）（ax+by）（其中x，y均为非零实数）．例如：T（1，1）＝3x+3y．
（1）已知T（1，-1）＝0，T（0，2）＝8，求x，y的值；
（2）已知关于x，y的方程组，若a≥-2，求x+y的取值范围；
（3）在（2）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A（x，y）落在坐标轴上，将线段OA沿x轴向右平移2个单位，得线段O′A′，坐标轴上有一点B满足三角形BOA′的面积为9，请直接写出点B的坐标．
【答案】（1）解：根据新运算的定义可得：
，
解得：；
（2）解：由题意得：，
解得：，
，
，
，
，
；
（3）点的坐标为或或或或或
【解析】【解答】解：（3）由（2）知，，
，
将线段沿轴向右平移2个单位，得线段，
，
点落在坐标轴上，且，
或，
或；
①当时，，
若点在轴上，，
，
或；
若点在轴上，，
，
或；
②当时，；
点只能在轴上，，
，
或；
综上所述，点的坐标为或或或或或．
【分析】（1）由新运算T的规定建立方程组，解方程组即可得出x，y的值。
(2)应用新运算T规定建立方程组，解关于x、y 的方程组可得 ，进而得出
x+y=(2a-3)+a=3a-3，再根据a≥-2代入即可得出答案。
(3)根据题意得A(2a-3，a)，向右平移2个单位，由平移性质可得A'(2a一1，a)，根据点A(2a-3，a)落在坐标轴上，且a≥-2，分类讨论，A在x轴上，则A（-3，0）.B可以为（0.18）或（0.-18）A在y轴上则A（0，），B可为（12，0）（-12，0）（0，19）（0，-9）。
20．（2023七下·惠城期末）中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务，成立一百周年之际，各中学开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育：D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可任选一项参加．为了解学生参与情况，某校进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了幅不完整的统计图．
（1）在这次调查中，一共抽取了 名学生：
（2）补全条形统计图；
（3）A所占的圆心角是 ；
（4）若该校共有学生1200名，请估计参加B项活动的学生数．
【答案】（1）200
（2）解：C的人数为：（名），
补全条形统计图如下：
（3）36°
（4）解：该校共有学生1200名，估计参加B项活动的学生数有
（名）．
【解析】【解答】解：（1）40÷20%=200.
故答案为：200.
（3）20÷200×360°=36°.
故答案为：36°.
【分析】（1）利用D类别的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）根据总人数可求出C类别的人数，进而可补全条形统计图；
（3）利用A类别的人数除以总人数，然后乘以360°即可；
（4）利用B的人数除以调查的总人数，然后乘以1200即可.
21．（2023七下·洪洞期末）
（1）解一元一次方程：
（2）解方程组：
（3）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）解：
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
（2）解：
①+②，得
解得
将代入①，得．
解得；
∴
（3）解：解不等式①，得．
解不等式②，得．
∴不等式组的解集为．
不等式组的解集在数轴上表示为：
【解析】【分析】（1）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1即可；
（2）利用加减消元法求解二元一次方程组即可；
（3）利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集并在数轴上画出解集即可。
22．（2022七下·官渡期末）近日教育部正式印发《义务教育课程方案》并发布《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，今秋开学起，劳动将正式成为中小学的一门独立课程．为更好的开展劳动教育，某校想了解学生现阶段每月的劳动时间．学校随机抽取一部分学生，对学生每月的劳动时间（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图：
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）m= ，组对应的圆心角度数为 度；
（2）补全频数分布直方图；
（3）请估计该校2000名学生中每月的劳动时间不少于6小时的人数．
【答案】（1）40；14.4
（2）解：D组人数为：100×25%＝25（人），
补全频数分布直方图如图：
（3）解：（人），
答：该校2000名学生中每月的劳动时间不少于6小时的人数大约有580人．
【解析】【解答】（1）解：本次调查的总人数为：10÷10%＝100（人），
∴m%＝40÷100×100%＝40%，即m＝40，
组对应的圆心角度数为：，
故答案为：40，14.4；
【分析】（1）先求出本次调查的总人数为100人，再计算求解即可；
（2）根据题意先求出 D组人数为 25人，再补全频数分布直方图即可；
（3）根据题意求出 （人）， 即可作答。
23．（2021七下·曲靖期末）某市举行“展运动风采，扬工匠精神”为主题的体育活动，并开展了以下体育项目：足球，乒乓球，篮球和羽毛球，要求参加的市民只能选择一项体育项目．为了了解选择各项体育活动的人数，随机抽取了部分参加体育项目的市民进行调查，并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答问题：
（1）这次活动一共调查了 名市民；
（2）请补全条形统计图；
（3）羽毛球项目的人数在扇形统计图中所占扇形圆心角的度数是多少度？
（4）若该市有2500人参加了这次主题活动，请你估计选择乒乓球项目的市民人数约是多少人？
【答案】（1）200
（2）解：选择篮球的有200﹣80﹣40﹣60＝20（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）解：360°×＝108°，
即羽毛球项目的人数在扇形统计图中所占扇形圆心角的度数是108°；
（4）解：2500×＝500（人），
即选择乒乓球项目的市民人数约是500人．
【解析】【解答】解：（1）这次活动一共调查了80÷40%＝200名市民，
故答案为：200；
【分析】（1）根据足球的人数除以其百分比，即得调查总人数；
（2）利用调查总人数分别减去足球、乒乓球、羽毛球的人数，即得选择篮球的人数，然后补图即可；
（3）求出样本中羽毛球人数所占的比例，乘以360°即得结论；
（4）利用样本中选择乒乓球项目的人数所占的比例，乘以2500即得结论.
24．（2021七下·临沧期末）云南省新一轮退耕还林的通知已经下达，某乡政府为了贯彻落实这一政策，需要购买A、B两种树苗进行种植．已知购买A种树苗800棵，B种树苗300棵，需要950元；购买A种树苗500棵，B种树苗600棵，需要800元．（树苗只能整百购买）
（1）求购买A、B两种树苗每棵各需多少元？
（2）考虑到退耕还林的面积和资金周转，购进A种树苗不能少于5200棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共10000棵，则有哪几种购买方案？
（3）乡政府组织农民承包种植任务，若种好100棵A种树苗可获得工钱30元，种好100棵B种树苗可获得工钱20元，在第（2）问的购买方案中，种好这10000棵树苗，哪一种购买方案所支付的工钱最少？最少工钱是多少元？
【答案】（1）解：设购买A种树苗每棵需要x元，B种树苗每棵需要y元，
依题意得：，
解得：．
答：购买A种树苗每棵需要1元，B种树苗每棵需要0.5元．
（2）解：设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（10000﹣m）棵，
依题意得：，
解得：．
又∵m为整数，且树苗只能整百购买，
∴m可以取5200，5300，
∴共有2种购买方案，
方案1：购进A种树苗5200棵，B种树苗4800棵；
方案1：购进A种树苗5300棵，B种树苗4700棵．
（3）解：选择方案1需支付工钱（元）；
选择方案2需支付工钱（元）．
∵2520＜2530，
∴选择购买方案1所支付的工钱最少，最少工钱是2520元．
【解析】【分析】（1）设购买A种树苗每棵需要x元，B种树苗每棵需要y元，根据“已知购买A种树苗800棵，B种树苗300棵，需要950元；购买A种树苗500棵，B种树苗600棵，需要800元”列出方程组并解之即可；
（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（10000﹣m）棵， 由“ 购进A种树苗不能少于5200棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元 ”列出不等式组可求出m的范围，再求出其整数解即得购买方案；
（3）分别求出（2）中各方案中的工钱，再比较即可.
25．（2021七下·华坪期末）如图所示，在方格纸中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，三个顶点的坐标分别是，，，先将向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到．
（1）在图中画出，并写出点的坐标；
（2）求的面积．
（3）在图中连接与，这两条线段之间有什么样关系？（直接回答，不需要说理由）
【答案】（1）解：∵三个顶点的坐标分别是，，，先将向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，对应点的坐标为，，，
在平面直角坐标系中描点，，，
顺次连接，，，
则为随求，点；
（2）解：S△ABC=（4+2）×（2+1）
（3）解：与平行且相等.
∵平移得到．
∴平移的方向为AA1或CC1，
∴AA1∥CC1，
∵平移的距离为线段AA1或CC1或BB1，
∴AA1=CC1，
∴AA1∥CC1且AA1=CC1．
【解析】【分析】（1）根据平移的性质及网格特点分别确定点ABC 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后的对应点A1、B1、C1，然后顺次连接即可，再写出A1坐标即可；
（2）根据割补法求出△ABC的面积即可；
（3）平行且相等. 根据平移的性质即得结论.
26．（2024七下·海门期末）某花卉基地有、两种花卉，甲、乙两家种植户．
信息一：种植面积与收入如下表．（假设甲、乙种植同一种花卉每亩收入相等）
种植户 种植面积（亩） 种植面积（亩） 收入（万元）
甲 4 2
乙 3 4 3
信息二：花卉基地对种植给予补贴，种植面积不超过15亩的部分，每亩补贴100元；超过15亩但不超过20亩的部分，每亩补贴200元；超过20亩的部分每亩补贴300元．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求，两种花卉每亩的收入各是多少？
（2）若甲、乙种植户计划合租30亩用来种植和，且的种植面积大于的种植面积（两种花卉的种植面积均为整数亩），为了使甲乙总收入不低于万元，试确定共有几种种植方案．
【答案】（1）种花卉每亩收入4000元，种花卉每亩收入4500元
（2）总共有5种方案
27．（2024七下·邵东期末）如图，有一副三角板，和，，，，，在同一直线上．
（1）如图1，与点重合．将绕点按顺时针方向进行旋转，当与首次平行，求此时的度数；
（2）如图2，若点在边上（不与、重合），再将绕点按顺时针方向进行旋转（如图3），边交边于，当时，求边旋转的度数；
（3）将从图2初始位置开始，绕点顺时针方向以每秒的速度进行旋转，当第一次与直线平行时停止运动．设运动时间为秒，当线段与的一条边平行，求满足条件的的值（请直接写出结果）．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）如图，过点F作，
则，
∵，
∴，
∴，
同理：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴边旋转了．
（3）3或或12．
【解析】【解答】（3）如图：当时，
∵，
∴，
如图：当时，
则，
∴，
由（2）知
则
∴，
当时，
则，
∵，
∴，
综上所述，满足条件的t的值为：3，或12．
【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）过点F作，则，即，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）分情况讨论：当时，则，即可求出答案；当时，，根据角之间的关系可得，则，即可求出答案；当时，则，即，即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）如图，过点F作，
则，
∵，
∴，
∴，
同理：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴边旋转了．
（3）如图：当时，
∵，
∴，
如图：当时，
则，
∴，
由（2）知
则
∴，
当时，
则，
∵，
∴，
综上所述，满足条件的t的值为：3，或12．
28．（2022七下·延庆期末）已知：如图，BD⊥AC于点D，点E是线段BC上的任意一点（不与点B，C重合），过点E作EF⊥AC于点F，过点D作DGBC交AB于点G．
（1）①请补全图形；
②求证：BDEF；
（2）用等式表示∠GDB与∠C的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）解：①补全后图形如下图所示：
；
②证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴BDEF（垂直于同一条直线的两条直线平行）．
（2）解：∠GDB+∠C=90°．
证明：∵GDBC，
∴∠ADG=∠C．
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°．
∴∠ADG+∠GDB =90°．
∴∠GDB+∠C=90°．
【解析】【分析】（1）①根据题意补全图形即可；② 根据垂直于同一条直线的两条直线平行证明即可；
（2）∠GDB+∠C=90°．理由： 由平行线的性质可得∠ADG=∠C，由垂直的定义可得∠ADB= ∠ADG+∠GDB =90°，从而得出∠GDB+∠C=90°.
29．（2021七下·宣化期末）计算：
（1）解不等式组： ，并把解集表示在数轴上；
（2）因式分解： ．
【答案】（1）解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组的解集是 ，
在数轴上表示为 ．
（2）解：原式
【解析】【分析】（1）先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集，再利用数轴画出解集即可.
（2）先提取公因式-8a，再利用完全平方公式分解即可.
30．（2021七下·永年期末）已知如图，点E在△ABC的边BC上，AD∥BC，∠DAE＝∠BAC，∠1＝∠2．
（1）说明：AB∥DE；
（2）若已知AE平分∠BAC，∠C＝35°，求∠2的度数．
【答案】（1）证明：理由如下：∵AD∥BC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴AB∥DE；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵AE平分 ，
∴ ，
∵AD∥BC，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据，得出，再根据角平分线的定义得出，再利用平行线的性质得到，最后利用角的运算求解即可。
31．（2019七下·南浔期末）你知道数学中的整体思想吗 解题中，若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体加减，能使问题迅速获解.
例题：已知x2+xy=4，xy+y2=-1.求代数式x2-y2的值.
解：将两式相减，得(x2+xy)-(xy+y2)=4-(-1)，即x2-y2=5；请用整体思想解答下列问题：
（1）在例题的基础上求(x+y)2的值；
（2）若关于x、y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程x+y=6的解，求k的值.
【答案】（1）解：将两式相加，得 ，
（2）解：将两式相减，得 ，
故 .
【解析】【分析】（1）要使结果化为(x+y)2，因此将两式相加后，将等式的左边分解因式，可得出结果。
（2）观察方程组中同一未知数的系数特点：x的系数之和为3，y的系数之和为3，而已知x+y=6，因此将原方程组中的两方程相加，再除以3，可得到x+y=2k，然后根据整体代入建立关于k的方程，解方程求出k的值。
32．（2024七下·陕西期末）质量就是生命！某工厂全体员工将质量至上的理念铭记在心，齐心协力打造卓越品质，工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格：
抽取件数（件）
合格频数
合格频率
（1）表格中m的值为________，n的值为________；
（2）估计任抽一件该产品是不合格品的概率．（结果保留两位小数）
【答案】（1）490，0.98；
（2）0.02．
33．（2024七下·资阳期末）对于实数x，y定义一种新运算“”：（其中m，n均为非零常数），这里等式的右边是通常的四则运算．例如：．已知，．
（1）求m，n的值．
（2）若关于a的不等式组恰好有2个整数解，求实数b的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得： ，化简得，解得；
（2）解：由题意得：，则，求得不等式组的解集为，
∵不等式组恰好有2个整数解，且a≤，
∴或1
∴，
解得
则实数P的取值范围是．
【解析】【分析】（1）根据新定义运算的规则，可列出方程组，求解即可；
（2）利用新定义运算的规则，列出不等式方程组，在化简不等式组，求出a的解集，根据条件“关于a的不等式组恰好有2个整数解”，确定b的范围，即可求出b的取值范围，即实数P的取值范围．
34．（2023七下·固始期末）已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
（1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；
（2）判断BE与CD的位置关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）解：∵∠A＝∠ADE，
∴AC∥DE，
∴∠EDC+∠C＝180°，
又∵∠EDC＝3∠C，
∴4∠C＝180°，
即∠C＝45°；
（2）解：BE∥CD，证明如下：
∵∠A＝∠ADE，
∴AC∥DE，
∴∠E＝∠ABE，
又∵∠C＝∠E，
∴∠C＝∠ABE，
∴BE∥CD．
【解析】【分析】（1）利用内错角相等两直线平行，可得AC∥DE，利用平行线的性质可得∠EDC+∠C＝180°，结合∠EDC＝3∠C，即可求出∠C的度数；
（2）BE∥CD；由∠A＝∠ADE可证AC∥DE，利用平行线的性质可得∠E＝∠ABE，再利用等量代换可得∠C＝∠ABE，根据平行线的判定即证结论.
35．（2023七下·东莞期末）旅居海外的熊猫“丫丫”的健康牵动着亿万中国人的心．据报道，不少热心网友为丫丫送去了竹子．大熊猫常吃的竹子有笻（qióng）竹和箭竹．若购买4根笻竹和2根箭竹共需70元，购买2根笻竹和3根箭竹共需65元．
（1）购买1根笻竹、1根箭竹各需多少元？
（2）在丫丫回国路上，某公益机构计划为丫丫准备30根竹子．要求购买笻竹和箭竹的总费用不超过400元，最少可以购买多少根笻竹？
【答案】（1）解：设购买1根筇竹需元、1根箭竹需元，
根据题意得：解得：．
答：购买1根筇竹需10元，1根箭竹需15元；
（2）解：设可以购买根筇竹，则可以购买箭竹根，根据题意得：，
解得：，
为整数，∴最小取10，
答：最少可以购买10根筇竹．
【解析】【分析】（1）设购买1根筇竹需x元、1根箭竹需y元，根据购买4根笻竹和2根箭竹共需70元可得4x+2y=70；根据购买2根笻竹和3根箭竹共需65元可得2x+3y=65，联立求解即可；
（2）设可以购买m根筇竹，则可以购买箭竹(30-m)根，根据筇竹的单价×根数+箭竹的单价×根数=总价结合题意可得关于m的不等式，求解即可.
36．（2023七下·贵池期末）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．
（1）将经过平移后得到，图中标出了点的对应点，补全；
（2）在图中画出的高；
（3）若连接、，则这两条线段之间的关系是 ；四边形的面积为 ．
【答案】（1）解：如图所示；
、
（2）解：的高如图所示；
（3）=，∥；14
【解析】【解答】解：（3）
【分析】（1）由图可知，点B向上平移3再向左平移2得到B'，根据平移的性质可得A、C的对应点A'、C'，在将A'、B'、C'依次首尾相连即可；
（2）过A点作BC的垂线，垂足为D，AD即为所求；
（3）根据平移的性质可得AA'平行且等于BB'；利用割补法可求四边形的面积。
37．（2023七下·衡阳期末）定义一种新运算，观察下列各式：
； ；
； ；……
（1）请你想一想：用代数式表示的结果为 ；
（2）若，请计算的值．
【答案】（1）解：根据题意得：；故答案为：．
（2）解：∵，
∴，
即，
∴
．
【解析】【分析】（1）根据题目中所给的式子可直接得出答案；
（2）根据题目中所给的式子分别表示出已知式子和所求式子，然后将化简后的已知式子整体代入化简后的所求式子计算即可得出答案。
38．（2022七下·突泉期末）【发现问题】已知，求的值.
方法一：先解方程组，得出，的值，再代入，求出的值.
方法二：将①②，求出的值.
【提出问题】怎样才能得到方法二呢？
【分析问题】
为了得到方法二，可以将①②，可得.
令等式左边，比较系数可得，求得.
【解决问题】
（1）请你选择一种方法，求的值；
（2）对于方程组利用方法二的思路，求的值；
（3）【迁移应用】
已知，求的范围.
【答案】（1）解：利用方法二来求的值；
由题意可知：，
即；
（2）解：对于方程组，
由①②可得：，
则，
由③④可得：，
，
将代入④可得，
，
则；
（3）解：已知，
通过方法二计算得：
，
又，
.
【解析】【分析】(1)根据方法二求出4x+5y的值，根据方法二把4x+5y化成 ，然后代值计算即可 ；
(2)根据方法二的基本步骤求出建立关于m、n的二元一次方程组求解，则可把7x-7y化成 ，然后代值计算即可；
(3)利用方法二求出x- 3y= 11(2x+y) - 7(3x+ 2y)，再利用不等式的性质求解，即可解答.
39．（2021七下·绵阳期末）夕阳红街道办事处为给社区干净整洁的社区环境，加入环境保洁队伍，需要购置一批保洁用具，已知1把扫帚和3把拖把共需26元；3把扫帚和2把拖把共需29元.
（1）求一把扫帚和一把拖把的售价各是多少元；
（2）办事处准备购进这两种保洁工具共50把，并且扫帚的数量不多于拖把数量的3倍，不少于拖把数量的2倍，哪种方案最省钱？说明理由.
【答案】（1）解：设一把扫帚的售价是元，一把拖把的售价是元.
由题意可得，，
解得，
答：一把扫帚的售价是5元，一把拖把的售价是7元；
（2）解：设扫帚买了把，则拖把买了把，共花费元，
∵扫帚的数量不多于拖把数量的3倍，不少于拖把数量的2倍，
，
解得，
∵为整数，
可以取34，35，36，37，
共有四种方案，
方案一：扫帚34把，拖把16把，花费：（元；
方案二：扫帚35把，拖把15把，花费：（元；
方案三：扫帚36把，拖把14把，花费：（元；
方案四：扫帚37把，拖把13把，花费：（元；
，
方案四最省钱.
【解析】【分析】（1）设一把扫帚的售价是x元，一把拖把的售价是y元，根据1把扫帚和3把拖把共需26元可得x+3y=26；根据3把扫帚和2把拖把共需29元可得3x+2y=29，联立求解即可；
（2）设扫帚买了m把，则拖把买了(50-m)把，共花费(-2m+350)元，根据扫帚的数量不多于拖把数量的3倍，不少于拖把数量的2倍列出关于m的不等式组，求出m的范围，根据m为整数可得m的取值，据此可得购买方案，然后计算出每种方案的花费，再进行比较即可判断.
40．（2022七下·乐亭期末）如图1，在一个边长为 的正方形中，剪去一个边长为 的小正方形，再将余下的部分拼成如图2所示的长方形．
（1）（观察）
比较两图中阴影部分的面积，可以得到等式： （用字母 ， 表示）；
（2）（应用）
计算： ；
（3）（拓展）
已知 ， ，求 的值．
【答案】（1） （或
（2）解：
（3）解：
【解析】【分析】（1）根据图形变化前后阴影部分面积相等这一等量关系可列出关系式；
（2）由（a+b）（a-b）=a2-b2，可解决问题；
（3）可将进行因式分解，变形为，再将 ， ，代入计算即可。
41．（2023七下·惠阳期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图所示的长方形和正方形纸板长方形的宽与正方形的边长相等加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）
（1）若该厂购进正方形纸板张，长方形纸板张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
（2）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值．
【答案】（1）解：设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，
根据题意得：，
解得：．
答：加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完．
（2）解：设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，
根据题意得：，
．
、为正整数，
为的倍数，
又，
满足条件的为：，，，．
答：在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值为，，，．
【解析】【分析】（1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，由示意图可知一个竖式纸箱需要一张正方形纸板，4张长方形纸板，一个横式纸箱需要2张正方形纸板，3张长方形纸板，根据正方形纸板1000张可列出方程x+2y=1000，再根据长方形纸板2000张可列出方程4x+3y=2000，联立方程组解得x、y的值；
（2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据正方形纸板80张，长方形纸板a张列出方程组，再利用加减消元法消去m用a表示出n，然后由n、a的取值范围得到a的值.
42．（2022七下·万州期末）把20根长度相等的木条分成三部分，分别用其中两部分木条首尾相连做成两个边数相等的多边形，再用剩下的一部分木条首尾相连做成一个多边形．
（1）求这三个多边形的内角和；
（2）如果前两个多边形的边数和大于后一个多边形的边数，求这三个多边形的边数．
【答案】（1）解：设两个边数相等的多边形是m边形，另一个多边形是n边形（，，m，n为正整数），则，
∴这三个多边形的内角和为
；
（2）解：由题意，得：，，
∴，解得：
∵，
∴，解得：，
∴，
∵a，b为正整数，
∴，；，；，，
答：这三个多边形的边数是6、6、8或7、7、6或8、8、4．
【解析】【分析】（1） 设两个边数相等的多边形是m边形，另一个多边形是n边形（，，m，n为正整数） ，根据“ 把20根长度相等的木条分成三部分 ”可得 ，再根据多角形的内角和=（n-2）×180°，列出三个多边形的内角和即可求解；
（2）设两个边数相等的多边形是a边形，另一个多边形是b边形（a≥3，b≥3，a，b为正整数） ，根据“把20根长度相等的木条分成三部分”可知 ，再根据“前两个多边形的边数和大于后一个多边形的边数”列出不等式 ，可得 ，最后求出a和b的取值范围，再结合a，b为正整数即可.
43．（2022七下·自贡期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，3），C（2，0），且满足，线段AB交y轴于点F．
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）如图1，在x轴上是否存在点P，使得△ABP的面积与△ABC的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点D为y轴正半轴上一点，，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，AM交y轴于点P，求∠AMD度数．
【答案】（1）-3；3
（2）解：存在，点P坐标有两个（2，0）（-8，0）.
（3）解：∵AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，
∴∠BAM=∠CAM，∠ODM=∠EDM
设∠BAM=∠CAM=α，∠ODM=∠EDM=β，
由三角形内角和为180°得：
∠PAO+∠APO+∠AOP=∠DPM+∠PDM+∠M=180°，
∴α+90°=β+∠M，
∵ED∥AB，
∴∠EDF=∠AFD，
即2β=2α+90°，
∴β-α=45°，
∴∠M=90°+α-β=90°-45°=45°；
【解析】【解答】（1）解：∵
∴
解得
故答案为：-3，3；
（2）解：∵△ABP的面积与△ABC的面积相等
∴
当点在点的左侧时，，
当点在点的右侧时，与点重合，
综上所述，存在点使得△ABP的面积与△ABC的面积相等
【分析】（1）根据非负数的性质，即可得到关于a、b的二元一次方程组，解这个方程组即可；
（2）当点P在x轴上时，由 △ABP的面积与△ABC的面积相等，得AP=AC=5，分点P在点A左右两侧分别求出点P坐标；
（3）先根据三角形内角和定理（三角形的内角和等于180°）和对顶角的性质（对顶角相等）得到α+90°=β+∠M，再由平行线的性质（两直线平行内错角相等）与角平分线的定义求得2β=2α+90° ，由此可求出∠AMD的度数.
44．（2022七下·万州期末）在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①得：③，由②得：④．
③＋④得：⑤．
当时，
即，解得．
∴①②，得．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）若有理数a、b满足，求a、b的值；
（2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，解得；
（2）解：设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元，
由题意得，求的值．
设①得：③
②得：④
③＋④得：⑤
当时，
即，解得，
∴，
答：购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需12元．
【解析】【分析】（1）把等号左边去括号，合并关于x、y、z的同类项，可以得到关于a、b的二元一次方程组，解这个方程组即可；
（2） 设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元 ，根据“ 购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元 ”列出方程组，再按照小华的解法解答即可.
45．（2024七下·龙湖期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，且实数a、b满足．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）如图1，已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从A点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度向点O匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AB的中点C的坐标是，设运动时间为t秒．是否存在这样的t，使得的面积等于面积的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，若，点G是第二象限中一点，并且y轴平分．点E是线段OB上一动点，连接AE交OC于点H，当点E在线段OB上运动的过程中，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．
【答案】（1）解：∵，
∴，
解得：，
∴A（16，0），B（0，12）
（2）解：存在t，使得△OCP的面积等于△OCQ面积的2倍
由（1）知，A（16，0），B（0，12），
∴OA=16，OB=12，
∵，
∴，
∵C（8，6），
∴，，
∵△OCP的面积等于△OCQ面积的2倍，
∴ ，解得：，
∴当时，△OCP的面积等于△OCQ面积的2倍；
（3）解：2∠GOB+∠BAE=∠OHA，理由如下：
∵∠COA+∠BOC=∠BOA=90°，
∴∠OBA+∠BAO=90°，
又∵∠COA=∠CAO，
∴∠OBA=∠BOC，
∵y轴平分∠GOC，
∴∠GOB=∠BOC，
∴∠GOB=∠OBA，
∴OG∥BA，
过点H作HF∥OG交x轴于F，
∴HF∥BA，
∴∠FHA=∠BAE，
∵OG∥FH，
∴∠GOC=∠FHO，
∴∠GOC+∠BAE=∠FHO+∠FHA，
即∠GOC+∠BAE=∠OHA，
∴2∠GOB+∠BAE=∠OHA．
【解析】【分析】（1）根据二次根式及偶次幂的非负性可得，解出a、b的值即得结论；
（2）由题意可得，，从而得出，， 根据△OCP的面积等于△OCQ面积的2倍，列出方程并解之即可；
（3）2∠GOB+∠BAE=∠OHA，理由：先证OG∥BA，过点H作HF∥OG交x轴于F，可得OG∥FH，根据平行线的性质可得∠FHA=∠BAE，∠GOC=∠FHO，从而得出∠GOC+∠BAE=∠FHO+∠FHA= ∠OHA， 继而得解.
46．（2021七下·青山期末）某商场计划采购 、 两种商品共 件，已知购进 件A商品和 件 商品需要 元，购进 件 商品和 件 商品需要 元.
（1）求 、 两种商品每件的进价分别为多少元？
（2）若采购费用不低于 元，不高于 元，请求出该商场有几种采购方案？
（3）在（2）的条件下， 商品每件加价 元销售， 商品每件加价 元销售， 件商品全部售出的最大利润为 元，请直接写出 的值.
【答案】（1）解：设A商品每件的进价为x元，B商品每件的进价为y元，
依题意得：
解得：
∴A商品每件的进价为15元，B商品每件的进价为20元.
（2）解：设购进A商品m件，则购进B商品（200-m）件，
解得：100≤m≤120，
又∵m为整数，
∴采购方案共有120-100+1=21（种）.
∴该商场有21种采购方案.
（3）解：设销售利润为w元，则w=2am+3a（200-m）=-am+600a，
∵a为正数，
∴-a＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=100时，w取得最大值，最大值为-a×100+600a=1500，
∴a=3.
∴a的值为3.
【解析】【分析】（1） 设A商品每件的进价为x元，B商品每件的进价为y元， 根据“ 购进60件A商品和30 件B商品需要1500 元，购进40件A商品和10件B商品需要800元 ”列二元一次方程组求解即可；
（2）根据采购费用不低于 元，不高于 元，列方程组求解，结合m为整数，即可得出采购方案的数量；
（3）设销售利润为w元， 列出w与a的函数关系式，根据一次函数的性质，结合最大利润为1500，求出a值即可.
47．（2022七下·拱墅期末）如图，在正方形中放入两张边长分别为和的正方形纸片，已知，正方形的面积记为，阴影部分面积分别记为，.
（1）用含，，的代数式分别表示，；
（2）若，且，求的值；
（3）若，试说明是完全平方式.
【答案】（1）解：∵四边形HICJ是正方形，
∴HI=JC=b，
∵四边形HICJ是正方形，
∴HJ=JC=b，
∵四边形HKFL是正方形，
∴HL=HK=c，
∴，
GD=LG=HJ-HL=b-c.
（2）解：若，且，，
因为，可得：，
化简得：，，
所以
（3）解：因为，
所以为完全平方式
【解析】【分析】(1)根据正方形的性质和线段的和差关系分别列式求解即可；
(2)先利用长方形面积公式表示出S1，利用正方形面积公式求出S2，然后根据建立等式，再整理变形，即可求出结果；
(2)根据长方形和正方形面积公式分别表示出S1、S2和S，则可把 表示出来，结合a=b进行化简整理，即可解答.
48．（2021七下·河西期末）为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图①中m的值为 。
（2）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（3）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买37号运动鞋多少双？
【答案】（1）40；15
（2）解：∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现的次数最多，
∴这组样本数据的众数为35．
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是36，
有 =36 ，
∴这组样本数据的中位数为36．
（3）解：∵在40名学生中，鞋号为37的学生人数比例为20%，
∴200双运动鞋中，鞋号为 37的学生人数比例约为20%，
∴建议购买37号运动鞋200×20%=40 (双) ．
【解析】【解答】解：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为12÷30%=40，m%=6÷40=15%，故m=15.
故答案为：（1）40；15.
【分析】（1）根据35号的人数除以所占的比例就可求出总人数，然后利用34号的人数除以总人数就可得到m的值；
（2）根据条形统计图结合众数的概念可得众数，将这组样本数据按从小到大的顺序排列，求出第20、21位学生的鞋号数的平均值，即为中位数；
（3）由样本估计总体的知识可得：鞋号为37的学生人数比例约为20%， 然后乘以总人数即可.
49．（2023七下·长沙期末）在直角坐标系中，已知点，，，a是的立方根，方程是关于x，y的二元一次方程，d为不等式组的最大整数解．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）如图1，若D为y轴负半轴上的一个动点，当时，与的平分线交于M点，求的度数；
（3）如图2，若D为y轴负半轴上的一个动点，连BD交x轴于点E，问是否存在点D，使？若存在，请求出D的纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：的立方根是，
，
方程是关于x，y的二元一次方程，
，
解得，，
不等式组的最大整数解是5，则d=5
则、、；
（2）解：作，
，
，
，
，
，
，
，
与的平分线交于M点，
，，
，
，，
，，
；
（3）解：存在，
连AB交y轴于F，
设点D的纵坐标为，
，
，即，
，，，
，
根据待定系数法可得直线AB的解析式为：y=x+2
当x=0时，y=2
则点F的坐标为，
，
由题意得，，
解得，，
在y轴负半轴上，
，
的纵坐标的取值范围是．
【解析】【分析】本题考查立方根、二元一次方程、不等式组的特殊解、平行线的判定与性质“猪蹄模型”、待定系数法求一次函数解析式和铅锤法求三角形面积。（1）根据立方根、二元一次方程、不等式组的特殊解求出三个点的坐标；（2） 作， 构造“猪蹄模型”，结合得和，结合可知 ，根据角平分线得，即 ；（3）连AB交y轴于F，设点D的纵坐标为，根据得，计算 ，根据待定系数法可得直线AB的解析式为：y=x+2，得点F的坐标为，则 ，得，可知的纵坐标的取值范围.
50．（2023七下·滨江期末）已知是常数， ．
（1）若，，求；
（2）试将等式变形成“”形式，其中，表示关于，，的整式；
（3）若的取值与无关，请说明．
【答案】（1）解：当，时，
；
（2）解：将两边都乘以得，
，
去括号得，，
移项得，，
两边都乘以得，，
即，
∴，；
（3）解：∵的取值与无关，
∴，即，
∴，即，
∴．
【解析】【分析】（1）将a=-2与b=代入 计算并约分可得答案；
（2）将两边都乘以都乘以（x+a）约去分母后，再去括号、移项、合并同类项即可得出答案；
（3）由t的取值与x无关可得（2）中的A=0，可得b=t，进而ta+1=0，即ab+1=0，从而即可得出答案.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
