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【真题汇编·50道综合题专练】浙教版数学八年级下册期末总复习
1．（2023八下·增城期末）如图，在平行四边形中，已知．
（1）尺规作图：延长，并在延长线上截取，连接交于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，求平行四边形的周长．
2．（2023八下·岑溪期末）小明同学参加周末社会实践活动，到“绿云村”蔬菜大棚中收集20株西红柿秧上小西红柿的个数：32，39，45，55，60，54，60，28，56，41，51，36，44，46，40，53，37，47，45，46．
分组
频数 2
（1）前10株西红柿秧上小西红柿个数的平均数是 ，中位数是 ，众数是 ；
（2）若将这20个数据按组距为8进行分组，请补全频数分布表及频数直方图；
（3）通过频数直方图试分析此大棚中西红柿的长势．
3．（2021八下·唐县期末）如图，∠A=∠B=40°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α．
（1）求证：APMBPN；
（2）当α等于多少度时，以A、M、B、N为顶点的四边形是菱形？
4．（2021八下·平谷期末）如图，在直角△中，点D，E，F分别是边，， 的中点．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，求出矩形的周长．
5．（2023八下·庐江期末）在中，．点D是边AB上的一点，连接CD．作，，连接ED．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当D是边AB的中点时，若，，求四边形ADCE的面积．
6．（2019八下·封开期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，且O是BD的中点
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，AB=8，求四边形ABCD的周长
7．（2021八下·双辽期末）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成如图所示的统计图．
（1）本次调查的人数是 ；
（2）这组数据的众数为 元，中位数为 元；
（3）求这组数据的平均数．
8．（2024八下·慈溪期末）某果农对自家桑葚进行直播销售，如果售价为每篮50元，则每天可卖出40篮．通过市场调查发现，若售价每篮降价2元，每天销量可增加10篮．综合各项成本考虑，规定每篮售价不低于30元．
（1）若设售价每篮降价x元，则每天可销售 篮．（用含x的代数式表示）
（2）该果农管理桑葚园的每天各项成本合计为1200元，问：桑葚每篮售价为多少元时，每天能获得2600元的利润？（利润销售额各项成本）
9．（2023八下·中山期末）如图，已知四边形为菱形，点B在x轴上，过点C的直线交x轴于点D．其中直线的解析式为，点B的坐标为，连接交x轴于点E．
（1）求的长；
（2）点P为x轴下方直线上一点，若的面积为菱形的面积一半，求点P的坐标．
10．（2023八下·丽水期末）已知反比例函数过点，，，且.
（1）当，时，求m的值：
（2）若，求n的值；
（3）反比例函数（）过点，，求证：.
11．（2022八下·镇巴期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，设直线交轴于点.
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若点是反比例函数图象上的一点，且是以为底边的
等腰三角形，求点的坐标.
12．（2022八下·婺城期末）金华市区某超市以原价为40元瓶的价格对外销售某种洗手液，为了减少库存，决定降价销售，经过两次降价后，售价为32.4元瓶．
（1）求平均每次降价的百分率．
（2）金华市区某学校为确保疫情复学后工作安全、卫生、健康、有序，学校决定购买一批洗手液(超过200瓶）.该超市对购买量大的客户有优惠措施，在32.4元瓶的基础上推出方案一：每瓶打九折；方案二：不超过200瓶的部分不打折，超过200瓶的部分打八折．学校应该选择哪一种方案更省钱？请说明理由．
13．（2022八下·兰陵期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5．求BD的长．
14．（2022八下·郓城期末）在直角坐标系中，已知点，点，点C与点A关于y轴对称，点D与点B关于原点O对称，依次连接，，，．
（1）请画出示意图，并写出点C与点D的坐标；
（2）四边形是否为平行四边形？请说明理由；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得的面积等于四边形的一半？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2020八下·钦北期末）八年级一班和二班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球，两个班选手的进球数统计如下表，请根据表中数据回答问题.
进球数
一班人数
二班人数
（1）分别求一班和二班选手进球数的平均数、众数、中位数；
（2）如果要从这两个班中选出一个班代表级部参加学校的投篮比赛，争取夺得总进球数团体第一名，你认为应该选择哪个班？如果要争取个人进球数进入学校前三名，你认为应该选择哪个班？
16．（2020八下·皇姑期末）如图，在 BCFD中，点E是DF的中点，连接CE并延长，与BD的延长线相交于点A，连接CD，AF.
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）若CA＝CB，则 ADCF为 （填矩形、菱形、正方形中的一个）.
17．（2023八下·上虞期末）解答下列各题：
（1）用配方法解一元二次方程：．
（2）已知一组数据，，，的平均数是5，求数据，，，的平均数．
18．（2023八下·柯桥期末）如图所示，一次函数的图象与反比例函数交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）写出当一次函数大于反比例函数时，的取值范围．
19．（2023八下·余姚期末）随着科技的发展，某省正加快布局以5G等为代表的新兴产业．据统计，目前该省5G基站数量约为1.5万座，计划到今年底，全省5G基站数是目前的4倍；到后年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）计划在今年底，全省5G基站数量是多少万座？
（2）按照计划，从今年底到后年底，全省5G基站数量的年平均增长率为多少？
20．（2021八下·通河期末）已知：在平行四边形 中，对角线 与 相交于点 ，点 、 分别为 、 的中点，连接 并延长至点 ，使 ，连接 、 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，连接 、 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个平行四边形，使写出每个平行四边形的面积都等于平行四边形 面积的一半．
21．（2021八下·赞皇期末）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：BD＝DC．
（2）若AB＝AC时，试证明四边形AFBD是矩形．
22．（2021八下·沧州期末）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝AC，E、F分别是AB、CD的中点，连接CE、AF．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）当平行四边形ABCD的边或角满足什么关系时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若AE＝4，点M为EC中点，当点P在线段AC上运动时，求PE+PM的最小值．
23．（2021八下·广宁期末）如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系xO中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，其中AB＝15，对角线AC所在直线解析式为y＝﹣ x+b，将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的点D处．
（1）求点B的坐标；
（2）求EA的长度；
（3）点P是y轴上一动点，是否存在点P使得△PBE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
24．（2022八下·龙口期末）某中学兴趣小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边是由周长为30米的篱笆围成.如图所示，已知墙长为20米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米
（1）若苗圃园的面积为108m2，求x的值，
（2）苗圃园的面积能达到120m2吗？若能，求出x；若不能，说明理由.
25．（2022八下·辛集期末）某公司欲招聘一名销售人员，按1：3的比例入围的甲、乙、丙（笔试成绩没有相同的，按从高到低排列，）三位入围者的成绩（百分制，成绩都是整数）如下表：
入围者 笔试成绩 面试成绩
甲 90 86
乙 x x
丙 84 92
（1）若公司认为笔试成绩与面试成绩同等重要，结果乙被录取，求x的值；
（2）若公司认为笔试成绩与面试成绩按4：6的权重，结果乙排第二，丙被录取，求x的值；
（3）若公司认为笔试成绩与面试成绩按a：（10－a）（a为1~9的整数）的权重，为确保甲被录取，求a的最小值.
26．（2022八下·广陵期末）在矩形ABCD中，连接AC，AC的垂直平分线交AC于点O，分别交AD、BC于点E、F，连接CE和AF．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的面积．
27．（2022八下·通城期末）某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式，两项成绩的原始分均为 分，参加面试的5名选手的得分如下：
选手序号 1 2 3 4 5
笔试成绩/分 85 92 84 90 84
面试成绩/分 90 88 91 89 92
根据规定，笔试成绩和面试成绩按—定的百分比折合成综合成绩
（1）这 名选手笔试成绩的中位数是 分，众数是 分.
（2）计算这 名选手面试成绩的方差；
（3）现已知 号选手的综合成绩为 分，求笔试成绩和面试成绩的百分比各为多少？
28．（2020八下·长兴期末）如图，已知一次函数y=3x的图象与反比例函数y= 的图象交于点A(a，3)。
（1）求a和k的值。
（2）若点P(m，n)在反比例函数图象上，且点P到x轴的距离小于3，请根据图象直接写出m的取值范围。
29．（2020八下·南召期末）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E为CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处.
（1）求BF的长；
（2）求CE的长.
30．（2020八下·马山期末）已知：如图，在 中，点F在AB的延长线上，且 ，连接FD，交BC于点E.
（1）说明 ；
（2）若 ，求AD的长.
31．（2023八下·长沙期末）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了618年中大促，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）为了减少库存，又要使商场日盈利达到2000元，则每件商品应降价多少元？
32．（2023八下·永兴期末）已知关于的方程．
（1）求证：无论取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的一边，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长．
33．（2023八下·衡阳期末）如图，直线（k，b为常数）与双曲线（m为常数）相交于，两点．
（1）求直线的解析式：
（2）请直接写出关于x的不等式的解集．
（3）连结，，试求的面积．
34．（2023八下·中阳期末）
（1）计算：．
（2）下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．
计算：．
解：原式第一步
第二步
第三步
任务一：以上步骤中，从第 ▲ 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ▲ ．
任务二：请写出正确的计算过程．
35．（2021八下·伍家岗期末）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝3，P为斜边AB上一动点，连接CP，E为CP的中点，连接AE并延长至点F，使EF＝AE，连接PF交BC于点G，连接CF.
（1）求证：四边形ACFP为平行四边形；
（2）连接FB，求点P运动至何处时，CP∥BF？并求此时四边形ABFC的周长.
36．（2021八下·武昌期末）某校九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛.各参赛选手的成绩如下：
九（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100.
九（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99 ，
通过整理，得到数据分析表如下：
班级 最高分 平均分 中位数 众数 方差
九（1）班 100 93 93 12
九（2）班 99 95 93 8.4
（1）求表中 ， 的值；
（2）依据数据分析表，说明是（1）班的成绩好还是（2）班的成绩好？请给出两条理由.
37．（2021八下·洪山期末）解答下列各题
（1）计算：
（2）已知一次函数 的图象经过点 与 ，求一次函数的解析式.
38．（2019八下·临河期末）如图1，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：点D是线段BC的中点；
（2）如图2，若AB＝AC=13， AF＝BD=5，求四边形AFBD的面积．
39．（2019八下·北京期末）关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）请选择一个合适的数作为m的值，并求此时方程的根．
40．（2024八下·长沙期末）为建设美丽城市，改造老旧小区．某市2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元．现假定每年投入的资金年增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2023年老旧小区改造的平均费用为每个小区96万元，2024年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加，如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2024年最多可以改造多少个老旧小区？
41．（2024八下·海曙期末）“端午杨梅挂篮头， 夏至杨梅满山头”．端午期间， 某水果店以每千克 60 元的价格出售杨梅， 每天可卖出 150 千克， 后期因杨梅的大量上市， 水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客， 若已知杨梅售价每千克下降 2 元， 则每天能多售出 6 千克（同一天中售价不变）
（1）设售价每千克下降 元，则每天能售出 千克（用含 的代数式表示）
（2）当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得 9072 元的销售额；
（3）水果店定了 “每天售出杨梅的销售额为 10000 元” 的 “小目标”， 按题目的条件否能达成这个 “小目标”？ 若能达成， 求出达成时的售价； 若不能达成， 请说明理由．
42．（2024八下·越城期末）如图，某校旁边有一块长为，宽为的矩形荒地，地方政府准备在此对该校进行扩建，打算建造教学楼和行政楼．图中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间三个矩形空白区域将建造教学楼和行政楼（其中每个矩形的一边长均为（））．
（1）设通道的宽度为，则________（用含的代数式表示）；
（2）若建造教学楼和行政楼的空白区域的总占地面积为，请问通道的宽度为多少？
43．（2024八下·邕宁期末）在平面直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点，，且与直线：交于点．
（1）分别求出，，三点的坐标．
（2）若是射线上的点，且的面积为，求直线的函数解析式．
（3）在的条件下，在平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
44．（2024八下·忠县期末）如图所示四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知点，，BD平分.
图1 图2
（1）证明：四边形ABCD是菱形；
（2）如图1，过四边形ABCD的顶点作，且，线段交于点，交于点，交的延长线于点，求证：；
（3）如图2，在四边形中，若，的面积为，点是直线上一动点，连接.点在线段的左侧，为等边三角形，连接，当线段最短时，求的值.
45．（2024八下·香河期末）若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”，例如：如图1，在四边形ABCD中，，BD平分，则四边形ABCD是近似菱形．
（1）请在图2中作出一个以BD为对角线的“近似菱形”ABCD，顶点A、顶点C要在网格格点上．
（2）如图3，在四边形ABCD中，，求证：四边形ABCD是“近似菱形”．
（3）在（2）的条件下，若，求AB的长．
46．（2023八下·静安期末）已知：如图，梯形中，，，E、F、G、H分别是的中点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，，且，求四边形的面积．
47．（2023八下·黄浦期末）如图，平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，．
（1）求的面积．
（2）点是轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
48．（2023八下·颍州期末）我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
平均分分 中位数分 众数分 方差（）
初中部
高中部
（1）根据图示计算出、、的值；
（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
（3）计算初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
49．（2023八下·丰满期末） 如图，在△ABC中，点P是边AC上一个动点，过点P作直线l∥AB. 设直线l交∠DAC的平分线于点M，交∠BAC的平分线于点N.
（1）求证PM=PN；
（2）若AN=2，AM=1，求MN的值；
（3）当点P为AC的中点时，连接CM，CN，判断四边形ANCM的形状，并说明理由.
50．（2023八下·湘桥期末）如图，正方形的边长为6，点是的中点，连接与对角线交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，连接.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求线段的长.
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【真题汇编·50道综合题专练】浙教版数学八年级下册期末总复习
1．（2023八下·增城期末）如图，在平行四边形中，已知．
（1）尺规作图：延长，并在延长线上截取，连接交于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，求平行四边形的周长．
【答案】（1）解：如图所示，根据题意作图如下，
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形的周长为．
【解析】【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论.
2．（2023八下·岑溪期末）小明同学参加周末社会实践活动，到“绿云村”蔬菜大棚中收集20株西红柿秧上小西红柿的个数：32，39，45，55，60，54，60，28，56，41，51，36，44，46，40，53，37，47，45，46．
分组
频数 2
（1）前10株西红柿秧上小西红柿个数的平均数是 ，中位数是 ，众数是 ；
（2）若将这20个数据按组距为8进行分组，请补全频数分布表及频数直方图；
（3）通过频数直方图试分析此大棚中西红柿的长势．
【答案】（1）47；49.5；60
（2）补全的频数分布表及频数直方图如下：
分组 28≤x<36 36≤x<44 44≤x<52 52≤x<60 60≤x<68
频数 2 5 7 4 2
（3）此大棚中西红柿的长势普遍较好，每株最少有28个小西红柿；西红柿个数最集中的株数在第三组，共7株.(答案不唯一)
【解析】【解答】解：前10个数的平均数为（32+39+45+55+60+54+60+28+56+41）÷10=47；
将这10个数从大到小排列为：60、60、56、55、54、45、41、39、32、28，
∴中位数为（54+45）÷2=49.5，
这0个数据中，60出现了2次，此时最多，∴众数为60；
故答案为：47、49.5、60；
【分析】（1）利用平均数、中位数及众数的定义分别求解即可；
（2）根据题干中的数据分别找出频数，再补图即可；
（3）根据频数直方图的数据分别进行分析即可（答案不唯一）.
3．（2021八下·唐县期末）如图，∠A=∠B=40°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α．
（1）求证：APMBPN；
（2）当α等于多少度时，以A、M、B、N为顶点的四边形是菱形？
【答案】（1）证明：P为AB中点，
PA=PB，
在△APM和△BPN中，，
△APM△BPN；
（2）解：连接MB、NA，
由(1)知△APM△BPN，
PM=PN，
PA=PB，
四边形MBNA为平行四边形，
当∠BPN=90°时，AB⊥MN，
四边形AMBN为菱形．
【解析】【分析】（1）利用“ＡＳＡ”证明△APM△BPN即可；
（2）根据菱形的判定方法求解即可。
4．（2021八下·平谷期末）如图，在直角△中，点D，E，F分别是边，， 的中点．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，求出矩形的周长．
【答案】（1）证明：连接DE．
∵E，F分别是边AC，BC的中点，
∴EF∥AB，EF＝AB，
∵点D是边AB的中点，
∴AD＝AB．
∴AD＝EF．
∴四边形ADFE为平行四边形；
由点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE＝BC．
∵在直角△ABC中，点F是边BC的中点，
∴BC＝2AF，
∴DE＝AF，
∴四边形ADFE为矩形；
（2）解：∵四边形ADFE为矩形，
∴∠BAC＝∠FEC＝90°，
∵AF＝2，
∴BC＝4，CF＝2，
∵∠C＝30°，
∴AC＝2，CE＝，EF＝1，
∴AE＝，
∴矩形ADFE的周长＝2+2．
【解析】【分析】（1）连接DE，根据三角形的中位线的性质即可得出结论；
（2）根据矩形的性质得出∠BAC＝∠FEC＝90°，解直角三角形即可得出结论。
5．（2023八下·庐江期末）在中，．点D是边AB上的一点，连接CD．作，，连接ED．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当D是边AB的中点时，若，，求四边形ADCE的面积．
【答案】（1）证明：∵AE∥DC，CE∥AB，∴四边形AECD是平行四边形，∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴四边形AECD是矩形，∴AC＝ED；
（2）解：∵D是边AB的中点，∠ACB＝90°，AB＝10，∴CD＝AD＝5，∵AE∥DC，CE∥AB，∴四边形AECD是平行四边形，∴四边形AECD是菱形，∴DE＝4，∴AC＝，∴AC＝6，∴四边形ADCE的面积是AC DE＝×6×8＝24，即四边形ADCE的面积是24．
【解析】【分析】（1）根据AE∥DC，CE∥AB，得出四边形AECD是平行四边形，再根据CD⊥AB，即可得出结论；
（2）根据题意，先判断四边形AECD是菱形，再求出AC的长，再计算出四边形ADCE的面积即可。
6．（2019八下·封开期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，且O是BD的中点
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，AB=8，求四边形ABCD的周长
【答案】（1）证明：∵
∴
又∵ 是 的中点
∴
∵
∴ ≌
∴AB＝CD.
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵
∴
【解析】【分析】（1）根据题意，即可证明三角形AOB全等于三角形COD，根据三角形全等的性质证明平行四边形即可。
（2）根据平行四边形的性质，即可证明其为菱形，得到菱形的周长。
7．（2021八下·双辽期末）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成如图所示的统计图．
（1）本次调查的人数是 ；
（2）这组数据的众数为 元，中位数为 元；
（3）求这组数据的平均数．
【答案】（1）30
（2）10；10
（3）解：这组数据的平均数为（元）
答：这组数据的平均数为12元.
【解析】【解答】解：（1）本次调查的人数是6+11+8+5=30；
故答案为：30．
（2）这组数据中出现次数最多的是元，所以这组数据的众数为10元，
这组数据是按从小到大的顺序排列的，第个数据分别是，所以这组数据的中位数为元；
故答案为：10，10．
【分析】（1）将捐5元，10元，15元，20元的人数相加即得调查总人数；
（2）根据众数、中位数的定义分别求解即可；
（3）根据加权平均数的公式计算即可求解.
8．（2024八下·慈溪期末）某果农对自家桑葚进行直播销售，如果售价为每篮50元，则每天可卖出40篮．通过市场调查发现，若售价每篮降价2元，每天销量可增加10篮．综合各项成本考虑，规定每篮售价不低于30元．
（1）若设售价每篮降价x元，则每天可销售 篮．（用含x的代数式表示）
（2）该果农管理桑葚园的每天各项成本合计为1200元，问：桑葚每篮售价为多少元时，每天能获得2600元的利润？（利润销售额各项成本）
【答案】（1）
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或，
∵每篮售价不低于30元，，
∴，
∴，
∴桑葚每篮售价为38元时，每天能获得2600元的利润．
【解析】【解答】解：（1）设售价每篮降价x元，
则每天可销售：
故答案为：.
【分析】（1）根据题干：如果售价为每篮50元，则每天可卖出40篮．通过市场调查发现，若售价每篮降价2元，每天销量可增加10篮，即可求解；
（2）根据题干和（1）列方程：，解出x，再根据每篮售价不低于30元即可算出x的值，进而求解本题.
9．（2023八下·中山期末）如图，已知四边形为菱形，点B在x轴上，过点C的直线交x轴于点D．其中直线的解析式为，点B的坐标为，连接交x轴于点E．
（1）求的长；
（2）点P为x轴下方直线上一点，若的面积为菱形的面积一半，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵OABC四边形为菱形
∴，，
∵，
∴
∴，即点的横坐标为1
将代入中，得：
∴点的坐标为，
∴；
（2）解：如图，过点作轴于点
将代入中，得：
∴点的坐标为
∴
∴
∵
又∵
∴，解得：
∵点在第三象限
∴点的纵坐标为．
将代入中，得：
∴点的坐标为
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到：结合已知条件可得到点C的横坐标，进而可得到点C的坐标，即得到CE的长，进而得到AC的长度；
（2）过点作轴于点，将代入中，得到点D的坐标，再根据割补法求出的面积，利用菱形的面积计算公式求出菱形的面积，根据"的面积为菱形的面积一半"可列方程得到点P的坐标纵坐标，最后代入解析式，即可求出点P的坐标.
10．（2023八下·丽水期末）已知反比例函数过点，，，且.
（1）当，时，求m的值：
（2）若，求n的值；
（3）反比例函数（）过点，，求证：.
【答案】（1）解：反比例函数过点，，，
∴，
（2）解：反比例函数过点，，
，，
，
，
化简，得，
，
；
（3）解：反比例函数过点，，
，，
反比例函数过点，，
，，
，，
，，
，
又，
，，
【解析】【分析】（1）将a，x1代入函数解析式可求出m的值.
（2）分别将点A，B的坐标代入函数解析式，可表示出x1，x2，根据，可得到m=2n，再根据m-n=5，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出n的值.
（3）分别将点A，B，C，D的坐标代入函数解析式，可推出2m=3n，再根据m-n=5，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出n，m的值，然后求出a-b的值.
11．（2022八下·镇巴期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，设直线交轴于点.
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若点是反比例函数图象上的一点，且是以为底边的
等腰三角形，求点的坐标.
【答案】（1）解：∵ 一次函数与反比例函数的图象交于点 ，
∴k2=2×3=-a=6
解之：a=-6，
∴反比例函数解析式为，
点B的坐标为（-6，-1），
∴
解之：
∴一次函数解析式为.
（2）解：∵一次函数解析式为，
∴当y=0时，
解之：x=-4
∴点C（-4，0）
过点P作PD⊥x轴于点D，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴点P的横坐标为-2
当x=-2时y=
∴点P（-2，-3）.
【解析】【分析】（1）分别将点A，B的坐标代入反比例函数解析式，可求出k2，a的值，可得到反比例函数解析式；再将点A，B的坐标分别代入一次函数解析式，可得到关于k1，b的方程组，解方程组求出k1，b的值，可得到一次函数解析式.
（2）利用一次函数解析式求出点C的坐标；过点P作PD⊥x轴于点D，再利用已知条件及等腰三角形的性质，可得到点P的横坐标，将其横坐标代入反比例函数解析式，可求出对应的y的值，可得到点P的坐标.
12．（2022八下·婺城期末）金华市区某超市以原价为40元瓶的价格对外销售某种洗手液，为了减少库存，决定降价销售，经过两次降价后，售价为32.4元瓶．
（1）求平均每次降价的百分率．
（2）金华市区某学校为确保疫情复学后工作安全、卫生、健康、有序，学校决定购买一批洗手液(超过200瓶）.该超市对购买量大的客户有优惠措施，在32.4元瓶的基础上推出方案一：每瓶打九折；方案二：不超过200瓶的部分不打折，超过200瓶的部分打八折．学校应该选择哪一种方案更省钱？请说明理由．
【答案】（1）解：设平均每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去)．
答：平均每次降价的百分率为10%．
（2）解：设学校购买瓶洗手液，则选择方案一所需费用为元，选择方案二所需费用为元，
当时，，
当时，学校选择方案一更省钱；
当时，，
当时，学校选择两种方案所需费用相同；
当时，，
当时，学校选择方案二更省钱．
答：当购买数量超过200瓶且不足400瓶时，学校选择方案一更省钱；当购买数量等于400瓶时，学校选择两种方案所需费用相同；当购买数量超过400瓶时，学校选择方案二更省钱．
【解析】【分析】（1）设平均每次降价的百分率为x，则经过两次降价后的售价为40(1-x)2元。结合经过两次降价后，售价为32.4元/瓶列出方程，求解即可；
（2）设学校购买y（y>200）瓶洗手液，则选择方案一所需费用为32.4×0.9y=29.16y元，选择方案二所需费用为32.4×200+32.4×0.8(y-200)=(25.92y+1296)元，分别令29.16y>25.92y+1296、29.16y<25.92y+1296、29.16y=25.92y+1296，求出y的值或范围，据此解答.
13．（2022八下·兰陵期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5．求BD的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝，
∴，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝，
∴BD＝2OB＝2．
【解析】【分析】（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形的判定方法求解即可；
（2）先利用勾股定理求出AC的长，再利用平行四边形的性质求出OA的长，再利用勾股定理求出OB的长，即可得到BD＝2OB＝2。
14．（2022八下·郓城期末）在直角坐标系中，已知点，点，点C与点A关于y轴对称，点D与点B关于原点O对称，依次连接，，，．
（1）请画出示意图，并写出点C与点D的坐标；
（2）四边形是否为平行四边形？请说明理由；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得的面积等于四边形的一半？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：
点，点C与点A关于y轴对称，．点，点D与点B关于原点O对称，．
（2）解：是平行四边形．理由：点C与点A关于y轴对称，．点D与点B关于原点O对称，．四边形是平行四边形．
（3）解：存在，点或． 根据平行四边形的性质可得，平行四边形被对角线平分成两个全等的三角形，的面积等于四边形的一半，即等于的面积，由（1）可知点P与A，C重合时，满足题意，点或．
【解析】【分析】（1）根据要求作出图象并直接写出点坐标即可；
（2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形的判定方法求解即可；
（3）根据“的面积等于四边形的一半”，即可得到答案。
15．（2020八下·钦北期末）八年级一班和二班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球，两个班选手的进球数统计如下表，请根据表中数据回答问题.
进球数
一班人数
二班人数
（1）分别求一班和二班选手进球数的平均数、众数、中位数；
（2）如果要从这两个班中选出一个班代表级部参加学校的投篮比赛，争取夺得总进球数团体第一名，你认为应该选择哪个班？如果要争取个人进球数进入学校前三名，你认为应该选择哪个班？
【答案】（1）解：一班进球平均数： （个），
二班进球平均数： （个），
一班投中7个球的有4人，人数最多，故众数为7个；
二班投中7个球的有5人，人数最多，故众数为7个；
一班中位数：第五、第六名同学进7个球，故中位数为7个；
二班中位数：第五、第六名同学进7个球，故中位数为7个.
（2）解：一班进球的方差 =2.6
二班进球的方差
=1.4
二班选手水平发挥更稳定，应该选择二班争取夺得总进球数团体第一名；
一班前三名选手的成绩突出，分别进10个、9个、8个球，如果要争取个人进球数进入学校前三名，应该选择一班.
【解析】【分析】（1）利用平均数、中位数和众数的定义直接求出；
（2）根据方差和个人发挥的最好成绩进行选择.
16．（2020八下·皇姑期末）如图，在 BCFD中，点E是DF的中点，连接CE并延长，与BD的延长线相交于点A，连接CD，AF.
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）若CA＝CB，则 ADCF为 （填矩形、菱形、正方形中的一个）.
【答案】（1）解：在平行四边形BCFD中，
DE//BC，
∵E是DF的中点，
∴DE＝ BC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴E是AC的中点，
∴四边形ADCF是平行四边形.
（2）矩形
【解析】【解答】解：（2）∵CA＝CB，DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ = =AE=EC，
∴∠ADC＝90°，
∴ ADCF是矩形.
故答案为：矩形.
【分析】（1）首先证明DE是△ABC的中位线，得到E是AC的中点，又E也是DF的中点，运用对角线互相平分的四边形为平行四边形证明即可.（2）先证明DE=AE=EC= ，根据三角形一边的中线等于这边的一半，则这个三角形为直角三角形，得到∠ADC＝90°，即可得到 ADCF为矩形.
17．（2023八下·上虞期末）解答下列各题：
（1）用配方法解一元二次方程：．
（2）已知一组数据，，，的平均数是5，求数据，，，的平均数．
【答案】（1）解：，
，
，
，
∴，
∴，
（2）解：∵数据，，，的平均数是5，
∴，
∴数据，，，的平均数为
．
【解析】【分析】（1）首先将常数项移至右边，然后将二次项的系数化为1，再给两边同时加上1，对左边的式子利用完全平方公式分解可得(x+1)2=，接下来利用直接开平方法计算即可；
（2）根据平均数的计算方法可得平均数为，据此计算.
18．（2023八下·柯桥期末）如图所示，一次函数的图象与反比例函数交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）写出当一次函数大于反比例函数时，的取值范围．
【答案】（1）解：∵，两点在反比例函数，
∴，解得，
∴反比例函数的表达式为
（2）解：由（1）得，，
∴一次函数的图象与反比例函数交于，，
由图可知，当一次函数大于反比例函数时，或
【解析】【分析】(1)利用反比例函数解析式通过点A、B坐标列出关于m、t的方程组，进而求得反比例函数解析式.
(2)通过点A、B坐标可知，当x=1或x=-4时，一次函数的值等于反比例函数的值，再利用图象求得一次函数大于反比例函数时x的取值范围.
19．（2023八下·余姚期末）随着科技的发展，某省正加快布局以5G等为代表的新兴产业．据统计，目前该省5G基站数量约为1.5万座，计划到今年底，全省5G基站数是目前的4倍；到后年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）计划在今年底，全省5G基站数量是多少万座？
（2）按照计划，从今年底到后年底，全省5G基站数量的年平均增长率为多少？
【答案】（1）解：由题意得：（万座）；
答：计划在今年底，全省5G基站数量是6万座．
（2）解：设全省5G基站数量的年平均增长率为x，由题意得：
，
解得：（不符合题意，舍去）；
答：全省5G基站数量的年平均增长率为．
【解析】【分析】(1)利用目前的5G基站数量求得今年底的5G基站数量.
(2)设全省5G基站数量的年平均增长率为x，通过今年底和后年底的5G基站数量列得方程求解.
20．（2021八下·通河期末）已知：在平行四边形 中，对角线 与 相交于点 ，点 、 分别为 、 的中点，连接 并延长至点 ，使 ，连接 、 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，连接 、 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个平行四边形，使写出每个平行四边形的面积都等于平行四边形 面积的一半．
【答案】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
点 ， 分别为 ， 的中点，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
；
（2）解： 四边形 是平行四边形，
， ， ， ，
，点 为 的中点，
、 互相平分，
四边形 是平行四边形，
，
，
， ，
是 的中位线，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
点 ， 分别为 ， 的中点，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
图中的平行四边形 、平行四边形 、平行四边形 、平行四边形 四个平行四边形，每个平行四边形的面积都等于平行四边形 面积的一半．
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得到 ， ， ，由平行四边形性质得出 ，易证 ，由SAS证得 ，得出AE=FC ，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得到OA=OC，AB//CD，AB=CD，，易证AG、OB互相平分，则四边形ABGO是平行四边形，，易证明OE是三角形ACG的中位线，则OE//CG，易证四边形BOCG是平行四边形，，证得GO//CD，GO=CD，则四边形CDOG是平行四边形，，证得CG//EF，EF//CG，则四边形EFCG是平行四边形，。
21．（2021八下·赞皇期末）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：BD＝DC．
（2）若AB＝AC时，试证明四边形AFBD是矩形．
【答案】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴在△AEF和△DEC中
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝DC，
∵AF＝BD，
∴BD＝CD；
（2）证明：∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，
又∵AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°
∴四边形AFBD是矩形．
【解析】【分析】（1）利用“AAS”证明出△AEF≌△DEC，得出AF＝DC，因为AF＝BD，即可得出BD＝DC；
（2）因为过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，AF＝BD，得出四边形AFBD是平行四边形，因为AB＝AC，D是BC的中点，得出AD⊥BC，∠ADB＝90°，即可证明出四边形AFBD是矩形．
22．（2021八下·沧州期末）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝AC，E、F分别是AB、CD的中点，连接CE、AF．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）当平行四边形ABCD的边或角满足什么关系时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若AE＝4，点M为EC中点，当点P在线段AC上运动时，求PE+PM的最小值．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE＝ AB，CF＝ CD，
∴AE＝CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵BC＝AC，E为AB中点，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°四边形AECF是矩形；
（2）解：①当∠B＝45°时，四边形AECF是正方形，
理由：∵BC＝AC，∠B＝45°，
∴∠BAC＝∠B＝45°，
∴∠BAC＝90°，
∵E为AB的中点，
∴EC＝ AB＝AE，
∴矩形AECF为正方形，
或②当AB＝ BC时，矩形AECF为正方形，
理由：∵BC＝AC，AB＝ BC，
∴AC2+BC2＝2BC2，
AB2＝（ BC）2＝2BC2，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB为直角三角形，
∵E为AB的中点，
∴EC＝ AB＝AE，
∴矩形AECF为正方形；
（3）解：连接EF，连接FM交AC于P，
∵四边形AECF为正方形，
∴E和F关于AC对称，此时PE+PM最小且为FM，
在Rt△MCF中，CM＝2，CF＝AE＝4，
∴FM＝
∴PE+PM最小值为 ．
【解析】【分析】（1）由四边形ABCD时平行四边形得到AB=CD，AB//CD，再由E、F分别是AB、CD的中点得到AE＝ AB，CF＝ CD，即可证得四边形AECF为平行四边形，再由BC=AC，E为AB中点，得到CE⊥AB，即可得到结论；
（2）①当∠B＝45°时，可证明∠BAC＝90°，由E为AB的中点得到EC＝ AB＝AE，所以矩形AECF为正方形；②当AB＝ BC时，由BC＝AC，AB＝ BC，可证得AC2+BC2＝AB2，所以△ACB为直角三角形，再由E为AB的中点，得到EC＝ AB＝AE，所以矩形AECF为正方形；
（3）连接EF，连接FM交AC于P，由E和F关于AC对称，此时PE+PM最小且为FM，在Rt△MCF中，利用勾股定理求解即可。
23．（2021八下·广宁期末）如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系xO中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，其中AB＝15，对角线AC所在直线解析式为y＝﹣ x+b，将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的点D处．
（1）求点B的坐标；
（2）求EA的长度；
（3）点P是y轴上一动点，是否存在点P使得△PBE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵AB＝15，四边形OABC是矩形，
∴OC＝AB＝15，
∴C（0，15），代入y＝y＝﹣ x+b得到b＝15，
∴直线AC的解析式为y＝﹣ x+15，
令y＝0，得到x＝9，
∴A（9，0），B（9，15）．
（2）解：在Rt△BCD中，BC＝9，BD＝AB＝15，
∴CD＝ ＝12，
∴OD＝15﹣12＝3，
设DE＝AE＝x，
在Rt△DEO中，∵DE2＝OD2+OE2，
∴x2＝32+（9﹣x）2，
∴x＝5，
∴AE＝5．
（3）解：如图作点E关于y轴的对称点E′，连接BE′交y轴于P，此时△BPE的周长最小．
∵E（4，0），
∴E′（﹣4，0），
设直线BE′的解析式为y＝kx+b，则有
解得 ，
∴直线BE′的解析式为y＝ x+ ，
∴P（0， ）．
故答案为（1）B（9，15）；（2）5；（3）存在，P（0， ）.
【解析】【分析】（1）根据点C的坐标确定b的值，利用待定系数法求出点A坐标即可解决问题；
（2）在Rt△BCD中，BC＝9，BD＝AB＝15，利用勾股定理求出CD=12，设DE＝AE＝x，在Rt△DEO中，根据DE2＝OD2+OE2，列出方程求解即可；
（3）如图作点E关于y轴的对称点E′，连接BE′交y轴于P，此时△BPE的周长最小．利用待定系数法求出直线BE'的解析式即可解决问题。
24．（2022八下·龙口期末）某中学兴趣小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边是由周长为30米的篱笆围成.如图所示，已知墙长为20米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米
（1）若苗圃园的面积为108m2，求x的值，
（2）苗圃园的面积能达到120m2吗？若能，求出x；若不能，说明理由.
【答案】（1）由题意可知：(30﹣2x)x＝108，
解得：x＝6或x＝9，
由于0＜30﹣2x≤20，
解得：5≤x＜15，
答：若苗圃园的面积为108m2，x的值为6m或9m．
（2）由题意可知：(30﹣2x)x＝120，
∴x2﹣15x+60＝0，
∴△＝152﹣4×60＝﹣15＜0，
此时方程无解，
答：不存在想使得苗圃园的面积能达到120m2
【解析】【分析】（1）先求出 (30﹣2x)x＝108， 再求出 x＝6或x＝9， 最后计算求解即可；
（2）先求出 x2﹣15x+60＝0， 再求出 △＝152﹣4×60＝﹣15＜0， 最后作答即可。
25．（2022八下·辛集期末）某公司欲招聘一名销售人员，按1：3的比例入围的甲、乙、丙（笔试成绩没有相同的，按从高到低排列，）三位入围者的成绩（百分制，成绩都是整数）如下表：
入围者 笔试成绩 面试成绩
甲 90 86
乙 x x
丙 84 92
（1）若公司认为笔试成绩与面试成绩同等重要，结果乙被录取，求x的值；
（2）若公司认为笔试成绩与面试成绩按4：6的权重，结果乙排第二，丙被录取，求x的值；
（3）若公司认为笔试成绩与面试成绩按a：（10－a）（a为1~9的整数）的权重，为确保甲被录取，求a的最小值.
【答案】（1）解： ， ，
∵88＜x＜90，∴x=89；
（2）解： ， ，
∵87.6＜x＜88.8，∴x=88；
（3）解： ， ，
要确保甲被录取，则
解得：a＞7.5
∴a的最小值为8.（a取6或7扣1分）
【解析】【分析】（1）计算出甲、乙、丙三人的平均数，再根据题意得出88＜x＜90，即可求出x=89；
（2）根据加权平均数的计算公式求出甲、乙、丙三人的平均数，再根据题意得出87.6＜x＜88.8，即可求出x=88；
（3）根据加权平均数的计算公式求出甲、乙、丙三人的平均数，根据题意列出不等式组，解不等式组得出 a＞7.5 ，即可求出a的最小值为8.
26．（2022八下·广陵期末）在矩形ABCD中，连接AC，AC的垂直平分线交AC于点O，分别交AD、BC于点E、F，连接CE和AF．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的面积．
【答案】（1）证明： 是 的垂直平分线，
， ，
四边形 是矩形，
，
，
在 和 中，
，
；
又 ，
四边形 是平行四边形，
又
平行四边形 是菱形
（2）解：设 ，
是 的垂直平分线，
， ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
解得 ．
，
菱形 的周长为20．
【解析】【分析】（1）先求出∠EAO=∠FCO，再利用ASA证明三角形全等，最后证明求解即可；
（2）先求出 AF的值，然后求周长即可。
27．（2022八下·通城期末）某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式，两项成绩的原始分均为 分，参加面试的5名选手的得分如下：
选手序号 1 2 3 4 5
笔试成绩/分 85 92 84 90 84
面试成绩/分 90 88 91 89 92
根据规定，笔试成绩和面试成绩按—定的百分比折合成综合成绩
（1）这 名选手笔试成绩的中位数是 分，众数是 分.
（2）计算这 名选手面试成绩的方差；
（3）现已知 号选手的综合成绩为 分，求笔试成绩和面试成绩的百分比各为多少？
【答案】（1）85；84
（2）解：5名选手面试成绩的平均数为： （90+88+91+89+92）=90（分），
∴这5名选手面试成绩的方差为：
（3）解：设笔试成绩和面试成绩各占的百分比是x，y，根据题意得：
，
解得： ，
即笔试成绩占40%，面试成绩占60%.
【解析】【解答】解：（1）把这组数据从小到大排列为：84，84，85，90，92，
最中间数的数是85（分），
则这5名选手笔试成绩的中位数是85分，
84出现了2次，出现的次数最多，则这5名选手笔试成绩的众数是84分；
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即把这组数据从小到大排列，再找出最中间两个数的平均数就是中位数，再找出出现的次数最多的数即是众数；
（2）根据方差公式进行求解即可；
（3）先设笔试成绩和面试成绩各占的百分百是x，y，根据题意列出方程组，求出x，y的值即可.
28．（2020八下·长兴期末）如图，已知一次函数y=3x的图象与反比例函数y= 的图象交于点A(a，3)。
（1）求a和k的值。
（2）若点P(m，n)在反比例函数图象上，且点P到x轴的距离小于3，请根据图象直接写出m的取值范围。
【答案】（1）解：一次函数y=3x的图象与反比例函数y= 的图象交于点A(a，3)，
∴3a=3
解之：a=1
∴点A（1，3）
∴1×3=2k-1
解之：k=2
∴a的值为2，k的值为2.
（2）m＞1和m＜-1
【解析】【解答】解：（2）反比例函数解析式为：.
∵点P(m，n)在反比例函数图象上，且点P到x轴的距离小于3，
∴当n=3时，m=1；
当n=-3时，m=-1
∴m的取值范围是m＞1和m＜-1.
【分析】（1）将点A的坐标代入一次函数解析式求出a的值，可得到点A的坐标；再将点A的坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可。
（2）由（1）可知反比例函数解析式，再根据点P(m，n)在反比例函数图象上，且点P到x轴的距离小于3，求出当n=3和-3时对应的m的值，然后可求出m的取值范围。
29．（2020八下·南召期末）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E为CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处.
（1）求BF的长；
（2）求CE的长.
【答案】（1）解∵四边形ABCD为矩形.
∴∠B=90°，AD=BC=10cm.
∵△AFE是由△ADE沿AE翻折得到的.
∴AF=AD=10cm
又∵AB=8cm.
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
.
故BF的长为6cm.
（2）设CE=x.
∵四边形ABCD为矩形.
∴CD=AB=8，∠C=90°.
∴DE=CD-CE=8-x
∵△AFE是由△ADE沿AE翻折得到的.
∴FE=DE=8-x.
由（1）知：BF=6.
∴CF=BC-BF=10-6=4.
在Rt△CEF中，由勾股定理得：
CF2+CE2=FE2
∴42+x2=(8-x)2
解得：x=3
由CE的长为3cm.
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和轴对称的性质，求出AF的长， 在Rt△ABF中，根据勾股定理即可求出BF的长；
（2） 设CE=x，根据矩形的性质和轴对称的性质，求出FE=8-x， 在Rt△CEF中，根据勾股定理列出方程，求出方程的解， 即可求出CE的长.
30．（2020八下·马山期末）已知：如图，在 中，点F在AB的延长线上，且 ，连接FD，交BC于点E.
（1）说明 ；
（2）若 ，求AD的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC
∴∠CDE=∠F
又∵BF=AB
∴DC=FB
又∵∠BEF=∠DEC
∴△DCE≌△FBE（AAS）
（2）解：∵△DCE≌△FBE
∴EB=EC
∵EC=5
∴BC=2EB=10
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC
∴AD=10
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，可知 AB=DC，AB∥DC ，得出 ∠CDE=∠F ，得出△DCE≌△FBE（AAS）
（2）由△DCE≌△FBE的性质得出 EB=EC， BC=2EB=10，根据平行四边形的性质得出AD=BC=10.
31．（2023八下·长沙期末）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了618年中大促，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）为了减少库存，又要使商场日盈利达到2000元，则每件商品应降价多少元？
【答案】（1）解：
（元）
故若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元．
（2）解：依题意得：，
整理得：，
解得：，，
为了尽快减少库存，
∴，
答：每件商品应降价25元．
【解析】【分析】（1）根据利润公式列式计算求解即可；
（2）根据利润公式求出 ， 再解方程求出 ，， 最后计算求解即可。
32．（2023八下·永兴期末）已知关于的方程．
（1）求证：无论取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的一边，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长．
【答案】（1）证明：
，
∴无论取何值，方程总有实数根；
（2）解：①若为底边，则为腰长，，，
∴，
解得：，
此时原方程化为，
∴，即，
此时三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；
②若为腰，则中一边为腰，
把代入方程，，
∴，
则原方程化为，
，
∴，，
此时三边为6，6，2能构成三角形，
综上所述：三边为6，6，2，
∴周长为．
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算求解即可；
（2）分类讨论，利用等腰三角形的性质以及三角形的三边关系等计算求解即可。
33．（2023八下·衡阳期末）如图，直线（k，b为常数）与双曲线（m为常数）相交于，两点．
（1）求直线的解析式：
（2）请直接写出关于x的不等式的解集．
（3）连结，，试求的面积．
【答案】（1）解：由题意，将B点代入双曲线解析式，
，
，
双曲线为．
又在双曲线上，
，
，
将A、B代入一次函数解析式得，
．
直线的解析式为．
（2）或
（3）解：设一次函数与y轴交与C点，可以看成由底均为OC的、组成，
当时，，
，
．
【解析】【解答】解：（2），，直线在双曲线的上方时，即，∴解集为或。
【分析】（1）先将B点代入双曲线解析式即可得到m，进而求出点A的坐标，再运用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）直接观察图像即可求解；
（3）设一次函数与y轴交与C点，可以看成由底均为OC的、组成，进而根据一次函数的性质求出点C的坐标，从而结合题意即可求解。
34．（2023八下·中阳期末）
（1）计算：．
（2）下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．
计算：．
解：原式第一步
第二步
第三步
任务一：以上步骤中，从第 ▲ 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ▲ ．
任务二：请写出正确的计算过程．
【答案】（1）解：
（2）解：任务一：一；乘除混合运算时，未按照从左到右顺序依次计算；
任务二：
．
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）任务一：根据混合运算的顺序可判断得出第一步开始出现错误；任务二：先把乘除运算统一成乘法运算，然后按照先算乘法，再算加减的顺序，进行计算即可。
35．（2021八下·伍家岗期末）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝3，P为斜边AB上一动点，连接CP，E为CP的中点，连接AE并延长至点F，使EF＝AE，连接PF交BC于点G，连接CF.
（1）求证：四边形ACFP为平行四边形；
（2）连接FB，求点P运动至何处时，CP∥BF？并求此时四边形ABFC的周长.
【答案】（1）证明： E为CP的中点，
EF＝AE，
四边形 是平行四边形
（2）解： 四边形 是平行四边形，
当
则四边形 为平行四边形，
即点P运动至 的中点时，
四边形ABFC的周长为：
【解析】【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断得出答案；
（2）根据平行四边形的对边平行且相等得出FC∥AB，FC=AP，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得出四边形CFBP是平行四边形，根据平行四边形的对边相等得出CF=BP，CP=BF，从而得出AP=PB=FC=，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CP=，最后根据四边形周长的计算方法即可算出答案.
36．（2021八下·武昌期末）某校九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛.各参赛选手的成绩如下：
九（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100.
九（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99 ，
通过整理，得到数据分析表如下：
班级 最高分 平均分 中位数 众数 方差
九（1）班 100 93 93 12
九（2）班 99 95 93 8.4
（1）求表中 ， 的值；
（2）依据数据分析表，说明是（1）班的成绩好还是（2）班的成绩好？请给出两条理由.
【答案】（1）解：a= （88+91+92+93+93+93+94+98+98+100）=94；
把九（2）班成绩排列为：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99，
则中位数b= （95+96）=95.5，
∴a=94；b=95.5
（2）解：①九（2）班平均分高于九（1）班；
②九（2）班方差小于九（1）班，故九（2）班的成绩比九（1）班稳定；
③九（2）班的成绩的中位数大于九（1）班成绩的中位数，
故九（2）班成绩好（任意选两个即可）
【解析】【分析】（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；根据定义并结合统计表的信息计算即可求解；
（2）比较中位数、平均数、方差、众数的大小即可判断求解.
37．（2021八下·洪山期末）解答下列各题
（1）计算：
（2）已知一次函数 的图象经过点 与 ，求一次函数的解析式.
【答案】（1）解：原式
（2）解：把点 与 代入 中，
得 ，
解得： ，
一次函数的析式为
【解析】【分析】（1）先将二次根式化为最简二次根式，再合并即可；
（2） 直接将点 与 代入中，可得关于k、b的方程组，解之即可.
38．（2019八下·临河期末）如图1，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：点D是线段BC的中点；
（2）如图2，若AB＝AC=13， AF＝BD=5，求四边形AFBD的面积．
【答案】（1）证明：如图1，∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE．
在△EAF和△EDC
，∴△EAF≌△EDC，∴AF=DC，∵AF=BD，
∴BD=DC，即D是BC的中点；
（2）解：如图2，∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，又由（1）可知D是BC的中点，∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AD= =12，∴矩形AFBD的面积=BD AD=60．
【解析】【分析】(1)利用“AAS”可证明△EAF≌△EDC，则AF=DC，从而得到BD=DC；(2)先证明四边形AFBD是平行四边形，再利用等腰三角形的性质证明AD⊥BC，则四边形AFBD为矩形，然后计算出AD后再计算四边形AFBD的面积.
39．（2019八下·北京期末）关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）请选择一个合适的数作为m的值，并求此时方程的根．
【答案】（1）解：根据题意得△=(-2)2-4m≥0，
解得m≤1；
（2）解：当m=0时，方程变形为x2-2x=0，
解得x1=0，x2=2．
【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到△=(-2)2-4m≥0，然后解不等式即可；（2）令m=0，方程变形为x2-2x=0，然后利用因式分解法解方程．
40．（2024八下·长沙期末）为建设美丽城市，改造老旧小区．某市2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元．现假定每年投入的资金年增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2023年老旧小区改造的平均费用为每个小区96万元，2024年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加，如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2024年最多可以改造多少个老旧小区？
【答案】（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x
解得：，（舍去）
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为．
（2）解：设该市在2024年可以改造y个老旧小区，则y个老旧小区资金投入为：万元
∴
解得：且y为正整数
的最大值为12
答：该市在2024年最多可以改造12个老旧小区．
【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题、一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，根据等量关系：2023年投入资金=1440万元”列出方程：，即可作答；
（2）设该市在2024年可以改造y个老旧小区，根据不等量关系：y个老旧小区改造的总费用≤2024年的资金投入，列出不等式：，解出y，取y的最大值即可.
41．（2024八下·海曙期末）“端午杨梅挂篮头， 夏至杨梅满山头”．端午期间， 某水果店以每千克 60 元的价格出售杨梅， 每天可卖出 150 千克， 后期因杨梅的大量上市， 水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客， 若已知杨梅售价每千克下降 2 元， 则每天能多售出 6 千克（同一天中售价不变）
（1）设售价每千克下降 元，则每天能售出 千克（用含 的代数式表示）
（2）当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得 9072 元的销售额；
（3）水果店定了 “每天售出杨梅的销售额为 10000 元” 的 “小目标”， 按题目的条件否能达成这个 “小目标”？ 若能达成， 求出达成时的售价； 若不能达成， 请说明理由．
【答案】（1）（150+3x）
（2）解：设售价每千克下降元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
或，
答：每千克售价为54元或56元时，每天能获得9072元的销售额；
（3）解：按题目的条件不能达成这个“小目标”，理由如下：设售价每千克下降元，
由题意得：，
整理得：，
，
不能达到这个“小目标”．
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，每天能售出杨梅的数量为：（千克），
故答案为：（150+3x）；
【分析】（1）用原来每天销售杨梅的数量+因为价格下调每天多售出的数量，列式并化简即可；
（2）设售价每千克下降x元，根据每天的销售数量×每千克杨梅的售价=总售价并结合每天能获得9072元的销售额，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（3）设售价每千克下降m元，根据每天的销售数量×每千克杨梅的售价=总售价并结合每天售出杨梅的销售额为10000元，列出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式进行判断即可得出结论.
42．（2024八下·越城期末）如图，某校旁边有一块长为，宽为的矩形荒地，地方政府准备在此对该校进行扩建，打算建造教学楼和行政楼．图中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间三个矩形空白区域将建造教学楼和行政楼（其中每个矩形的一边长均为（））．
（1）设通道的宽度为，则________（用含的代数式表示）；
（2）若建造教学楼和行政楼的空白区域的总占地面积为，请问通道的宽度为多少？
【答案】（1）
（2）解：根据题意得：(30-2x)a+(30-3x)a=850，
∵，
∴(30-2x)(20-x)+(30-3x)(20-x)=850，
解得（不合题意，舍去）．
∴通道的宽度为．
【解析】【解答】（1）解：结合图形可得：长为，内部两个矩形的宽为，通道宽为，
∴，
，
故答案为：；
【分析】（1）结合图形可得荒地的长=两个矩形的宽+三个通道的宽，据此建立等式，再变形为用含x的式子表示a即可；
（2）结合图形，利用平移的相似可得空白部分的面积=一个长为(30-2x)m、宽为a的矩形的面积+长为(30-3x)、宽为a的矩形的面积，再结合（1）的结论，可得关于字母x的方程，求解并检验即可得出答案.
（1）解：结合图形可得：长为，内部两个矩形的宽为，通道宽为，
∴，
，
故答案为：；
（2）解：根据题意得：，
∵，
∴，
解得（不合题意，舍去）．
∴通道的宽度为．
43．（2024八下·邕宁期末）在平面直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点，，且与直线：交于点．
（1）分别求出，，三点的坐标．
（2）若是射线上的点，且的面积为，求直线的函数解析式．
（3）在的条件下，在平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：直线，当时，，当时，，
，，
解方程组：，
得：，
，
即：，，；
（2）解：设，
的面积为，
，
解得：，
，
设直线的函数表达式是，
把，代入得：
，
解得：，
，
即直线的函数表达式是；
（3）解：存在点，分以下三种情况：
以为对角线时，
，，
点即为点向上平移个单位，
；
以为对角线时，
，，
点即为点向下平移个单位，
；
以为对角线时，
，，，四边形“是平行四边形，
的中点坐标为的中点坐标，
；
综上所述，符合条件的点坐标有或或．
【解析】【分析】（1）分别将x=0和y=0代入 直线 函数解析式，即可求得B，C的坐标，再解方程组，即可求得A的坐标；
（2）设，根据三角形的面积公式求出D的坐标，再根据待定系数法即可求得直线CD的函数表达式；
（3）分以下三种情况：①以为对角线时；②以为对角线时；③以为对角线时，根据平行四边形的性质即可求得满足条件的三个P点.
44．（2024八下·忠县期末）如图所示四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知点，，BD平分.
图1 图2
（1）证明：四边形ABCD是菱形；
（2）如图1，过四边形ABCD的顶点作，且，线段交于点，交于点，交的延长线于点，求证：；
（3）如图2，在四边形中，若，的面积为，点是直线上一动点，连接.点在线段的左侧，为等边三角形，连接，当线段最短时，求的值.
【答案】（1）解： ，，
四边形是平行四边形，
∵
∴
∵平分，
∴
∴
∴
四边形是菱形；
（2）解：在上截取，过点作交于点，连接、，
∵，且，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵四边形是菱形
∴，，，，
∴
∴，
∴，
∴，，
∵ ，
∴，
∵，
，
，
∵四边形是菱形
∴，，
∵，
∴，
∴
∴
在与中，，，，
，
，
在中，，
，
，即，
；
（3）解：在中，设，过点A作于E，
，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
以为边在下方作等边，连接，
∴，
，
，而，，
，
，
当于点P时，最短，即最短，
在中，，，在上取点使，
∴，
设，
∴，，
∴，
∵，
，解得，
即此时的值
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，进而根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，等量代换得到，再根据等腰三角形的判定结合菱形的判定即可求解；
（2）在上截取，过点作交于点，连接、，先根据等腰直角三角形的判定与性质得到，再根据菱形的性质得到，，，，进而结合题意进行角的运算得到，根据三角形全等的判定与性质证明得到，再根据菱形的判定与性质得到，，进而根据平行公理及其推论结合题意即可得到，根据平行线的性质得到，从而结合题意证明得到，再结合等腰直角三角形的性质进行线段的运算即可求解；
（3）设，过点A作于E，先根据等腰直角三角形的性质得到，进而根据三角形的面积即可得到，从而得到，以为边在下方作等边，连接，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而即可得到当于点P时，最短，即最短，在中，，，在上取点使，进而即可得到，，设，从而结合勾股定理即可求解。
45．（2024八下·香河期末）若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”，例如：如图1，在四边形ABCD中，，BD平分，则四边形ABCD是近似菱形．
（1）请在图2中作出一个以BD为对角线的“近似菱形”ABCD，顶点A、顶点C要在网格格点上．
（2）如图3，在四边形ABCD中，，求证：四边形ABCD是“近似菱形”．
（3）在（2）的条件下，若，求AB的长．
【答案】（1）解：以为对角线的“近似菱形”，
或，
以例作图，则点A在的垂直平分线上，
设点A在上方第三个网格格点上，
则点在点下方第一个网格对角线上，
如图所示，答案不唯一；
（2）解：证明：
，
平分，
四边形是“近似菱形”
（3）解：过点作，交于，连接，交于，如图所示
四边形是平行四边形
平行四边形是菱形
，，，
.
在和中，
≌.
在中，由勾股定理得：.
【解析】【分析】（1）本题中以AB=AD为例，A必须在夹角所对对角线的垂直平分线上，BD平分，则 ∠ABD=∠ CBD.
(2)本题先证得由AB=AC证得AD∥BD，得到∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB，进而得到∠ABD=∠DBC，所以BD平分∠ABC，又因为∠ABD=∠ADB得到AB=AD.
(3)作图构造四边形ABED，因为AD∥AD且AB=AD得到四边形ABED为菱形，得到对角线互相垂直平分，通过证明三角形ACE与三角形DEC全等得到CD=AE，从而在直角三角形AOB中，已知两直角边OA=、OB=求得AB的值.
46．（2023八下·静安期末）已知：如图，梯形中，，，E、F、G、H分别是的中点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，，且，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：如图所示，连接
∵E、F、G、H分别是的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，
∴，
∴四边形是平行四边形
∵梯形中，，，
∴四边形是等腰梯形
∴
∵同理可得，是的中位线
∴
∴
∴四边形是菱形；
（2）解：如图所示，延长交于点M，
∵，，
∴，，
∵
∴，
又∵
∴
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴四边形是正方形
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形
∴，即
∴．
∴四边形的面积为8．
【解析】【分析】（1）根据题意先求出四边形是平行四边形，再利用菱形的判定方法证明即可；
（2）利用全等三角形的判定方法求出△AEH≌△BEM，再求出四边形是正方形，最后利用勾股定理计算求解即可。
47．（2023八下·黄浦期末）如图，平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，．
（1）求的面积．
（2）点是轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：对于直线，
令得到，令，得到，
∴，，
∴，，
∴．
（2）满足条件的Q点的坐标为：或或或．
【解析】【解答】解：（2）∵OA=2，OB =，
∴AB =，
①当AB为菱形的边时：
如下图所示：
∵四边形ABP1Q1是菱形，
∴AQ1// BP1，AQ1= BA，
∴点Q(2，4)；
如下图所示：
∵四边形ABP2Q2是菱形，
∴AQ2//BP2，AQ2=BA，
∴点Q2(2，-4)；
如下图所示：
∵四边形ABQ3P3是菱形，
∴Q3O=AO，
∴点Q3(-2，0)；
②当 AB 为菱形的对角线时：
如下图所示：
∵四边形AP4BQ4是菱形，
设点Q4(2，m)，
∵Q4B=Q4A，
∴，
解得：，
∴点Q4的坐标为，
综上所述： 满足条件的Q点的坐标为：或或或．
【分析】（1）根据题意先求出 ，， 再求出 ，， 最后利用三角形的面积公式计算求解即可；
（2）分类讨论，结合图形，利用菱形的性质和勾股定理计算求解即可。
48．（2023八下·颍州期末）我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
平均分分 中位数分 众数分 方差（）
初中部
高中部
（1）根据图示计算出、、的值；
（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
（3）计算初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
【答案】（1）解：初中名选手的平均分分，
由条形图中的数据可知初中部分数出现次数最多的是分，故众数，
高中名选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数；
（2）解：由表格可知初中部与高中部的平均分相同，初中部的中位数高，
故初中部决赛成绩较好；
（3）解：，
∵，
∴初中代表队选手成绩比较稳定．
【解析】【分析】（1）从条形统计图中可以读出初中5名选手的得分，再计算他们的平均分就是a的值；再从数据中根据众数的定义找出众数，就是b的值；再结合条形统计图中读出高中5名选手的成绩，找出中位数就是c的值；
（2）结合（1）的结论，从统计表中可以知道初中部和高中部的平均数和中位数，通过比较，进行分析，哪个对应的值高，成绩就比较好；
（3）根据条形统计图中的数据，根据方差的计算公式，求出初中部的方差，然后与高中部的方差进行比较，哪个对应值小，哪个成绩稳定。
49．（2023八下·丰满期末） 如图，在△ABC中，点P是边AC上一个动点，过点P作直线l∥AB. 设直线l交∠DAC的平分线于点M，交∠BAC的平分线于点N.
（1）求证PM=PN；
（2）若AN=2，AM=1，求MN的值；
（3）当点P为AC的中点时，连接CM，CN，判断四边形ANCM的形状，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵l∥AB，
∴∠PMA=∠DAM.
∵AM平分∠DAP，
∴∠DAM=∠PAM.
∴∠PMA=∠PAM.
∴PM=PA .
同理可证PN=PA.
∴PM=PN；
（2）解：∵AM，AN分别是∠DAP，∠BAP平分线，
∴∠DAP=2∠PAM，∠BAP=2∠PAN.
∵∠DAP+∠BAP=180°，∴2∠PAM+2∠PAN=180°.
∴∠PAM+∠PAN=90°. ∴∠MAN=90°.
在Rt△MAN中，根据勾股定理，MN2=AM2+AN2=12+22=5.
∴
（3）解：四边形ANCM是矩形. 理由如下：
∵点P为AC的中点，∴PA=PC.
又∵PM=PN，∴四边形ANCM为平行四边形.
∵∠MAN=90°，∴平行四边形ANCM为矩形.
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线计算求解即可；
（2）根据角平分线求出 ∠DAP=2∠PAM，∠BAP=2∠PAN，再求出 2∠PAM+2∠PAN=180°，最后计算求解即可；
（3）根据线段的中点求出PA=PC，再求出四边形ANCM为平行四边形，最后根据矩形的判定方法证明求解即可。
50．（2023八下·湘桥期末）如图，正方形的边长为6，点是的中点，连接与对角线交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，连接.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求线段的长.
【答案】（1）证明：证明：
∵四边形是边长为6的正方形，
点是的中点，
∴，
°，
∴
∴
（2）证明：在正方形中
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴
（3）解：∵，
，
°，
∴，
∴，
∵，
在
∴，
∴
∵，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△ABE≌△DCE，可得；
（2）先证，可得，由三角形外角的性质可得=90°，继而得解；
（3）先证，可得，在中，由勾股定理求出DE=，即得CF=，由求出CH的长，利用FH=CF-CH即可求解.
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