第2节 简谐运动的描述(赋能课精细培优科学思维)
课标要求 学习目标
能用公式和图像描述简谐运动。 1.知道振幅、周期和频率的概念,知道全振动的含义。 2.了解初相位和相位差的概念以及相位的物理意义。 3.知道简谐运动的表达式及各物理量的物理意义。 4.能依据简谐运动的表达式描绘振动图像,会根据简谐运动图像写出其表达式。
一、振幅 周期和频率
1.振幅
(1)定义:振动物体离开平衡位置的 。
(2)符号和单位:振幅是表示振动幅度大小的物理量,常用字母 表示,单位为米。
(3)振动物体的运动范围: 的两倍。
2.周期和频率
周期(T) 频率(f)
定义 做简谐运动的物体完成一次 所需要的时间 物体完成 的次数与所用时间之比
单位 (s) 赫兹(Hz)
物理含义 表示物体 的物理量
关系式 f=
[微点拨]
(1)振幅是标量,没有负值,也无方向,它等于振子最大位移的大小。
(2)圆频率:ω==2πf,也表示简谐运动的快慢。
[质疑辨析]
判断下列说法是否正确。
(1)振幅就是指振子的位移。 ( )
(2)振幅就是指振子的路程。 ( )
(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程。 ( )
(4)振子完成一次全振动的路程等于振幅的4倍。 ( )
二、相位 简谐运动的表达式
1.简谐运动的数学表达式:x=Asin(ωt+φ)。
2.表达式中各量的物理意义
(1)A表示简谐运动的 。
(2)ω表示简谐运动的 。
(3) 叫作相位。
(4) 叫作初相位或初相。
(5)相位差:两个具有相同频率的简谐运动的 之差。
[质疑辨析]
判断下列说法是否正确。
(1)简谐运动表达式x=Asin(ωt+φ)中,ωt是相位,φ是初相位。 ( )
(2)简谐运动表达式x=Asin(ωt+φ)中,ω表示振动的快慢,ω越大,振动的周期越小。 ( )
(3)简谐运动xa=Asin(ωt)和简谐运动xb=Asin(ωt+)的相位差是。 ( )
强化点(一) 描述简谐运动的物理量
任务驱动
如图所示为理想弹簧振子,O为它的平衡位置,将振子拉到A点由静止释放,观察振子的振动;然后将振子拉到B点由静止释放,再观察振子的振动。
(1)两次振动有什么差别 用什么物理量来描述这种差别
(2)用秒表分别记录完成50次往复运动所用的时间,两种情况下是否相同 每完成一次往复运动所用时间是否相同 这个时间有什么物理意义
[要点释解明]
1.对全振动的理解
正确理解全振动的概念,应注意把握全振动的五种特征:
振动特征 一个完整的振动过程
物理量 特征 位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同
时间特征 历时一个周期
路程特征 振幅的4倍
相位特征 增加2π
2.简谐运动中振幅和几个常见量的关系
(1)振幅和振动系统能量的关系:对一个确定的振动系统来说,系统能量仅由振幅决定,振幅越大,振动系统能量越大。
(2)振幅与位移的关系
①在同一简谐运动中振幅是不变的,而位移却时刻变化。
②振幅是标量,位移是矢量,位移的方向是由平衡位置指向振动物体所在位置。
③振幅在数值上等于位移的最大值。
(3)振幅与路程的关系:振动中的路程是标量,随时间不断增大。其中常用的定量关系是:一个周期内的路程为4倍的振幅,半个周期内的路程为2倍的振幅。
(4)振幅与周期的关系:在简谐运动中,一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关。
[典例] 弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C两点之间做简谐运动,B、C相距20 cm。某时刻振子处于O点正向右运动。经过0.5 s,振子首次到达B点,取向右为正方向,求:
(1)振动的频率f和振幅A;
(2)振子在5.5 s内通过的路程及位移。
尝试解答:
[思维建模]
振动物体路程的计算方法
(1)振动物体在一个周期内通过的路程一定为四倍振幅,则在n个周期内通过的路程必为n·4A。
(2)振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅。
(3)振动物体在内通过的路程可能等于振幅,还可能大于或小于振幅,只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时,内通过的路程才等于振幅。
[题点全练清]
1.(2025·上海阶段练习)关于机械振动的周期、频率和振幅,下列说法正确的是 ( )
A.振幅是矢量,方向是从平衡位置指向最大位移处
B.周期和频率的乘积可以变化
C.振幅增大,周期也必然增大,而频率减小
D.做简谐运动的物体其周期和频率是一定的,与振幅无关
2.关于描述简谐运动的物理量,下列说法正确的是 ( )
A.振幅等于振动物体在四分之一个周期内通过的路程
B.周期是指振动物体从任一位置出发又回到这个位置所用的时间
C.一个全振动过程中,振子的位移大小等于振幅的四倍
D.频率是50 Hz时,1 s内振动物体速度方向改变100次
3.(2025·河北邯郸阶段练习)一质点做简谐运动的图像如图所示,下列说法正确的是 ( )
A.质点的振幅是4 cm
B.0~10 s内,质点经过的路程是20 cm
C.在t=4 s时,质点的速度为0
D.在t=1 s和t=3 s两时刻,质点的位移相同
强化点(二) 描述简谐运动的表达式
[要点释解明]
1.简谐运动的表达式:x=Asin(ωt+φ)
式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移;t表示振动的时间;A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离,即振幅。
2.简谐运动的两种描述方法
(1)图像描述法:简谐运动图像即x-t图像是直观表示质点振动情况的一种手段,直观表示了质点的位移x随时间t变化的规律。
(2)表达式描述法:x=Asin(ωt+φ)是用函数表达式的形式反映质点的振动情况。
两者对同一个简谐运动的描述应该是一致的。我们要能够做到两个方面:一是根据振动方程作出振动图像,二是根据振动图像读出振幅、周期、初相,进而写出位移的函数表达式。
[典例] (2025·天津西青期末)如图甲所示,一个轻质弹簧下端挂一小球,小球静止。现将小球向下拉动距离A由静止释放并开始计时,小球在竖直方向做简谐运动,周期为T,振动图像如图乙所示。下列说法正确的是 ( )
A.该弹簧振子的振幅为2A
B.经时间,小球向上运动的距离等于
C.时刻,小球的动能最大
D.如果A少量增大,周期T也将增大
听课记录:
[变式拓展] (多选)对应[典例]的情境,下列说法正确的是 ( )
A.振动方程为y=Asin
B.振动方程为y=Asin
C.初相为π
D.初相为
[题点全练清]
1.某质点做简谐运动,其位移随时间变化的关系式为x=3sincm,则下列说法正确的是 ( )
A.质点的振幅为3 m
B.质点的振动周期为 s
C.t=0.75 s时,质点到达距平衡位置最远处
D.质点前2 s内的位移为-4.5 cm
2.(2025·江苏徐州开学考试)一水平弹簧振子以O点为平衡位置,在A、B两点之间做简谐
运动,如图所示为该弹簧振子的振动图像,求:
(1)该振子振动的周期和振幅;
(2)该振子做简谐运动的表达式;
(3)该振子在100 s内通过的路程。
强化点(三) 简谐运动的周期性与对称性
[典例] (2025·贵阳阶段练习)(多选)一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动,若从O点开始计时,经过3 s质点第一次经过M点,再继续运动,又经过2 s它第二次经过M点,质点的振动周期可能是 ( )
A. s B.4 s
C.8 s D.16 s
听课记录:
[思维建模型]
简谐运动是一种周期性的运动,简谐运动的物理量随时间周期性变化,如图所示,物体在A、B两点间做简谐运动,O点为平衡位置,OC=OD。
(1)时间的对称
①物体来回通过相同两点间的时间相等,即tDB=tBD。
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段路程的时间相等,图中tDB=tBD=tCA=tAC,tOD=tDO=tOC=tCO。
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等、方向相反。
②物体经过关于平衡位置对称的两点(如C点与D点)时,速度大小相等,方向可能相同,也可能相反。
(3)位移的对称
①物体经过同一点(如C点)时,位移相同。
②物体经过关于平衡位置对称的两点(如C点与D点)时,位移大小相等、方向相反。
[题点全练清]
1.(2025·江苏徐州阶段练习)一位游客在风景秀丽的湖边欲乘坐游船,由于有些风浪,游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动,振幅为20 cm,周期为6.0 s。当船上升到平衡位置时,甲板刚好与码头地面平齐。甲板在地面上下浮动不超过10 cm时,游客能舒服地登船。则在一个周期内,游客能舒服登船的时间是 ( )
A.0.5 s B.0.75 s
C.1.0 s D.2.0 s
2.如图所示,沿水平方向做简谐运动的质点,振幅为0.1 m,依次通过相距0.2 m的A、B两点。质点经过A点时开始计时,t1=1 s时经过B点,t2=3 s时也刚好经过B点,则该振动的周期可能是 ( )
A.1.8 s B.1 s
C.0.4 s D. s
第2节 简谐运动的描述
课前预知教材
一、1.(1)最大距离 (2)A (3)振幅
2．全振动 全振动 秒 振动快慢
[质疑辨析]
(1)× (2)× (3)× (4)√
二、2.(1)振幅 (2)圆频率 (3)ωt＋φ (4)φ (5)相位
[质疑辨析]
(1)× (2)√ (3)√
课堂精析重难
强化点(一)
[任务驱动] 提示：(1)第二次振动的幅度比第一次振动的幅度大，用振幅来描述振动幅度的大小。
(2)两种情况下所用的时间是相同的。每完成一次往复运动所用的时间是相同的。这个时间表示振动的快慢。
[典例] 解析：(1)由题意可知BC＝2A＝20 cm，所以A＝10 cm
振子从O到B所用时间t＝0.5 s，为周期T的，
所以T＝2.0 s，f＝＝0.5 Hz。
(2)振子从平衡位置开始运动，在1个周期内通过的路程为4A，故在t′＝5.5 s＝T内通过的路程s＝×4A＝110 cm
5．5 s内振子振动了个周期，所以5.5 s末振子到达C点，位移为－10 cm。
答案：(1)0.5 Hz 10 cm (2)110 cm －10 cm
[题点全练清]
1．选D 振幅是标量，故A错误；由于周期与频率互成倒数，则周期和频率的乘积为1保持不变，故B错误；做简谐运动的物体其周期和频率是一定的，与振幅无关，所以振幅增大，周期和频率保持不变，故C错误，D正确。
2．选D 振动物体只有从平衡位置或最大位移处开始四分之一个周期内通过的路程才等于振幅，从其他位置四分之一个周期内通过的路程不等于振幅，A错误；周期指发生一次全振动所用的时间，B错误；一个全振动过程中，振子位移为0，C错误；振动物体在一个周期内速度方向改变2次，频率为50 Hz时，1 s内振动物体速度方向改变100次，D正确。
3．选B 由题图可知，质点的振幅是2 cm，故A错误；由题图可知，质点的周期为T＝4 s，每个周期质点经过的路程为4A，可知0～10 s内，质点经过的路程是s＝×4A＝20 cm，故B正确；在t＝4 s时，质点位于平衡位置，速度最大，故C错误；在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点的位移大小相等、方向相反，即位移不相同，故D错误。
强化点(二)
[典例] 选C 由题图乙可知，该弹簧振子的振幅为A，故A错误；0～时间内小球的平均速度小于～时间内的平均速度，故经时间小球向上运动的距离小于，故B错误；时刻，小球位于平衡位置，速度最大，动能最大，故C正确；弹簧振子的周期与振幅无关，所以如果A少量增大，周期T不变，故D错误。
[变式拓展] 选BD t＝0时，小球的位移为－A，则由Asin φ＝－A，解得φ＝，振动方程为y＝Asin，初相为，故B、D正确。
[题点全练清]
1．选D 根据位移随时间变化的关系式x＝3sincm，可知质点的振幅为A＝3 cm，质点的振动周期为T＝＝ s＝3 s，故A、B错误；t＝0.75 s时，质点的位移为x＝3sincm＝0，可知此时质点刚好到达平衡位置，故C错误；t＝0时，质点的位移为x0＝3sincm＝3 cm，t＝2 s时，质点的位移为x2＝3sincm＝－1.5 cm，则质点前2 s内的位移为Δx＝x2－x0＝－4.5 cm，D正确。
2．解析：(1)由题图可知，该振子振动的周期和振幅分别为T＝4 s，A＝5 cm。
(2)圆频率为ω＝＝0.5π rad/s，t＝0时，该振子从平衡位置开始振动，初相位为零，则该振子做简谐运动的表达式为x＝5sin(0.5πt) cm。
(3)t＝100 s＝25T，该振子在100 s内通过的路程是s＝25×4A＝500 cm。
答案：(1)4 s 5 cm (2)x＝5sin(0.5πt) cm (3)500 cm
强化点(三)
[典例] 选AD 若质点的运动路线如图1所示，则有3 s＋×2 s＝T，解得周期为T＝ s；若质点的运动路线如图2所示，则有3 s＋×2 s＝T，解得周期为T＝16 s。故选A、D。
[题点全练清]
1．选D 把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，当游船上升到最高点时开始计时，其振动方程为y＝Acos，代入数据得y＝20cos cm，当y＝±10 cm时，解得t1＝1.0 s、t2＝2.0 s，故在一个周期内，游客能舒服登船的时间是t′＝2＝2.0 s，故选D。
2．选C 由题意可知，A、B两点均是最大位移位置，设振动周期为T1，在0～t1时间内，根据简谐运动的周期性有＋nT1＝1 s(n＝0，1,2，…)，在t1～t2时间内根据简谐运动的周期性有n′T1＝2 s(n′＝1,2，…)，解得T1＝ s(n＝0,1,2，…)，当n＝2时，T1＝0.4 s，故选C。
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简谐运动的描述
第2节
课标要求 学习目标
能用公式和图像描述简谐运动。 1.知道振幅、周期和频率的概念，知道全振动的含义。
2.了解初相位和相位差的概念以及相位的物理意义。
3.知道简谐运动的表达式及各物理量的物理意义。
4.能依据简谐运动的表达式描绘振动图像，会根据简谐运动图像写出其表达式。
课前预知教材
课堂精析重难
01
02
CONTENTS
目录
课时跟踪检测
03
课前预知教材
一、振幅 周期和频率
1.振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的__________。
(2)符号和单位：振幅是表示振动幅度大小的物理量，常用字母____表示，单位为米。
(3)振动物体的运动范围：______的两倍。
最大距离
A
振幅
2.周期和频率
周期(T) 频率(f)
定义 做简谐运动的物体完成一次_______所需要的时间 物体完成________的次数与所用时间之比
单位 ____(s) 赫兹(Hz)
物理含义 表示物体___________的物理量
关系式 f=_____
全振动
全振动
秒
振动快慢
[微点拨]
(1)振幅是标量，没有负值，也无方向，它等于振子最大位移的大小。
(2)圆频率：ω==2πf，也表示简谐运动的快慢。
[质疑辨析]
判断下列说法是否正确。
(1)振幅就是指振子的位移。 ( )
(2)振幅就是指振子的路程。 ( )
(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程。( )
(4)振子完成一次全振动的路程等于振幅的4倍。 ( )
×
×
×
√
二、相位 简谐运动的表达式
1.简谐运动的数学表达式：x=Asin(ωt+φ)。
2.表达式中各量的物理意义
(1)A表示简谐运动的______。
(2)ω表示简谐运动的_______。
(3)_____ 叫作相位。
(4)___ 叫作初相位或初相。
(5)相位差：两个具有相同频率的简谐运动的_____之差。
振幅
圆频率
ωt+φ
φ
相位
[质疑辨析]
判断下列说法是否正确。
(1)简谐运动表达式x=Asin(ωt+φ)中，ωt是相位，φ是初相位。 ( )
(2)简谐运动表达式x=Asin(ωt+φ)中，ω表示振动的快慢，ω越大，振动的周期越小。 ( )
(3)简谐运动xa=Asin(ωt)和简谐运动xb=Asin(ωt+)的相位差是。 ( )
×
√
√
课堂精析重难
如图所示为理想弹簧振子，O为它的平衡位置，将振子拉到A点由静止释放，观察振子的振动;然后将振子拉到B点由静止释放，再观察振子的振动。
任务驱动
强化点(一) 描述简谐运动的物理量
(1)两次振动有什么差别 用什么物理量来描述这种差别
提示：第二次振动的幅度比第一次振动的幅度大，用振幅来描述振动幅度的大小。
(2)用秒表分别记录完成50次往复运动所用的时间，两种情况下是否相同 每完成一次往复运动所用时间是否相同 这个时间有什么物理意义
提示：两种情况下所用的时间是相同的。每完成一次往复运动所用的时间是相同的。这个时间表示振动的快慢。
1.对全振动的理解
正确理解全振动的概念，应注意把握全振动的五种特征：
要点释解明
振动特征 一个完整的振动过程
物理量特征 位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同
时间特征 历时一个周期
路程特征 振幅的4倍
相位特征 增加2π
2.简谐运动中振幅和几个常见量的关系
(1)振幅和振动系统能量的关系：对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定，振幅越大，振动系统能量越大。
(2)振幅与位移的关系
①在同一简谐运动中振幅是不变的，而位移却时刻变化。
②振幅是标量，位移是矢量，位移的方向是由平衡位置指向振动物体所在位置。
③振幅在数值上等于位移的最大值。
(3)振幅与路程的关系：振动中的路程是标量，随时间不断增大。其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍的振幅，半个周期内的路程为2倍的振幅。
(4)振幅与周期的关系：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。
[典例] 弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距20 cm。某时刻振子处于O点正向右运动。经过0.5 s，振子首次到达B点，取向右为正方向，求：
(1)振动的频率f和振幅A;
[答案] 0.5 Hz 10 cm
[解析] 由题意可知BC=2A=20 cm，所以A=10 cm
振子从O到B所用时间t=0.5 s，为周期T的，
所以T=2.0 s，f==0.5 Hz。
(2)振子在5.5 s内通过的路程及位移。
[答案] 110 cm -10 cm
[解析] 振子从平衡位置开始运动，在1个周期内通过的路程为4A，故在t'=5.5 s=T内通过的路程
s=×4A=110 cm
5.5 s内振子振动了个周期，所以5.5 s末振子到达C点，位移为-10 cm。
[思维建模]
振动物体路程的计算方法
(1)振动物体在一个周期内通过的路程一定为四倍振幅，则在n个周期内通过的路程必为n·4A。
(2)振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅。
(3)振动物体在内通过的路程可能等于振幅，还可能大于或小于振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，内通过的路程才等于振幅。
1.(2025·上海阶段练习)关于机械振动的周期、频率和振幅，下列说法正确的是 ( )
A.振幅是矢量，方向是从平衡位置指向最大位移处
B.周期和频率的乘积可以变化
C.振幅增大，周期也必然增大，而频率减小
D.做简谐运动的物体其周期和频率是一定的，与振幅无关
题点全练清
√
解析：振幅是标量，故A错误;由于周期与频率互成倒数，则周期和频率的乘积为1保持不变，故B错误;做简谐运动的物体其周期和频率是一定的，与振幅无关，所以振幅增大，周期和频率保持不变，故C错误，D正确。
2.关于描述简谐运动的物理量，下列说法正确的是 ( )
A.振幅等于振动物体在四分之一个周期内通过的路程
B.周期是指振动物体从任一位置出发又回到这个位置所用的时间
C.一个全振动过程中，振子的位移大小等于振幅的四倍
D.频率是50 Hz时，1 s内振动物体速度方向改变100次
√
解析：振动物体只有从平衡位置或最大位移处开始四分之一个周期内通过的路程才等于振幅，从其他位置四分之一个周期内通过的路程不等于振幅，A错误;周期指发生一次全振动所用的时间，B错误;一个全振动过程中，振子位移为0，C错误;振动物体在一个周期内速度方向改变2次，频率为50 Hz时，1 s内振动物体速度方向改变100次，D正确。
3.(2025·河北邯郸阶段练习)一质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是 ( )
A.质点的振幅是4 cm
B.0~10 s内，质点经过的路程是20 cm
C.在t=4 s时，质点的速度为0
D.在t=1 s和t=3 s两时刻，质点的位移相同
√
解析：由题图可知，质点的振幅是2 cm，故A错误;由题图可知，质点的周期为T=4 s，每个周期质点经过的路程为4A，可知0~10 s内，质点经过的路程是s=×4A=20 cm，故B正确;在t=4 s时，质点位于平衡位置，速度最大，故C错误;在t=1 s和t=3 s两时刻，质点的位移大小相等、方向相反，即位移不相同，故D错误。
1.简谐运动的表达式：x=Asin(ωt+φ)
式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移;t表示振动的时间;A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅。
2.简谐运动的两种描述方法
(1)图像描述法：简谐运动图像即x t图
像是直观表示质点振动情况的一种手段，直
观表示了质点的位移x随时间t变化的规律。
要点释解明
强化点(二) 描述简谐运动的表达式
(2)表达式描述法：x=Asin(ωt+φ)是用函数表达式的形式反映质点的振动情况。
两者对同一个简谐运动的描述应该是一致的。我们要能够做到两个方面：一是根据振动方程作出振动图像，二是根据振动图像读出振幅、周期、初相，进而写出位移的函数表达式。
[典例] (2025·天津西青期末)如图甲所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止。现将小球向下拉动距离A由静止释放并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为T，振动图像如图乙所示。下列说法正确的是 ( )
A.该弹簧振子的振幅为2A
B.经时间，小球向上运动的距离等于
C.时刻，小球的动能最大
D.如果A少量增大，周期T也将增大
√
[解析] 由题图乙可知，该弹簧振子的振幅为A，故A错误;0~时间内小球的平均速度小于~时间内的平均速度，故经时间小球向上运动的距离小于，故B错误;时刻，小球位于平衡位置，速度最大，动能最大，故C正确;弹簧振子的周期与振幅无关，所以如果A少量增大，周期T不变，故D错误。
[变式拓展] (多选)对应[典例]的情境，下列说法正确的是 ( )
A.振动方程为y=Asin
B.振动方程为y=Asin
C.初相为π
D.初相为
√
√
[解析] t=0时，小球的位移为-A，则由Asin φ=-A，解得φ=，振动方程为y=Asin，初相为，故B、D正确。
1.某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x=3sincm，则下列说法正确的是( )
A.质点的振幅为3 m
B.质点的振动周期为 s
C.t=0.75 s时，质点到达距平衡位置最远处
D.质点前2 s内的位移为-4.5 cm
题点全练清
√
解析：根据位移随时间变化的关系式x=3sincm，可知质点的振幅为A=3 cm，质点的振动周期为T== s=3 s，故A、B错误;t= 0.75 s时，质点的位移为x=3sincm=0，可知此时质点刚好到达平衡位置，故C错误;t=0时，质点的位移为x0=3sincm= 3 cm，t=2 s时，质点的位移为x2=3sincm=-1.5 cm，则质点前2 s内的位移为Δx=x2-x0=-4.5 cm，D正确。
2.(2025·江苏徐州开学考试)一水平弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，如图所示为该弹簧振子的振动图像，求：
(1)该振子振动的周期和振幅;
答案：4 s 5 cm
解析：由题图可知，该振子振动的周期和振幅分别为T=4 s，A=5 cm。
(2)该振子做简谐运动的表达式;
答案：x=5sin(0.5πt) cm
解析：圆频率为ω==0.5π rad/s，t=0时，该振子从平衡位置开始振动，初相位为零，则该振子做简谐运动的表达式为x=5sin(0.5πt) cm。
(3)该振子在100 s内通过的路程。
答案：500 cm
解析：t=100 s=25T，该振子在100 s内通过的路程是s=25×4A=500 cm。
[典例] (2025·贵阳阶段练习)(多选)一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3 s质点第一次经过M点，再继续运动，又经过2 s它第二次经过M点，质点的振动周期可能是 ( )
A. s B.4 s
C.8 s D.16 s
强化点(三) 简谐运动的周期性与对称性
√
√
[解析] 若质点的运动路线如图1所示，则有3 s+×2 s=T，解得周期为T= s;若质点的运动路线如图2所示，则有3 s+×2 s=T，解得周期为T=16 s。故选A、D。
简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC=OD。
思维建模型
(1)时间的对称
①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB=tBD。
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段路程的时间相等，图中tDB=tBD=tCA=tAC，tOD=tDO=tOC=tCO。
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等、方向相反。
②物体经过关于平衡位置对称的两点(如C点与D点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
(3)位移的对称
①物体经过同一点(如C点)时，位移相同。
②物体经过关于平衡位置对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等、方向相反。
1.(2025·江苏徐州阶段练习)一位游客在风景秀丽的湖边欲乘坐游船，由于有些风浪，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为6.0 s。当船上升到平衡位置时，甲板刚好与码头地面平齐。甲板在地面上下浮动不超过10 cm时，游客能舒服地登船。则在一个周期内，游客能舒服登船的时间是 ( )
A.0.5 s B.0.75 s
C.1.0 s D.2.0 s
题点全练清
√
解析：把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，当游船上升到最高点时开始计时，其振动方程为y=Acos，代入数据得y=20cos cm，当y=±10 cm时，解得t1=1.0 s、t2=2.0 s，故在一个周期内，游客能舒服登船的时间是t'=2=2.0 s，故选D。
2.如图所示，沿水平方向做简谐运动的质点，振幅为0.1 m，依次通过相距0.2 m的A、B两点。质点经过A点时开始计时，t1=1 s时经过B点，t2=3 s时也刚好经过B点，则该振动的周期可能是 ( )
A.1.8 s B.1 s
C.0.4 s D. s
√
解析：由题意可知，A、B两点均是最大位移位置，设振动周期为T1，在0~t1时间内，根据简谐运动的周期性有+nT1=1 s(n=0，1，2，…)，在t1~t2时间内根据简谐运动的周期性有n'T1=2 s(n'=1，2，…)，解得T1= s(n=0，1，2，…)，当n=2时，T1=0.4 s，故选C。
课时跟踪检测
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1.如图，小球通过弹簧悬挂于天花板上，平衡时，小球停在O点。P点位于O点正下方，OP=5 cm。现将小球拉至P点并由静止释放，经0.5 s运动到O点，此后以O点为对称中心，小球在竖直方向上做简谐运动，则小球的振动周期T和振幅A分别为 ( )
A.T=1 s，A=5 cm B.T=1 s，A=10 cm
C.T=2 s，A=5 cm D.T=2 s，A=10 cm
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解析：将小球拉至P点并由静止释放，小球离开平衡位置O的最大距离即为振幅，则振幅A=OP=5 cm，从最大距离处到平衡位置的时间为T=0.5 s，所以周期为2 s，A、B、D错误，C正确。
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2.(多选)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间振动，不计一切阻力，则 ( )
A.从B→O→C→O→B为一次全振动
B.从O→B→O→C→B为一次全振动
C.从C→O→B→O→C为一次全振动
D.OB不一定等于OC
√
√
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解析：O点为平衡位置，B、C为两侧最远点，则从B→O→C→O→B的路程为振幅的4倍，为一次全振动，A正确;从O→B→O→C→B的路程为振幅的5倍，超过一次全振动，B错误;从C→O→B→O→C的路程为振幅的4倍，为一次全振动，C正确;因弹簧振子的阻力不考虑，所以它的振幅不变，OB一定等于OC，D错误。
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3.一个质点做简谐运动，振幅为4 cm，频率为2.5 Hz，该质点从平衡位置起向正方向运动，经过2.5 s，质点的位移和路程分别是 ( )
A.4 cm 24 cm B.-4 cm 100 cm
C.0 100 cm D.4 cm 100 cm
√
解析：周期T==0.4 s，经过t=2.5 s=6.25T，质点的位移为 4 cm，路程s=6.25×4A=6.25×4×4 cm=100 cm，故选D。
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4.(2025·江苏南通阶段练习)如图甲所示的心电图仪通过一系列的传感手段，可将与人心跳对应的生物电流情况记录在匀速运动的坐标纸上。一台心电图仪测得待检者心电图如图乙所示。医生测量时记下被检者的心率为60次/min，则这台心电图仪输出坐标纸的走纸速度大小为 ( )
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A.20 mm/s B.25 mm/s
C.30 mm/s D.60 mm/s
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解析：心脏每次跳动的时间间隔为T= s=1 s，所以这台心电图仪输出坐标纸的走纸速度大小为v===25 mm/s，故选B。
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5.扬声器是语音和音乐的播放装置，
在生活中无处不在。如图所示是扬声器纸
盆中心做简谐运动的振动图像，下列判断
正确的是 ( )
A.t=3×10-3 s时刻，纸盆中心的位移最小
B.t=2×10-3 s时刻，纸盆中心的加速度最大
C.在0~2×10-3 s之间纸盆中心的速度方向不变
D.纸盆中心做简谐运动的方程为x=1.0×10-4sin(500πt) m
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解析：根据题图可知，t=3×10-3 s时刻，纸盆中心的位移最大，故A错误;t=2×10-3 s时刻，纸盆中心位于平衡位置，加速度为零，故B错误;在0~2×10-3 s之间纸盆中心的速度方向先沿x轴正方向再沿x轴负方向，故C错误;根据题图可得纸盆中心做简谐运动的周期为T=4×10-3 s，振幅A=1×10-4 m，可得纸盆中心做简谐运动的方程为x=Asin=1.0×10-4sin(500πt)m，故D正确。
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6.(2025·江苏徐州阶段练习)如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，在C、D两点之间做简谐运动，O点为平衡位置。振子到达D点开始计时。以竖直向上为正方向，在一个周期内的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是 ( )
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A.振子在O点受到的弹簧弹力等于零
B.振子做简谐运动的表达式为x=10sin cm
C.0.5~1.0 s的时间内，振子通过的路程为5 cm
D.t=0.25 s和t=0.75 s时，振子的速度不同，但加速度大小相等
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解析：振子在O点受力平衡，此时弹簧弹力大小等于振子自身重力大小，故A错误;由题图乙可得，振子的振幅A=5 cm，初相位φ0=-，周期T=2.0 s，则圆频率ω==π rad/s，所以振子做简谐运动的表达式为x=5sincm，故B错误;由题图乙可知，t=0.5 s时刻振子在平衡位置，t=1.0 s时刻振子到达最大位移处，所以在0.5~1.0 s的时间内，振子通过的路程为5 cm，故C正确;根据简谐运动的对称性可知，t=0.25 s和t=0.75 s时，振子的速度相同，加速度大小相等，故D错误。
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7.某弹簧振子在水平方向上做简谐运
动，周期T=1.8 s，它的振动图像如图所示，
图线上的P点对应的时刻为tP，下列说法
正确的是 ( )
A.tP时刻振子的运动方向沿x轴负方向
B.tP=3.3 s
C.0~tP时间内，振子所经过的路程为21 cm
D.0~tP时间内，振子运动的位移为3 cm
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解析：由题图可知，tP时刻振子的运动方向沿x轴正方向，故A错误;由题图可知xP=6cos cm=3 cm，又T1
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8.物体做简谐运动，从最大位移处开始，通过A点时的速度为v，经过4 s后物体第一次以相同的速度通过B点，再经过2 s后物体第二次通过B点，已知物体在6 s内经过的路程为6 cm。则物体运动的周期和振幅分别为 ( )
A.12 s，2 cm B.12 s，3 cm
C.8 s，2 cm D.8 s，3 cm
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解析：简谐运动的对称性可知，物体通过A、B两点速度相同，则A、B两点一定关于平衡位置O对称，从O点到B点的时间为2 s，从B点到位移最大处的时间为1 s，故物体运动的周期为T=4×(2+1)s= 12 s;物体在6 s内经历了半个周期，其路程为6 cm，则2A=6 cm，物体运动的振幅为A=3 cm，故选B。
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9.(2025·贵州贵阳阶段练习)(多选)一个质点经过平衡位置O，在A、B间做简谐运动，如图甲所示，它的振动图像如图乙所示，设向右为正方向，下列说法正确的是 ( )
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A.t=0时质点的加速度最大
B.第0.4 s末质点的加速度方向是B→O
C.第0.7 s末质点距离O点小于2.5 cm
D.从0.1 s到0.3 s，质点运动的路程大于5 cm
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解析：由题图乙可知，t=0时质点处于正向最大位移处，则加速度为负向最大，故A正确;第0.4 s末质点处于负向最大位移处，则加速度正向最大，方向是O→B，故B错误;由题图乙可知，该质点做简谐运动的振动方程为x=5coscm=5coscm，则第0.7 s末质点距离O点x= cm>2.5 cm，故C错误;由以上分析可知，t=0.1 s时质点在距离O点 cm处，t=0.3 s时质点在距离O点- cm处，所以从0.1 s到0.3 s，质点运动的路程为s= cm+=5 cm>5 cm，故D正确。
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10.(2025·湖南长沙阶段练习)(多选)P、Q两
个质点做简谐运动的振动图像如图所示，下列
说法中正确的是 ( )
A.P、Q的振幅之比是2∶1
B.P、Q的振动周期之比是2∶1
C.P、Q在0~1.2 s内经过的路程之比是1∶1
D.t=0.45 s时刻，P、Q的位移大小之比是1∶1
√
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解析：由题图可知，P的振幅为10 cm，Q的振幅为5 cm，则P、Q的振幅之比是2∶1，故A正确;由题图可知，P的振动周期为1.2 s，Q的振动周期为0.6 s，则P、Q的振动周期之比是2∶1，故B正确;在0~1.2 s内，P完成一个周期的振动，则路程为40 cm，Q完成两个周期的振动，则路程也为40 cm，故路程之比是1∶1，故C正确;P和Q两质点做简谐运动的振动方程分别为xP=0.1sinm，xQ=0.05sinm，则在t=0.45 s时刻，P、Q的位移分别为xP=0.05 m，xQ=-0.05 m，则P、Q的位移大小之比是∶1，故D错误。
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11.(12分)如图甲所示，水平杆上的弹簧振子在AB范围内做简谐运动，已知AB间的距离为16 cm，振子从A开始运动到第二次经过O的时间为3 s，不计振子与杆间的摩擦，取向右为正方向，求：
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(1)弹簧振子在6 s内通过的路程是多少 (4分)
答案：48 cm
解析：由振子从A开始运动到第二次经过O的时间为3 s，可知T=3 s，解得T=4 s，
由于t=6 s=1.5T，则弹簧振子在6 s内通过的路程是s=1.5×4A=6× cm=48 cm。
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(2)若从弹簧振子在A处开始计时，弹簧振子在8 s 时的位移是多少 (4分)
答案：-8 cm
解析：由于8 s=2T
则弹簧振子在8 s时仍处于A点，此时位移为-8 cm。
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(3)若从弹簧振子在A处开始计时，请在图乙中作出该振子做简谐运动的x t图像。(4分)
解析：由以上分析可知，该弹簧振子的振动周期为4 s，振幅为8 cm，作出x t图像如图所示。
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12.(14分)如图(a)所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距0.2 m。小球经过B点时开始计时，在第一个周期内的位移x随时间t变化的图像如图(b)所示。
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(1)求小球振动的周期和振幅;(4分)
答案：1.00 s 0.1 m
解析：由题图(b)可知，周期T=1.00 s，振幅A=0.1 m。
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(2)求小球振动的初相位φ0，并根据上述信息写出小球的位移x随时间t变化的函数表达式;(5分)
答案： x=0.1sinm
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解析：设小球的振动方程为x=Asin
由题图(b)可得φ0=
则小球的位移随时间变化的函数表达式为
x=0.1sinm。
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(3)求4.5 s内小球通过的路程及4.5 s末小球的位移。(5分)
答案：1.8 m -0.1 m
解析：t=4.5 s=4.5T，则4.5 s内小球通过的路程s=4.5×4A=1.8 m
4.5 s末小球位于C点，其位移为x=-0.1 m。课时跟踪检测(十) 简谐运动的描述
1.如图,小球通过弹簧悬挂于天花板上,平衡时,小球停在O点。P点位于O点正下方,OP=5 cm。现将小球拉至P点并由静止释放,经0.5 s运动到O点,此后以O点为对称中心,小球在竖直方向上做简谐运动,则小球的振动周期T和振幅A分别为 ( )
A.T=1 s,A=5 cm B.T=1 s,A=10 cm
C.T=2 s,A=5 cm D.T=2 s,A=10 cm
2.(多选)如图所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C间振动,不计一切阻力,则 ( )
A.从B→O→C→O→B为一次全振动
B.从O→B→O→C→B为一次全振动
C.从C→O→B→O→C为一次全振动
D.OB不一定等于OC
3.一个质点做简谐运动,振幅为4 cm,频率为2.5 Hz,该质点从平衡位置起向正方向运动,经过2.5 s,质点的位移和路程分别是 ( )
A.4 cm 24 cm B.-4 cm 100 cm
C.0 100 cm D.4 cm 100 cm
4.(2025·江苏南通阶段练习)如图甲所示的心电图仪通过一系列的传感手段,可将与人心跳对应的生物电流情况记录在匀速运动的坐标纸上。一台心电图仪测得待检者心电图如图乙所示。医生测量时记下被检者的心率为60次/min,则这台心电图仪输出坐标纸的走纸速度大小为 ( )
A.20 mm/s B.25 mm/s
C.30 mm/s D.60 mm/s
5.扬声器是语音和音乐的播放装置,在生活中无处不在。如图所示是扬声器纸盆中心做简谐运动的振动图像,下列判断正确的是 ( )
A.t=3×10-3 s时刻,纸盆中心的位移最小
B.t=2×10-3 s时刻,纸盆中心的加速度最大
C.在0~2×10-3 s之间纸盆中心的速度方向不变
D.纸盆中心做简谐运动的方程为x=1.0×10-4sin(500πt) m
6.(2025·江苏徐州阶段练习)如图甲所示,悬挂在竖直方向上的弹簧振子,在C、D两点之间做简谐运动,O点为平衡位置。振子到达D点开始计时。以竖直向上为正方向,在一个周期内的振动图像如图乙所示,下列说法正确的是 ( )
A.振子在O点受到的弹簧弹力等于零
B.振子做简谐运动的表达式为x=10sin cm
C.0.5~1.0 s的时间内,振子通过的路程为5 cm
D.t=0.25 s和t=0.75 s时,振子的速度不同,但加速度大小相等
7.某弹簧振子在水平方向上做简谐运动,周期T=1.8 s,它的振动图像如图所示,图线上的P点对应的时刻为tP,下列说法正确的是 ( )
A.tP时刻振子的运动方向沿x轴负方向
B.tP=3.3 s
C.0~tP时间内,振子所经过的路程为21 cm
D.0~tP时间内,振子运动的位移为3 cm
8.物体做简谐运动,从最大位移处开始,通过A点时的速度为v,经过4 s后物体第一次以相同的速度通过B点,再经过2 s后物体第二次通过B点,已知物体在6 s内经过的路程为6 cm。则物体运动的周期和振幅分别为 ( )
A.12 s,2 cm B.12 s,3 cm
C.8 s,2 cm D.8 s,3 cm
9.(2025·贵州贵阳阶段练习)(多选)一个质点经过平衡位置O,在A、B间做简谐运动,如图甲所示,它的振动图像如图乙所示,设向右为正方向,下列说法正确的是 ( )
A.t=0时质点的加速度最大
B.第0.4 s末质点的加速度方向是B→O
C.第0.7 s末质点距离O点小于2.5 cm
D.从0.1 s到0.3 s,质点运动的路程大于5 cm
10.(2025·湖南长沙阶段练习)(多选)P、Q两个质点做简谐运动的振动图像如图所示,下列说法中正确的是 ( )
A.P、Q的振幅之比是2∶1
B.P、Q的振动周期之比是2∶1
C.P、Q在0~1.2 s内经过的路程之比是1∶1
D.t=0.45 s时刻,P、Q的位移大小之比是1∶1
11.(12分)如图甲所示,水平杆上的弹簧振子在AB范围内做简谐运动,已知AB间的距离为16 cm,振子从A开始运动到第二次经过O的时间为3 s,不计振子与杆间的摩擦,取向右为正方向,求:
(1)弹簧振子在6 s内通过的路程是多少 (4分)
(2)若从弹簧振子在A处开始计时,弹簧振子在8 s 时的位移是多少 (4分)
(3)若从弹簧振子在A处开始计时,请在图乙中作出该振子做简谐运动的x -t图像。(4分)
12.(14分)如图(a)所示,弹簧振子的平衡位置为O点,在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距0.2 m。小球经过B点时开始计时,在第一个周期内的位移x随时间t变化的图像如图(b)所示。
(1)求小球振动的周期和振幅;(4分)
(2)求小球振动的初相位φ0,并根据上述信息写出小球的位移x随时间t变化的函数表达式;(5分)
(3)求4.5 s内小球通过的路程及4.5 s末小球的位移。(5分)
课时跟踪检测(十)
1．选C 将小球拉至P点并由静止释放，小球离开平衡位置O的最大距离即为振幅，则振幅A＝OP＝5 cm，从最大距离处到平衡位置的时间为T＝0.5 s，所以周期为2 s，A、B、D错误，C正确。
2．选AC O点为平衡位置，B、C为两侧最远点，则从B→O→C→O→B的路程为振幅的4倍，为一次全振动，A正确；从O→B→O→C→B的路程为振幅的5倍，超过一次全振动，B错误；从C→O→B→O→C的路程为振幅的4倍，为一次全振动，C正确；因弹簧振子的阻力不考虑，所以它的振幅不变，OB一定等于OC，D错误。
3．选D 周期T＝＝0.4 s，经过t＝2.5 s＝6.25T，质点的位移为4 cm，路程s＝6.25×4A＝6.25×4×4 cm＝100 cm，故选D。
4．选B 心脏每次跳动的时间间隔为T＝ s＝1 s，所以这台心电图仪输出坐标纸的走纸速度大小为v＝＝＝25 mm/s，故选B。
5．选D 根据题图可知，t＝3×10－3 s时刻，纸盆中心的位移最大，故A错误；t＝2×10－3 s时刻，纸盆中心位于平衡位置，加速度为零，故B错误；在0～2×10－3 s之间纸盆中心的速度方向先沿x轴正方向再沿x轴负方向，故C错误；根据题图可得纸盆中心做简谐运动的周期为T＝4×10－3 s，振幅A＝1×10－4 m，可得纸盆中心做简谐运动的方程为x＝Asin＝1.0×10－4sin(500πt)m，故D正确。
6．选C 振子在O点受力平衡，此时弹簧弹力大小等于振子自身重力大小，故A错误；由题图乙可得，振子的振幅A＝5 cm，初相位φ0＝－，周期T＝2.0 s，则圆频率ω＝＝π rad/s，所以振子做简谐运动的表达式为x＝5sincm，故B错误；由题图乙可知，t＝0.5 s时刻振子在平衡位置，t＝1.0 s时刻振子到达最大位移处，所以在0.5～1.0 s的时间内，振子通过的路程为5 cm，故C正确；根据简谐运动的对称性可知，t＝0.25 s和t＝0.75 s时，振子的速度相同，加速度大小相等，故D错误。
7．选B 由题图可知，tP时刻振子的运动方向沿x轴正方向，故A错误；由题图可知xP＝6cos cm＝3 cm，又T8．选B 由简谐运动的对称性可知，物体通过A、B两点速度相同，则A、B两点一定关于平衡位置O对称，从O点到B点的时间为2 s，从B点到位移最大处的时间为1 s，故物体运动的周期为T＝4×(2＋1)s＝12 s；物体在6 s内经历了半个周期，其路程为6 cm，则2A＝6 cm，物体运动的振幅为A＝3 cm，故选B。
9．选AD 由题图乙可知，t＝0时质点处于正向最大位移处，则加速度为负向最大，故A正确；第0.4 s末质点处于负向最大位移处，则加速度正向最大，方向是O→B，故B错误；由题图乙可知，该质点做简谐运动的振动方程为x＝5coscm＝5coscm，则第0.7 s末质点距离O点x＝ cm>2.5 cm，故C错误；由以上分析可知，t＝0.1 s时质点在距离O点 cm处，t＝0.3 s时质点在距离O点－ cm处，所以从0.1 s到0.3 s，质点运动的路程为s＝ cm＋＝5 cm>5 cm，故D正确。
10．选ABC 由题图可知，P的振幅为10 cm，Q的振幅为5 cm，则P、Q的振幅之比是2∶1，故A正确；由题图可知，P的振动周期为1.2 s，Q的振动周期为0.6 s，则P、Q的振动周期之比是2∶1，故B正确；在0～1.2 s内，P完成一个周期的振动，则路程为40 cm，Q完成两个周期的振动，则路程也为40 cm，故路程之比是1∶1，故C正确；P和Q两质点做简谐运动的振动方程分别为xP＝0.1sinm，xQ＝0.05sinm，则在t＝0.45 s时刻，P、Q的位移分别为xP＝0.05 m，xQ＝－0.05 m，则P、Q的位移大小之比是∶1，故D错误。
11．解析：(1)由振子从A开始运动到第二次经过O的时间为3 s，可知T＝3 s，解得T＝4 s，
由于t＝6 s＝1.5T，则弹簧振子在6 s内通过的路程是s＝1.5×4A＝6× cm＝48 cm。
(2)由于8 s＝2T
则弹簧振子在8 s时仍处于A点，此时位移为－8 cm。
(3)由以上分析可知，该弹簧振子的振动周期为4 s，振幅为8 cm，作出x t图像如图所示。
答案：(1)48 cm (2)－8 cm (3)见解析图
12．解析：(1)由题图(b)可知，周期T＝1.00 s，振幅A＝0.1 m。
(2)设小球的振动方程为x＝Asin
由题图(b)可得φ0＝
则小球的位移随时间变化的函数表达式为
x＝0.1sinm。
(3)t＝4.5 s＝4.5T，则4.5 s内小球通过的路程s＝4.5×4A＝1.8 m
4．5 s末小球位于C点，其位移为x＝－0.1 m。
答案：(1)1.00 s 0.1 m (2) x＝0.1sinm
(3)1.8 m －0.1 m
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