第3节 简谐运动的回复力和能量(强基课逐点理清物理观念)
课标要求 学习目标
认识简谐运动的特征。 1.理解回复力的概念,知道回复力在简谐运动中的特征。 2.会用动力学方法分析简谐运动中位移、回复力、速度、加速度的变化规律。 3.会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子在振动过程中动能、势能、总能量的变化规律。
逐点清(一) 简谐运动的回复力
[多维度理解]
1.回复力
(1)定义:使振动物体回到 位置的力。
(2)表达式:F= ,“-”号表示F与x反向。
(3)方向:总是指向 位置。
(4)作用效果:使振动物体回到平衡位置。
(5)来源:回复力可能由某一个力提供,也可能由几个力的合力提供,还可能由某一个力的分力提供。归纳起来,回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。
(6)对回复力的进一步理解:
①表达式F=-kx中的k指的是由振动系统本身决定的比例系数,而不一定是弹簧的劲度系数。
②简谐运动的加速度的特点:根据牛顿第二定律得a==-x,表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比,加速度方向与位移方向相反。
③简谐运动的回复力与时间的关系:因x=Asin(ωt+φ),故回复力F=-kx=-kAsin(ωt+φ),可见回复力随时间按正弦规律变化。
2.简谐运动:如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成 ,并且总是指向 位置,物体的运动就是简谐运动。
[典例] (选自鲁科版教材“拓展一步”)如图所示,在弹簧下端挂一重物,上端固定在支架上,这就构成了竖直方向的弹簧振子。重物在竖直方向受到弹力和重力作用,这两个力的合力充当弹簧振子的回复力。当重物处于点O时,重力和弹力相互平衡,因此点O是弹簧振子的平衡位置。将重物向下拉一段距离,然后松手,重物便沿竖直方向振动起来。该振动是否为简谐运动
尝试解答:
[思维建模]
判断是否为简谐运动的方法
根据简谐运动的特征进行判断,由此可总结为:
(1)通过对位移的分析,列出位移—时间表达式或利用位移—时间图像是否满足正弦规律来判断。
(2)对物体进行受力分析,求解物体所受力在振动方向上的合力,利用物体所受到的回复力是否满足F=-kx进行判断。
(3)根据运动学知识,分析求解振动物体的加速度,利用简谐运动的运动学特征a=-x进行判断。
[全方位练明]
1.(2025·广东佛山期中)(多选)如图所示为钓鱼时鱼漂静浮于水面的示意图。鱼将鱼漂往下拉一小段距离后松口,鱼漂上下振动,可视为简谐运动,取竖直向上为正方向,以鱼松口释放鱼漂为计时起点,用t、x、a分别表示鱼漂运动的时间、位移和加速度,下列图像可能正确的是 ( )
2.(2025·陕西渭南期中)关于简谐运动的理解,下列说法中正确的是 ( )
A.简谐运动是匀变速运动
B.周期越大,说明物体做简谐运动越快
C.位移减小时,加速度减小,速度增大
D.位移的方向总跟加速度的方向相反,跟速度的方向相同
3.(2025·四川达州期中)如图所示,下列四种场景中的运动一定不是简谐运动的是 ( )
逐点清(二) 简谐运动的能量
[多维度理解]
1.水平弹簧振子的状态与能量的对应关系
弹簧振子运动的过程就是 和 互相转化的过程。
(1)在最大位移处,势能 ,动能 。
(2)在平衡位置处,动能 ,势能 。
(3)在振动的一个周期内,动能和势能完成两次周期性变化。物体的位移减小,势能转化为动能;位移增大,动能转化为势能。
2.简谐运动的能量特点
(1)在弹簧振子运动的任意位置,系统的动能与势能之和都是一定的,遵守 守恒定律。
(2)实际的运动有一定的能量损耗,所以简谐运动是一种理想化的模型。
(3)对于弹簧劲度系数和小球质量都一定的系统, 越大,机械能越大。
[全方位练明]
1.判断下列说法是否正确。
(1)在简谐运动中,振动系统的机械能是守恒的。 ( )
(2)对于水平弹簧振子,运动到平衡位置时,回复力为零,系统能量也为零。 ( )
(3)对于水平弹簧振子,运动到平衡位置时,回复力为零,弹簧的弹力也为零。 ( )
(4)振幅越大的弹簧振子,系统机械能也一定越大。 ( )
2.(2025·陕西宝鸡期末)如图所示,一根轻弹簧上端固定,下端悬挂一个物体。将物体从平衡位置竖直拉下一段距离后由静止释放,物体在竖直方向做简谐运动。设向下为正方向,以下说法中正确的是 ( )
A.弹簧对物体的弹力变小时,物体所受回复力可能变大
B.物体从最高处向最低处运动过程中,振幅先减小后增大
C.物体位移为正时,速度一定也为正,加速度一定为负
D.物体从最低处向最高处运动过程中,物体的动能与弹簧的弹性势能之和一直增大
3.如图所示是一个弹簧振子在0~0.4 s时间内做简谐运动的图像,由图像可知 ( )
A.在0.25~0.3 s时间内,振子受到的回复力越来越小
B.t=0.7 s时,振子的速度最大
C.振子的动能和势能相互转化的周期为0.4 s
D.振子的动能和势能相互转化的周期为0.2 s
逐点清(三) 简谐运动中各物理量的变化规律
[多维度理解]
1.如图所示为水平的弹簧振子示意图。
(1)在小球远离平衡位置过程中,位移增大,回复力、加速度和势能增大,速度和动能减小;在小球衡位置过程中,位移减小,回复力、加速度和势能减小,速度和动能增大。
(2)当小球位于A'到O点之间时,位移方向向左,回复力和加速度方向均向右;当小球位于O到A点之间时,位移方向向右,回复力和加速度方向均向左;A'→O→A过程中,速度方向向右;A→O→A'过程中,速度方向向左。
2.说明:(1)简谐运动中各个物理量对应关系不同。位置不同,则位移不同,加速度、回复力不同,但是速度、动能、势能可能相同,也可能不相同。
(2)在简谐运动中的最大位移处,F、a、Ep最大,Ek=0;在平衡位置处,F=0,a=0,Ep最小,Ek最大。
[典例] (2024·北京高考)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况,以向上为正方向,得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线,如图乙所示。下列说法正确的是 ( )
A.t=0时,弹簧弹力为0
B.t=0.2 s时,手机位于平衡位置上方
C.从t=0至t=0.2 s,手机的动能增大
D.a随t变化的关系式为a=4sin(2.5πt)m/s2
听课记录:
[思维建模]
分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧
(1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时,一定要以位移为桥梁,位移增大时,回复力、加速度、势能均增大,速度、动能均减小;反之,则产生相反的变化。另外,各矢量均在其值为零时改变方向。
(2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时,回复力、加速度、动能、势能可以确定,但速度可能有两个方向,由于周期性,运动时间也不确定。
[全方位练明]
1.如图所示,弹簧振子在B、C两点间做无摩擦的往复运动,O是振子的平衡位置,细杆水平。则振子 ( )
A.从B向O运动过程中动能一直变小
B.从O向C运动过程中加速度一直变小
C.从B经过O向C运动过程中速度一直变大
D.从C经过O向B运动过程中弹性势能先减小后增大
2.一质点做简谐运动,其振动图像如图所示,在t1和t2时刻的位移为x1=x2=7 cm,在t3时刻的位移为x3=-5 cm,以v1、v2、v3和a1、a2、a3分别表示t1、t2、t3时刻质点振动速度大小和加速度大小,则以下关系正确的是 ( )
A.v1=v2>v3 a1=a2>a3
B.v1=v2
C.v1=v2>v3 a1=a2D.v1=v2a3
第3节 简谐运动的回复力和能量
逐点清(一)
[多维度理解]
1．(1)平衡 (2)－kx (3)平衡 2.正比 平衡
[典例] 解析：假设重物所受的重力为G，弹簧的劲度系数为k，重物处于平衡位置时弹簧的伸长量为x1，则G＝kx1
设重物向下偏离平衡位置的位移为x时，弹簧的伸长量为x2，则x＝x2－x1
取竖直向下为正方向，则此时弹簧振子的回复力F＝G－kx2＝kx1－kx2＝－kx
所以，竖直方向的弹簧振子的运动是简谐运动。
答案：见解析
[全方位练明]
1．选BC 依题意，取竖直向上为正方向，以鱼松口释放鱼漂为计时起点，则鱼漂的振动方程为x＝Asin，故C正确，D错误；根据a＝＝－x可知，加速度与位移大小成正比，方向相反，故A错误，B正确。
2．选C 做简谐运动的物体受到的回复力是变力，加速度变化，所以简谐运动不是匀变速运动，A错误；周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量，周期越大，说明物体做简谐运动越慢，B错误；当位移减小时，回复力减小，则加速度减小，物体向平衡位置运动，速度增大，C正确；根据a＝可知，加速度和位移方向相反，但速度与位移方向可能相同，也可能相反，D错误。
3．选C 物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，物体的运动就是简谐运动。C选项图中，物体在两侧斜面上受到的力均为恒力，不与位移的大小成正比，所以一定不是简谐运动，故选C。
逐点清(二)
[多维度理解]
1．动能 势能 (1)最大 为零 (2)最大 为零
2．(1)机械能 (3)振幅
[全方位练明]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)×
2．选A 弹簧对物体的弹力变小时，物体所受回复力可能变大，例如物体从平衡位置向弹簧原长位置运动时，弹力变小，物体所受回复力变大，A正确；物体从最高处向最低处运动过程中，位移先减小后增大，振幅不变，B错误；物体从最低处向平衡位置运动时，位移为正，速度为负，加速度为负，C错误；根据机械能守恒定律，物体从最低处向最高处运动过程中，因为重力势能一直变大，则物体的动能与弹簧的弹性势能之和一直减小，D错误。
3．选D 在0.25～0.3 s时间内，振子的位移增大，受到的回复力越来越大，故A错误；由题图可知，该振子的周期为0.4 s，且t＝0.3 s时振子位移最大，可知t＝0.7 s时，振子的位移也是最大，速度为零，故B错误；动能与势能都是标量，它们变化的周期等于简谐运动周期的一半，所以振子的动能和势能相互转化的周期为0.2 s，故C错误，D正确。
逐点清(三)
[典例] 选D 由题图乙知，t＝0时，手机加速度为0，手机位于平衡位置，由平衡条件得弹簧弹力大小等于手机重力大小，A错误；由题图乙知，t＝0.2 s时，手机的加速度为正值，则手机受到的合力向上，手机位于平衡位置下方，B错误；由题图乙知，从t＝0至t＝0.2 s，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C错误；由题图乙知，装置振动的周期T＝0.8 s，则圆频率ω＝＝2.5π rad/s，则a随t变化的关系式为a＝4sin(2.5πt)m/s2，D正确。
[全方位练明]
1．选D 因O点是平衡位置，则从B向O运动过程中速度一直变大，动能一直变大，A错误；从O向C运动过程中，离开平衡位置的位移变大，回复力变大，则加速度变大，B错误；在平衡位置O时速度最大，则从B经过O向C运动过程中速度先增大后减小，C错误；在平衡位置O时弹性势能为零，则从C经过O向B运动过程中弹性势能先减小后增大，D正确。
2．选D 由题图可知，t1和t2时刻的位移大小相等且大于t3时刻的位移大小，所以t1、t2、t3时刻的势能关系为Ep1＝Ep2＞Ep3，根据机械能守恒定律可知，三个时刻的动能关系为Ek1＝Ek2＜Ek3，则v1＝v2＜v3；加速度大小与质点的位移大小成正比，可知a1＝a2＞a3，故选D。
6 / 6(共69张PPT)
简谐运动的回复力和能量
第 3 节
课标要求 学习目标
认识简谐运动的特征。 1.理解回复力的概念，知道回复力在简谐运动中的特征。
2.会用动力学方法分析简谐运动中位移、回复力、速度、加速度的变化规律。
3.会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子在振动过程中动能、势能、总能量的变化规律。
逐点清(一) 简谐运动的回复力
逐点清(二) 简谐运动的能量
01
02
CONTENTS
目录
逐点清(三) 简谐运动中各物理量的变化规律
课时跟踪检测
03
04
逐点清(一)
简谐运动的回复力
1.回复力
(1)定义：使振动物体回到______位置的力。
(2)表达式：F=_____，“-”号表示F与x反向。
(3)方向：总是指向_____位置。
(4)作用效果：使振动物体回到平衡位置。
多维度理解
平衡
-kx
平衡
(5)来源：回复力可能由某一个力提供，也可能由几个力的合力提供，还可能由某一个力的分力提供。归纳起来，回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。
(6)对回复力的进一步理解：
①表达式F=-kx中的k指的是由振动系统本身决定的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数。
②简谐运动的加速度的特点：根据牛顿第二定律得a==-x，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。
③简谐运动的回复力与时间的关系：因x=Asin(ωt+φ)，故回复力F= -kx=-kAsin(ωt+φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。
2.简谐运动：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成_____，并且总是指向_____位置，物体的运动就是简谐运动。
正比
平衡
[典例] (选自鲁科版教材“拓展一步”)如图所示，在弹簧下端挂一重物，上端固定在支架上，这就构成了竖直方向的弹簧振子。重物在竖直方向受到弹力和重力作用，这两个力的合力充当弹簧振子的回复力。当重物处于点O时，重力和弹力相互平衡，因此点O是弹簧振子的平衡位置。将重物向下拉一段距离，然后松手，重物便沿竖直方向振动起来。该振动是否为简谐运动
[解析] 假设重物所受的重力为G，弹簧的劲度系数为k，重物处于平衡位置时弹簧的伸长量为x1，则G=kx1
设重物向下偏离平衡位置的位移为x时，弹簧的伸长量为x2，则x=x2-x1
取竖直向下为正方向，则此时弹簧振子的回复力F=G-kx2=kx1-kx2=-kx
所以，竖直方向的弹簧振子的运动是简谐运动。
[思维建模]
判断是否为简谐运动的方法
根据简谐运动的特征进行判断，由此可总结为：
(1)通过对位移的分析，列出位移—时间表达式或利用位移—时间图像是否满足正弦规律来判断。
(2)对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受到的回复力是否满足F=-kx进行判断。
(3)根据运动学知识，分析求解振动物体的加速度，利用简谐运动的运动学特征a=-x进行判断。
1.(2025·广东佛山期中)(多选)如图所示为钓鱼时鱼漂静浮于水面的示意图。鱼将鱼漂往下拉一小段距离后松口，鱼漂上下振动，可视为简谐运动，取竖直向上为正方向，以鱼松口释放鱼漂为计时起点，用t、x、a分别表示鱼漂运动的时间、位移和加速度，下列图像可能正确的是 ( )
全方位练明
解析：依题意，取竖直向上为正方向，以鱼松口释放鱼漂为计时起点，则鱼漂的振动方程为x=Asin，故C正确，D错误;根据a== -x可知，加速度与位移大小成正比，方向相反，故A错误，B正确。
√
√
2.(2025·陕西渭南期中)关于简谐运动的理解，下列说法中正确的是 ( )
A.简谐运动是匀变速运动
B.周期越大，说明物体做简谐运动越快
C.位移减小时，加速度减小，速度增大
D.位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同
√
解析：做简谐运动的物体受到的回复力是变力，加速度变化，所以简谐运动不是匀变速运动，A错误;周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量，周期越大，说明物体做简谐运动越慢，B错误;当位移减小时，回复力减小，则加速度减小，物体向平衡位置运动，速度增大，C正确;根据a=可知，加速度和位移方向相反，但速度与位移方向可能相同，也可能相反，D错误。
3.(2025·四川达州期中)如图所示，下列四种场景中的运动一定不是简谐运动的是 ( )
√
解析：物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，物体的运动就是简谐运动。C选项图中，物体在两侧斜面上受到的力均为恒力，不与位移的大小成正比，所以一定不是简谐运动，故选C。
逐点清(二) 简谐运动的能量
1.水平弹簧振子的状态与能量的对应关系
弹簧振子运动的过程就是______和_____互相转化的过程。
(1)在最大位移处，势能_____，动能______。
(2)在平衡位置处，动能______，势能______。
(3)在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。物体的位移减小，势能转化为动能;位移增大，动能转化为势能。
多维度理解
动能
势能
最大
为零
最大
为零
2.简谐运动的能量特点
(1)在弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的，遵守_________守恒定律。
(2)实际的运动有一定的能量损耗，所以简谐运动是一种理想化的模型。
(3)对于弹簧劲度系数和小球质量都一定的系统，______越大，机械能越大。
机械能
振幅
1.判断下列说法是否正确。
(1)在简谐运动中，振动系统的机械能是守恒的。 ( )
(2)对于水平弹簧振子，运动到平衡位置时，回复力为零，系统能量也为零。 ( )
(3)对于水平弹簧振子，运动到平衡位置时，回复力为零，弹簧的弹力也为零。 ( )
(4)振幅越大的弹簧振子，系统机械能也一定越大。 ( )
全方位练明
√
×
×
×
2.(2025·陕西宝鸡期末)如图所示，一根轻弹簧上端固定，下端悬挂一个物体。将物体从平衡位置竖直拉下一段距离后由静止释放，物体在竖直方向做简谐运动。设向下为正方向，以下说法中正确的是 ( )
A.弹簧对物体的弹力变小时，物体所受回复力可能变大
B.物体从最高处向最低处运动过程中，振幅先减小后增大
C.物体位移为正时，速度一定也为正，加速度一定为负
D.物体从最低处向最高处运动过程中，物体的动能与弹簧的弹性势能之和一直增大
√
解析：弹簧对物体的弹力变小时，物体所受回复力可能变大，例如物体从平衡位置向弹簧原长位置运动时，弹力变小，物体所受回复力变大，A正确;物体从最高处向最低处运动过程中，位移先减小后增大，振幅不变，B错误;物体从最低处向平衡位置运动时，位移为正，速度为负，加速度为负，C错误;根据机械能守恒定律，物体从最低处向最高处运动过程中，因为重力势能一直变大，则物体的动能与弹簧的弹性势能之和一直减小，D错误。
3.如图所示是一个弹簧振子在0~0.4 s时间内做简谐运动的图像，由图像可知 ( )
A.在0.25~0.3 s时间内，振子受到的回复力越来越小
B.t=0.7 s时，振子的速度最大
C.振子的动能和势能相互转化的周期为0.4 s
D.振子的动能和势能相互转化的周期为0.2 s
√
解析：在0.25~0.3 s时间内，振子的位移增大，受到的回复力越来越大，故A错误;由题图可知，该振子的周期为0.4 s，且t=0.3 s时振子位移最大，可知t=0.7 s时，振子的位移也是最大，速度为零，故B错误;动能与势能都是标量，它们变化的周期等于简谐运动周期的一半，所以振子的动能和势能相互转化的周期为0.2 s，故C错误，D正确。
逐点清(三) 简谐运动中各物理量的变化规律
1.如图所示为水平的弹簧振子示意图。
(1)在小球远离平衡位置过程中，位移增大，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小;在小球衡位置过程中，位移减小，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大。
多维度理解
(2)当小球位于A'到O点之间时，位移方向向左，回复力和加速度方向均向右;当小球位于O到A点之间时，位移方向向右，回复力和加速度方向均向左;A'→O→A过程中，速度方向向右;A→O→A'过程中，速度方向向左。
2.说明：(1)简谐运动中各个物理量对应关系不同。位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不相同。
(2)在简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek=0;在平衡位置处，F=0，a=0，Ep最小，Ek最大。
[典例] (2024·北京高考)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是 ( )
A.t=0时，弹簧弹力为0
B.t=0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C.从t=0至t=0.2 s，手机的动能增大
D.a随t变化的关系式为a=4sin(2.5πt)m/s2
√
[解析] 由题图乙知，t=0时，手机加速度为0，手机位于平衡位置，由平衡条件得弹簧弹力大小等于手机重力大小，A错误;由题图乙知，t=0.2 s时，手机的加速度为正值，则手机受到的合力向上，手机位于平衡位置下方，B错误;由题图乙知，从t=0至t=0.2 s，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C错误;由题图乙知，装置振动的周期T=0.8 s，则圆频率ω== 2.5π rad/s，则a随t变化的关系式为a=4sin(2.5πt)m/s2，D正确。
[思维建模]
分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧
(1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小;反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。
(2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。
1.如图所示，弹簧振子在B、C两点间做
无摩擦的往复运动，O是振子的平衡位置，
细杆水平。则振子 ( )
A.从B向O运动过程中动能一直变小
B.从O向C运动过程中加速度一直变小
C.从B经过O向C运动过程中速度一直变大
D.从C经过O向B运动过程中弹性势能先减小后增大
全方位练明
√
解析：因O点是平衡位置，则从B向O运动过程中速度一直变大，动能一直变大，A错误;从O向C运动过程中，离开平衡位置的位移变大，回复力变大，则加速度变大，B错误;在平衡位置O时速度最大，则从B经过O向C运动过程中速度先增大后减小，C错误;在平衡位置O时弹性势能为零，则从C经过O向B运动过程中弹性势能先减小后增大，D正确。
2.一质点做简谐运动，其振动图像如图所示，在t1和t2时刻的位移为x1=x2=7 cm，在t3时刻的位移为x3=-5 cm，以v1、v2、v3和a1、a2、a3分别表示t1、t2、t3时刻质点振动速度大小和加速度大小，则以下关系正确的是 ( )
A.v1=v2>v3 a1=a2>a3
B.v1=v2C.v1=v2>v3 a1=a2D.v1=v2a3
√
解析：由题图可知，t1和t2时刻的位移大小相等且大于t3时刻的位移大小，所以t1、t2、t3时刻的势能关系为Ep1=Ep2>Ep3，根据机械能守恒定律可知，三个时刻的动能关系为Ek1=Ek2a3，故选D。
课时跟踪检测
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1.关于简谐运动所受的回复力，下列说法正确的是 ( )
A.回复力一定是弹力
B.回复力大小一定与位移大小成正比，且两者方向相同
C.回复力一定是物体所受的合力，大小与位移成正比，方向与位移方向相反
D.回复力的方向一定指向平衡位置
√
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
解析：回复力不一定是弹力，也不一定是物体所受的合力，故A、C错误;回复力大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，一定指向平衡位置，故B错误，D正确。
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
2.做简谐运动的弹簧振子，当振子的位移为负值时，下列说法中可能正确的是 ( )
A.速度一定为正值，加速度一定为负值
B.速度为零时，加速度最大
C.速度一定为负值，加速度一定为正值
D.速度最大时，加速度为零
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
解析：当振子的位移为负值时，加速度一定为正值，而速度可能为正值，也可能为负值，故A、C错误;当振子到达负向最大位移处时，速度为零，加速度最大，故B正确;当振子的位移为负值时，振子不可能通过平衡位置，速度不可能最大，加速度不可能为零，故D错误。
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
3.(2025·山东泰安阶段练习)弹簧振子做简
谐运动，振子的位移x随时间t的变化如图所示，
下列说法正确的是 ( )
A.弹簧振子的周期为1.6 s，振幅为24 cm
B.t=0.2 s时，振子的回复力方向沿x轴正方向
C.t=0.4 s到t=0.8 s的时间内，振子的速度逐渐增大
D.t=0.8 s到t=1.2 s的时间内，振子的动能逐渐增大
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
解析：根据题图可得弹簧振子的周期为1.6 s，振幅为12 cm，故A错误;t=0.2 s时，振子的位移为正值，由F=-kx可知回复力方向沿x轴负方向，故B错误;振子在位移最大时速度为0，在平衡位置时速度最大，t=0.4 s到t=0.8 s的时间内，振子逐渐衡位置，则振子的速度逐渐增大，故C正确;t=0.8 s到t=1.2 s的时间内，振子逐渐远离平衡位置，其速度逐渐减小，故振子的动能逐渐减小，故D错误。
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
4.(2025·河北邢台期末)如图所示，在上、下两个相同轻弹簧的共同作用下，振子在竖直方向做简谐运动，已知振子的质量为m，振子在最高点时上方弹簧处于原长，振子经过平衡位置时下方弹簧处于原长，重力加速度大小为g，下列说法正确的是 ( )
A.下方弹簧的最大弹力为
B.下方弹簧的最大弹力为mg
C.上方弹簧的最大弹力为
D.上方弹簧的最大弹力为3mg
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
解析：两个轻弹簧完全相同，设劲度系数为k，振子经过平衡位置时下方弹簧处于原长，振子在最高点时上方弹簧处于原长，则振子的振幅为A=，根据对称性可知，下方弹簧的最大弹力为kA=mg，故A错误，B正确;当振子运动到最低点时，上方弹簧的最大弹力为k·2A=2mg，故C、D错误。
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
5.(多选)如图甲所示为以O点为平衡位置、在A点与B点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，下列说法中正确的是 ( )
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
A.在t=0.2 s时，弹簧振子的位移为正向最大
B.在t=0.4 s时，弹簧振子的速度为正向最大
C.从t=0到t=0.2 s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动
D.在t=0.3 s与t=0.5 s两个时刻，弹簧振子的速度相同，加速度也相同
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
解析：在t=0.2 s时，弹簧振子的位移为正向最大，A正确;在t= 0.4 s时，弹簧振子的速度为负向最大，B错误;从t=0到t=0.2 s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动，C正确;在t=0.3 s与t=0.5 s两个时刻，弹簧振子的速度相同，加速度的大小相等、方向相反，D错误。
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
6.如图所示，放在光滑水平面上的弹簧振子，振子质量为m，振子以O为平衡位置，在B和C之间振动，设振子经过平衡位置时的速度为v，则它在由O→B→O→C的整个运动过程中，弹簧弹力对振子所做的功为 ( )
A.2mv2 B.-mv2
C.3mv2 D.mv2
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
解析：由于水平面是光滑的，在整个过程中只有动能和势能的相互转化，振子在O点的初动能为mv2，在C点的末动能为0，根据动能定理可知弹簧弹力对振子所做的功为-mv2。故选B。
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
7.(2025·重庆期末)智能手机
集成了很多传感器，结合相应
APP可应用于物理实验。如图
甲所示，轻质弹簧上端固定，
下端挂有钩码，钩码下表面吸
附一个小磁铁。钩码在竖直方向做简谐运动时，某段时间内，小磁铁正下方的智能手机中的磁传感器采集到磁感应强度随时间变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，下列判断正确的是 ( )
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
A.钩码做简谐运动的周期为t3-t1
B.在t1和t5时刻，钩码的重力势能最大
C.在t2和t4时刻，钩码的动能最大
D.在t2到t4时间内，钩码所受合外力的冲量为零
√
解析：磁铁距离手机最近时，采集到的磁感应强度最大，磁铁距离手机最远时，采集到的磁感应强度最小，根据题图乙可知，钩码做简谐运动的周期为T=2，故A错误;
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
在t1和t5时刻，采集到的磁感应强度最大，表明磁铁距离手机最近，可知在t1和t5时刻，钩码的重力势能最小，故B错误;根据题图乙可知，磁感应强度最大与最小的位置关于t2和t4时刻的位置对称，结合简谐运动的对称性，可知在t2和t4时刻，钩码处于平衡位置，则在t2和t4时刻，钩码的动能最大，故C正确;结合上述分析可知，在t2到t4时间内，钩码先由平衡位置向上运动至最高点，后由最高点向下运动至平衡位置，始末速度方向相反，即始末动量方向相反，根据动量定理可知，钩码所受合外力的冲量不为零，故D错误。
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
8.一弹簧振子的振幅为A，从最大位移处经过时间t0第一次到达平衡位置，若振子从最大位移处经过时的加速度大小和动能分别为a1和E1，若振子从最大位移处经过路程为时的加速度大小和动能分别为a2和E2，则a1、a2和E1、E2的大小关系为( )
A.a1>a2，E1>E2 B.a1E2
C.a1a2，E1√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
解析：弹簧振子从最大位移处往平衡位置运动，速度增大，加速度减小，故时间内运动的路程小于，即其到平衡位置的距离大于A，距离平衡位置越远，加速度越大，速度越小，因此a1>a2，E11
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
9.(多选)如图所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M，若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到振子的上面，物体和振子无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是 ( )
A.振幅不变
B.物体放在振子上面的过程有机械能损失
C.最大速度不变
D.最大速度减小
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
解析：振子运动到B处时将一质量为m的物体放到振子的上面，物体和振子无相对运动而一起运动，离开平衡位置的最大位移不变，所以振幅不变，A正确;物体放在振子上面的过程弹簧伸长量不变，弹性势能不变，动能为零不变，故该过程中机械能不变，振子在平衡位置时速度最大，根据能量守恒定律可知，从最大位移处到平衡位置，弹性势能转化为振子的动能，弹性势能与以前比较未变，但振子的质量变大，所以最大速度变小，D正确，B、C错误。
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
10.如图所示，与地面夹角为θ的光滑斜面顶端固定一垂直斜面的挡板，劲度系数为k的轻弹簧一端固定一个质量为m的小物体，另一端固定在挡板上。物体在平行斜面方向上的A、B两点间做简谐运动，当物体振动到最高点A时，弹簧正好为原长。则物体在向下振动过程中 ( )
A.物体的动能不断增大
B.物体在B点时受的弹力大小为2mgsin θ
C.物体在A、B两点的加速度相同
D.平衡位置处，弹簧的弹性势能和物体的重力势能总和最大
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
解析：物体运动到平衡位置时，动能最大，运动到位置B时，速度为0，动能为0，所以物体在向下振动过程中，物体的动能先增大后减小，故A错误;物体在最高点，有F回=mgsin θ，在最低点时，受力分析可得F-mgsin θ=F回，联立可得F=2mgsin θ，故B正确;物体在A、B两点的加速度等大反向，故C错误;平衡位置处，动能最大，根据能量守恒定律，弹簧的弹性势能和物体的重力势能总和最小，故D错误。
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
11.(12分)如图所示，竖直悬挂的轻弹簧下端系着A、B两物体，mA=0.1 kg，mB=0.1 kg，弹簧的劲度系数为k=40 N/m。剪断A、B间的细绳后，A做简谐运动，不计空气阻力，弹簧始终没有超过弹性限度，g取10 m/s2。求：
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
(1)剪断细绳瞬间的回复力大小;(3分)
答案：1 N
解析：剪断细绳前，弹簧弹力大小为
F弹=mAg+mBg
剪断细绳的瞬间，A做简谐运动的回复力大小为F回=F弹-mAg=mBg=0.1×10 N=1 N。
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
(2)A做简谐运动的振幅;(6分)
答案：0.025 m
解析：由题意可得，剪断细绳瞬间弹簧的形变量为x1=== m=0.05 m
A处于平衡位置时，弹簧的形变量为
x2=== m=0.025 m
根据简谐运动的特点，则A做简谐运动的振幅为A=x1-x2=0.025 m。
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
(3)A在最高点时的弹簧弹力大小。(3分)
答案：0
解析：根据对称性可知，A在最高点时回复力大小等于在最低点时回复力大小，设A在最高点时的弹簧弹力大小为F弹'，则有F弹'+mAg=1 N，解得F弹'=0。
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
12.(14分)(2025·贵州贵阳阶段练习)如图所示，弹簧振子在竖直方向的B、C两点之间做简谐运动。小球位于B点时开始计时，经过1 s首次到达C点。若以小球的平衡位置为坐标原点O，以竖直向下为正方向建立坐标轴Ox，用x表示小球相对于平衡位置的位移。已知B、C两点相距40 cm，弹簧劲度系数k=20 N/m，小球质量m=0.5 kg，取重力加速度g=10 m/s2。
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
(1)请写出小球位移x随时间t变化的关系式;(6分)
答案：x=20sincm
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
解析：根据已知条件，可知小球做简谐运动的振幅为A=20 cm，振动周期T=2 s
根据ω=，可得ω=π rad/s
小球经过B点开始计时，以竖直向下为正方向，则当t=0时，x=A，故φ0=，可得x=20sincm。
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
(2)求7 s内小球通过的路程及7 s末小球位移的大小;(4分)
答案：280 cm 20 cm
解析：从小球经过B点开始计时，t=7 s=3.5T内通过的路程s=3.5×4A=280 cm
小球在7 s内运动3.5个周期，故7 s末位于C点，所以7 s末小球的位移大小为20 cm。
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
(3)求小球运动至C点时，其所受回复力的大小。(4分)
答案：4 N
解析：小球在竖直面内做简谐运动，设其在平衡位置时弹簧的形变量为x0，则有kx0=mg
当小球位于C点时，小球受到重力以及弹簧的弹力，可得F回=mg-k=kA=20×0.2 N=4 N。课时跟踪检测(十一) 简谐运动的回复力和能量
1.关于简谐运动所受的回复力,下列说法正确的是 ( )
A.回复力一定是弹力
B.回复力大小一定与位移大小成正比,且两者方向相同
C.回复力一定是物体所受的合力,大小与位移成正比,方向与位移方向相反
D.回复力的方向一定指向平衡位置
2.做简谐运动的弹簧振子,当振子的位移为负值时,下列说法中可能正确的是 ( )
A.速度一定为正值,加速度一定为负值
B.速度为零时,加速度最大
C.速度一定为负值,加速度一定为正值
D.速度最大时,加速度为零
3.(2025·山东泰安阶段练习)弹簧振子做简谐运动,振子的位移x随时间t的变化如图所示,下列说法正确的是 ( )
A.弹簧振子的周期为1.6 s,振幅为24 cm
B.t=0.2 s时,振子的回复力方向沿x轴正方向
C.t=0.4 s到t=0.8 s的时间内,振子的速度逐渐增大
D.t=0.8 s到t=1.2 s的时间内,振子的动能逐渐增大
4.(2025·河北邢台期末)如图所示,在上、下两个相同轻弹簧的共同作用下,振子在竖直方向做简谐运动,已知振子的质量为m,振子在最高点时上方弹簧处于原长,振子经过平衡位置时下方弹簧处于原长,重力加速度大小为g,下列说法正确的是 ( )
A.下方弹簧的最大弹力为
B.下方弹簧的最大弹力为mg
C.上方弹簧的最大弹力为
D.上方弹簧的最大弹力为3mg
5.(多选)如图甲所示为以O点为平衡位置、在A点与B点间做简谐运动的弹簧振子,图乙为这个弹簧振子的振动图像,下列说法中正确的是 ( )
A.在t=0.2 s时,弹簧振子的位移为正向最大
B.在t=0.4 s时,弹簧振子的速度为正向最大
C.从t=0到t=0.2 s时间内,弹簧振子做加速度增大的减速运动
D.在t=0.3 s与t=0.5 s两个时刻,弹簧振子的速度相同,加速度也相同
6.如图所示,放在光滑水平面上的弹簧振子,振子质量为m,振子以O为平衡位置,在B和C之间振动,设振子经过平衡位置时的速度为v,则它在由O→B→O→C的整个运动过程中,弹簧弹力对振子所做的功为 ( )
A.2mv2 B.-mv2
C.3mv2 D.mv2
7.(2025·重庆期末)智能手机集成了很多传感器,结合相应APP可应用于物理实验。如图甲所示,轻质弹簧上端固定,下端挂有钩码,钩码下表面吸附一个小磁铁。钩码在竖直方向做简谐运动时,某段时间内,小磁铁正下方的智能手机中的磁传感器采集到磁感应强度随时间变化的图像如图乙所示。不计空气阻力,下列判断正确的是 ( )
A.钩码做简谐运动的周期为t3-t1
B.在t1和t5时刻,钩码的重力势能最大
C.在t2和t4时刻,钩码的动能最大
D.在t2到t4时间内,钩码所受合外力的冲量为零
8.一弹簧振子的振幅为A,从最大位移处经过时间t0第一次到达平衡位置,若振子从最大位移处经过时的加速度大小和动能分别为a1和E1,若振子从最大位移处经过路程为时的加速度大小和动能分别为a2和E2,则a1、a2和E1、E2的大小关系为 ( )
A.a1>a2,E1>E2 B.a1E2
C.a1a2,E19.(多选)如图所示,一弹簧振子在A、B间做简谐运动,平衡位置为O,已知振子的质量为M,若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到振子的上面,物体和振子无相对滑动而一起运动,下列说法正确的是 ( )
A.振幅不变
B.物体放在振子上面的过程有机械能损失
C.最大速度不变
D.最大速度减小
10.如图所示,与地面夹角为θ的光滑斜面顶端固定一垂直斜面的挡板,劲度系数为k的轻弹簧一端固定一个质量为m的小物体,另一端固定在挡板上。物体在平行斜面方向上的A、B两点间做简谐运动,当物体振动到最高点A时,弹簧正好为原长。则物体在向下振动过程中 ( )
A.物体的动能不断增大
B.物体在B点时受的弹力大小为2mgsin θ
C.物体在A、B两点的加速度相同
D.平衡位置处,弹簧的弹性势能和物体的重力势能总和最大
11.(12分)如图所示,竖直悬挂的轻弹簧下端系着A、B两物体,mA=0.1 kg,mB=0.1 kg,弹簧的劲度系数为k=40 N/m。剪断A、B间的细绳后,A做简谐运动,不计空气阻力,弹簧始终没有超过弹性限度,g取10 m/s2。求:
(1)剪断细绳瞬间的回复力大小;(3分)
(2)A做简谐运动的振幅;(6分)
(3)A在最高点时的弹簧弹力大小。(3分)
12.(14分)(2025·贵州贵阳阶段练习)如图所示,弹簧振子在竖直方向的B、C两点之间做简谐运动。小球位于B点时开始计时,经过1 s首次到达C点。若以小球的平衡位置为坐标原点O,以竖直向下为正方向建立坐标轴Ox,用x表示小球相对于平衡位置的位移。已知B、C两点相距40 cm,弹簧劲度系数k=20 N/m,小球质量m=0.5 kg,取重力加速度g=10 m/s2。
(1)请写出小球位移x随时间t变化的关系式;(6分)
(2)求7 s内小球通过的路程及7 s末小球位移的大小;(4分)
(3)求小球运动至C点时,其所受回复力的大小。(4分)
课时跟踪检测(十一)
1．选D 回复力不一定是弹力，也不一定是物体所受的合力，故A、C错误；回复力大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，一定指向平衡位置，故B错误，D正确。
2．选B 当振子的位移为负值时，加速度一定为正值，而速度可能为正值，也可能为负值，故A、C错误；当振子到达负向最大位移处时，速度为零，加速度最大，故B正确；当振子的位移为负值时，振子不可能通过平衡位置，速度不可能最大，加速度不可能为零，故D错误。
3．选C 根据题图可得弹簧振子的周期为1.6 s，振幅为12 cm，故A错误；t＝0.2 s时，振子的位移为正值，由F＝－kx可知回复力方向沿x轴负方向，故B错误；振子在位移最大时速度为0，在平衡位置时速度最大，t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子逐渐衡位置，则振子的速度逐渐增大，故C正确；t＝0.8 s到t＝1.2 s的时间内，振子逐渐远离平衡位置，其速度逐渐减小，故振子的动能逐渐减小，故D错误。
4．选B 两个轻弹簧完全相同，设劲度系数为k，振子经过平衡位置时下方弹簧处于原长，振子在最高点时上方弹簧处于原长，则振子的振幅为A＝，根据对称性可知，下方弹簧的最大弹力为kA＝mg，故A错误，B正确；当振子运动到最低点时，上方弹簧的最大弹力为k·2A＝2mg，故C、D错误。
5．选AC 在t＝0.2 s时，弹簧振子的位移为正向最大，A正确；在t＝0.4 s时，弹簧振子的速度为负向最大，B错误；从t＝0到t＝0.2 s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动，C正确；在t＝0.3 s与t＝0.5 s两个时刻，弹簧振子的速度相同，加速度的大小相等、方向相反，D错误。
6．选B 由于水平面是光滑的，在整个过程中只有动能和势能的相互转化，振子在O点的初动能为mv2，在C点的末动能为0，根据动能定理可知弹簧弹力对振子所做的功为－mv2。故选B。
7．选C 磁铁距离手机最近时，采集到的磁感应强度最大，磁铁距离手机最远时，采集到的磁感应强度最小，根据题图乙可知，钩码做简谐运动的周期为T＝2，故A错误；在t1和t5时刻，采集到的磁感应强度最大，表明磁铁距离手机最近，可知在t1和t5时刻，钩码的重力势能最小，故B错误；根据题图乙可知，磁感应强度最大与最小的位置关于t2和t4时刻的位置对称，结合简谐运动的对称性，可知在t2和t4时刻，钩码处于平衡位置，则在t2和t4时刻，钩码的动能最大，故C正确；结合上述分析可知，在t2到t4时间内，钩码先由平衡位置向上运动至最高点，后由最高点向下运动至平衡位置，始末速度方向相反，即始末动量方向相反，根据动量定理可知，钩码所受合外力的冲量不为零，故D错误。
8．选D 弹簧振子从最大位移处往平衡位置运动，速度增大，加速度减小，故时间内运动的路程小于，即其到平衡位置的距离大于A，距离平衡位置越远，加速度越大，速度越小，因此a1>a2，E19．选AD 振子运动到B处时将一质量为m的物体放到振子的上面，物体和振子无相对运动而一起运动，离开平衡位置的最大位移不变，所以振幅不变，A正确；物体放在振子上面的过程弹簧伸长量不变，弹性势能不变，动能为零不变，故该过程中机械能不变，振子在平衡位置时速度最大，根据能量守恒定律可知，从最大位移处到平衡位置，弹性势能转化为振子的动能，弹性势能与以前比较未变，但振子的质量变大，所以最大速度变小，D正确，B、C错误。
10．选B 物体运动到平衡位置时，动能最大，运动到位置B时，速度为0，动能为0，所以物体在向下振动过程中，物体的动能先增大后减小，故A错误；物体在最高点，有F回＝mgsin θ，在最低点时，受力分析可得F－mgsin θ＝F回，联立可得F＝2mgsin θ，故B正确；物体在A、B两点的加速度等大反向，故C错误；平衡位置处，动能最大，根据能量守恒定律，弹簧的弹性势能和物体的重力势能总和最小，故D错误。
11．解析：(1)剪断细绳前，弹簧弹力大小为
F弹＝mAg＋mBg
剪断细绳的瞬间，A做简谐运动的回复力大小为F回＝F弹－mAg＝mBg＝0.1×10 N＝1 N。
(2)由题意可得，剪断细绳瞬间弹簧的形变量为x1＝＝＝ m＝0.05 m
A处于平衡位置时，弹簧的形变量为
x2＝＝＝ m＝0.025 m
根据简谐运动的特点，则A做简谐运动的振幅为A＝x1－x2＝0.025 m。
(3)根据对称性可知，A在最高点时回复力大小等于在最低点时回复力大小，设A在最高点时的弹簧弹力大小为F弹′，则有F弹′＋mAg＝1 N，解得F弹′＝0。
答案：(1)1 N (2)0.025 m (3)0
12．解析：(1)根据已知条件，可知小球做简谐运动的振幅为A＝20 cm，振动周期T＝2 s
根据ω＝，可得ω＝π rad/s
小球经过B点开始计时，以竖直向下为正方向，则当t＝0时，x＝A，故φ0＝，可得x＝20sincm。
(2)从小球经过B点开始计时，t＝7 s＝3.5T内通过的路程s＝3.5×4A＝280 cm
小球在7 s内运动3.5个周期，故7 s末位于C点，所以7 s末小球的位移大小为20 cm。
(3)小球在竖直面内做简谐运动，设其在平衡位置时弹簧的形变量为x0，则有kx0＝mg
当小球位于C点时，小球受到重力以及弹簧的弹力，可得F回＝mg－k＝kA＝20×0.2 N＝4 N。
答案：(1)x＝20sincm (2)280 cm 20 cm (3)4 N
4 / 5