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实验：用单摆测量重力加速度
第 5 节
实验准备——原理、器材和装置
实验操作——过程、细节和反思
01
02
CONTENTS
目录
实验考法——基础、变通和创新
03
训练评价——巩固、迁移和发展
04
实验准备——原理、器材和装置
一、实验装置
二、实验原理
当摆角较小时，单摆做简谐运动，根据其周期公式T=2π，可推导得出g=。通过实验测出摆长l和周期T，可计算得到当地的重力加速度值。
实验操作——过程、细节和反思
一、实验步骤
1.让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个比孔径稍大一些的线结，制成一个单摆。
2.将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆线自由下垂。在单摆平衡位置处做上标记。
3.用刻度尺量出摆线长l'(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为l=l'+。
4.把单摆拉开一个角度，角度小于5°，释放摆球。摆球经过最低位置(平衡位置)时，用停表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。
5.改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格。
二、数据处理
1.公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g=中求出g的值，最后求出g的平均值。
实验表格
实验 次数 摆长 l/m 周期 T/s 重力加速度 g/(m·s-2) 重力加速度g
的平均值
/(m·s-2)
1 g=
2
3
2.图像法：由T=2π得T2=l，以T2为纵轴、以l为横轴作出T2 l图像(如图所示)，其斜率k=，由图像的斜率即可求出重力加速度g。
三、误差分析
1.系统误差：主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即：悬点固定是否牢固，摆球是否可看成质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动，以及测量哪段长度作为摆长等。只要注意了上面这些问题，就可以使系统误差减小到远小于偶然误差而达到忽略不计的程度。
2.偶然误差：主要来自时间(即单摆周期)的测量上，因此要注意测准时间(周期)。要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即4、3、2、1、0、1、2、…，在数“0”的同时按下停表开始计时，不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。
1.已学过的重力加速度的常用测量方法。
关键点反思
提示：(1)自由落体法：利用h=gt2、Δh=gT2或-=2gh求出g。
(2)平衡法：利用G=mg求出g。
2.停表如何使用及读数，读数时需要估读吗
提示：机械停表的使用和读数： 停表的读数等于小表盘分针的读数与大表盘秒针的读数之和。注意：内侧小表盘读30 s的整数倍时间，大表盘读不足半分钟(30 s)的时间，机械停表只能精确到0.1 s，读数时不需要估读，这是由其机械原理决定的。
3.某同学测定的g的数值比当地公认值大，造成这一结果的原因可能是什么
提示：①测量摆长时从悬点量到球的最下端;
②摆球不是在竖直平面内做简谐运动，而是做圆锥摆运动;
③计算周期时，将(n-1)次全振动误记为n次全振动。
实验考法——基础、变通和创新
考法(一) 实验基本操作
[例1] 用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示。
(1)组装单摆时，应在下列器材中选用________ (选填选项前的字母)。
A.长度为1 m左右的细线
B.长度为10 cm左右的橡皮绳
C.直径为1.5 cm左右的塑料球
D.直径为1.5 cm左右的铁球
AD
[解析] 为减小实验误差，应选择1 m左右的细线;为减小空气阻力影响，摆球应选密度大且体积小的铁球，因此需要的实验器材是A、D。
(2)选择好器材，将符合实验要求的单摆挂在铁架台上，应采用图
________(选填“乙”或“丙”)所示的固定方式。
丙
[解析] 要保持悬点固定，应采用题图丙所示的固定方式，题图乙所示的固定方式在摆动过程中摆长会发生变化，从而带来系统误差。
(3)下列测量单摆振动周期的方法正确的是________。
A.把摆球从平衡位置拉开到某一位置，然后由静止释放摆球，在释放摆球的同时启动停表开始计时，当摆球再次回到原来位置时，按停停表停止计时
B.以摆球在最大位移处为计时基准位置，用停表测出摆球第n次回到基准位置的时间t，则T=
D
C.以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每经过最低位置记数一次，用停表记录摆球n次经过最低位置的时间t，则T=
D.以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每从同一方向经过最低位置记数一次，用停表记录摆球从同一方向n次经过最低位置的时间t，则T=
[解析] 摆角应小于5°，在测量周期时，应在摆球经过最低点开始计时，测量多次全振动的周期，可以减小误差，故A、B错误;以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每经过最低位置记数一次，用停表记录摆球n次经过最低位置的时间t，摆球相邻两次经过最低点的时间间隔是半个周期，所以单摆的周期T=，故C错误;以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每从同一方向经过最低位置记数一次，用停表记录摆球从同一方向n次经过最低位置的时间t，则摆球相邻两次从同一方向经过最低点的时间即为一个周期，则有T=，故D正确。
[微点拨]
实验操作注意要点
（1）根据实验原理且减小实验误差的要求选择合适的实验器材。
（2）在实验过程中应保证摆长不变。
（3）测量单摆周期时，应在摆球经过最低点开始计时，准确记录多次全振动的总时间及振动次数。
考法(二) 数据处理和误差分析
[例2] (2025·江苏徐州开学考试)某同学做“用单摆测量重力加速度”的实验。
(1)该同学用50分度游标卡尺测小球的直径，读数前应锁定图1中的部件________(选填“A”“B”或“C”)，游标卡尺读数部分放大图如图2所示，读数为________mm。将小球放入游标卡尺的凹槽内，具体操作如图3所示，该操作会导致小球直径的测量值________真实值(选填“大于”“小于”或“等于”);
A
11.28
小于
[解析] 为防止读数时游标尺发生移动，读数前应锁定题图1中的部件A;50分度游标卡尺的精确值为0.02 mm，由题图2可知读数为 11 mm+14×0.02 mm=11.28 mm。将小球放入游标卡尺的凹槽内，具体操作如题图3所示，该操作会导致小球直径的测量值小于真实值。
(2)下列实验操作步骤，正确顺序是______________。
①用秒表记录小球完成n次全振动所用的总时间t，计算单摆周期T;
②改变细线长度，重复以上步骤，进行多次测量;
③用刻度尺测量细线长度为l，l与小球半径之和记为摆长L;
④取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上;
⑤缓慢拉动小球，使细线偏离竖直方向约为5°，由静止释放小球;
⑥用单摆公式计算当地重力加速度;
④③⑤①②⑥
[解析] 实验前，取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上，用刻度尺测量细线长度为l，l与小球半径之和记为摆长L;实验时，缓慢拉动小球，使细线偏离竖直方向约为5°，由静止释放小球，用秒表记录小球完成n次全振动所用的总时间t，计算单摆周期T;改变细线长度，重复以上步骤，进行多次测量;最后用单摆公式计算当地重力加速度。故正确顺序是④③⑤①②⑥。
(3)测出单摆周期T与摆长L，重力加速度g的表达式为
________(用T和L表示)。该同学测出六组T与L的数据，如下表所示，请在图4中作出T2 L的图像。
L/m 0.5 0.8 0.9 1.0 1.2 1.5
T/s 1.42 1.79 1.90 2.00 2.20 2.45
T2/s2 2.02 3.20 3.61 4.00 4.84 6.00
g=
[解析] 测出单摆周期T与摆长L，由单摆周期公式T=2π，可得重力加速度的表达式为g=。
根据表格数据描出对应点，并作出T2 L图像如图所示。
(4)若另一同学在测量周期过程中，误将50次全振动记为49次，其他测量均正确。已知图5中虚线是按50次全振动计算所描绘的图线，图线A和D与虚线平行，那么此同学描绘的图像可能是图5中的图线
________(选填“A”“B”“C”或“D”)
B
[解析] 同学在测量周期过程中，误将50次全振动记为49次时，测量周期偏大，图像仍然过坐标原点，且T2 L的图像斜率变大，故可能是B图线。
[微点拨]
图像法求重力加速度
(1)图像法处理数据既直观又方便，同时也能最大限度地减小偶然误差对实验结果造成的影响。
(2)由于T l图像不是直线，不便于进行数据处理，所以采用T2 l图像，目的是将曲线转换为直线，便于利用直线的斜率计算重力加速度。
考法(三) 源于经典实验的创新考查
[例3] (2024·黑吉辽高考)图(a)为一套半圆拱形七色彩虹积木示意图，不同颜色的积木直径不同。某同学通过实验探究这套积木小幅摆动时周期T与外径D之间的关系。
(1)用刻度尺测量不同颜色积木的外径D，其中对蓝色积木的某次测量如图(b)所示，从图中读出D=___________________cm。
7.55(7.54~7.56均可)
[解析] 根据刻度尺的读数规则可知D=7.55 cm。
(2)将一块积木静置于硬质水平桌面上，设置积木左端平衡位置的参考点O，将积木的右端按下后释放，如图(c)所示。当积木左端某次与O点等高时记为第0次并开始计时，第20次时停止计时，这一过程中积木摆动了________个周期。
10
[解析] 结合单摆的运动规律分析可知，积木左端与O点等高后，向下(向上)运动后再次与O点等高，之后向上(向下)运动后又一次与O点等高，此过程为一个周期，则题述过程中积木摆动了10个周期。
(3)换用其他积木重复上述操作，测得多组数据。为了探究T与D之间的函数关系，可用它们的自然对数作为横、纵坐标绘制图像进行研究，数据如下表所示：
颜色 红 橙 黄 绿 青 蓝 紫
ln D 2.939 2 2.788 1 2.595 3 2.484 9 2.197 …… 1.792
ln T -0.45 -0.53 -0.56 -0.65 -0.78 -0.92 -1.02
根据表中数据绘制出ln T ln D图像如图(d)所示，则T与D的近似关系为_____。
A.T∝ B.T∝D2
C.T∝ D.T∝
[解析] 根据题图(d)有ln T=kln D+b，其中k=≈，则有ln T=ln D+b=ln +b，根据数学知识可得T与D的近似关系为T∝，A正确。
A
(4)请写出一条提高该实验精度的改进措施：
_________________________________________________。
[解析] 可以多次测量同一颜色的积木的周期求平均值，从而减小实验误差。
多次测量同一颜色的积木的周期求平均值(合理即可)
[创新分析]
(1)实验目的的创新：探究半圆形积木小幅度摆动的周期与外径的关系。
(2)数据处理的创新：利用ln T ln D图线分析T与D间的关系。
训练评价——巩固、迁移和发展
1.(2024·甘肃高考)小杰想在离地表一定高度的天宫实验室内，通过测量以下物理量得到天宫实验室轨道处的重力加速度，可行的是 ( )
A.用弹簧秤测出已知质量的砝码所受的重力
B.测量单摆摆线长度、摆球半径以及摆动周期
C.从高处释放一个重物，测量其下落高度和时间
D.测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径
√
解析：在天宫实验室内，物体处于完全失重状态，重力提供了物体绕地球做匀速圆周运动的向心力，故选项A、B、C中的实验均无法得到天宫实验室轨道处的重力加速度。由重力提供天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的向心力得mg=mr，解得天宫实验室轨道处的重力加速度为g=r，故可行的是测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径，D正确。
2.某同学利用荡秋千测量当地的重力加速度。如图所示，该同学坐在秋千板上小角度摆动，测出小角度摆动时的周期为T，上方横杆与秋千板间的绳长为L，试回答下列问题：
(1)若以L作为摆长，则当地的重力加速度大小g=________。
解析：根据单摆周期公式T=2π，可得g=。
(2)该同学的重心在板上方，使得重力加速度的测量值与真实值相比________(填“偏大”或“偏小”)。
偏大
解析：绳长比实际的摆长大，根据上述得出重力加速度的表达式可得，这样计算出来的重力加速度值比真实值偏大。
(3)仅改变横杆与板间的绳长重新测量。当横杆到板的距离为L1时，测得小角度摆动时的周期为T1;当横杆到板的距离为L2时，测得小角度摆动时的周期为T2。则当地的重力加速度大小g=____________。
解析：设重心在板上方d处，根据单摆周期公式可得T1=2π，T2=2π，解得g=。
3.(2024·广西高考)单摆可作为研究简谐运动的理想模型。
(1)制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式的目的是要保持摆动中________不变;
摆长
解析：选择题图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变。
(2)用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙，则摆球直径为
________cm;
1.06
解析：摆球直径为d=1.0 cm+6×0.1 mm=1.06 cm。
(3)若将一个周期为T的单摆，从平衡位置拉开5°的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐运动。当地重力加速度为g，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关
系为____________________。
x=cos
解析：根据单摆的周期公式T=2π，可得单摆的摆长为L=，从平衡位置拉开5°的角度释放，可得振幅为A=Lsin 5°，以该位置为计时起点，根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为x=Acos ωt=cos。
4.(2025·北京西城期中)同学们用多种方法测量重力加速度的数值。
(1)用如图甲所示的单摆做“用单摆测量重力加速度”的实验。
①此实验重力加速度的表达式为g=____(用摆长l、周期T表示)。
②若改变摆长，多次测量，得到周期平方T2与摆长l的关系如图乙所示，所得结果与当地重力加速度的数值相符，但发现其延长线没有过原点，其原因可能是________。
A.测周期时多数了一个周期
B.测周期时少数了一个周期
C.测摆长时直接将摆线的长度作为摆长
D.测摆长时将摆线的长度加上摆球的直径作为摆长
C
解析：①根据单摆周期公式T=2π，可得g=。
②单摆的周期T=2π，即T2=·l，但是实验所得T2 l图像没过原点，测得重力加速度与当地相符，则斜率仍为，则题图乙中函数表达式可能为T2=·(l+l0)，故可能是测摆长时直接将摆线的长度作为摆长了。故选C。
(2)将单摆挂在力传感器的下端，通过力传感器测量摆动过程中摆线受到拉力F，由计算机记录拉力F随时间t的变化图像如图丙所示。测得摆长为l，则重力加速度的表达式为g=________。
解析：单摆每隔半个周期，拉力F会达到最大，则有T=2t0，可得T=4t0，根据单摆周期公式T=2π，可得g=。
5.(2025年1月·八省联考河南卷)学生实验小组利用单摆测量当地的重力加速度。实验器材有：铁架台、细线、摆球、秒表、卷尺等。完成下列问题：
(1)实验时，将细线的一端连接摆球，另一端固定在铁架台上O点，如图1所示。然后将摆球拉离平衡位置，使细线与竖直方向成夹角θ(θ<5°)，由静止释放摆球，让单摆开始摆动。为了减小计时误差，应该在摆球摆至________ (填“最低点”或“最高点”)时开始计时。
解析：摆球经过最低点时速度最大，在相等的距离误差上引起的时间误差最小，测得周期的误差最小，所以为了减小计时误差，应该在摆球摆至最低点时开始计时。
最低点
(2)选取摆线长度为100.0 cm时，测得摆球摆动30个完整周期的时间(t)为60.60 s。若将摆线长度视为摆长，求得重力加速度大小为
________m/s2(取π2=9.870，结果保留3位有效数字)。
解析：根据题意可知摆球摆动的周期T==2.02 s，根据单摆周期公式T=2π，其中L=100.0 cm=1.000 m，代入数据解得g≈9.68 m/s2。
9.68
(3)选取不同的摆线长度重复上述实验，相关数据汇总在下表中，在坐标纸上作出摆线长度(l)和单摆周期的二次方(T2)的关系曲线，如图2所示。
l/m t/s T2/s2
0.800 54.17 3.26
0.900 57.54 3.68
1.000 60.60 4.08
1.100 63.55 4.49
1.200 66.34 4.89
设直线斜率为k，则重力加速度可表示为g=______ (用k表示)。由图2求得当地的重力加速度大小为_____m/s2(结果保留3位有效数字)。
解析：根据单摆周期公式T=2π，整理可得l=·T2-r，可知l T2图线的斜率k=，则重力加速度可表示为g=4π2k;由题图2求得当地的重力加速度大小为g=4π2× m/s2≈9.69 m/s2。
4π2k
9.69
(4)用图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确，原因是_____________________________________。
解析：用图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确，其原因是用图像法处理数据时，无论是否考虑摆球的半径，l T2图像的斜率均为，对重力加速度g的测量没有影响。第5节 实验:用单摆测量重力加速度
(实验课基于经典科学探究)
一、实验装置
二、实验原理
当摆角较小时,单摆做简谐运动,根据其周期公式T=2π,可推导得出g=。通过实验测出摆长l和周期T,可计算得到当地的重力加速度值。
一、实验步骤
1.让细线穿过小球上的小孔,在细线的穿出端打一个比孔径稍大一些的线结,制成一个单摆。
2.将铁夹固定在铁架台上端,铁架台放在实验桌边,把单摆上端固定在铁夹上,使摆线自由下垂。在单摆平衡位置处做上标记。
3.用刻度尺量出摆线长l'(准确到mm),用游标卡尺测出摆球的直径d,则摆长为l=l'+。
4.把单摆拉开一个角度,角度小于5°,释放摆球。摆球经过最低位置(平衡位置)时,用停表开始计时,测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间,求出一次全振动的时间,即为单摆的振动周期。
5.改变摆长,反复测量几次,将数据填入表格。
二、数据处理
1.公式法:每改变一次摆长,将相应的l和T代入公式g=中求出g的值,最后求出g的平均值。
实验表格
实验 次数 摆长 l/m 周期 T/s 重力加速度 g/(m·s-2) 重力加速度g 的平均值 /(m·s-2)
1 g=
2
3
2.图像法:由T=2π得T2=l,以T2为纵轴、以l为横轴作出T2-l图像(如图所示),其斜率k=,由图像的斜率即可求出重力加速度g。
三、误差分析
1.系统误差:主要来源于单摆模型本身是否符合要求,即:悬点固定是否牢固,摆球是否可看成质点,球、线是否符合要求,摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动,以及测量哪段长度作为摆长等。只要注意了上面这些问题,就可以使系统误差减小到远小于偶然误差而达到忽略不计的程度。
2.偶然误差:主要来自时间(即单摆周期)的测量上,因此要注意测准时间(周期)。要从摆球通过平衡位置开始计时,并采用倒计时计数的方法,即4、3、2、1、0、1、2、…,在数“0”的同时按下停表开始计时,不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差,应进行多次测量后取平均值。
[关键点反思]
1.已学过的重力加速度的常用测量方法。
2.停表如何使用及读数,读数时需要估读吗
3.某同学测定的g的数值比当地公认值大,造成这一结果的原因可能是什么
考法(一) 实验基本操作
[例1] 用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示。
(1)组装单摆时,应在下列器材中选用 (选填选项前的字母)。
A.长度为1 m左右的细线
B.长度为10 cm左右的橡皮绳
C.直径为1.5 cm左右的塑料球
D.直径为1.5 cm左右的铁球
(2)选择好器材,将符合实验要求的单摆挂在铁架台上,应采用图 (选填“乙”或“丙”)所示的固定方式。
(3)下列测量单摆振动周期的方法正确的是 。
A.把摆球从平衡位置拉开到某一位置,然后由静止释放摆球,在释放摆球的同时启动停表开始计时,当摆球再次回到原来位置时,按停停表停止计时
B.以摆球在最大位移处为计时基准位置,用停表测出摆球第n次回到基准位置的时间t,则T=
C.以摆球在最低位置处为计时基准位置,摆球每经过最低位置记数一次,用停表记录摆球n次经过最低位置的时间t,则T=
D.以摆球在最低位置处为计时基准位置,摆球每从同一方向经过最低位置记数一次,用停表记录摆球从同一方向n次经过最低位置的时间t,则T=
听课记录:
[微点拨]
实验操作注意要点
(1)根据实验原理且减小实验误差的要求选择合适的实验器材。
(2)在实验过程中应保证摆长不变。
(3)测量单摆周期时,应在摆球经过最低点开始计时,准确记录多次全振动的总时间及振动次数。
考法(二) 数据处理和误差分析
专题讲座(游标卡尺和螺旋测微器的读数)
[例2] (2025·江苏徐州开学考试)某同学做“用单摆测量重力加速度”的实验。
(1)该同学用50分度游标卡尺测小球的直径,读数前应锁定图1中的部件 (选填“A”“B”或“C”),游标卡尺读数部分放大图如图2所示,读数为 mm。将小球放入游标卡尺的凹槽内,具体操作如图3所示,该操作会导致小球直径的测量值 真实值(选填“大于”“小于”或“等于”);
(2)下列实验操作步骤,正确顺序是 。
①用秒表记录小球完成n次全振动所用的总时间t,计算单摆周期T;
②改变细线长度,重复以上步骤,进行多次测量;
③用刻度尺测量细线长度为l,l与小球半径之和记为摆长L;
④取一根细线,下端系住直径为d的金属小球,上端固定在铁架台上;
⑤缓慢拉动小球,使细线偏离竖直方向约为5°,由静止释放小球;
⑥用单摆公式计算当地重力加速度;
(3)测出单摆周期T与摆长L,重力加速度g的表达式为 (用T和L表示)。该同学测出六组T与L的数据,如下表所示,请在图4中作出T2-L的图像。
L/m 0.5 0.8 0.9 1.0 1.2 1.5
T/s 1.42 1.79 1.90 2.00 2.20 2.45
T2/s2 2.02 3.20 3.61 4.00 4.84 6.00
(4)若另一同学在测量周期过程中,误将50次全振动记为49次,其他测量均正确。已知图5中虚线是按50次全振动计算所描绘的图线,图线A和D与虚线平行,那么此同学描绘的图像可能是图5中的图线 (选填“A”“B”“C”或“D”)
听课记录:
[微点拨]
图像法求重力加速度
(1)图像法处理数据既直观又方便,同时也能最大限度地减小偶然误差对实验结果造成的影响。
(2)由于T-l图像不是直线,不便于进行数据处理,所以采用T2-l图像,目的是将曲线转换为直线,便于利用直线的斜率计算重力加速度。
考法(三) 源于经典实验的创新考查
[例3] (2024·黑吉辽高考)图(a)为一套半圆拱形七色彩虹积木示意图,不同颜色的积木直径不同。某同学通过实验探究这套积木小幅摆动时周期T与外径D之间的关系。
(1)用刻度尺测量不同颜色积木的外径D,其中对蓝色积木的某次测量如图(b)所示,从图中读出D= cm。
(2)将一块积木静置于硬质水平桌面上,设置积木左端平衡位置的参考点O,将积木的右端按下后释放,如图(c)所示。当积木左端某次与O点等高时记为第0次并开始计时,第20次时停止计时,这一过程中积木摆动了 个周期。
(3)换用其他积木重复上述操作,测得多组数据。为了探究T与D之间的函数关系,可用它们的自然对数作为横、纵坐标绘制图像进行研究,数据如下表所示:
颜色 红 橙 黄 绿 青 蓝 紫
ln D 2.939 2 2.788 1 2.595 3 2.484 9 2.197 …… 1.792
ln T -0.45 -0.53 -0.56 -0.65 -0.78 -0.92 -1.02
根据表中数据绘制出ln T-ln D图像如图(d)所示,则T与D的近似关系为 。
A.T∝ B.T∝D2
C.T∝ D.T∝
(4)请写出一条提高该实验精度的改进措施:_____________________________________________。
听课记录:
[创新分析]
(1)实验目的的创新:探究半圆形积木小幅度摆动的周期与外径的关系。
(2)数据处理的创新:利用ln T-ln D图线分析T与D间的关系。
1.(2024·甘肃高考)小杰想在离地表一定高度的天宫实验室内,通过测量以下物理量得到天宫实验室轨道处的重力加速度,可行的是 ( )
A.用弹簧秤测出已知质量的砝码所受的重力
B.测量单摆摆线长度、摆球半径以及摆动周期
C.从高处释放一个重物,测量其下落高度和时间
D.测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径
2.某同学利用荡秋千测量当地的重力加速度。如图所示,该同学坐在秋千板上小角度摆动,测出小角度摆动时的周期为T,上方横杆与秋千板间的绳长为L,试回答下列问题:
(1)若以L作为摆长,则当地的重力加速度大小g= 。
(2)该同学的重心在板上方,使得重力加速度的测量值与真实值相比 (填“偏大”或“偏小”)。
(3)仅改变横杆与板间的绳长重新测量。当横杆到板的距离为L1时,测得小角度摆动时的周期为T1;当横杆到板的距离为L2时,测得小角度摆动时的周期为T2。则当地的重力加速度大小g= 。
3.(2024·广西高考)单摆可作为研究简谐运动的理想模型。
(1)制作单摆时,在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中,选择图甲方式的目的是要保持摆动中 不变;
(2)用游标卡尺测量摆球直径,测得读数如图丙,则摆球直径为 cm;
(3)若将一个周期为T的单摆,从平衡位置拉开5°的角度释放,忽略空气阻力,摆球的振动可看为简谐运动。当地重力加速度为g,以释放时刻作为计时起点,则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为 。
4.(2025·北京西城期中)同学们用多种方法测量重力加速度的数值。
(1)用如图甲所示的单摆做“用单摆测量重力加速度”的实验。
①此实验重力加速度的表达式为g= (用摆长l、周期T表示)。
②若改变摆长,多次测量,得到周期平方T2与摆长l的关系如图乙所示,所得结果与当地重力加速度的数值相符,但发现其延长线没有过原点,其原因可能是 。
A.测周期时多数了一个周期
B.测周期时少数了一个周期
C.测摆长时直接将摆线的长度作为摆长
D.测摆长时将摆线的长度加上摆球的直径作为摆长
(2)将单摆挂在力传感器的下端,通过力传感器测量摆动过程中摆线受到拉力F,由计算机记录拉力F随时间t的变化图像如图丙所示。测得摆长为l,则重力加速度的表达式为g= 。
5.(2025年1月·八省联考河南卷)学生实验小组利用单摆测量当地的重力加速度。实验器材有:铁架台、
细线、摆球、秒表、卷尺等。完成下列问题:
(1)实验时,将细线的一端连接摆球,另一端固定在铁架台上O点,如图1所示。然后将摆球拉离平衡位置,使细线与竖直方向成夹角θ(θ<5°),由静止释放摆球,让单摆开始摆动。为了减小计时误差,应该在摆球摆至 (填“最低点”或“最高点”)时开始计时。
(2)选取摆线长度为100.0 cm时,测得摆球摆动30个完整周期的时间(t)为60.60 s。若将摆线长度视为摆长,求得重力加速度大小为 m/s2(取π2=9.870,结果保留3位有效数字)。
(3)选取不同的摆线长度重复上述实验,相关数据汇总在下表中,在坐标纸上作出摆线长度(l)和单摆周期的二次方(T2)的关系曲线,如图2所示。
l/m t/s T2/s2
0.800 54.17 3.26
0.900 57.54 3.68
1.000 60.60 4.08
1.100 63.55 4.49
1.200 66.34 4.89
设直线斜率为k,则重力加速度可表示为g= (用k表示)。由图2求得当地的重力加速度大小为 m/s2(结果保留3位有效数字)。
(4)用图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确,原因是___________________________。
第5节 实验：用单摆测量重力加速度
2
1．提示：(1)自由落体法：利用h＝gt2、Δh＝gT2或v22－v12＝2gh求出g。
(2)平衡法：利用G＝mg求出g。
2．提示：机械停表的使用和读数： 停表的读数等于小表盘分针的读数与大表盘秒针的读数之和。注意：内侧小表盘读30 s的整数倍时间，大表盘读不足半分钟(30 s)的时间，机械停表只能精确到0.1 s，读数时不需要估读，这是由其机械原理决定的。
3．提示：①测量摆长时从悬点量到球的最下端；
②摆球不是在竖直平面内做简谐运动，而是做圆锥摆运动；
③计算周期时，将(n－1)次全振动误记为n次全振动。
3
[例1] 解析：(1)为减小实验误差，应选择1 m左右的细线；为减小空气阻力影响，摆球应选密度大且体积小的铁球，因此需要的实验器材是A、D。
(2)要保持悬点固定，应采用题图丙所示的固定方式，题图乙所示的固定方式在摆动过程中摆长会发生变化，从而带来系统误差。
(3)摆角应小于5°，在测量周期时，应在摆球经过最低点开始计时，测量多次全振动的周期，可以减小误差，故A、B错误；以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每经过最低位置记数一次，用停表记录摆球n次经过最低位置的时间t，摆球相邻两次经过最低点的时间间隔是半个周期，所以单摆的周期T＝，故C错误；以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每从同一方向经过最低位置记数一次，用停表记录摆球从同一方向n次经过最低位置的时间t，则摆球相邻两次从同一方向经过最低点的时间即为一个周期，则有T＝，故D正确。
答案：(1)AD (2)丙 (3)D
[例2] 解析：(1)为防止读数时游标尺发生移动，读数前应锁定题图1中的部件A；50分度游标卡尺的精确值为0.02 mm，由题图2可知读数为11 mm＋14×0.02 mm＝11.28 mm。将小球放入游标卡尺的凹槽内，具体操作如题图3所示，该操作会导致小球直径的测量值小于真实值。
(2)实验前，取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上，用刻度尺测量细线长度为l，l与小球半径之和记为摆长L；实验时，缓慢拉动小球，使细线偏离竖直方向约为5°，由静止释放小球，用秒表记录小球完成n次全振动所用的总时间t，计算单摆周期T；改变细线长度，重复以上步骤，进行多次测量；最后用单摆公式计算当地重力加速度。故正确顺序是④③⑤①②⑥。
(3)测出单摆周期T与摆长L，由单摆周期公式T＝2π，可得重力加速度的表达式为g＝。根据表格数据描出对应点，并作出T2 L图像如图所示。
(4)同学在测量周期过程中，误将50次全振动记为49次时，测量周期偏大，图像仍然过坐标原点，且T2 L的图像斜率变大，故可能是B图线。
答案：(1)A 11.28 小于 (2)④③⑤①②⑥
(3)g＝ 见解析图 (4)B
[例3] 解析：(1)根据刻度尺的读数规则可知D＝7.55 cm。
(2)结合单摆的运动规律分析可知，积木左端与O点等高后，向下(向上)运动后再次与O点等高，之后向上(向下)运动后又一次与O点等高，此过程为一个周期，则题述过程中积木摆动了10个周期。
(3)根据题图(d)有ln T＝kln D＋b，其中k＝≈，则有ln T＝ln D＋b＝ln ＋b，根据数学知识可得T与D的近似关系为T∝，A正确。
(4)可以多次测量同一颜色的积木的周期求平均值，从而减小实验误差。
答案：(1)7.55(7.54～7.56均可) (2)10 (3)A
(4)多次测量同一颜色的积木的周期求平均值(合理即可)
4
1．选D 在天宫实验室内，物体处于完全失重状态，重力提供了物体绕地球做匀速圆周运动的向心力，故选项A、B、C中的实验均无法得到天宫实验室轨道处的重力加速度。由重力提供天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的向心力得mg＝mr，解得天宫实验室轨道处的重力加速度为g＝r，故可行的是测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径，D正确。
2．解析：(1)根据单摆周期公式T＝2π，可得g＝。
(2)绳长比实际的摆长大，根据上述得出重力加速度的表达式可得，这样计算出来的重力加速度值比真实值偏大。
(3)设重心在板上方d处，根据单摆周期公式可得T1＝2π，T2＝2π，解得g＝。
答案：(1) (2)偏大 (3)
3．解析：(1)选择题图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变。
(2)摆球直径为d＝1.0 cm＋6×0.1 mm＝1.06 cm。
(3)根据单摆的周期公式T＝2π，可得单摆的摆长为L＝，从平衡位置拉开5°的角度释放，可得振幅为A＝Lsin 5°，以该位置为计时起点，根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为x＝Acos ωt＝cos。
答案：(1)摆长 (2)1.06 (3)x＝cos
4．解析：(1)①根据单摆周期公式T＝2π，可得g＝。
②单摆的周期T＝2π，即T2＝·l，但是实验所得T2 l图像没过原点，测得重力加速度与当地相符，则斜率仍为，则题图乙中函数表达式可能为T2＝·(l＋l0)，故可能是测摆长时直接将摆线的长度作为摆长了。故选C。
(2)单摆每隔半个周期，拉力F会达到最大，则有T＝2t0，可得T＝4t0，根据单摆周期公式T＝2π，可得g＝。
答案：(1)① ②C (2)
5．解析：(1)摆球经过最低点时速度最大，在相等的距离误差上引起的时间误差最小，测得周期的误差最小，所以为了减小计时误差，应该在摆球摆至最低点时开始计时。
(2)根据题意可知摆球摆动的周期T＝＝2.02 s，根据单摆周期公式T＝2π，其中L＝100.0 cm＝1.000 m，代入数据解得g≈9.68 m/s2。
(3)根据单摆周期公式T＝2π，整理可得l＝·T2－r，可知l T2图线的斜率k＝，则重力加速度可表示为g＝4π2k；由题图2求得当地的重力加速度大小为g＝4π2× m/s2≈9.69 m/s2。
(4)用图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确，其原因是用图像法处理数据时，无论是否考虑摆球的半径，l T2图像的斜率均为，对重力加速度g的测量没有影响。
答案：(1)最低点 (2)9.68 (3)4π2k 9.69 (4)见解析
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