第一节 平面向量的概念及线性运算
【课程标准】 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；2.理解向量的几何表示和基本要素；3.掌握平面向量加、减运算及运算规则，并理解其几何意义；4.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个平面向量共线的含义；5.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
教|材|回|顾
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有________的量叫做向量，向量的大小称为向量的________(或称______)．
(2)零向量：长度为______的向量，记作______．
(3)单位向量：长度等于__________________的向量．
(4)平行向量：方向相同或________的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量________．
(5)相等向量：长度相等且方向________的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向________的向量．
2．向量的线性运算
向量 运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 三角形法则 平行四边形法则 交换律： a＋b＝________； 结合律： (a＋b)＋c＝ ________
减法 几何意义 a－b＝a＋(－b)
数乘 |λa|＝________； 当λ>0 时，λa 的方向与a的方向________； 当λ<0 时，λa 的方向与a的方向________； 当λ＝0时，λa＝______ λ(μa)＝______； (λ＋μ)a＝________； λ(a＋b)＝________
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________．
微|点|延|伸
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即 ＋＋＋…＋An－1An＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)．
3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0 P为△ABC的重心，＝(＋)．
4．若平行四边形ABCD满足|＋|＝|－|，则该平行四边形为矩形．
5．若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，O，B，C三点不共线，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
6．向量三角不等式：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.
小|题|快|练
1．(多选题)下列命题中，正确的是( )
A．若a与b都是单位向量，则a＝b
B．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量
C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合
D．海拔、温度、角度都不是向量
2．(多选题)(人A必二P10T4改编)下列各式化简结果正确的是( )
A．＋＝
B．＋＋＋＝
C．＋－＝0
D．－－＝
3．如图所示，向量a－b＝( )
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
4．(人A必二P14例6改编)在平行四边形ABCD中，BC的中点为M，且＝a，＝b，用a，b表示＝________.
类型一 平面向量的概念自练自悟
1.(多选题)下列命题正确的有( )
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．零向量是唯一没有方向的向量
C．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D．“若A，B，C，D是不共线的四点，且＝” “四边形ABCD是平行四边形”
2．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为( )
A． B． C． D．
3．下列命题正确的是( )
A．|a|＝|b| a＝b
B．|a|>|b| a>b
C．a∥b a＝b
D．|a|＝0 a＝0
4．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，为＝成立的充分条件是( )
A．a＝3b B．a∥b
C．a＝－b D．a∥b且|a|＝|b|
1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件，要特别注意零向量的特殊性．
2．只要不改变向量a的大小和方向，可以自由平移a，平移后的向量与a相等.
类型二 平面向量的线性运算
【例1】 (1)(2022·新课标Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝m，＝n，则＝( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
(2)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
平面向量线性运算的解题策略
1．向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．
2．求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来进行比较，求参数的值．
【训练】 (1)在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足＝，＝，若＝a，＝b，则＝( )
A．a－b B．a－b
C．a－b D．a－b
(2)M是△ABC内的一点，若＝＋λ，＝＋μ，则λ＋μ＝( )
A． B．1
C． D．
类型三 共线定理及其应用
考向 ：向量共线的判断
【例2】 设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若＝3e1－ke2，且∥，求实数k的值．
利用共线向量定理解题的策略
1．a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．
2．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线 ，共线．
考向 ：三点共线问题
【例3】 已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
【例4】 (利用例3结论解决下面问题)已知△ABC的重心为G，经过点G的直线交AB于点D，交AC于点E，若AD＝λ，＝μ，则＋＝________.
利用向量共线定理解题的策略
1．a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．
2．若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
3．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)，则A，P，B三点共线的充要条件为m＋n＝1.
【题组对点练】
题号 1 2
考向
1.设两个向量a与b不共线，若a与b的起点相同，且a，tb，(a＋b)的终点在同一条直线上，则实数t的值为________．
2. 如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
第一节 平面向量的概念及线性运算
必备知识·梳理
教材回顾
1．(1)方向 长度 模 (2)0 0 (3)1个单位长度 (4)相反 平行 (5)相同 (6)相反
2．b＋a a＋(b＋c) |λ||a| 相同 相反 0 (λμ)a λa＋μa λa＋λb
3．b＝λa
小题快练
1．CD 解析 A错误，单位向量长度相等，但是方向不确定；B错误，由于只有方向，没有大小，故x轴、y轴不是向量；C正确，由于向量起点相同，但长度不相等或方向不同，所以终点不同；D正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量．故选CD.
2．BC
3．C 解析 由三角形法则知a－b是b的终点指向a的终点的一个向量，用基底{e1，e2}表示为e1－3e2.故选C.
4．a＋b 解析 ＝＋＝＋＝＋＝a＋b.
关键能力·落实
1．AD 解析 方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确；零向量是有方向的，其方向是任意的，故B错误；两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故C错误；A，B，C，D是不共线的点，＝，即模相等且方向相同，即四边形ABCD为平行四边形，反之也成立，故D正确．故选AD.
2．D 解析 A，B选项均与方向不同，C选项与长度不相等，D选项与方向相同，长度相等．故选D.
3．D 解析 对于A，两个向量的模相等，但是方向不一定相同，所以错误．对于B，两个向量不能比较大小，所以错误．对于C，向量平行只是方向相同或相反，不能得到向量相等，所以错误．对于D，若一个向量的模等于0，则这个向量是0，所以正确．故选D.
4．A 解析 ＝等价于a，b同向，只有a＝3b时a，b同向，而B，C，D只能确定a，b共线．故选A.
【例1】 (1)B 解析 因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3(－)＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B.
(2)B 解析 如图，作OG∥FE交DC于G，由DE＝EO，得DF＝FG，又由AO＝OC，得FG＝GC，于是＝＝，那么＝＋＝＋＝a＋b.故选B.
【训练】 (1)A 解析 如图，因为在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足＝，＝，连接AF，AE，则＝－＝(＋)－(＋)，＝＝(－)＝(b－a)，所以＝－＝a－b.故选A.
(2)D 解析 由－＝，得＝＋μ－－λ，所以＝μ－λ，即＝6μ－6λ＝6μ＋6λ，又＝＋，故μ＝λ＝，故λ＋μ＝.故选D.
【例2】 解 (1)证明：由已知，得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.因为＝2e1－8e2，所以＝2.又与有公共点B，所以A，B，D三点共线．
(2)由(1)，知＝e1－4e2，若＝3e1－ke2，且∥，可设＝λ(λ∈R)，所以3e1－ke2＝λe1－4λe2，即(3－λ)e1＝(k－4λ)e2.又e1，e2是两个不共线的向量，所以解得k＝12.
【例3】 证明 (1)若m＋n＝1，则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，所以－＝m(－)，即＝m，所以与共线．又因为与有公共点B，则A，P，B三点共线．
(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使＝λ，所以－＝λ(－)．又＝m＋n.故有m＋(n－1)＝λ－λ，即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.因为O，A，B三点不共线，所以，不共线，所以所以m＋n＝1.
【例4】 3 解析 如图，延长AG交BC于点F，则F为BC的中点，＝＝(＋)，又＝，＝，所以＝＋，又G，D，E三点共线，所以＋＝1，即＋＝3.
【题组对点练】
1. 解析 因为a，tb，(a＋b)的终点在同一条直线上，且a与b的起点相同，所以a－tb与a－(a＋b)共线，即a－tb与a－b共线，所以存在实数λ，使a－tb＝λ，又a，b为两个不共线的向量，所以解得
2. 解析 注意到N，P，B三点共线，因此有＝m＋＝m＋，从而m＋＝1 m＝.(共38张PPT)
第一节
第五章 平面向量与复数
平面向量的概念及线性运算
课
程
标
准
必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
平面向量的概念 自练自悟
解析
解析
解析
解析
类型二
平面向量的线性运算
解析
解析
解析
解析
类型三
共线定理及其应用
解
解
证明
证明
解析
解析
解析
R
赢在欲点
a+b
b
a
b
a-b
a
0
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C
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M
B
C
A
D
G
E
B
F
C
A
N
P
B
C微练(四十一) 平面向量的概念及线性运算
基础过关
一、单项选择题
1．在正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0 B．
C． D．
2. 如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的中点，＝－2，若＝x＋y，则x＋y＝( )
A．1 B．6
C． D．
3．已知a，b是两个不共线的向量，向量xa＋yb，2b－a共线，则实数x，y满足的关系式为( )
A．x＋y＝0 B．x－y＝0
C．2x＋y＝0 D．2x－y＝0
4．已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
5．在△ABC中，AB＝4，AC＝6，点D，E分别在线段AB，AC上，且D为AB的中点，＝，若＝＋，则直线AP经过△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
6. (2025·陕西西安联考)如图，△ABC是等边三角形，点D在线段BC上，且＝2，点E为线段AD上一点，若△ABE与△ACD的面积相等，则＝( )
A．－ B．＋
C．－ D．－＋
7．在△ABC中，D是AB边上的点，满足AD＝2DB，点E在线段CD上(不含端点)，且＝x＋y(x，y∈R)，则的最小值为( )
A．3＋2 B．4＋2
C．8＋4 D．8
8．(2025·安徽模拟)在△ABC中，点M是BC的中点，点N为AB上一点，AM与CN交于点D，且＝，＝λ，则λ＝( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．(2025·厦门调研)下列能化简为的是( )
A．－＋
B．＋(＋)
C．(＋)＋(－)
D．＋－
10．已知4－3＝，则下列结论正确的是( )
A．A，B，C，D四点共线
B．C，B，D三点共线
C．||＝||
D．||＝3||
11．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A．若＝＋，则点M是边BC的中点
B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C．若＝－－，则点M是△ABC的重心
D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
三、填空题
12．已知向量a，b不共线，且向量λa＋b与a＋(2λ－1)b的方向相反，则实数λ＝________.
13．如图所示，已知∠B＝30°，∠AOB＝90°，点C在AB上，OC⊥AB，若用和来表示向量，则＝________.
14．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________．
素养提升
15．(2025·石家庄质量检测)在平行四边形ABCD中，＋＝，λ∈[，3]，则cos∠BAD的取值范围是( )
A． B．
C． D．
16．已知单位向量e1，e2，…，e2 023，则|e1＋e2＋…＋e2 023|的最大值是________，最小值是________．
17．(2025·浙江质检)已知点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋t(t∈R)，若点P在△ABC的内部(不包含边界)，则实数t的取值范围是________．
微练(四十一) 平面向量的概念及线性运算
1．B 解析 ＋＋＝＋＋＝.故选B.
2．C 解析 因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝，＝，因为＝－2，所以＝＋＝－，又因为＝x＋y，，不共线，所以x＝，y＝－，所以x＋y＝.故选C.
3．C 解析 由向量共线知xa＋yb＝λ(2b－a)，λ∈R，即所以y＝－2x，即2x＋y＝0.故选C.
4．A 解析 由＋＋＝0，得＋＝.又点O为△ABC的外接圆的圆心，根据加法的几何意义，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，因此∠CAB＝30°.故选A.
5．A 解析 因为AB＝4，AC＝6，且D为AB中点，＝，则||＝||＝2，又因为＝＋，所以可得四边形ADPE为菱形，即AP为菱形ADPE的对角线，所以AP平分∠BAC，即直线AP经过△ABC的内心．故选A.
6．D 解析 因为点D在线段BC上，且＝2，所以S△ACD＝S△ABD，又点E为线段AD上一点，且△ABE与△ACD的面积相等，所以S△ABE＝S△ABD，所以点E为线段AD的中点．
＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以＝＝＋，所以＝－＝－＋，故选D.
7．B 解析 因为＝x＋y(x，y∈R)，且AD＝2DB，所以＝＋y，又点E在线段CD上(不含端点)，所以＋y＝1，且x>0，y>0，所以＝＋＝＝4＋＋≥4＋2＝4＋2，当且仅当＝时，等号成立，所以的最小值为4＋2.故选B.
8．A 解析 如图，因为点M是BC的中点，所以＝＝×(＋)＝(＋)．因为N，D，C三点共线，所以＝μ＋(1－μ)，又＝λ，所以(＋)＝μ＋(1－μ)λ，由平面向量基本定理可知解得故选A.
9．ABC 解析 对于A，－＋＝＋＝，符合题意；对于B，＋(＋)＝(＋)＋＝＋＝，符合题意；对于C，(＋)＋(－)＝(＋)＋(－)＝0＋＝，符合题意；对于D，＋－＝－≠，不符合题意．故选ABC.
10．BD 解析 因为4－3＝，所以3－3＝－，所以3＝，因为，有公共点B，所以C，B，D三点共线，且||＝3||，所以B，D正确，A错误；由4－3＝，得＝3－3＋＝3＋，所以||≠||，所以C错误．故选BD.
11．ACD 解析
若＝＋，则点M是边BC的中点，故A正确；若＝2－，即有－＝－，即＝，则点M在边CB的延长线上，故B错误；若＝－－，即＋＋＝0，则点M是△ABC的重心，故C正确；如图，若＝x＋y，且x＋y＝，可得2＝2x＋2y，设＝2，则B，C，N三点共线，且M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确．故选ACD.
12．－ 解析 因为向量λa＋b与a＋(2λ－1)b的方向相反，所以λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，k<0，因为a，b不共线，所以则2λ2－λ－1＝0，因为λ＝k<0，解得λ＝－.
13.＋ 解析 由题意易知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
14．直角三角形 解析 ＋－2＝(－)＋(－)＝＋，－＝＝－，所以|＋|＝|－|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．
15．A 解析 如图，在平行四边形ABCD中，令＝，＝，因为＋＝，所以＋＝，以AE，AF为邻边作平行四边形AEGF，则＋＝＝，所以点G一定在AC上．在△AEG中，AE＝1，EG＝AF＝3，AG＝λ，∠AEG＝π－∠BAD，所以cos∠BAD＝－cos∠AEG＝－＝－＝，又λ∈[，3]，所以cos∠BAD∈，故选A.
16．2 023 0 解析 当单位向量e1，e2，…，e2 023方向相同时，|e1＋e2＋…＋e2 023|取得最大值，|e1＋e2＋…＋e2 023|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2 023|＝2 023；当单位向量e1，e2，…，e2 023首尾相连时，e1＋e2＋…＋e2 023＝0，所以|e1＋e2＋…＋e2 023|的最小值为0.
17. 解析 ＝＋t，其中t为实数，当点P在线段BC上时，＝＋，如图，在AB上取一点D，使得＝，在AC上取一点E，使得＝，则＝＋t＝＋t.由图可知，若点P在△ABC的内部(不包含边界)，则0平面向量的概念及线性运算
微练(四十一)
基础过关
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