第二节 平面向量基本定理及坐标表示
【课程标准】 1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线、垂直的条件.
教|材|回|顾
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝________.若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝____________，a－b＝__________，λa＝____________，|a|＝____________.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝__________________，||＝________________.
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b ____________.
[微点清] 当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
微|点|延|伸
1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.
3．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
小|题|快|练
1．下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝
2．(人B必二P154例6改编)如图，＝2，＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是( )
A．c＝b－a B．c＝a－b
C．c＝2a－b D．c＝2b－a
3．设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为( )
A．(3,1) B．(1，－1)
C．(3,1)或(1，－1) D．(3,1)或(1,1)
4．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝(3,2)．若向量a与向量kb＋c共线，则实数k＝________.
5．已知 ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．
类型一 平面向量基本定理的应用
【例1】 (1)如图，C，D是以AB为直径的半圆的两个三等分点，E为线段CD的中点，F为BE的中点，设＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
(2)在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别满足＝2＝4，＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
平面向量基本定理的应用技巧
1．应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系．
2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．
【训练1】 (1)(2025·鹰潭一模)在△ABC中，D为线段BC上一点，且＝3，＝m＋n，则m－n＝( )
A．2 B．
C．－ D．－2
(2) 如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是区域ABDC内任意一点(含边界)，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A．[0,1] B．[0,2]
C．[0,3] D．[0,4]
类型二 平面向量线性运算的坐标表示 自练自悟
1.已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c＝( )
A． B．
C． D．
2．设O(0,0)，A(0,3)，B(6,0)，＝－2，则||＝( )
A． B．2
C．2 D．
3．在正方形ABCD中，M是BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )
A． B．
C． D．2
4．已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a，b}表示c，则( )
A．c＝2a－3b B．c＝－2a－3b
C．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b
1．利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．
2．向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.
类型三 平面向量共线的坐标表示
【例2】 (1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(m，－1)，若c∥(2a＋b)，则m＝( )
A．－2 B．－1
C．－ D．
(2)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝________.
1．两平面向量共线的充要条件有两种形式：
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
【训练2】 (1)已知向量a＝(cos α，－2)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则tan＝________.
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝，若m＝(c－，a－b)，n＝(a－b，c＋)，且m∥n，则△ABC的面积为( )
A．3 B．
C． D．3
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
必备知识·梳理
教材回顾
1．不共线 λ1e1＋λ2e2
2．(1)(x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1) (2)②(x2－x1，y2－y1)
3．x1y2－x2y1＝0
小题快练
1．B 解析 两个不共线的非零向量构成一个基底，A中向量e1为零向量，C，D中两向量共线，B中e1≠0，e2≠0，且e1与e1不共线．故选B.
2．B 解析 ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝a－b.故选B.
3．C 解析 因为A(2,0)，B(4,2)，所以＝(2,2)，因为点P在直线AB上，且||＝2||，所以＝2或＝－2，故＝(1,1)或＝(－1，－1)，故P点坐标为(3,1)或(1，－1)，故选C.
4．1 解析 已知向量a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝(3,2)，所以kb＋c＝(－2k＋3，k＋2)，因为向量a与向量kb＋c共线，所以k＋2＝3×(－2k＋3)，解得k＝1.
5．(1,5) 解析 设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即解得
关键能力·落实
【例1】 (1)A 解析 连接AE，因为C，D是以AB为直径的半圆的两个三等分点，则AB∥CD，且AB＝2CD.又E为线段CD的中点，F为BE的中点，所以＝(＋)＝＋＝(＋)＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝a＋b，故选A.
(2) 解析 如图，以{，}为基底，则可得＝＋＝＋，＝＋＝＋，＝＋＝＋.因为＝λ＋μ＝λ＋μ＝＋，所以两式相加得(λ＋μ)＝，可得λ＋μ＝.
【训练1】 (1)C 解析 由题意得＝3，故＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，结合＝m＋n可得m＝，n＝，故m－n＝－，故选C.
(2)C 解析 根据题意，将图形特殊化，设AD垂直平分BC于点O，因为△BCD与△ABC的面积之比为2，则DO＝2AO，当点P与点A重合时，可得＝0，此时λ＝μ＝0，即λ＋μ的最小值为0；当点P与点D重合时，可得＝3＝3×＝＋，此时λ＝μ＝，即λ＋μ的最大值为3.所以λ＋μ的取值范围为[0,3]．故选C.
1．D 解析 因为a－2b＋3c＝0，所以c＝－(a－2b)．因为a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13,4)，所以c＝－(a－2b)＝.故选D.
2．B 解析 设P(x，y)，则＝(x－6，y)，＝(x，y－3)，因为＝－2，所以(x－6，y)＝－2(x，y－3)，所以解得即P(2,2)，则＝(2,2)，||＝＝2.故选B.
3．B 解析 在正方形ABCD中，以点A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图，令AB＝2，则B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，M(2,1)，＝(2,2)，＝(2,1)，＝(－2,2)，λ＋μ＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为＝λ＋μ，所以解得λ＋μ＝，所以λ＋μ的值为.故选B.
4．D 解析 如图，建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，a＝，b＝，c＝，则A(1,0)，B(2,1)，C(0,4)，D(7,1)，所以a＝(1,1)，b＝(－2,3)，c＝(7，－3)，设向量c＝ma＋nb，则c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)，所以解得所以c＝3a－2b.故选D.
【例2】 (1)A 解析 因为a＝(1,2)，b＝(2，－2)，所以2a＋b＝(4,2)，又c＝(m，－1)，c∥(2a＋b)，所以2m＋4＝0，解得m＝－2.故选A.
(2)－ 解析 由题意，得＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)．因为A，B，C三点共线，所以，共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
【训练2】 (1)3 解析 因为a∥b，所以cos α＝－2sin α，则tan α＝－，所以tan＝＝＝3.
(2)C 解析 因为m＝(c－，a－b)，n＝(a－b，c＋)，且m∥n，所以(a－b)2＝(c－)(c＋)，化为a2＋b2－c2＝2ab－6.所以cos＝＝＝，解得ab＝6.所以S△ABC＝absin C＝×6×＝.故选C.(共33张PPT)
第二节
第五章 平面向量与复数
平面向量基本定理及坐标表示
课
程
标
准
必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
平面向量基本定理的应用
解析
解析
解析
解析
类型二
平面向量线性运算的坐标表示 自练自悟
解析
解析
解析
解析
类型三
平面向量共线的坐标表示
解析
解析
解析
解析
R
赢在欲点
B
不
A
C
0
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
D
E F
C
G
A
B
D
C
P
A
B
D
C
P
0
A
B
y
D
C
M
A
B
X
个y
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一一一
b
十一
一一一一
-一一
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A
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X微练(四十二) 平面向量基本定理及坐标表示
基础过关
一、单项选择题
1．若{e1，e2}是平面α内的一个基底，则下列四组向量能作为平面α的一个基底的是( )
A．{e1－e2，e2－e1}
B．{e1＋e2，e1－e2}
C．{2e2－3e1，－6e1＋4e2}
D．{2e1＋e2，e1＋e2}
2．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
3．如图，已知＝a，＝b，＝4，＝3，则＝( )
A．b－a B．a－b
C．a－b D．b－a
4．已知p：x＝－1，q：向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知点A(3,2)，B(5,1)，则与方向相反的单位向量为( )
A． B．
C． D．
6．若{α，β}是一个基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，β}下的坐标．现已知向量a在基向量p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基向量m＝(－1,1)，n(1,2)下的坐标为( )
A．(2,0) B．(0，－2)
C．(－2,0) D．(0,2)
7．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝( )
A． B．
C．3 D．2
8．△ABC是等腰直角三角形，AB＝BC＝4，＝(＋)，＝x＋y，其中2x＋y＝1，则·的最小值是( )
A．－ B．－
C．－3 D．－4
二、多项选择题
9．(2025·安徽亳州模拟)已知向量a，b，c满足c＝λa＋(1－λ)b(0<λ<1)，且c＝(1,2)，则a，b的坐标可以为( )
A．a＝(1,0)，b＝(0,2)
B．a＝(2,0)，b＝(0,4)
C．a＝(3,1)，b＝(－1,3)
D．a＝(2,1)，b＝(4，－1)
10．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是( )
A．－2 B．
C．1 D．－1
11．已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，E为BC的中点，则＝( )
A．＋ B．－
C．＋ D．＋
三、填空题
12．若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为________．
13．已知向量＝(m,2)，＝(1,3)，＝(－4，－2)．若B，C，D三点共线，则m＝________.
14．若在△ABC中，AB＝，∠ABC＝，BC＝3，AD为BC边上的高，O为AD上靠近点A的三等分点，且＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ－2μ＝________.
素养提升
15．奔驰定理：如图，已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·＋SB·＋SC·＝0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo(如图)很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．设O为三角形ABC内一点，且满足：＋2＋3＝3＋2＋，则＝________.
16．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为________．
微练(四十二) 平面向量基本定理及坐标表示
1．B 解析 由{e1，e2}是平面α内的一个基底，则e1，e2为非零不共线向量，对A，e1－e2＝－(e2－e1)，故e1－e2，e2－e1共线，不满足题意；对B，e1＋e2，e1－e2不能互相线性表示，故不共线，满足题意；对C,2e2－3e1＝(－6e1＋4e2)，故2e2－3e1，－6e1＋4e2共线，不满足题意；对D,2e1＋e2＝2，故2e1＋e2，e1＋e2共线，不满足题意．故选B.
2．A 解析 根据题意，得＝(3,1)，所以＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.
3．D 解析 ＝＋＝＋＝(－)－＝－＝b－a.故选D.
4．A 解析 若向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则x＝x(x＋2)，解得x＝0或x＝－1，所以p是q的充分不必要条件．故选A.
5．B 解析 因为A(3,2)，B(5,1)，所以＝(2，－1)，则||＝＝，所以与方向相反的单位向量为－＝.故选B.
6．D 解析 因为a在基底{p，q}下的坐标为(－2,2)，所以a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)．令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以解得所以a在基底{m，n}下的坐标为(0,2)．故选D.
7．A 解析
如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1,0)，C点的坐标为(0,2)，因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m>0).＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，所以＝.故选A.
8．B 解析 由＝(＋)知点D为AB的中点．所以·＝(＋)·(＋)＝||2－4，设F为AD的中点．由＝x＋y，得＝2x＋y，因为2x＋y＝1，所以点E在直线CF上，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,4)，B(0，0)，C(4,0)，D(0,2)，F(0,3)，则DE⊥CF时，||2的值最小，直线CF的方程为＋＝1，即3x＋4y－12＝0，此时，由点到直线的距离公式可得||＝＝，所以·的最小值为2－4＝－.故选B.
9．BC 解析 设＝a，＝b，＝c，O为坐标原点，则由c＝λa＋(1－λ)b(0<λ<1)可知，A，B，C三点共线，且C在A，B两点之间．选项A，＝(－1,2)，＝(0,2)，与不平行，选项A错误；选项B，＝(－2,4)，＝(－1,2)，与平行，且C在A，B两点之间，选项B正确；选项C，＝(－4,2)，＝(－2,1)，与平行，且C在A，B两点之间，选项C正确；选项D，＝(2，－2)，＝(－1,1)，与平行，但C不在A，B两点之间，选项D错误．故选BC.
10．ABD 解析 若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形．故选ABD.
11．AC 解析 如图所示，则＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋×＝＋.故选AC.
12．(2,2) 解析 由题意得＝，且＝(3，－3)，设P(x，y)，则(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以x＝2，y＝2，则点P(2,2)．
13．－1 解析 因为向量＝(m,2)，＝(1,3)，则＝－＝(1－m,1)，而＝(－4，－2)，又B，C，D三点共线，则有∥，因此－2(1－m)＋4＝0，解得m＝－1.
14．0 解析 由题意可知，在Rt△ABD中，AB＝，∠ABC＝，所以BD＝1，所以BD＝BC，所以＝＝(＋)＝＝＋(＋)＝＋，又因为＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，所以λ－2μ＝－＝0.
15. 解析 因为O为三角形ABC内一点，且满足＋2＋3＝3＋2＋，所以＋2＋3＝3(－)＋2(－)＋(－) 3＋＋2＝0，因为SA·＋SB·＋SC·＝0，所以＝＝＝.
16．3 解析 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，B(1,0)，D(0,2)，C(1,2)，直线BD的方程为y＝－2x＋2，⊙C方程为(x－1)2＋(y－2)2＝r2，又＝(1,0)，＝(0,2)，则＝λ＋μ＝(λ，2μ)，圆与直线BD相切，则半径r＝.P点坐标可表示为x＝1＋rcos θ＝λ，y＝2＋rsin θ＝2μ，则λ＋μ＝2＋sin θ＋rcos θ＝2＋sin(θ＋φ)，当sin(θ＋φ)＝1时，有最大值，为2＋×＝3.(共23张PPT)
平面向量基本定理及坐标表示
微练(四十二)
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素养提升
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