第三节 平面向量的数量积
【课程标准】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
教|材|回|顾
1．平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量__________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝__________.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则________就是向量a在向量b上的投影向量．
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θe.
2．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤.
3．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
4．平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
微|点|延|伸
1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．
2．数量积不满足乘法结合律，即一般情况下，(a·b)c≠a(b·c)．
3．当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝a2＝|a|2或|a|＝.
4．有关向量夹角的两个结论
(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为a与b的夹角为0时也有a·b>0)．
(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为a与b的夹角为π时也有a·b<0)．
小|题|快|练
1．已知向量a，b满足|b|＝2|a|＝2，且a与b的夹角为，则(2a＋b)·a＝( )
A．12 B．4
C．3 D．1
2．(人A必二P24T18改编)已知|a|＝5，|b|＝，a·b＝5，则a与b的夹角θ为( )
A．45° B．135°
C．－45° D．30°
3．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则|a－b|＝( )
A．1 B．
C． D．2
4．(人A必二P23T11改编)已知平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
5．已知向量a＝(－2，λ)，b＝(1,1)，且a⊥b，则λ＝________，向量a－b在向量b上的投影向量为________．
第1课时 平面向量的数量积
类型一 平面向量数量积的运算
考向 ：数量积的计算
【例1】 (1)已知向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a－2b|＝3，则a·(a－b)＝( )
A．8 B．9
C．14 D．23
(2)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝( )
A． B． 3
C．2 D． 5
求非零向量a，b的数量积的3种方法
1．定义法：若向量的模与夹角已知或能求，可直接根据数量积的定义求得．
2．分解法：若两个向量的模、夹角未知或不易直接求得，可选择一个基底(模和夹角已知或能求)，将两个向量用这个基底分解表示，然后结合数量积的运算律展开求解．
3．坐标法：若问题所涉及的平面图形适合建立平面直角坐标系，则可建立坐标系，写出有关点的坐标，得到向量的坐标，然后根据数量积的坐标运算法则进行求解．
考向 ：投影向量
【例2】 (1)已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b上的投影向量是________．
(2)(2025·郑州质量检测)已知a＝(－3,4)，b＝(2,2)，则向量a在向量b上的投影向量为________．
求投影向量的方法
1．利用公式：向量a在向量b上的投影向量为|a|·cos〈a，b〉·.
2．利用公式的两种变形：·＝b.
【题组对点练】
题号 1 2
考向
1.(2025·湖北十一校联考)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a·(a＋b)＝( )
A．a2 B．b2
C．(a＋b)2 D．(a－b)2
2．已知△ABC的外接圆圆心为O，且2＝＋，||＝||，则向量在向量上的投影向量为( )
A． B．
C．－ D．
类型二 平面向量数量积的性质应用
考向 ：向量的模
【例3】 (2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝( )
A． B．
C． D．1
利用数量积求解长度(模)问题的处理方法
1．a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.
2．|a±b|＝＝.
3．若a＝(x，y)，则|a|＝.
考向 ：夹角问题
【例4】 (1)若e1，e2是夹角为的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为( )
A． B． C． D．
(2)已知向量a＝(2t,2)，b＝(－t－2，－5)，若向量a与向量a＋b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为( )
A．(－3,1) B．(－3，－1)∪(－1,1)
C．(－1,3) D．∪
求平面向量的夹角的方法
1．定义法：利用向量数量积的定义得，cos〈a，b〉＝，其中两向量的夹角〈a，b〉的取值范围为[0，π]．
2．坐标法：若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝.
考向 ：垂直问题
【例5】 已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )
A．4 B．－4
C． D．－
1．当向量a与b是坐标形式，即a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)时，若要证明a⊥b，则只需证明a·b＝0，即证明x1x2＋y1y2＝0.
2．当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示，且要知道不共线的向量的模与夹角，进行运算证明a·b＝0.
【题组对点练】
题号 1 2 3
考向
1.在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝2DA，点E满足＝2.若AB＝AC＝6，·＝6，则||＝( )
A． B．2
C．12 D．11
2．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|，若(a＋b)⊥(3a－2b)，则a与b的夹角为( )
A． B．
C． D．π
3．(2025·广东佛山一模)对于任意非零向量a，b，c，若向量a，b在向量c上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是( )
A．(a－b)∥c B．(a＋b)∥c
C．(a－b)⊥c D．(a＋b)⊥c
1．(2024·全国甲卷)设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x,2)，则( )
A．x＝－3是a⊥b的必要条件
B．x＝1＋是a∥b的必要条件
C．x＝0是a⊥b的充分条件
D．x＝－1＋是a∥b的充分条件
2．(2022·新课标Ⅱ卷)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝( )
A．－6 B．－5
C．5 D．6
3．(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________.
4．(2024·天津高考)在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点， CE＝DE，＝λ＋μ，则λ＋μ＝________；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则·的最小值为________．
第三节 平面向量的数量积
必备知识·梳理
教材回顾
1．(2)|a||b|cos θ |a||b|cos θ (3)
小题快练
1．D 解析 因为|b|＝2|a|＝2，所以(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝2|a|2＋|a||b|·cos＝2＋2×1×＝1.故选D.
2．A 解析 由题意得cos θ＝＝，又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝45°.故选A.
3．C 解析 由题意得，(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝1，即1＋1＋2a·b＝1，整理得a·b＝－，则|a－b|＝＝＝＝.故选C.
4．2 解析 由题知，|a|＝2，则|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝4＋4×1＋4×2×1×cos 60°＝12，所以|a＋2b|＝2.
5．2 (－1，－1) 解析 由题意可得a·b＝－2＋λ＝0，解得λ＝2.a－b＝(－3,1)，则向量a－b在向量b上的投影向量为＝(－1，－1)．
第1课时 平面向量的数量积
关键能力·落实
【例1】 (1)A 解析 由|a－2b|＝3，得a2－4a·b＋4b2＝9，即32－4a·b＋4×12＝9，解得a·b＝1，故a·(a－b)＝a2－a·b＝9－1＝8.故选A.
(2)B 解析 解法一：以{，}为基底，可知||＝||＝2，·＝0，则＝＋＝＋，＝＋＝－＋，所以·＝·＝－2＋2＝－1＋4＝3.故选B.
解法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则E(1,0)，C(2,2)，D(0,2)，可得＝(1,2)，＝(－1，2)，所以·＝－1＋4＝3.故选B.
解法三：由题意可得ED＝EC＝，CD＝2，在△CDE中，由余弦定理可得cos∠DEC＝＝＝，所以·＝||||cos∠DEC＝××＝3.故选B.
【例2】 (1)－b 解析 因为|b|＝1，所以b为单位向量．所以向量a在向量b上的投影向量为|a|cos 120°·＝3×·b＝－b.
(2) 解析 向量a在向量b上的投影向量为·＝b＝(2,2)＝.
【题组对点练】
1．C 解析 由题知|a|2＝|b|2＝|a－b|2，所以|b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b，即a·b＝|a|2，所以a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2，而(a＋b)2＝a2＋b2＋a·b＝a2＝|a|2，故选C.
2．A 解析
因为2＝＋，所以O为BC的中点，又O为△ABC的外接圆圆心，所以△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，如图，因为||＝||，所以△AOC为等边三角形，则∠ACB＝60°，所以向量在向量上的投影向量为||cos 60°·＝·cos 60°·＝cos260°·＝.故选A.
【例3】 B 解析 由(b－2a)⊥b，得(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，所以b2＝2a·b.将|a＋2b|＝2的两边同时平方，得a2＋4a·b＋4b2＝4，即1＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4，解得|b|2＝，所以|b|＝，故选B.
【例4】 (1)C 解析 由题意可得e1·e2＝1×1×cos＝，故a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋e1·e2＋2e＝－6＋＋2＝－，|a|＝＝＝，|b|＝＝＝.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝.故选C.
(2)D 解析 由题意知a＋b＝(t－2，－3)，当a与a＋b共线时，－6t－2(t－2)＝0，解得t＝，此时a与a＋b的夹角为π，因为a与a＋b的夹角为钝角，所以a·(a＋b)<0且t≠，即t2－2t－3<0且t≠，所以t∈∪.故选D.
【例5】 B 解析 由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，所以t＝－＝－＝－＝－3×＝－3×＝－4.故选B.
【题组对点练】
1．A 解析 因为BD＝2DA，所以＝.因为＝2，所以E为CD的中点，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋，故||＝＝＝＝＝.故选A.
2．C 解析 因为(a＋b)⊥(3a－2b)，所以(a＋b)·(3a－2b)＝0，则a·b＝2|b|2－3|a|2，又|a|＝|b|，则a·b＝2|b|2－32＝－|b|2，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，又0≤〈a，b〉≤π，所以a与b的夹角为.故选C.
3．D 解析 由题意得，向量a在向量c上的投影为|a|cos〈a，c〉＝|a|×＝，同理，向量b在向量c上的投影为.因为任意非零向量a，b在向量c上的投影向量互为相反向量，所以向量a，b在向量c上的投影互为相反数，所以＋＝0，则(a＋b)·c＝0，即(a＋b)⊥c.故选D.
高考真题·重温
1．C 解析 a⊥b x2＋x＋2x＝0 x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确．a∥b 2x＋2＝x2 x2－2x－2＝0 x＝1±，故B，D错误．故选C.
2．C 解析 由题意可得c＝(3＋t,4)，由〈a，c〉＝〈b，c〉得cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即＝，解得t＝5，故选C.
3. 解析 由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，即a2＝2a·b，则由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以|b|＝.
4. － 解析 以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0，1)，E，所以＝，＝(－1,0)，＝(0,1)，因为＝λ＋μ，所以＝λ(－1，0)＋μ(0,1)，所以λ＝，μ＝1，所以λ＋μ＝.由B(1,0)，E可得直线BE的方程为y＝－3(x－1)，设F(a,3－3a)，则G，所以＝(a,3－3a)，＝，所以·＝a·＋(3－3a)·＝5a2－6a＋＝52－，所以当a＝时，·取得最小值，为－.微练(四十三) 平面向量的数量积
基础过关
一、单项选择题
1．在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于( )
A．－2 B．2
C．－2 D．2
2．(2025·河北模拟)将向量＝(1,1)绕坐标原点O逆时针旋转60°得到，则·＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
3．已知|b|＝2|a|，若a与b的夹角为120°，则2a－b在b上的投影向量为( )
A．－3b B．－b
C．－b D．3b
4．在△ABC中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝，若点M满足＝2，则·＝( )
A． B．
C．1 D．
5．(2025·河南模拟)已知非零向量a，b的夹角的正切值为2，且(a＋3b)⊥(2a－b)，则＝( )
A．2 B．
C． D．1
6．已知平面向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝|b|＝1，|c|＝，则a与b的夹角为( )
A． B．
C． D．
7．(2025·长沙适应性考试)在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点．AB＝2，CD＝3，且·＝4，则||＝( )
A． B．
C． D．
8．若平面单位向量a，b，c满足〈a，b〉＝，b·c＝0，a·c<0，则＝( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．(2025·湖北武汉调研)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(－3,4)，则( )
A．若a∥b，则tan θ＝－
B．若a⊥b，则sin θ＝
C．|a－b|的最大值为6
D．若a·(a－b)＝0，则|a－b|＝2
10．已知向量a，b不共线，向量a＋b平分a与b的夹角，则下列结论一定正确的是( )
A．a·b＝0
B．(a＋b)⊥(a－b)
C．向量a与b在a＋b上的投影向量相等
D．|a＋b|＝|a－b|
11．(2024·湖南模拟)已知向量a，b满足|a＋2b|＝|a|，a·b＋a2＝0，且|a|＝2，则( )
A．|b|＝2 B．a＋b＝0
C．|a－2b|＝6 D．a·b＝4
三、填空题
12．在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，＝，则·＝________.
13．已知向量a，b，c在网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则(a－b)·c＝________，a·b＝________.
14．(2025·河北联考)已知平面向量a，b是非零向量，(2a－b)⊥(2a＋b)，向量b在向量a上的投影向量为－a，则＝________，向量a，b的夹角是________．
素养提升
15．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是( )
A．(－2,6) B．(－6,2)
C．(－2,4) D．(－4,6)
16．在△ABC中，＝a，＝b，D是AC的中点，＝2，试用a，b表示为________，若⊥，则∠ACB的最大值为________．
微练(四十三) 平面向量的数量积
1．B 解析 ·＝||||cos∠ABC＝2××cos 45°＝2.故选B.
2．B 解析 因为||＝＝，且||＝，所以·＝·(－)＝·－2＝××－2＝－1.故选B.
3．B 解析 因为|b|＝2|a|，且a与b的夹角为120°，所以2a－b在b上的投影向量为·＝·b＝·b＝·b＝－b.故选B.
4．C 解析 因为在△ABC中点M满足＝2，所以＝－，＝－，又AB＝2，BC＝1，∠ABC＝，所以·＝||||cos∠ABC＝2×1×＝1，所以·＝－·(－)＝－·＋2＝－＋＝1.故选C.
5．D 解析 设非零向量a，b的夹角为θ，则tan θ＝2，所以cos θ＝，因为(a＋3b)⊥(2a－b)，所以(a＋3b)·(2a－b)＝0，即2a2＋5a·b－3b2＝0，即2|a|2＋5|a|·|b|·cos θ－3|b|2＝0，即2|a|2＋|a|·|b|－3|b|2＝0，方程两边同时除以|b|2得，22＋－3＝0.令t＝，t>0，则2t2＋t－3＝0，所以t＝1，即＝1，故选D.
6．B 解析 平面向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝|b|＝1，|c|＝，故a＋b＝－c，所以(a＋b)2＝c2，所以a2＋2a·b＋b2＝3，所以a·b＝，则cos〈a，b〉＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，故〈a，b〉＝，故选B.
7．B 解析 如图，＝＋＋ ①，＝＋＋ ②，①＋②，得＋＝＋＋2＋＋，因为E为AD的中点，F为BC的中点，所以＋＝0，＋＝0，即＋＝2.因为·＝4，所以将＋＝2变形为＝2－，两边平方得2＝42＋2－4· ③，又AB＝2，CD＝3，所以③式转化为9＝42＋4－4×4，则2＝，所以||＝，故选B.
8．A 解析 解法一：由〈a，b〉＝，b·c＝0，a·c<0得〈a，c〉＝＋＝，所以a·c＝－，所以＝＝，故选A.
解法二：由题意可设a＝(1,0)，b＝，c＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，则b·c＝cos α＋sin α＝0，得tan α＝－，结合a·c＝cos α<0得α＝，故c＝，所以＝＝.故选A.
9．ACD 解析 若a∥b，则4cos θ＝－3sin θ，tan θ＝－，A正确；若a⊥b，则－3cos θ＋4sin θ＝0，tan θ＝，所以sin θ＝±，B错误；因为|a|＝＝1，|b|＝＝5，|a－b|≤|a|＋|b|＝6，当且仅当a，b反向时等号成立，所以C正确；若a·(a－b)＝0，则a2＝a·b，则|a－b|＝＝＝＝＝2，D正确．故选ACD.
10．BC 解析 在 ABCD中，令＝a，＝b，由题意可知， ABCD为菱形，所以||＝||，即|a|＝|b|，a＋b＝，a－b＝.对于A，因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，所以只有当〈a，b〉＝时，才有a·b＝0，故A不正确．对于B，由菱形的性质知AC⊥BD，即(a＋b)⊥(a－b)，故B正确．对于C，因为a2＝b2，所以a2＋a·b＝b2＋a·b，即a·(a＋b)＝b·(a＋b)，因为a在a＋b上的投影向量为·(a＋b)，b在a＋b上的投影向量为·(a＋b)，所以向量a与b在a＋b上的投影向量相等，故C正确．对于D，菱形的对角线不一定相等，故D不正确．综上，选BC.
11．ABC 解析 因为|a＋2b|＝|a|，所以|a＋2b|2＝|a|2，即a2＋4a·b＋4b2＝a2，整理可得a·b＋b2＝0，再由a·b＋a2＝0，且|a|＝2，可得a2＝b2＝4，所以|b|＝2，a·b＝－4，A选项正确，D选项错误；cos〈a，b〉＝＝－1，即向量a，b的夹角〈a，b〉＝π，故向量a，b共线且方向相反，所以a＋b＝0，B选项正确；|a－2b|＝＝＝＝6，C选项正确．故选ABC.
12. 解析 因为AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，所以·＝||||cos∠BAC＝2×1×＝1.因为＝，所以－＝(－)，所以＝(3－)，·＝(3－)·＝(3－)·(－)＝(32－4·＋2)＝(3×1－4×1＋4)＝.
13．2 3 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，所以a－b＝(0,2)，a·b＝4－1＝3，所以(a－b)·c＝2.
14．－1 解析 因为(2a－b)⊥(2a＋b)，所以(2a－b)·(2a＋b)＝4a2－b2＝0，即|b|＝2|a|，又向量b在向量a上的投影向量为·＝·＝2cos〈a，b〉·a＝－a，所以cos〈a，b〉＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，所以＝＝2×＝－1.
15．A 解析 如图，过点P作PP1⊥直线AB于P1，过点C作CC1⊥直线AB于C1，过点F作FF1⊥直线AB于F1，·＝||·||·cos∠PAB，当∠PAB为锐角时，||·cos∠PAB＝|1|，当∠PAB为钝角时，||·cos∠PAB＝－|1|，所以当点P与C重合时，·最大，此时·＝|1|||＝6，当点P与F重合时，·最小，此时·＝－|1|||＝－2，又因为点P是正六边形ABCDEF内的一点．所以－2<·<6.故选A.
16.b－a 解析 ＝－＝b－a，＝－＝b－a，由⊥得(3b－a)·(b－a)＝0，即3b2＋a2＝4a·b，所以cos∠ACB＝＝≥＝，当且仅当|a|＝|b|时取等号，而0<∠ACB<π，所以∠ACB∈.故∠ACB的最大值为.(共23张PPT)
平面向量的数量积
微练(四十三)
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