第四节 复数
【课程标准】 1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
教|材|回|顾
1．复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中的a与b分别叫做复数z的__________与________(i为虚数单位)．
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的 分类 a＋bi为实数 ________
a＋bi为虚数 ________
a＋bi为纯虚数 ____________
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di ____________(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 ____________(a，b，c，d∈R)．
(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作__________或________，即|z|＝|a＋bi|＝________(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi ______________(a，b∈R)．
3．复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．
z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝______________；
z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝______________；
＝＝______________(c＋di≠0)．
(2)几何意义：
复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝__________，＝__________.
微|点|延|伸
1．in(n∈N)的周期性
①i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；
②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
2．复数模的性质
①|z|2＝||2＝z·；②|z1·z2|＝|z1|·|z2|；③＝(z2≠0)；④|zn|＝|z|n.
3．复数模的几何意义
|z－z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
4．实系数一元二次方程虚根成对：若实系数一元二次方程有虚根，则两根互为共轭复数．
小|题|快|练
1．若复数z＝，则|z|＝( )
A． B．
C． D．
2．(人A必二P95T1(3)改编)已知复数z＝i3(1＋i)，则z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知i是虚数单位，若|1＋ai|＝5，则实数a＝( )
A．2 B．2
C．－2 D．±2
4．已知复数z满足z(1－i)＝i(i为虚数单位)，则z的虚部为________．
5．(2024·上海高考)已知虚数z，其实部为1，且z＋＝m(m∈R)，则实数m为________．
类型一 复数的概念
【例1】 (1)已知z是虚数，z2＋2z是实数，则z的( )
A．实部为1 B．实部为－1
C．虚部为1 D．虚部为－1
(2)(2025·湖南联考)已知复数z＝(a＋bi)i(a，b∈R，i为虚数单位)的共轭复数为，则为纯虚数的充分必要条件为( )
A．a2＋b2≠0 B．ab＝0
C．a＝0，b≠0 D．a≠0，b＝0
解决复数概念问题的方法及注意事项
1．复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
2．解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
【训练1】 (1)(多选题)下面是关于复数z＝－1－i(i为虚数单位)的命题，其中真命题为( )
A．|z|＝2 B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1
(2)若复数z＝的实部与虚部相等，则实数a的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
类型二 复数的几何意义
【例2】 (1)在复平面内，复数对应的点的坐标为( )
A．(1，－2) B．(－1,2)
C．(1,2) D．(－1，－2)
(2)(2025·广东模拟)已知复数z满足|z－1|＝|z＋i|(i为虚数单位)，在复平面内，记z0＝2＋i对应的点为点Z0，z对应的点为点Z，则点Z0与点Z之间距离的最小值为( )
A． B． C． D．2
由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
【训练2】 (多选题)在复平面内，复数z1＝－i对应的点为A，复数z2＝z1－1对应的点为B，下列说法正确的是( )
A．|z1|＝|z2|＝1
B．z1·z2＝|z1|2
C．向量对应的复数是1
D．||＝|z1－z2|
类型三 复数的运算
【例3】 (1)(2024·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
(2)(多选题)(2024·九省联考)已知复数z，w均不为0，则( )
A．z2＝|z|2 B．＝
C．＝－ D．＝
1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算．
2．复数除法运算的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．
【训练3】 (1)已知复数z是方程x2－2x＋2＝0的一个根，则||＝( )
A．1 B．
C． D．2
(2)设复数z1，z2，z3满足z3≠0，且|z1|＝|z2|，则( )
A．z1＝±z2 B．z＝z
C．z1·z3＝z2·z3 D．|z1·z3|＝|z2·z3|
A．0 B．1
C． D．2
2．(2024·全国甲卷)若z＝5＋i，则i(＋z)＝( )
A．10i B．2i
C．10 D．2
3．(2024·北京高考)若复数z满足＝－1－i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
4．(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．(2023·全国乙卷)设z＝，则＝( )
A．1－2i B．1＋2i
C．2－i D．2＋i
6．(2022·全国甲卷)若z＝1＋i，则|iz＋3|＝( )
A．4 B．4
C．2 D．2
7．(2022·新课标Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，则z＋＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
第四节 复数
必备知识·梳理
教材回顾
1．(1)实部 虚部 (2)b＝0 b≠0 a＝0且b≠0 (3)a＝c且b＝d (4)a＝c且b＝－d (5)|z| |a＋bi|
2．Z(a，b)
3．(1)(a±c)＋(b±d)i (ac－bd)＋(ad＋bc)i ＋i (2)＋ －
小题快练
1．C 解析 解法一：z＝＝＝＝＋i，所以|z|＝＝.故选C.
解法二：z＝＝＝，则|z|＝＝＝＝，故选C.
2．D 解析 z＝i3(1＋i)＝－i(1＋i)＝1－i，z在复平面内对应的点为(1，－1)，位于第四象限．故选D.
3．D 解析 因为|1＋ai|＝5，所以＝5，解得a＝±2.故选D.
4. 解析 由z(1－i)＝i，得z＝＝＝＝－＋i，所以z的虚部为.
5．2 解析 解法一：设z＝1＋bi(b∈R且b≠0)，则z＋＝1＋bi＋＝1＋bi＋＝1＋＋i，因为m∈R，所以b－＝0，得b2＝1，所以m＝1＋＝2.
解法二：由z＋＝m得z2－mz＋2＝0，解得z＝，依题意得＝1，解得m＝2.
关键能力·落实
【例1】 (1)B 解析 设虚数z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，则z2＋2z＝(a＋bi)2＋2(a＋bi)＝a2－b2＋2a＋2b(a＋1)i，由z2＋2z是实数，得2b(a＋1)＝0，得a＝－1，故选B.
(2)D 解析 z＝(a＋bi)i＝－b＋ai(a，b∈R)．由＝－b－ai为纯虚数，得－b＝0且－a≠0.即a≠0且b＝0.故选D.
【训练1】 (1)BD 解析 A选项，|z|＝＝，A错误；B选项，z2＝(－1－i)2＝1＋2i＋i2＝2i，B正确；C选项，z的共轭复数为－1＋i，C错误；D选项，z的虚部为－1，D正确．故选BD.
(2)A 解析 z＝＝＝，因为复数z＝的实部与虚部相等，所以2a＋1＝a－2，解得a＝－3，故实数a的值为－3.故选A.
【例2】 (1)C 解析 因为＝＝1＋2i，所以在复平面内，复数对应的点的坐标为(1,2)．故选C.
(2)C 解析 解法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－1|＝|z＋i|，得(x－1)2＋y2＝x2＋(y＋1)2，即y＝－x，所以点Z0(2,1)与点Z(x，y)之间的距离d＝＝＝≥，当且仅当x＝时取等号．故选C.
解法二：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－1|＝|z＋i|可知，点Z(x，y)到点(1,0)和点(0，－1)的距离相等，所以点Z的轨迹是点(1,0)和点(0，－1)连线段的垂直平分线，其方程为x＋y＝0，所以点Z0(2,1)与点Z(x，y)之间距离的最小值等于点Z0与直线x＋y＝0的距离，即＝.故选C.
【训练2】 AD 解析 因为z1＝－i，则其对应的点为A，z2＝z1－1＝－－i，则复数z2对应的点为B.对于A，|z1|＝＝1，|z2|＝＝1，所以选项A正确；对于B，z1z2＝＝2－2＝－－＝－1，所以选项B错误；对于C，向量＝(－1,0)，则向量对应的复数为－1，所以选项C错误；对于D，||＝1，z1－z2＝1，所以||＝|z1－z2|，所以选项D正确．综上，选AD.
【例3】 (1)C 解析 因为＝1＋i，所以z＝(z－1)(1＋i)，即z＝z－1＋zi－i，即zi＝1＋i，所以z＝＝＝1－i，故选C.
(2)BCD 解析 设复数z＝a＋bi，w＝c＋di，a，b不同时为0，c，d不同时为0.对于A，z2＝(a＋bi)2＝a2＋2abi＋b2i2＝a2－b2＋2abi，而|z|＝，|z|2＝a2＋b2，所以z2＝|z|2不成立，故选项A错误；对于B，＝＝＝，故选项B正确；对于C，＝＝＝(a－c)－(b－d)i，而＝a－bi，＝c－di，－＝(a－bi)－(c－di)＝(a－c)－(b－d)i＝，故选项C正确；对于D，＝＝，所以＝，而＝＝，而(ac＋bd)2＋(bc－ad)2＝a2c2＋b2d2＋b2c2＋a2d2＝(a2＋b2)(c2＋d2)，显然＝，故选项D正确．综上所述，选BCD.
【训练3】 (1)B 解析 由x2－2x＋2＝0，得(x－1)2＝－1＝i2，所以z＝1±i，所以||＝|z|＝.故选B.
(2)D 解析 因为|z1|＝|z2|，所以|z1|·|z3|＝|z2|·|z3|，即|z1·z3|＝|z2·z3|.故选D.
高考真题·重温
1．C 解析 |z|＝|－1－i|＝＝.故选C.
2．A 解析 因为z＝5＋i，所以＝5－i，所以i(＋z)＝10i，故选A.
3．C 解析 由题意得，z＝i(－1－i)＝1－i.故选C.
4．A 解析 因为(1＋3i)(3－i)＝3＋8i－3i2＝6＋8i，则所求复数对应的点为(6,8)，位于第一象限．故选A.
5．B 解析 由题意可得z＝＝＝＝＝1－2i，则＝1＋2i.故选B.
6．D 解析 因为z＝1＋i，所以iz＋3＝i(1＋i)＋3(1－i)＝－1＋i＋3－3i＝2－2i，所以|iz＋3|＝|2－2i|＝＝2.故选D.
7．D 解析 因为i(1－z)＝1，所以z＝1－＝1＋i，所以＝1－i，所以z＋＝1＋i＋1－i＝2.故选D.(共42张PPT)
第四节
第五章 平面向量与复数
复数
课
程
标
准
必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
复数的概念
解析
解析
解析
解析
类型二
复数的几何意义
解析
解析
解析
解析
类型三
复数的运算
解析
解析
解析
解析
解析
高考真题/重温
第三部分
——明确方向
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
R
赢在欲点
y个
Z
Z
Zx
0
X微练(四十五) 复数
基础过关
一、单项选择题
1.＝( )
A．－1 B．1
C．1－i D．1＋i
2．若复数是纯虚数，则实数a＝( )
A．－ B． C．－ D．
3．若复数z＝3－4i，则＝( )
A．＋i B．－i
C．－＋i D．－－i
4．(2025·福建适应性考试)若复数z满足(1－i)z＝2i，则z·＝( )
A．－2 B．0
C． D．2
5．已知i为虚数单位，复数z满足|z＋2i|＝|z|，则的虚部为( )
A．－1 B．1
C．i D．－i
6．若复数z满足z·(1＋i)＝2－i，其中i为虚数单位，则z＋＝( )
A．i B．－i
C．1 D．－1
7．(2025·广州模拟)已知复数z满足|z－3＋4i|＝1，则z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8．若f(α)＝cos α＋i·sin α(i为虚数单位)，则[f(α)]2＝( )
A．f(α) B．f(2α)
C．2f(α) D．f(α2)
二、多项选择题
9．若复数z满足(1＋i)·z＝5＋3i(其中i是虚数单位)，则( )
A．z的虚部为－i
B．z的模为
C．z的共轭复数为4－i
D．z在复平面内对应的点位于第四象限
10．设复数z＝＋i，其中i是虚数单位，是z的共轭复数，下列判断中正确的是( )
A．z＝1
B．z2＝
C．z是方程x2－x＋1＝0的一个根
D．满足zn∈R的最小正整数n为3
11．(2025·石家庄质量检测)设z为复数(i为虚数单位)，下列说法正确的有( )
A．若(1＋i)z＝－i，则|z|＝1
B．对任意复数z1，z2，有|z1z2|＝|z1|·|z2|
C．对任意复数z1，z2，有＝1·2
D．在复平面内，若M＝{z||z－2|≤2}，则集合M所构成区域的面积为6π
三、填空题
12．(2024·天津高考)已知i是虚数单位，复数(＋i)(－2i)＝________.
13．已知复数z＝，a∈R.若z为纯虚数，则a＝________.
14．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为________．
素养提升15．已知复数z1，z2满足2|z1|＝|z2|＝|2z1－z2|＝2，则＝( )
A．1 B． C．2 D．2
16．在数学中，记表达式ad－bc为由所确定的二阶行列式的值．若在复数域内，z1＝1＋i，z2＝，z3＝2，则当＝－i时，z4的虚部为________．
微练(四十五) 复数
1．C 解析 ＝＝1－i.故选C.
2．A 解析 ＝＝＝＋i，因为是纯虚数，所以得a＝－.故选A.
3．A 解析 因为z＝3－4i，所以＝3＋4i，|z|＝5，所以＝＋i.故选A.
4．D 解析 由题意知，z＝＝＝＝－1＋i，所以＝－1－i，z·＝(－1＋i)·(－1－i)＝2，故选D.
5．B 解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|a＋bi＋2i|＝|a＋bi|，所以＝，即4b＋4＝0，解得b＝－1，所以z的虚部为－1，所以的虚部为1，故选B.
6．C 解析 由z·(1＋i)＝2－i，得z＝＝＝，则＝，所以z＋＝1.故选C.
7．D 解析 由|z－3＋4i|＝1及复数的几何意义，可得复数z在复平面内对应的点Z(a，b)的轨迹是以(3，－4)为圆心、1为半径的圆，该圆的方程为(a－3)2＋(b＋4)2＝1，所以z在复平面内对应的点位于第四象限，故选D.
8．B 解析 因为f(α)＝cos α＋i·sin α，所以[f(α)]2＝(cos α＋i·sin α)2＝cos2α＋2i·sin αcos α＋i2·sin2α＝cos 2α＋i·sin 2α＝f(2α)．故选B.
9．BD 解析 由(1＋i)·z＝5＋3i得z＝＝＝＝4－i，所以z的虚部为－1，A错误；z的模为＝，B正确；z的共轭复数为4＋i，C错误；z在复平面内对应的点为(4，－1)，位于第四象限，D正确．故选BD.
10．ACD 解析 对于A，z·＝＝1，故A正确；对于B，z2＝2＝－＋i，＝－i，z2＝－，故B错误；对于C，2－＋1＝－＋i－－i＋1＝0，则z是方程x2－x＋1＝0的一个根，故C正确；对于D，z＝＋i，z2＝－＋i，z3＝z2·z＝－＝－1，故D正确．故选ACD.
11．BC 解析 对于A，z＝＝－－i，|z|＝，A错误，对于B，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，所以|z1z2|＝＝＝＝＝|z1|·|z2|，所以B正确；对于C，由B选项知，z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，所以＝(ac－bd)－(ad＋bc)i，又1·2＝(a－bi)(c－di)＝(ac－bd)－(ad＋bc)i，所以C正确；对于D，若复数z满足|z－2|≤2，则复数z对应的点所构成区域是以(2,0)为圆心，2为半径的圆及其内部，所以集合M所构成区域的面积为π×22＝4π，所以D错误．综上，选BC.
12．7－i 解析 (＋i)(－2i)＝()2－2i＋i－2i2＝7－i.
13．1 解析 z＝＝＝[(a－1)＋(1＋a)i]为纯虚数，所以所以a＝1.
14．－2＋i 解析 因为点A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以向量对应的复数为－2＋i.
15．B 解析 解法一：由2|z1|＝|z2|＝|2z1－z2|＝2，得|2z1－z2|2＝4z－4z1z2＋z＝4，将|z1|＝1，|z2|＝2代入得4－4z1z2＋4＝4，即z1z2＝1，所以2＝z＋z＋z1z2＝1＋1＋1＝3，所以＝，故选B.
解法二：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则2＝＝＝2，所以a2＋b2＝1，c2＋d2＝4,8－4(ac＋bd)＝4，即ac＋bd＝1，则＝＝＝，故选B.
16．－2 解析 依题意知＝z1z4－z2z3，因为z3＝2，且z2＝＝＝，所以z2z3＝|z2|2＝，因此有(1＋i)z4－＝－i，即(1＋i)z4＝3－i，故z4＝＝＝1－2i.所以z4的虚部是－2.(共22张PPT)
复数
微练(四十五)
基础过关
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