第一节 数列的概念与简单表示法
【课程标准】 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
教|材|回|顾
1．数列的有关概念
(1)数列的定义
按照________排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的________．
(2)数列的分类
分类标准 类型 满足条件
按项数 分类 有穷数列 项数________
无穷数列 项数________
按项与项 间的大小 关系分类 递增数列 an＋1____an 其中n∈N*
递减数列 an＋1____an
常数列 an＋1＝an
按其他 标准分类 有界数列 存在正数M，使|an|≤M
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项
周期数列 对n∈N*，存在正整数k，使an＋k＝an
(3)数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是____________、____________和____________．
2．数列的通项公式
(1)数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的______之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
[微点清] ①并不是所有的数列都有通项公式；②同一个数列的通项公式在形式上未必唯一．
3．数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
微|点|延|伸
1．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N*)；若an最小，则(n≥2，n∈N*)．
2．由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数，因此它具备函数的某些性质：
(1)单调性——若an＋1＞an，则{an}为递增数列；若an＋1＜an，则{an}为递减数列，否则为摆动数列或常数列(an＋1＝an)．
(2)周期性——若an＋k＝an(k为非零常数)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期．
小|题|快|练
1．(人A选二P4例1(1)改编)数列1,3,6,10，x,21,28，…中，由给出的数之间的关系可知x的值为( )
A．12 B．15
C．17 D．18
2．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是( )
A． B．
C． D．
3．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则＝( )
A． B．
C． D．30
4．已知an＝2n＋a(1－n)，若数列{an}是递减数列，则实数a的取值范围是________．
5．(北师大选二P8T6改编)已知数列的通项公式是an＝n2－5n＋3，则数列{an}的最小项是第________项．
类型一 由an与Sn的关系求通项公式
【例1】 (1)设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3n＋3，则an＝________.
(2)已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.
an与Sn的关系问题的求解思路
1．利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
2．利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
【训练1】 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝( )
A．40 B．44
C．45 D．49
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
类型二 累加、累乘法求通项公式
【例2】 (1)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________.
(2)设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n＝1,2，3，…)，则它的通项公式an＝________.
已知数列的递推公式求通项公式的典型方法
1．当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解．
2．当出现＝f(n)时，用累乘法求解．
【训练2】 (1)(2025·广东汕头调研)已知数列{an}，a1＝1，an＋1－an＝2n，则a10＝( )
A．511 B．1 022
C．1 023 D．2 047
(2)已知数列{an}满足a1＝2，(n＋1)an＋1＝2(n＋2)an，则数列{an}的通项公式为________________________．
(3)已知数列{an}满足a1＝2，且(n＋1)an＋1－nan＝2n，则数列{an}的通项公式为________.
类型三 数列的函数性质
考向 ：周期性的应用
【例3】 (2025·江西南昌适应性测试)若数列{an}满足a2＝11，an＋1＝，则a985＝( )
A． B．11
C．－ D．
解决数列的周期性问题，先求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
考向 ：单调性的应用
【例4】 已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0)．
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．
确定数列的单调性常用比较法或借助常见函数的单调性，如本例借助反比例函数的单调性确定数列的单调性．
【题组对点练】
题号 1 2 3
考向
1.已知数列{an}中，a1＝2，a2＝4，an＋an＋1＋an＋2＝2，则a2 025＝( )
A．4 B．2
C．－2 D．－4
2．已知数列{an}的通项an＝，n∈N*，则数列{an}前20项中的最大项与最小项的值分别为________．
3．数列{bn}满足bn＝，则当n＝________时，bn取最大值为________．
第一节 数列的概念与简单表示法
必备知识·梳理
教材回顾
1．(1)确定的顺序 项 (2)有限 无限 > < (3)列表法 图象法 解析式法
2．(1)序号n (2)S1 Sn－Sn－1
小题快练
1．B 解析 各项乘于2，变为1×2,2×3,3×4，故数列的通项公式为an＝，故a5＝15.故选B.
2．C 解析 由已知，得a2＝1＋(－1)2＝2，所以2a3＝2＋(－1)3，a3＝，所以a4＝＋(－1)4，a4＝3，所以3a5＝3＋(－1)5，所以a5＝，所以＝×＝.故选C.
3．D 解析 因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，所以＝5×(5＋1)＝30.故选D.
4．(2，＋∞) 解析 因为an＝2n＋a(1－n)，所以an＝(2－a)n＋a.因为数列{an}是递减数列，所以2－a<0，解得a>2.
5．2或3 解析 an＝n2－5n＋3＝2－，因为n∈N*，所以当n＝2或3时，an最小，a2＝a3＝－3.
关键能力·落实
【例1】 (1) 解析 由题意，2Sn＝3n＋3 ①，当n＝1时，a1＝S1＝3，当n≥2时，2Sn－1＝3n－1＋3 ②，①－②得2an＝2Sn－2Sn－1＝(3n＋3)－(3n－1＋3)＝2×3n－1，因此，an＝3n－1(n≥2)，当n＝1时不满足上式，所以an＝
(2)－2n－1 解析 当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，所以a1＝－1.Sn＝2an＋1 ①，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1 ②.①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，所以{an}是首项为a1＝－1，公比为q＝2的等比数列，所以an＝a1·qn－1＝－2n－1.
【训练1】 (1)B 解析 因为Sn＝n2－1，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－1－(n－1)2＋1＝2n－1，又a1＝S1＝0，所以an＝所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝0＋5＋9＋13＋17＝44.故选B.
(2)－ 解析 因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，所以由两式联立，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.因为Sn≠0，所以－＝1，即－＝－1.又＝－1，所以数列是首项为－1，公差为－1的等差数列．所以＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，所以Sn＝－.
【例2】 (1)4－ 解析 (累加法)原递推公式可化为an＋1＝an＋－，则a2＝a1＋－，a3＝a2＋－，a4＝a3＋－，…，an＝an－1＋－.逐项相加，得an＝a1＋1－.又a1＝3，故an＝4－.
(2) 解析 (累乘法)原式可化为[(n＋1)an＋1－nan]·(an＋1＋an)＝0.因为an＋1＋an>0，所以＝.则＝，＝，＝，…，＝，逐项相乘，得＝，又a1＝1，故an＝.
【训练2】 (1)C 解析 因为an＋1－an＝2n，所以a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，a5－a4＝24，…，a10－a9＝29，累加可得a10－a1＝2＋22＋23＋…＋29＝＝210－2，所以a10＝210－1＝1 023.故选C.
(2)an＝(n＋1)·2n－1 解析 因为(n＋1)an＋1＝2(n＋2)an，所以＝，则an＝a1····…·＝2n－1·a1·＝(n＋1)·2n－1(n≥2)．当n＝1时，a1＝2满足上式，所以an＝(n＋1)·2n－1(n∈N*)．
(3)an＝ 解析 设bn＝nan，则b1＝a1＝2，(n＋1)an＋1－nan＝2n，即bn＋1－bn＝2n，所以当n≥2时，b2－b1＝21，b3－b2＝22，…，bn－bn－1＝2n－1，将以上各式累加可得bn－b1＝21＋22＋…＋2n－1(n≥2)，故bn＝21＋22＋…＋2n－1＋b1＝＋2＝2n(n≥2)，又b1＝2也满足上式，所以bn＝2n，即nan＝2n，故an＝.
【例3】 D 解析 因为an＋3＝＝＝＝＝an，所以数列{an}是周期为3的数列，所以a985＝a328×3＋1＝a1，因为a2＝11，所以11＝，解得a1＝，故a985＝a1＝.故选D.
【例4】 解 (1)因为an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，又a＝－7，所以an＝1＋(n∈N*)．结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)．所以数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
(2)an＝1＋＝1＋，已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知5<<6，即－10
【题组对点练】
1．D 解析 因为a1＝2，a2＝4，an＋an＋1＋an＋2＝2，所以an＋2＝2－an＋1－an，则a3＝2－a2－a1＝－4，a4＝2－a3－a2＝2，a5＝2－a4－a3＝4，…，所以数列{an}是以3为周期的周期数列，则a2 025＝a675×3＝a3＝－4.故选D.
2．3，－1 解析 an＝＝＝1＋，当n≥11时，>0，且单调递减；当1≤n≤10时，<0，且单调递减．因此数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为第11项，第10项，则a11＝3，a10＝－1.
3．4 解析 解法一：bn－bn－1＝－＝，所以当n≤4时，bn>bn－1，所以{bn}单调递增，当n≥5时，bn解法二：令即解得≤n≤，又n∈N*，故n＝4，故当n＝4时，(bn)max＝b4＝.(共37张PPT)
第一节
第六章 数列
数列的概念与简单表示法
课
程
标
准
必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
由an与Sn的关系求通项公式
解析
解析
解析
解析
类型二
累加、累乘法求通项公式
解析
解析
解析
解析
解析
类型三
数列的函数性质
解析
解
解
解析
解析
解析
解析
R
赢在欲点微练(四十六) 数列的概念与简单表示法
基础过关
一、单项选择题
1．已知数列－1，，－，，…，则该数列的第211项为( )
A．－ B．
C．－ D．
2．记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝则a6＝( )
A．1 B．5
C．7 D．9
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－7n，若3A．8 B．7
C．6 D．5
4．若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则该数列的前2 025项的乘积是( )
A．－2 B．－1
C．2 D．1
5．(2024·浙江宁波二模)已知数列{an}满足an＝λn2－n，又任意n∈{1,2,3}都有an>an＋1，且对任意n∈{x|x≥7，x∈N}都有anA． B．
C． D．
6．已知数列{an}满足an＝(n∈N*)，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
A．(2,3) B．
C． D．(1,3)
二、多项选择题
7．已知数列{an}对 n∈N*，满足an＝logn＋1(n＋2)，设Tn为数列{an}的前n项之积，则下列结论正确的有( )
A．a1>a2 B．a1>a7
C．T6＝3 D．T78．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·n，则下列说法正确的是( )
A．a1是数列{an}的最小项
B．a4是数列{an}的最大项
C．a5是数列{an}的最大项
D．当n≥5时，数列{an}是递减数列
三、填空题
9．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________，数列{nan}中数值最小的项是第________项．
10．(2025·江苏联考)围棋起源于我国，至今已有4 000多年的历史．在围棋中，对于一些复杂的“死活”问题，比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列有关知识来计算．假设大小为n的眼有an口气，大小为(n＋1)的眼有an＋1口气，且a1＝1，a2＝2，an＋1－n＝an－1(n≥2，n∈N*)，则an的通项公式为________．
11．(2025·湖北联考)记数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则当Sn取得最小值时，n＝________.
四、解答题
12．已知数列{an}中，a1＝2，a2＝，anan＋2＝1(n∈N*)．
(1)求a3，a5的值；
(2)求{an}的前2 025项和S2 025.
13．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，Sn＝n2·an，bn＝.
(1)写出数列{bn}的前4项；
(2)求出数列{an}的通项公式．
素养提升
14. (2025·山东滨州模拟)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…….记第n层球的个数为an，则数列的前20项和为( )
A． B． C． D．
15．(多选题)已知正项数列{an}满足a＝an＋2，n∈N*，则以下结论正确的是( )
A．若a1∈(0,2)，则数列{an}为递减数列
B．若a1∈(2，＋∞)，则数列{an}为递增数列
C．若a1∈(2，＋∞)，则2D．若a1＝1，数列{an}的前n项和Sn＝a1＋…＋an，则Sn≤2n－1
16．若项数为n的数列{an}满足：ai＝an＋1－i(i＝1,2,3，…，n)，我们称其为n项的“对称数列”．例如：数列1,2,2,1为4项的“对称数列”；数列1,2,3,2,1为5项的“对称数列”．设数列{cn}为2k－1(k≥2)项的“对称数列”，其中c1，c2，c3，…，ck是公差为2的等差数列，数列{cn}的最大项等于8.记数列{cn}的前2k－1项和为S2k－1，若S2k－1＝32，则k＝________.
微练(四十六) 数列的概念与简单表示法
1．A 解析 由题意，该数列可表示为－，，－，，…，该数列的通项公式为an＝(－1)n·，所以a211＝－，故选A.
2．A 解析 因为Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝则a6＝S6－S5＝5×6－4－52＝1.故选A.
3．C 解析 n＝1时，a1＝1－7＝－6；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－7n－(n－1)2＋7(n－1)＝2n－8，由34．C 解析 因为数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，所以a2＝＝＝－3，同理可得a3＝－，a4＝，a5＝2，…，所以数列{an}的周期为4，即an＋4＝an，且a1·a2·a3·a4＝1，而2 025＝506×4＋1，所以该数列的前2 025项的乘积是a1·a2·a3·a4·…·a2 025＝1506×a1＝2.故选C.
5．C 解析 由题意得λ>0. n∈{1,2,3}，an>an＋1 > λ<； n≥7，an，所以<λ<.故选C.
6．C 解析 由题意解得7．ABC 解析 因为a1＝log23>log22＝，a2＝log34a2，故A正确；a7＝log89＝log230，log89>1，所以T7>T6，故D错误．故选ABC.
8．BCD 解析 假设第n项为{an}的最大项，则即所以又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故在数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝，当n≥5时，数列{an}是递减数列．故选BCD.
9．2n－11 3 解析 因为Sn＝n2－10n，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．所以an＝2n－11(n∈N*)．记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，此函数图象的对称轴为直线n＝，又n∈N*，所以当n＝3时，f(n)取最小值．所以数列{nan}中数值最小的项是第3项．
10．an＝ 解析 根据题意，an＋1－an＝n－1，当n≥2时，可得an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，即an＝(n－2)＋(n－3)＋…＋1＋1＋1＝＋2＝.又当n＝1时，a1＝1不满足an＝，故an＝
11．16 解析 根据题意，令an ＝<0，得00，即Sn>Sn－1，数列{Sn}为递增数列，故当n＝16时，Sn取得最小值．
12．解 (1)当n＝1时，a1a3＝1，所以a3＝ ；当n＝3时，a3a5＝1，所以a5＝2.
(2)当n＝2时，a2a4＝1，所以a4＝2；由anan＋2＝1，得an＋2an＋4＝1，所以an＝an＋4，故数列{an}是以4为周期的周期数列，即a4n＝a4＝2，a4n＋1＝a1＝2，a4n＋2＝a2＝，a4n＋3＝a3＝，所以S2 024＝506(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＝506×＋2＝2 532.
13．解 (1)因为Sn＝n2·an ①，所以Sn＋1＝(n＋1)2·an＋1 ②，②－①得an＋1＝(n＋1)2·an＋1－n2·an，所以＝，所以bn＝，所以b1＝，b2＝，b3＝，b4＝.
(2)当n≥2时，由＝，得＝，＝，＝，…，＝，所以···…·＝×××…×，即＝(n≥2)，又a1＝，所以an＝(n≥2)．当n＝1时，a1＝满足上式，故an＝.
14．C 解析 根据已知条件有a1＝1，当n≥2时，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，以上各式累加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，又a1＝1，所以an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝(n≥2)，经验证，a1＝1符合上式，所以an＝(n∈N*)，所以＝＝2，设数列的前n项和为Sn，则Sn＝2＝2－，所以S20＝2－＝.故选C.
15．CD 解析 由已知得an＋1＝，所以＝＝>0，故an＋1－2与an－2同号，即an－2与a1－2同号．若a1∈(0,2)，则a1－2<0，则an－2<0，即an<2，且a－a＝an＋2－a＝－(an－2)(an＋1)>0，故an＋1>an，数列为递增数列，A错误；若a1∈(2，＋∞)，可知an>2，可得an＋1，故an＋1－2<(an－2)，当n≥2时，an－216．4或5 解析 因为数列{cn}为2k－1项的“对称数列”，所以c1＝c2k－1，c2＝c2k－2，…，ck－1＝ck＋1.又c1，c2，c3，…，ck是公差为2的等差数列，所以数列c1，c2，c3，…，ck是单调递增数列，所以数列ck，ck＋1，ck＋2，ck＋3，…，c2k－1是公差为－2的等差数列，则数列ck，ck＋1，ck＋2，ck＋3，…，c2k－1是单调递减数列，又数列{cn}的最大项为8，所以ck＝8.因为数列{cn}的前2k－1项和S2k－1＝32，所以由对称性可知2(c1＋c2＋c3＋…＋ck－1)＋ck＝32.又ck＝8，所以c1＋c2＋c3＋…＋ck－1＝12，所以Sk＝20，所以Sk＝ck＋ck＋1＋ck＋2＋…＋c2k－1＝kck＋×(－2)＝8k＋×(－2)＝20，即k2－9k＋20＝0，解得k＝4或k＝5.(共25张PPT)
数列的概念与简单表示法
微练(四十六)
基础过关
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