第四节 数列求和
【课程标准】 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式及倒序相加求和法、裂项相消求和法、错位相减求和法；2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决与前n项和相关的问题.
教|材|回|顾
1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝________.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝
2．分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．
3．倒序相加法与并项求和法
(1)倒序相加求和法
如果一个数列的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
(2)并项求和法
在一个数列的前n项中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
4．裂项相消求和法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
5．错位相减求和法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
[微点清] 在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
微|点|延|伸
常见的裂项技巧
(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝.
(4)＝－.
(5)＝.
小|题|快|练
1．数列{1＋2n－1}的前n项和为( )
A．1＋2n B．2＋2n
C．n＋2n－1 D．n＋2＋2n
2．已知数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}的前99项和为( )
A．10 B．9
C．99 D．100
3．Sn＝＋＋＋…＋＝( )
A． B．
C． D．
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝________________________________________________________________________.
5．若f(x)＋f(1－x)＝4，an＝f(0)＋f＋…＋f＋f(1)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为______________．
类型一 分组求和法
【例1】 1＋＋＋…＋＝________.
一般地，如果{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an±bn}或cn＝的前n项和Sn时，可采用分组求和法求解．
【训练1】 (2025·济南质检)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，a2＝2，且an＋2＝an－，则S2 024＝( )
A．32 024－1 011 B．32 024＋1 011
C．31 012－1 011 D．31 012＋1 011
类型二 并项求和
【例2】 (2025·河南名校联考)已知正项数列{an}满足a1＝1，a－a＝8n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记bn＝ansin，数列{bn}的前n项和为Sn，求S2 025.
若an＝(－1)n·bn，则an的前n项和常采用并项求和法．
【训练2】 若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝________.
类型三 裂项法求和
【例3】 (1)已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n＋1.若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝( )
A． B．
C． D．
(2)已知等差数列{an}满足a2＋a4＝6，前7项和S7＝28.设bn＝，则数列{bn}的前n项和Tn＝________.
1．裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
2．消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
【训练3】 (1)数列{an}的通项公式为an＝，若{an}的前n项和为24，则n＝________.
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝2an＋n2－1.
①求an；
②求数列的前n项和Tn.
类型四 错位相减法求和
【例4】 (2024·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝(－1)n－1nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
【规范解答】 (1)因为4Sn＝3an＋4 ①，
所以当n≥2时，4Sn－1＝3an－1＋4 ②，
则当n≥2时，①－②，得4an＝3an－3an－1，即an＝－3an－1.
思维点1：由an与Sn的关系，求{an}的递推关系．
当n＝1时，由4Sn＝3an＋4，得4a1＝3a1＋4，所以a1＝4≠0，
思维点2：确定首项a1.
所以数列{an}是以4为首项，－3为公比的等比数列，
所以an＝4×(－3)n－1.
(2)因为bn＝(－1)n－1nan＝(－1)n－1n×4×(－3)n－1＝4n·3n－1，
所以Tn＝4×30＋8×31＋12×32＋…＋4n·3n－1，
所以3Tn＝4×31＋8×32＋12×33＋…＋4n·3n，
两式相减得－2Tn＝4＋4(31＋32＋…＋3n－1)－4n·3n＝4＋4×－4n·3n＝－2＋(2－4n)·3n，
思维点3：错位相减求Tn.
所以Tn＝1＋(2n－1)·3n.
本题考查了数列中an与Sn的关系、等比数列的定义、错位相减法求和，考查了学生逻辑推理和数学运算的核心素养．
【训练4】 (2025·石家庄质量检测)已知数列{an}满足a1＝7，an＋1＝
(1)写出a2，a3，a4；
(2)证明：数列{a2n－1－6}为等比数列；
(3)若bn＝a2n，求数列{n·(bn－3)}的前n项和Sn.
第四节 数列求和
必备知识·梳理
教材回顾
1．(1)na1＋d (2)
小题快练
1．C 解析 由题意，得an＝1＋2n－1，所以Sn＝n＋＝n＋2n－1.故选C.
2．B 解析 因为an＝＝－，所以S99＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝10－1＝9.故选B.
3．B 解析 由Sn＝＋＋＋…＋ ①，得Sn＝＋＋…＋＋ ②，①－②，得Sn＝＋＋＋…＋－＝－，所以Sn＝.故选B.
4．9 解析 S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.
5．an＝2(n＋1) 解析 由f(x)＋f(1－x)＝4，可得f(0)＋f(1)＝4，…，f＋f＝4，所以2an＝(f(0)＋f(1))＋＋…＋(f(1)＋f(0))＝4(n＋1)，即an＝2(n＋1)．
关键能力·落实
【例1】 40＋ 解析 an＝1＋＋＋…＋＝＝2＝2－，分组求和可得数列{an}的前n项和Sn＝2n－＝2n－2＋，则S21＝2×21－2＋＝40＋.
【训练1】 D 解析 当n为奇数时，an＋2＝2an－1，又a1＝1，所以a1＝a3＝a5＝…＝a2 023＝1；当n为偶数时，an＋2＝3an，又a2＝2，所以{an}的偶数项是公比为3，首项为2的等比数列．所以S2 024＝(1＋1＋…＋1＋(2＋2×3＋2×32＋…＋2×31 011)＝1 012＋＝31 012＋1 011，故选D.
【例2】 解 (1)对任意的n∈N*，a－a＝8n，当n≥2时，a＝(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＋a＝8(n－1)＋8(n－2)＋…＋8×1＋1＝8[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝8×＋1＝(2n－1)2，因为an>0，故an＝2n－1(n≥2)．当n＝1时，a1＝1符合上式，所以an＝2n－1，n∈N*.
(2)bn＝ansin＝(－1)n＋1(2n－1)，所以当k∈N*时，b2k＋b2k＋1＝－(4k－1)＋4k＋1＝2，故S2 025＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5)＋…＋(b2 024＋b2 025)＝1＋2×1 012＝2 025.
【训练2】 15 解析 记bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15.
【例3】 (1)B 解析 bn＝＝＝，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝.故选B.
(2)－ 解析 设等差数列{an}的公差为d，由a2＋a4＝6可知a3＝3，前7项和S7＝28＝7a4，所以a4＝4，所以解得所以an＝1＋1×(n－1)＝n.bn＝＝＝－，所以{bn}的前n项和Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－.
【训练3】 (1)624 解析 an＝－，所以Sn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1，令Sn＝24得n＝624.
(2)解 ①因为2Sn＝2an＋n2－1 ①，所以当n≥2时，2Sn－1＝2an－1＋(n－1)2－1 ②，①－②得2an＝2an－2an－1＋2n－1，整理得an－1＝n－，n≥2，所以an＝n＋，n∈N*.
②由①知an＝n＋，所以＝＝－＝－，所以Tn＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝－.
【训练4】 解 (1)由题意知，a1＝7，所以a2＝a1－3＝4，a3＝2a2＝8，a4＝a3－3＝5.
(2)证明：因为an＋1＝所以a2n＋1－6＝2a2n－6＝2(a2n－1－3)－6＝2(a2n－1－6)，所以＝2，且a1－6＝1，所以数列{a2n－1－6}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可知，a2n－1－6＝1·2n－1，即a2n－1＝2n－1＋6，因为2n为偶数，2n－1为奇数，所以bn＝a2n＝a2n－1－3＝2n－1＋3，所以n·(bn－3)＝n·(2n－1＋3－3)＝n·2n－1，所以Sn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1 ①，2Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n ②，①－②得，－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝2n－1－n·2n，所以Sn＝1＋(n－1)·2n，n∈N*.(共39张PPT)
第四节
第六章 数列
数列求和
课
程
标
准
必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
分组求和法
解析
解析
类型二
并项求和
解
解
解析
类型三
裂项法求和
解析
解析
解析
解
解
类型四
错位相减法求和
规范解答
解
规范解答
解
解
解
R
赢在欲点微练(五十) 数列求和
基础过关
1．(2025·南京盐城调研)设数列{an}的前n项和为Sn，an＋Sn＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}满足anbn＝cos，求{bn}的前50项和T50.
2．已知函数y＝[x]是高斯函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.8]＝0，[1.5]＝1.若数列{an}满足a1＝2，且an＋an＋1＝2n＋3，记bn＝[lg an]．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前2 024项和．
3．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，a2a3＝a8.
(1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)若n≥2，＋＋＋…＋≤，求满足条件的n的集合．
4．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋1－2，等差数列{bn}满足b2＝a2＋2，b3＝S2＋3.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.
素养提升
5．设数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，an＋bn＋1＝2n，an＋1＋bn＝2n.设Sn为数列{an＋bn}的前n项的和，则S7＝( )
A．110 B．120
C．288 D．306
6．(2025·山东日照一模)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且an，Sn，a为等差数列．
(1)求a1及{an}的通项公式；
(2)记集合{an的元素个数为bk，求数列{bk}的前50项和．
微练(五十) 数列求和
1．解 (1)由an＋Sn＝1，得an－1＋Sn－1＝1(n≥2)，两式相减得an－an－1＋an＝0(n≥2)，即an＝an－1(n≥2)，当n＝1时，2a1＝1，得a1＝≠0，所以＝(n≥2)，故{an}是首项为，公比为的等比数列．故an＝n.
(2)由(1)得bn＝2ncos，所以T50＝－22＋24－26＋28－…－250＝＝－(1＋425)．
2．解 (1)因为a1＝2，a1＋a2＝5，所以a2＝3，因为an＋an＋1＝2n＋3，所以an＋1＋an＋2＝2n＋5，将两式相减，得an＋2－an＝2，所以数列{an}的奇数项、偶数项分别单独构成等差数列．当n为奇数时，a3－a1＝2，a5－a3＝2，…，an－an－2＝2，且a1＝2，则an＝(an－an－2)＋(an－2－an－4)＋…＋(a3－a1)＋a1＝2＋2＋…＋2＋2＝2×＋2＝n＋1；当n为偶数时，则an＝2n＋3－an＋1＝2n＋3－(n＋2)＝n＋1.所以an＝n＋1(n∈N*)．
(2)设{bn}的前n项和为Tn，当1≤n≤8时，bn＝[lg(n＋1)]＝0，当9≤n≤98时，bn＝[lg(n＋1)]＝1，当99≤n≤998时，bn＝[lg(n＋1)]＝2，当999≤n≤2 024时，bn＝[lg(n＋1)]＝3，所以T2 024＝8×0＋90×1＋900×2＋1 026×3＝4 968.
3．解 (1)设等差数列{an}的公差为d.因为a1，a2，a5成等比数列，所以a1a5＝a，所以a1·(a1＋4d)＝(a1＋d)2.化简得2a1d＝d2，因为d≠0，所以d＝2a1 ①.因为a2a3＝a8，所以(a1＋d)(a1＋2d)＝a1＋7d ②，由①②得a1＝0或a1＝1.当a1＝0时，d＝2a1＝0(舍去)．当a1＝1时，d＝2a1＝2，则an＝2n－1，Sn＝＝＝n2.
(2)＝＝，当n≥2时，＋＋＋…＋＝＝.由题意，得≤，化简，得＋≥，解得n≤4.又n≥2，所以2≤n≤4(n∈N*)，所以n∈{2,3,4}．
4．解 (1)当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－2)－(2n－2)＝2n，当n＝1时，上式也成立，所以an＝2n.由题意得b2＝a2＋2＝22＋2＝6，b3＝2＋4＋3＝9，设等差数列{bn}的公差为d，则d＝b3－b2＝3，b1＝b2－d＝3，故bn＝b1＋(n－1)d＝3n.综上，an＝2n，bn＝3n.
(2)由(1)知anbn＝3n·2n，所以Tn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋an－1bn－1＋anbn＝3×21＋6×22＋9×23＋…＋3(n－1)·2n－1＋3n·2n ①，2Tn＝3×22＋6×23＋9×24＋…＋3(n－1)·2n＋3n·2n＋1 ②，所以①－②得，－Tn＝3×(21＋22＋23＋…＋2n－1＋2n)－3n·2n＋1＝3×－3n·2n＋1＝(3－3n)·2n＋1－6，所以Tn＝(3n－3)·2n＋1＋6.
5．A 解析 由an＋bn＋1＝2n，an＋1＋bn＝2n得an＋bn＋an＋1＋bn＋1＝2n＋2n.所以S7＝a1＋b1＋a2＋b2＋a3＋b3＋a4＋b4＋a5＋b5＋a6＋b6＋a7＋b7＝1＋1＋2×2＋22＋2×4＋24＋2×6＋26＝110，故选A.
6．解 (1)因为an，Sn，a为等差数列，所以2Sn＝an＋a，且an>0，当n＝1时，2S1＝2a1＝a1＋a，可得a1＝1.当n≥2时，2(Sn－Sn－1)＝2an＝an＋a－an－1－a，则an＋an－1＝a－a＝(an＋an－1)(an－an－1)，由an＋an－1>0，得an－an－1＝1，所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.
(2)原式等价于≤k，因为≥2，当且仅当n＝2时“＝”成立，所以b1＝0，b2＝1，当k≥3时，因为＋＝k－＋k，所以能使＋≤k成立的n的最大值为2k－1，所以bk＝2k－1(k≥3)，所以{bk}的前50项和为0＋1＋5＋7＋…＋99＝0＋1＋＝2 497.(共12张PPT)
微练(五十)
数列求和
基础过关
1
5
6
2
3
4
解
1
5
6
2
3
4
解
1
5
6
2
3
4
解
1
5
6
2
3
4
解
1
5
6
2
3
4
解
1
5
6
2
3
4
解
1
5
6
2
3
4
解
1
5
6
2
3
4
解
1
5
6
2
3
4
解析
素养提升
1
5
6
2
3
4
解
1
5
6
2
3
4
解
R
赢在欲点
