微专题强化七 构造法求数列通项公式
典|型|例|题
类型一 形如an＋1＝qan＋p
【例1】 在数列{an}中，a1＝5，an＋1＝3an－4，则数列{an}的通项公式an＝________.
求解递推公式形如an＋1＝qan＋p(p≠0，q≠0且q≠1)的数列{an}的通项公式的关键：一是利用待定系数法构造，即构造an＋1＋λ＝q(an＋λ)的形式；二是找到{an＋λ}为等比数列.
【训练1】 若a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，则an＝________.
类型二 形如an＋1＝pan＋qn＋r
【例2】 已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，则数列{an}的通项公式an＝________.
形如an＋1＝pan＋qn＋r(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)
第一步，假设将递推公式改写成an＋1＋x(n＋1)＋y＝p(an＋xn＋y)的形式；
第二步，由待定系数法，求出x，y的值；
第三步，写出数列{an＋xn＋y}的通项公式；
第四步，写出数列{an}的通项公式．
【训练2】 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an－2n＋1，则an＝________.
类型三 形如an＋1＝pan＋qn
【例3】 (1)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*.则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝(2n＋1)·3n B．an＝(n－1)·2n
C．an＝(2n－1)·3n D．an＝(n＋1)·2n
(2)在数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝6an＋3n，则an＝________.
形如an＋1＝pan＋qn(p，q为常数，且pq(p－1)≠0)的递推公式两边同除以qn＋1(或qn)化为等差数列或类型一求解．
【训练3】 在数列{an}中，a1＝－1，且满足an＋1＝2an＋4·3n－1，则an＝________.
类型四 形如an＋1＝pan＋qan－1(特征根方程)
求解满足an＋1＝pan＋qan－1(p，q为非零常数)的数列{an}的通项公式的策略：
设方程x2－px－q＝0的两根为α，β，则可构造关系an＋2－αan＋1＝β(an＋1－αan)或an＋2－βan＋1＝α(an＋1－βan)．再转化为类型一求解．
当α≠β，则通项公式an＝Aαn＋Bβn；当α＝β，则通项公式an＝(An＋B)·αn.其中A，B的值为常数，可由a1，a2求得．
【例4】 已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2(n≥3)，则数列{an}的通项公式an＝________.
形如an＋1＝pan＋qan－1的递推公式，可以化为an＋1－αan＝β(an－αan－1)，其中α，β是方程x2－px－q＝0的两个根．若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求an.
【训练4】 在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，则an＝________.
类型五 倒数为特殊数列(形如an＋1＝型)
【例5】 (2025·八省联考)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求{an}的通项公式；
(3)令bn＝，证明：bn将an＋1＝两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为bn＋1＝αbn＋β型，求出的表达式，再求an.
【训练5】 (2024·福州质检)在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝，则an＝________.
微专题强化七 构造法求数列通项公式
典型例题
【例1】 3n＋2 解析 由an＋1＝3an－4，可得an＋1－2＝3(an－2)，又a1＝5，所以{an－2}是以a1－2＝3为首项，3为公比的等比数列，所以an－2＝3n，所以an＝3n＋2.
【训练1】 2n－1 解析 原式可化为an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，且n∈N*)，因为a1＋1＝2，所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1＝2n，即an＝2n－1.
【例2】 2n＋n 解析 因为an＋1＝2an－n＋1，所以an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，所以＝2，所以数列{an－n}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以an－n＝2·2n－1＝2n，所以an＝2n＋n.
【训练2】 3n－1＋n 解析 因为an＋1＝3an－2n＋1，所以an＋1－(n＋1)＝3(an－n)，所以＝3，又因为a1－1＝2－1＝1≠0，所以{an－n}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an－n＝3n－1，所以an＝3n－1＋n.
【例3】 (1)C 解析 由an＋1＝3an＋2·3n＋1，得＝＋，所以－＝2，即数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以＝2n－1，故an＝(2n－1)·3n.故选C.
(2)－3n－1 解析 将已知an＋1＝6an＋3n的两边同乘，得＝2·＋，令bn＝，则bn＋1＝2bn＋，由类型一的方法知bn＝－，则an＝－3n－1.
【训练3】 4·3n－1－5·2n－1 解析 解法一：将an＋1＝2an＋4·3n－1的两边同除以3n＋1，得＝·＋，设bn＝，则bn＋1＝bn＋，设bn＋1＋k＝(bn＋k)，比较系数得k＝－，则＝，所以是以－为首项，为公比的等比数列．所以bn－＝·n－1，则bn＝－·n－1，所以an＝3n·bn＝4·3n－1－5·2n－1.
解法二：原递推式可化为an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n－1)①.比较系数得λ＝－4，①式即是an＋1－4·3n＝2(an－4·3n－1)．则数列{an－4·3n－1}是首项为a1－4×31－1＝－5，公比为2的等比数列，所以an－4·3n－1＝－5·2n－1，即an＝4·3n－1－5·2n－1.
【例4】 ×3n－1＋(－1)n－1 解析 因为an＝2an－1＋3an－2，所以an＋an－1＝3(an－1＋an－2)，又a1＋a2＝7，所以{an＋an－1}是首项为7，公比为3的等比数列，则an＋an－1＝7×3n－2 ①，又an－3an－1＝－(an－1－3an－2)，a2－3a1＝－13，所以{an－3an－1}是首项为－13，公比为－1的等比数列，则an－3an－1＝(－13)·(－1)n－2 ②，①×3＋②，得4an＝7×3n－1＋13·(－1)n－1，所以an＝×3n－1＋(－1)n－1.
【训练4】 2n－1 解析 由题意，知an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，因为a2－a1＝2，所以{an＋1－an}是首项为2，公比为2的等比数列，an＋1－an＝2n，当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.显然n＝1时满足上式，所以an＝2n－1.
【例5】 解 (1)证明：因为an＋1＝，a1＝3>0，所以an>0，所以＝＝＋，所以1－＝－＝，1－＝≠0，所以是首项为，公比为的等比数列．
(2)由(1)知，1－＝n，an＝＝.
(3)证明：bn＝＝·＝＝＝＝1－，显然关于n∈N*单调递增，且3×n－2>0恒成立，所以单调递减，所以{bn}关于n∈N*单调递增，且bn<1，所以bn【训练5】 解析 取倒数，得＝＋2，即－＝2，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，且＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝.(共23张PPT)
构造法求数列通项公式
微专题强化七
类型一
形如an＋1＝qan＋p
解析
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解析
类型二
形如an＋1＝pan＋qn＋r
解析
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类型三
形如an＋1＝pan＋qn
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类型四
形如an＋1＝pan＋qan-1 (特征根方程)
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类型五
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赢在欲点微练(四十九) 构造法求数列通项公式
一、单项选择题
1．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋1，则a4的值为( )
A．15 B．23
C．32 D．42
2．(2025·重庆模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
3．在数列{an}中，若a1＝3，an＋1＝a，则an＝( )
A．2n－1 B．3n－1
C．23n－1 D．32n－1
4．已知数列{an}中，a1＝1,2an＋1an＝(n＋1)an－nan＋1，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
5．(2025·江西宜春模拟)已知正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项公式an＝( )
A．－3×2n－1 B．3×2n－1
C．5n＋3×2n－1 D．5n－3×2n－1
6．已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10＝( )
A．47 B．48
C．49 D．410
二、填空题
7．已知首项为1的数列{an}满足an＋1＝5an－3，则an＝________.
8．已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，则{an}的通项公式是an＝________.
9．已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，an＋1＋an＝3×2n，则S10＝________.
三、解答题
10．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.
(1)求a4的值；
(2)证明：数列为等比数列；
(3)求数列{an}的通项公式．
微练(四十九) 构造法求数列通项公式
1．B 解析 因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，所以{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，所以a4＝23.故选B.
2．D 解析 易知an≠0，an＋1＝，即＝＝4＋，可得－＝4，又a1＝1，所以数列是首项为1，公差为4的等差数列，所以＝1＋4(n－1)＝4n－3，即an＝.故选D.
3．D 解析 由a1＝3，an＋1＝a知an>0，对an＋1＝a两边取以3为底的对数得，log3an＋1＝2log3an，则数列{log3an}是以log3a1＝1为首项，2为公比的等比数列，则log3an＝1·2n－1＝2n－1，即an＝32n－1.故选D.
4．C 解析 2an＋1an＝(n＋1)an－nan＋1，显然an≠0，两边同时除以an＋1an，得－＝2，又＝1，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝.故选C.
5．D 解析 解法一：在递推公式an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n＋1，得＝×＋ ①，令bn＝，则①式变为bn＋1＝bn＋，即bn＋1－1＝(bn－1)，所以数列{bn－1}是等比数列，其首项为b1－1＝－1＝－，公比为，所以bn－1＝－×n－1，即bn＝1－×n－1，所以＝1－×n－1＝1－，所以an＝5n－3×2n－1.故选D.
解法二：设an＋1＋k×5n＋1＝2(an＋k×5n)，则an＋1＝2an－3k×5n，与an＋1＝2an＋3×5n比较可得k＝－1，所以an＋1－5n＋1＝2(an－5n)，所以数列{an－5n}是首项为a1－5＝－3，公比为2的等比数列，所以an－5n＝－3×2n－1，所以an＝5n－3×2n－1.故选D.
6．C 解析 由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，即＝4(n≥3)，又a1＋a2＝4，所以数列{an＋an＋1}是等比数列，公比为4，首项为4，所以a9＋a10＝49.故选C.
7.＋×5n－1 解析 由an＋1＝5an－3，得an＋1－＝5，因为a1＝1，所以a1－＝，进而an－≠0，所以数列是首项为，公比为5的等比数列，所以an－＝×5n－1，即an＝＋×5n－1.
8.＋4n－6 解析 设an＋pn＋q＝[an－1＋p(n－1)＋q]，即an＝an－1－pn－p－q，与原式比较，对应项系数相等得解得首项a1－4＋6＝3，所以{an－4n＋6}是3为首项，为公比的等比数列，所以an－4n＋6＝3·n－1，所以an＝＋4n－6.
9．2 046 解析 解法一：因为an＋1＋an＝3×2n，所以a2＋a1＝3×2，a4＋a3＝3×23，a6＋a5＝3×25，a8＋a7＝3×27，a10＋a9＝3×29，则S10＝3×(2＋23＋25＋27＋29)＝3×＝2 046.
解法二：由an＋1＋an＝3×2n，得an＋1－2n＋1＝－(an－2n)．又a1－21＝－1，所以{an－2n}是首项为－1，公比为－1的等比数列，所以an－2n＝(－1)n，即an＝2n＋(－1)n，所以S10＝21＋22＋…＋29＋210＋(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)9＋(－1)10＝＝211－2＝2 046.
10．解 (1)当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即4×＋5×＝8×＋1，解得a4＝.
(2)证明：因为4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，所以4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)，因为4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，符合上式，所以4an＋2＋an＝4an＋1，因为＝＝＝＝，所以数列是以a2－a1＝1为首项，为公比的等比数列．
(3)由(2)知是以1为首项，为公比的等比数列，所以an＋1－an＝n－1.即－＝4，所以数列是以＝2为首项，4为公差的等差数列，所以＝2＋(n－1)×4＝4n－2，即an＝(4n－2)×n＝(2n－1)×n－1，所以数列{an}的通项公式是an＝(2n－1)×n－1.(共19张PPT)
构造法求数列通项公式
微练(四十九)
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赢在欲点
